ในทฤษฎีจำนวนจำนวนสมบูรณ์คือจำนวนเต็มบวกที่เท่ากับผลรวมของตัวหาร แท้ที่เป็นบวกของมัน นั่นคือ ตัวหารที่ไม่รวมตัวเลขนั้นเอง^{[ 1 ]}ตัวอย่างเช่น 6 มีตัวหารแท้คือ 1, 2 และ 3 และ 1 + 2 + 3 = 6 ดังนั้น 6 จึงเป็นจำนวนสมบูรณ์ จำนวนสมบูรณ์ถัดไปคือ 28 เพราะ 28 มีตัวหารแท้คือ 1, 2, 4, 7, 14 และ 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

จำนวนสมบูรณ์เจ็ดจำนวนแรกคือ6 , 28 , 496 , 8128 , 33550336, 8589869056 และ 137438691328 ^{[ 2 ]}

ผลรวมของตัวหารแท้ของจำนวนหนึ่งเรียกว่าผลรวมของตัวหารร่วม (aliquot sum ) ดังนั้น จำนวนสมบูรณ์ (perfect number) คือจำนวนที่เท่ากับผลรวมของตัวหารร่วมของจำนวนนั้น หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนสมบูรณ์คือจำนวนที่เป็นครึ่งหนึ่งของผลรวมของตัวหารบวกทั้งหมดของจำนวนนั้น ในเชิงสัญลักษณ์โดย ที่คือฟังก์ชันผลรวมของตัวหาร${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$${\displaystyle \sigma _{1}}$

นิยามนี้มีมาแต่โบราณ ปรากฏตั้งแต่สมัยElementsของยูคลิด (เล่ม VII, นิยามที่ 22) ซึ่งเรียกว่าτέλειος ἀριθμός ( จำนวน สมบูรณ์ , อุดมคติหรือจำนวนที่สมบูรณ์ ) ยูคลิดยังพิสูจน์กฎการก่อตัว (เล่ม IX, ข้อเสนอที่ 36) ซึ่งระบุว่าเป็นจำนวนสมบูรณ์คู่เมื่อใดก็ตามที่เป็นจำนวนเฉพาะในรูปแบบสำหรับจำนวนเต็มบวก—ซึ่งปัจจุบันเรียกว่า จำนวน เฉพาะเมอร์เซนน์สองพันปีต่อมาเลออนฮาร์ด ออยเลอร์พิสูจน์ว่าจำนวนสมบูรณ์คู่ทั้งหมดมีรูปแบบนี้^{[ 3 ]}นี่เป็นที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของยูคลิด-ออยเลอร์ ${\textstyle {\frac {q(q+1)}{2}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 2^{p}-1}$${\displaystyle p}$

ยังไม่ทราบว่ามีจำนวนสมบูรณ์คี่หรือไม่ และยังไม่ทราบว่ามีจำนวนสมบูรณ์อยู่เป็นอนันต์หรือไม่

ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล ยูคลิดแสดงให้เห็นว่าถ้า 2p ⁻  1 เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว 2p ^{− 1} (2p ⁻  1) จะเป็นจำนวนสมบูรณ์ จำนวนสมบูรณ์สี่จำนวนแรกเป็นจำนวนเดียวที่นักคณิตศาสตร์กรีก ยุคแรกรู้จัก และนักคณิตศาสตร์นิโคมาคัสได้บันทึก 8128 ไว้ตั้งแต่ประมาณ ค.ศ. 100 ^{[ 4 ]}ในภาษาปัจจุบัน นิโคมาคัสกล่าวโดยไม่มีการพิสูจน์ว่า จำนวนสมบูรณ์ ทุกจำนวนอยู่ในรูปแบบที่n เป็นจำนวนเฉพาะ^{[ 5 ] [ 6 ]}ดูเหมือนเขาจะไม่ทราบว่าnเองต้องเป็นจำนวนเฉพาะ เขายังกล่าว (อย่างผิดๆ) ว่าจำนวนสมบูรณ์ลงท้ายด้วย 6 หรือ 8 สลับกันไป (จำนวนสมบูรณ์ 5 จำนวนแรกจะลงท้ายด้วยเลข 6, 8, 6, 8, 6 แต่จำนวนที่หกก็ลงท้ายด้วย 6 เช่นกัน) ฟิโลแห่งอเล็กซานเดรียในหนังสือ "ว่าด้วยการสร้าง" ในศตวรรษที่ 1 ของเขาได้กล่าวถึงจำนวนสมบูรณ์ โดยอ้างว่าโลกถูกสร้างขึ้นใน 6 วัน และดวงจันทร์โคจรรอบโลกใน 28 วัน เพราะ 6 และ 28 เป็นจำนวนสมบูรณ์ ฟิโลได้รับการกล่าวถึงโดย^โอริเจน [ ^{7 ]}และโดยดิดิมัสผู้ตาบอดซึ่งได้เพิ่มข้อสังเกตว่ามีจำนวนสมบูรณ์เพียงสี่จำนวนเท่านั้นที่น้อยกว่า 10,000 (คำอธิบายเกี่ยวกับปฐมกาล 1. 14–19) ^{[ 8 ]}ออกัสตินแห่งฮิปโปได้กำหนดจำนวนสมบูรณ์ในนครแห่งพระเจ้า (หนังสือเล่มที่ XI บทที่ 30) ในช่วงต้นศตวรรษที่ 5 โดยย้ำคำกล่าวอ้างที่ว่าพระเจ้าทรงสร้างโลกใน 6 วัน เพราะ 6 เป็นจำนวนสมบูรณ์ที่เล็กที่สุด นักคณิตศาสตร์ชาวอียิปต์Ismail ibn Fallūs (1194–1252) กล่าวถึงจำนวนสมบูรณ์สามจำนวนถัดไป (33,550,336; 8,589,869,056; และ 137,438,691,328) และระบุจำนวนอื่นๆ อีกจำนวนหนึ่งซึ่งปัจจุบันทราบกันดีว่าไม่ถูกต้อง^{[ 9 ]}การกล่าวถึงจำนวนสมบูรณ์ลำดับที่ห้าเป็นครั้งแรกในยุโรปคือต้นฉบับที่เขียนขึ้นระหว่างปี 1456 ถึง 1461 โดยนักคณิตศาสตร์ที่ไม่ทราบชื่อ^{[ 10 ]}ในปี 1588 นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีPietro Cataldiได้ระบุจำนวนสมบูรณ์ลำดับที่หก (8,589,869,056) และลำดับที่เจ็ด (137,438,691,328) และยังพิสูจน์ได้ว่าจำนวนสมบูรณ์ทุกจำนวนที่ได้จากกฎของยูคลิดจะลงท้ายด้วย 6 หรือ 8 ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$${\displaystyle 2^{n}-1}$

ยูคลิดพิสูจน์ว่าเป็นจำนวนคู่สมบูรณ์เมื่อใดก็ตามที่เป็นจำนวนเฉพาะ ในหนังสือ Elements (เล่ม 9 ข้อเสนอที่ 36) ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$${\displaystyle 2^{p}-1}$

ตัวอย่างเช่น จำนวนสมบูรณ์สี่จำนวนแรกสร้างขึ้นจากสูตรโดยที่pเป็นจำนวนเฉพาะดังนี้: ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1),}$$${\displaystyle {\begin{aligned}p=2&:\quad 2^{1}(2^{2}-1)=2\times 3=6\\p=3&:\quad 2^{2}(2^{3}-1)=4\times 7=28\\p=5&:\quad 2^{4}(2^{5}-1)=16\times 31=496\\p=7&:\quad 2^{6}(2^{7}-1)=64\times 127=8128.\end{aligned}}}$$

