ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในทฤษฎีลำดับโคฟินาลิตี้ cf( A ) ของเซตที่มีลำดับบางส่วนAคือจำนวนสมาชิก ที่น้อยที่สุด ของ เซต ย่อยโคฟินาลิตี้ของAในทางรูปธรรม^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {cf} (A)=\inf\{|B|:B\subseteq A,(\forall x\in A)(\exists y\in B)(x\leq y)\}}$

นิยามของโคฟินาลิตี้ (cofinality) นี้อาศัยสัจพจน์ของการเลือก (axiom of choice ) เนื่องจากใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเซตของจำนวนเชิงคาร์ดินัล ที่ไม่ว่างเปล่าทุกเซตจะ มีสมาชิกที่เล็กที่สุด โคฟินาลิตี้ของเซตที่มีลำดับบางส่วนAสามารถนิยามได้อีกทางหนึ่งว่าคือจำนวนเชิงอันดับx ที่เล็กที่สุด ซึ่งมีฟังก์ชันจากxไปยังAที่มีภาพ โคฟินาลิตี้ (cofinal image ) นิยามที่สองนี้สมเหตุสมผลแม้ไม่มีสัจพจน์ของการเลือก แต่ถ้าหากถือว่ามีสัจพจน์ของการเลือกแล้ว ดังที่จะกล่าวถึงในส่วนที่เหลือของบทความนี้ นิยามทั้งสองจะเทียบเท่ากัน

หลักการโคฟินาลิตี้สามารถนิยามได้ในทำนองเดียวกันสำหรับเซต แบบมีทิศทางและใช้เพื่อขยายแนวคิดของลำดับย่อยในเน็ต

• ค่าโคฟินัลลิตี้ของเซตที่มีลำดับบางส่วนซึ่งมีสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดคือ 1 เนื่องจากเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดเพียงอย่างเดียวเป็นโคฟินัล (และจะต้องมีอยู่ในเซตย่อยโคฟินัลอื่นๆ ทุกเซต)
  • โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าโคฟินาลิตี้ของลำดับเชิงจำกัดที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ หรือแม้แต่เซตทิศทางจำกัดใดๆ ก็มีค่าเท่ากับ 1 เนื่องจากเซตดังกล่าวมีสมาชิกที่ใหญ่ที่สุด ค่าโคฟินาลิตี้ของลำดับเชิงสืบทอด ใดๆ ก็ มีค่าเท่ากับ 1 เช่นกัน
• เซตย่อยร่วมสุดท้ายทุกเซตของเซตที่มีลำดับบางส่วนจะต้องมีสมาชิกสูงสุด ทั้งหมด ของเซตนั้น ดังนั้น ความเป็นร่วมสุดท้าย (cofinal) ของเซตที่มีลำดับบางส่วนแบบจำกัด จึงเท่ากับจำนวนสมาชิกสูงสุดของเซตนั้น
  • โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้เป็นเซตที่มีขนาดและพิจารณาเซตของเซตย่อยของที่มีสมาชิกไม่เกินเซตนี้มีลำดับบางส่วนภายใต้การรวม และเซตย่อยที่มีสมาชิก เป็นเซตสูงสุด ดังนั้น โคฟินาลิตี้ของโพเซตนี้คือเลือก${\displaystyle A}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m.}$
• เซตย่อยของจำนวนธรรมชาติ จะเป็นโคฟินัลในก็ต่อเมื่อมันเป็นอนันต์ และด้วยเหตุนี้ โคฟินัลลิตี้ของ จึง เป็นดังนั้น จึงเป็น จำนวน เชิงคาร์ดินัลปกติ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{0}.}$${\displaystyle \aleph _{0}}$
• ความร่วมสุดท้าย (cofinality) ของจำนวนจริงที่มีลำดับปกติคือเนื่องจากมีความร่วมสุดท้ายใน ลำดับปกติของไม่สมมาตรเชิงลำดับกับจำนวนสมาชิกของจำนวนจริงซึ่งมีความร่วมสุดท้ายมากกว่า อย่างชัดเจน นี่แสดงให้เห็นว่าความร่วมสุดท้ายขึ้นอยู่กับลำดับ ลำดับที่แตกต่างกันบนเซตเดียวกันอาจมีความร่วมสุดท้ายที่แตกต่างกัน${\displaystyle \aleph _{0},}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle c,}$${\displaystyle \aleph _{0}.}$