จำนวนเฉพาะในรูปแบบเรียกว่าจำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์ ตามชื่อของพระภิกษุ มาริน เมอร์เซนน์ในศตวรรษที่ 17 ผู้ศึกษาทฤษฎีจำนวนและจำนวนสมบูรณ์ เนื่องจากจะเป็นจำนวนเฉพาะได้ จำเป็นต้องให้pเป็นจำนวนเฉพาะด้วย อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกจำนวนในรูปแบบ ที่มี p เป็น จำนวนเฉพาะจะเป็นจำนวนเฉพาะเสมอไป ตัวอย่างเช่น2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ^{[ a ]} ​​ในความเป็นจริง จำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์นั้นหายากมาก จากจำนวนเฉพาะp ประมาณ 4 ล้านจำนวน จนถึง 68,874,199 มีเพียง 48 จำนวนเท่านั้นที่เป็นจำนวนเฉพาะ^{[ 14 ]}${\displaystyle 2^{p}-1}$${\displaystyle 2^{p}-1}$${\displaystyle 2^{p}-1}$${\displaystyle 2^{p}-1}$

ในขณะที่นิโคมาคัสได้กล่าวไว้ (โดยไม่มีการพิสูจน์) ว่า จำนวนสมบูรณ์ ทั้งหมดอยู่ในรูปแบบที่เป็นจำนวนเฉพาะ (แม้ว่าเขาจะกล่าวไว้แตกต่างออกไปเล็กน้อย) อิบนุ อัล-ฮัยธัม (อัลฮาเซน) ในช่วงประมาณ ค.ศ. 1000 ไม่เต็มใจที่จะไปไกลถึงขนาดนั้น โดยประกาศแทน (โดยไม่มีการพิสูจน์เช่นกัน) ว่าสูตรนี้ให้ผลลัพธ์เฉพาะจำนวนสมบูรณ์คู่เท่านั้น^{[ 15 ]}จนกระทั่งศตวรรษที่ 18 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้พิสูจน์ว่าสูตรนี้ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนสมบูรณ์คู่ทั้งหมดจริง ๆ ดังนั้นจึงมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจำนวนสมบูรณ์คู่และจำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์ จำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์แต่ละตัวสร้างจำนวนสมบูรณ์คู่หนึ่งจำนวน และในทางกลับกัน ผลลัพธ์นี้มักถูกเรียกว่าทฤษฎีบทของยุคลิด-ออยเลอร์ ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$${\displaystyle 2^{n}-1}$${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$

จากการค้นหาอย่างละเอียดถี่ถ้วนโดย โครงการประมวลผลแบบกระจาย GIMPSพบว่าจำนวนคู่สมบูรณ์แบบ 50 จำนวนแรกนั้นเป็นจำนวนสำหรับ ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917 OEIS :  A000043 . ^{[ 14 ]}

นอกจากนี้ ยังมีการค้นพบจำนวนสมบูรณ์ที่สูงกว่าอีกสองจำนวน ได้แก่ จำนวนที่p = 82589933 และ 136279841 แม้ว่าอาจจะยังมีจำนวนสมบูรณ์อื่นๆ ในช่วงนี้ แต่การทดสอบเบื้องต้นแต่ครอบคลุมโดย GIMPS ได้เปิดเผยจำนวนสมบูรณ์อื่นๆ ที่ไม่มีอยู่สำหรับpที่ต่ำกว่า 138277717 ณ เดือนตุลาคม 2024 มีจำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์ที่รู้จัก 52 จำนวน ^{[ 16 ]}และด้วยเหตุนี้จึงมีจำนวนสมบูรณ์คู่ 52 จำนวน (จำนวนที่ใหญ่ที่สุดคือ2 ^136279840 × (2 ^136279841 − 1)ที่มี 82,048,640 หลัก) ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่ามี จำนวนสมบูรณ์ เป็นอนันต์หรือไม่ หรือว่ามีจำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์เป็นอนันต์หรือไม่