ถ้ายอมรับ เซตย่อยร่วมสุดท้าย ที่มีลำดับสมบูรณ์แล้ว เราก็สามารถหาเซตย่อยที่มีลำดับดีและร่วมสุดท้ายในได้ เซตย่อยใดๆ ของก็มีลำดับดีเช่นกัน เซตย่อยร่วมสุดท้ายสองเซตของที่มีขนาดน้อยที่สุด (นั่นคือ ขนาดของเซตย่อยร่วมสุดท้ายเท่ากับขนาดร่วมสุดท้ายของ) ไม่จำเป็นต้องมีลำดับสมมาตรกัน (ตัวอย่างเช่น ถ้าแล้วทั้งและเมื่อมองว่าเป็นเซตย่อยของจะมีขนาดนับได้เท่ากับขนาดร่วมสุดท้ายของแต่ไม่มีลำดับสมมาตรกัน) แต่เซตย่อยร่วมสุดท้ายของที่มีประเภทลำดับน้อยที่สุดจะมีลำดับสมมาตรกัน ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B=\โอเมก้า +\โอเมก้า ,}$${\displaystyle \โอเมก้า +\โอเมก้า }$${\displaystyle \{\โอเมก้า +n:n<\โอเมก้า \}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

ความร่วมสุดท้าย (cofinality) ของลำดับ (ordinal) คือ ลำดับที่เล็กที่สุดที่เป็นประเภทลำดับ (order type)ของเซตย่อยร่วมสุดท้ายของ ความร่วมสุดท้ายของเซตของลำดับหรือเซตที่มีลำดับที่ดี อื่นๆ คือ ความร่วมสุดท้ายของประเภทลำดับของเซตนั้น ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \alpha .}$

ดังนั้น สำหรับลำดับลิมิต จะมีลำดับที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดที่มีดัชนี n ซึ่งมีลิมิตเป็น n ตัวอย่างเช่น ความเป็นโคฟินาลิตี้ของ n คือเพราะลำดับ(โดยที่ n ครอบคลุมจำนวนธรรมชาติ) มีแนวโน้มเข้าสู่ n แต่โดยทั่วไปแล้ว ลำดับลิมิตที่นับได้ใดๆ ก็มีความเป็นโคฟินาลิตี้ ลำดับลิมิตที่นับไม่ได้อาจมีความเป็นโคฟินาลิตี้เช่นเดียวกับ n หรืออาจเป็นโคฟินาลิตี้ที่นับไม่ได้ก็ได้ ${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \alpha .}$${\displaystyle \omega ^{2}}$${\displaystyle \omega ,}$${\displaystyle \omega \cdot m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \omega ^{2};}$${\displaystyle \omega .}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \โอเมก้า _{\โอเมก้า }}$

ค่าโคฟินาลิตี้ของ 0 คือ 0 ค่าโคฟินาลิตี้ของลำดับที่สืบทอด ใดๆ คือ 1 ค่าโคฟินาลิตี้ของลำดับลิมิตที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ คือจำนวนเชิงคาร์ดินัลปกติอนันต์

จำนวนเชิงอันดับปกติคือ จำนวนเชิงอันดับที่มีค่าเท่ากับค่าร่วมสุดท้ายของตนเอง ส่วนจำนวนเชิงอันดับเอกพจน์คือ จำนวนเชิงอันดับใดๆ ที่ไม่ใช่จำนวนเชิงอันดับปกติ

จำนวน เชิงอันดับปกติทุกตัวเป็นจำนวนเชิงอันดับเริ่มต้นของจำนวนนับ ลิมิตของจำนวนเชิงอันดับปกติทุกตัวเป็นลิมิตของจำนวนเชิงอันดับเริ่มต้น และดังนั้นจึงเป็นจำนวนเชิงอันดับเริ่มต้นเช่นกัน แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเชิงอันดับปกติ สมมติว่าสัจพจน์ของการเลือกเป็น จริง จำนวนเชิงอันดับ เป็นจำนวนเชิงอันดับปกติสำหรับแต่ละจำนวน เชิงอันดับ ในกรณีนี้ จำนวนเชิงอันดับและเป็นจำนวนเชิงอันดับปกติ ในขณะที่และเป็นจำนวนเชิงอันดับเริ่มต้นที่ไม่ใช่จำนวนเชิงอันดับปกติ ${\displaystyle \omega _{\alpha +1}}$${\displaystyle \alpha .}$${\displaystyle 0,1,\โอเมก้า ,\โอเมก้า _{1},}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle 2,3,\โอเมก้า _{\โอเมก้า },}$${\displaystyle \omega _{\omega \cdot 2}}$