{{{คำอธิบายประกอบ}}}

เนื่องจาก 2n ⁻ 1 เป็นจำนวนคี่ และจำนวนหกเหลี่ยม ทั้งหมด เป็นจำนวนสามเหลี่ยมด้านคี่ ดังนั้นจำนวนเหล่านั้นจึงเป็นจำนวนหกเหลี่ยมด้วย

นอกจากจะมีรูปแบบแล้ว จำนวนสมบูรณ์คู่แต่ละจำนวนยังเป็นจำนวนสามเหลี่ยมลำดับที่ -th (และดังนั้นจึงเท่ากับผลรวมของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง) และจำนวนหกเหลี่ยมลำดับที่ -th ด้วย ยิ่งไปกว่านั้น จำนวนสมบูรณ์คู่แต่ละจำนวน ยกเว้น 6 ยังเป็นจำนวนเก้าเหลี่ยมศูนย์กลางลำดับที่ -th และเท่ากับผลรวมของลูกบาศก์คี่ตัวแรก (ลูกบาศก์คี่จนถึงลูกบาศก์ของ): ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$${\displaystyle (2^{p}-1)}$${\displaystyle 2^{p}-1}$${\displaystyle 2^{p-1}}$${\displaystyle {\tfrac {2^{p}+1}{3}}}$${\displaystyle 2^{\frac {p-1}{2}}}$${\displaystyle 2^{\frac {p+1}{2}}-1}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}6&=2^{1}(2^{2}-1)&&=1+2+3,\\[8pt]28&=2^{2}(2^{3}-1)&&=1+2+3+4+5+6+7\\&&&=1^{3}+3^{3}\\[8pt]496&=2^{4}(2^{5}-1)&&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}\\[8pt]8128&=2^{6}(2^{7}-1)&&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}\\[8pt]33550336&=2^{12}(2^{13}-1)&&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}\end{alignedat}}}$$

จำนวนคู่สมบูรณ์ (ยกเว้น 6) อยู่ในรูปแบบ $${\displaystyle T_{2^{p}-1}=1+{\frac {(2^{p}-2)\times (2^{p}+1)}{2}}=1+9\times T_{(2^{p}-2)/3}}$$

โดยแต่ละจำนวนสามเหลี่ยมที่ได้T ₇ = 28 , T ₃₁ = 496 , T ₁₂₇ = 8128 (หลังจากลบ 1 ออกจากจำนวนสมบูรณ์และหารผลลัพธ์ด้วย 9) ลงท้ายด้วย 3 หรือ 5 ลำดับเริ่มต้นด้วยT ₂ = 3 , T ₁₀ = 55 , T ₄₂ = 903 , T ₂₇₃₀ = 3727815, ... ^{[ 17 ]}เป็นผลว่าโดยการบวกตัวเลขของจำนวนสมบูรณ์คู่ใดๆ (ยกเว้น 6) จากนั้นบวกตัวเลขของจำนวนที่ได้ และทำซ้ำกระบวนการนี้จนกว่าจะได้ตัวเลขหลักเดียว (เรียกว่ารากดิจิทัล ) จะได้ผลลัพธ์เป็นเลข 1 เสมอ ตัวอย่างเช่น รากดิจิทัลของ 8128 คือ 1 เพราะ8 + 1 + 2 + 8 = 19 , 1 + 9 = 10และ1 + 0 = 1 วิธีนี้ใช้ได้กับจำนวนสมบูรณ์ทั้งหมด ที่มี pเป็นจำนวนเฉพาะคี่และที่จริงแล้วใช้ได้กับ จำนวน ทั้งหมดที่มีรูปแบบสำหรับจำนวนเต็มคี่ (ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเฉพาะ) mด้วย ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$${\displaystyle 2^{m-1}(2^{m}-1)}$

เนื่องจากลักษณะเฉพาะของจำนวนคู่สมบูรณ์ทุกจำนวน จึงสามารถแทนค่าในรูปเลขฐานสองได้ด้วย เลข 1 จำนวน pตัว ตามด้วย เลข 0 จำนวน p − 1ตัว ตัวอย่างเช่น: ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1),}$

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}6_{10}=&2^{2}+2^{1}&=110_{2}\\28_{10}=&2^{4}+2^{3}+2^{2}&=11100_{2}\\496_{10}=&2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}&=111110000_{2}\\8128_{10}=&\!\!2^{12}+2^{11}+2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}\!\!&=1111111000000_{2}\end{array}}}$$

ดังนั้น จำนวนคู่สมบูรณ์ทุกจำนวนจึงเป็นจำนวนที่เป็นอันตราย

จำนวนคู่สมบูรณ์แบบทุกจำนวนล้วนเป็นจำนวนที่ใช้งานได้จริง ด้วย

ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่ามีจำนวนสมบูรณ์คี่อยู่หรือไม่ แม้ว่าจะได้ผลลัพธ์ต่างๆ มาแล้วก็ตาม ในปี ค.ศ. 1496 Jacques Lefèvreกล่าวว่ากฎของยูคลิดให้จำนวนสมบูรณ์ทั้งหมด^{[ 18 ]}ดังนั้นจึงหมายความว่าไม่มีจำนวนสมบูรณ์คี่อยู่ แต่ Euler เองก็กล่าวว่า "ไม่ว่า...จะมีจำนวนสมบูรณ์คี่หรือไม่นั้นเป็นคำถามที่ยากมาก" ^{[ 19 ]}เมื่อไม่นานมานี้Carl Pomeranceได้นำเสนอข้อโต้แย้งเชิงอนุมานที่ชี้ให้เห็นว่าแท้จริงแล้วไม่ควรมีจำนวนสมบูรณ์คี่อยู่^{[ 20 ]}จำนวนสมบูรณ์ทั้งหมดเป็นจำนวนตัวหารฮาร์มอนิก ด้วย และมีการคาดเดาเช่นกันว่าไม่มีจำนวนตัวหารฮาร์มอนิกคี่อื่นใดนอกจาก 1

จำนวนสมบูรณ์คี่ใดๆNจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

• N > 10 ¹⁵⁰⁰ . ^{[ 21 ]}
• Nไม่สามารถหารด้วย 105 ลงตัว^{[ 22 ]}
• Nอยู่ในรูปแบบN ≡ 1 (mod 12) หรือN ≡ 117 (mod 468) หรือN ≡ 81 (mod 324) ^{[ 23 ]}
• กำลังของจำนวนเฉพาะ^ที่ใหญ่ที่สุดp ^aที่หารN ลงตัว มีค่ามากกว่า 10 ^{62 [} 21 ^]
• ตัวประกอบเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดของ^Nมีค่ามากกว่า 10 ⁸ [ ^{24 ]}และน้อยกว่า^{[ 25 ]}${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3N}}.}$
• ^{ตัวประกอบเฉพาะที่ใหญ่เป็นอันดับสองมี ค่า}มากกว่า 10 ⁴ [ ^{26 ]}และน้อยกว่า^{[ 27 ]}${\displaystyle {\sqrt[{5}]{2N}}}$
• ตัวประกอบเฉพาะที่ใหญ่เป็นอันดับสามมีค่ามากกว่า 100 ^{[ 28 ]}และน้อยกว่า^{[ 29 ]}${\displaystyle {\sqrt[{6}]{2N}}.}$
• Nมีตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อย 101 ตัว และมีตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกันอย่างน้อย 10 ตัว^{[ 21 ] [ 30 ]} ถ้า 3 หาร Nไม่ลงตัวแสดงว่าNมีตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกันอย่างน้อย 12 ตัว^{[ 31 ]}
• Nมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}},}$

ที่ไหน:

• q ,  p ₁ , ...,  p _kเป็นจำนวนเฉพาะคี่ที่แตกต่างกัน (ออยเลอร์)
• q ≡ α ≡ 1 ( mod 4) (ออยเลอร์)
• ตัวประกอบเฉพาะที่เล็กที่สุดของNมีค่าสูงสุด^{[ 32 ]}${\textstyle {\frac {k-1}{2}}.}$
• ${\displaystyle N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}}$^{[ 33 ] [ 34 ]}
• ${\textstyle \alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {99k-224}{37}}}$[ ^{32 ] [ 35 ] [ 36 ]​}
• ${\displaystyle qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}}$[ ^{37 ]​}
• ${\textstyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p_{1}}}+{\frac {1}{p_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{p_{k}}}<\ln 2}$[ ^{38 ] [ 39 ]​}

นอกจากนี้ ยังมีผลลัพธ์เล็กน้อยบางประการที่ทราบเกี่ยวกับเลขชี้กำลัง e ₁ , ...,  e _kอีก ด้วย

• ไม่ใช่ว่าe _i ทั้งหมด  ≡ 1 ( mod 3) ^{[ 40 ]}
• ไม่ใช่ว่าe _i ทั้งหมด  ≡ 2 ( mod 5) ^{[ 41 ]}
• ถ้าe _i ทั้งหมด  ≡ 1 ( mod 3) หรือ 2 ( mod 5) แล้วตัวประกอบเฉพาะที่เล็กที่สุดของNจะต้องอยู่ระหว่าง 10 ⁸และ10 ^{1000 [ 41 ]}
• โดยทั่วไป หาก 2 e _i +1 ทั้งหมดมีตัวประกอบเฉพาะในเซตจำกัดS ที่กำหนด ตัวประกอบเฉพาะที่เล็กที่สุดของNจะต้องเล็กกว่าค่าคงที่ที่คำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพซึ่งขึ้นอยู่กับ^Sเท่านั้น [ ^{41 ]}
• ถ้า ( e ₁ , ...,  e _{k ) = (1,} ^... , 1, 2, ..., 2) โดยมีtเป็นเลขหนึ่งและuเป็นเลขสอง แล้ว^[ 42 ^]${\textstyle {\frac {t-1}{4}}\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}}$
• ( อี₁ , ...,  อี_เค ) ≠ (1, ..., 1, 3), ^{[ 43 ]} (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6) ^{[ 44 ]}
• ถ้าe ₁ = ... = e _k = eแล้ว
  • eไม่สามารถเป็น 3, ^{[ 45 ]} 5, 24, ^{[ 46 ]} 6, 8, 11, 14 หรือ 18 ได้^{[ 44 ]}
  • ${\displaystyle k\leq 2e^{2}+8e+2}$[ ^{47 ]​}

ในปี พ.ศ. 2431 ซิลเวสเตอร์กล่าวว่า: ^{[ 48 ]}

...การใคร่ครวญเรื่องนี้อย่างยาวนานทำให้ผมมั่นใจว่า การมีอยู่ของจำนวนสมบูรณ์คี่ใดๆ ก็ตาม—การหลุดพ้นจากเงื่อนไขอันซับซ้อนที่ล้อมรอบมันไว้ในทุกด้าน—นั้นแทบจะเป็นปาฏิหาริย์เลยทีเดียว

ในทางกลับกัน จำนวนเต็มคี่หลายจำนวนก็ใกล้เคียงกับจำนวนสมบูรณ์ เรเน่ เดส์การ์ตส์ สังเกตว่าจำนวนD = 3 ² ⋅ 7 ² ⋅ 11 ² ⋅ 13 ² ⋅ 22021 = (3⋅1001) ² ⋅ (22⋅1001 − 1) = 198585576189จะเป็นจำนวนสมบูรณ์คี่ก็ต่อเมื่อ22021 (= 19 ² ⋅ 61)เป็นจำนวนเฉพาะเท่านั้น จำนวนคี่ที่มีคุณสมบัตินี้ (จะเป็นจำนวนสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อตัวประกอบประกอบตัวใดตัวหนึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ) คือจำนวนเดส์การ์ตส์คุณสมบัติหลายอย่างที่พิสูจน์เกี่ยวกับจำนวนสมบูรณ์คี่ก็ใช้ได้กับจำนวนเดส์การ์ตส์เช่นกัน และเพซ นีลเซ่น ได้แนะนำว่าการศึกษาจำนวนเหล่านี้อย่างเพียงพออาจนำไปสู่การพิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนสมบูรณ์คี่อยู่จริง^{[ 49 ]}