ความร่วมสุดท้าย (cofinality) ของลำดับใดๆ ก็ตามเป็นลำดับปกติ (regular ordinal) กล่าวคือ ความร่วมสุดท้ายของความร่วมสุดท้ายของ นั้นเหมือนกับความร่วมสุดท้ายของ ดังนั้น การดำเนินการความร่วมสุดท้ายจึงเป็นการดำเนินการที่คงสภาพ เดิม ( idempotent ) ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha .}$

ถ้าเป็นจำนวนเชิงคาร์ดินัลอนันต์ แล้ว ก็คือจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่น้อยที่สุดซึ่งมีฟังก์ชันไม่จำกัดขอบเขต จาก ไปเป็นจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่น้อยที่สุดเช่นกัน ซึ่งผลรวมของจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่น้อยกว่าอย่างเคร่งครัดนั้นมีค่ามากกว่าอย่างเห็นได้ชัด ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )}$${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )}$${\displaystyle \kappa ;}$${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )}$${\displaystyle \kappa ;}$$${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )=\min \left\{|I|\ :\ \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}\ \land \forall i\in I\colon \lambda _{i}<\kappa \right\}.}$$

เซตข้างต้นไม่ว่างเปล่าเนื่องจากเป็นผล รวมที่ไม่ซ้ำกันของเซตที่มีสมาชิกตัวเดียว ซึ่งหมายความว่า ความร่วมกันของเซตที่มีลำดับสมบูรณ์ใดๆ นั้นเป็นแบบปกติ ดังนั้น$${\displaystyle \kappa =\bigcup _{i\in \kappa }\{i\}}$$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )\leq \kappa .}$${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )=\operatorname {cf} (\operatorname {cf} (\kappa )).}$

โดยใช้ทฤษฎีบทของ Kőnigเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าและสำหรับจำนวนเชิงอนันต์ใดๆ${\displaystyle \kappa <\kappa ^{\ชื่อผู้ดำเนินการ {cf} (\kappa )}}$${\displaystyle \kappa <\operatorname {cf} \left(2^{\kappa }\right)}$${\displaystyle \kappa .}$

อสมการสุดท้ายบ่งชี้ว่าโคฟินาลิตี้ของจำนวนสมาชิกของคอนติเนียมจะต้องนับไม่ได้ ในทางกลับกัน จำนวนเชิงอันดับ ω เป็นจำนวนเชิงอันดับอนันต์ตัวแรก ดังนั้นโคฟินาลิตี้ของคือ card(ω) = (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นเอกฐาน) ดังนั้น $${\displaystyle \aleph _{\omega }=\bigcup _{n<\omega }\aleph _{n},}$$${\displaystyle \aleph _{\โอเมก้า }}$${\displaystyle \aleph _{0}.}$${\displaystyle \aleph _{\โอเมก้า }}$$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega }.}$$

(เปรียบเทียบกับสมมติฐานความต่อเนื่องซึ่งระบุว่า) ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.}$

เมื่อสรุปข้อโต้แย้งนี้ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าสำหรับลิมิตเชิงอันดับ${\displaystyle \delta }$$${\displaystyle \operatorname {cf} (\aleph _{\delta })=\operatorname {cf} (\delta ).}$$

ในทางกลับกัน หากสัจพจน์ของการเลือกเป็นจริงแล้ว สำหรับลำดับถัดไปหรือลำดับศูนย์${\displaystyle \delta }$$${\displaystyle \operatorname {cf} (\aleph _{\delta })=\aleph _{\delta }.}$$

• เซตของไม้กอล์ฟ  – แนวคิดทฤษฎีเซต
• ลำดับเริ่มต้น  – ขนาดของเซตที่มีจำนวนอนันต์ได้Pages displaying short descriptions of redirect targets