จำนวนสมบูรณ์คู่ทั้งหมดมีรูปแบบที่แม่นยำมาก ส่วนจำนวนสมบูรณ์คี่นั้นอาจไม่มีอยู่จริงหรือมีอยู่น้อยมาก มีผลลัพธ์เกี่ยวกับจำนวนสมบูรณ์อยู่หลายอย่างที่พิสูจน์ได้ค่อนข้างง่าย แต่ดูน่าประทับใจในแง่ผิวเผิน และบางส่วนของผลลัพธ์เหล่านั้นก็อยู่ภายใต้กฎแห่งจำนวนน้อยของริชาร์ด กาย ด้วย เช่น กัน

• จำนวนคู่สมบูรณ์เพียงจำนวนเดียวในรูปแบบn ³  + 1 คือ 28 ( Makowski 1962 ) ^{[ 50 ]}
• 28 ยังเป็นจำนวนคู่สมบูรณ์เพียงจำนวนเดียวที่เป็นผลรวมของลูกบาศก์บวกสองจำนวนของจำนวนเต็ม ( Gallardo 2010 ) ^{[ 51 ]}
• ส่วนกลับของตัวหารของจำนวนสมบูรณ์Nต้องรวมกันได้เท่ากับ 2 (เพื่อให้ได้ค่านี้ ให้ใช้คำนิยามของจำนวนสมบูรณ์ แล้วหารทั้งสองข้างด้วยn ): ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$
  • สำหรับข้อ 6 เรามี;${\textstyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}}={\frac {1}{6}}+{\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}+{\frac {6}{6}}={\frac {1+2+3+6}{6}}={\frac {2\cdot 6}{6}}=2}$
  • สำหรับข้อ 28 เรามีฯลฯ${\textstyle {\frac {1}{28}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}}=2}$
• จำนวนตัวหารของจำนวนสมบูรณ์ (ไม่ว่าจะเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่) ต้องเป็นจำนวนคู่ เพราะNไม่สามารถเป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้^{[ 52 ]}
  • จากผลลัพธ์ทั้งสองนี้ สรุปได้ว่าจำนวนสมบูรณ์ทุกจำนวนเป็นจำนวนฮาร์มอนิกของโอเร
• จำนวนสมบูรณ์คู่ไม่ใช่จำนวนสี่เหลี่ยมคางหมูกล่าวคือ ไม่สามารถแสดงเป็นผลต่างของจำนวนสามเหลี่ยมบวก สองจำนวนที่ไม่ต่อเนื่องกัน ได้ มีเพียงสามประเภทของจำนวนที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมคางหมู ได้แก่ จำนวนสมบูรณ์คู่ กำลังของสอง และจำนวนในรูปแบบที่เกิดจากการคูณจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์กับกำลังของสองในลักษณะเดียวกับการสร้างจำนวนสมบูรณ์คู่จากจำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์^{[ 53 ]}${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}+1)}$${\displaystyle 2^{n}+1}$
• จำนวนของจำนวนสมบูรณ์ที่น้อยกว่าnมีค่าน้อยกว่าโดยที่c > 0 เป็นค่าคงที่^{[ 54 ]}ในความเป็นจริงแล้วคือโดยใช้สัญลักษณ์little-o ^{[ 55 ]}${\displaystyle c{\sqrt {n}}}$${\displaystyle o({\sqrt {n}})}$
• จำนวนคู่สมบูรณ์ทุกจำนวนจะลงท้ายด้วย 6 หรือ 28 ในระบบฐานสิบ และยกเว้น 6 จะลงท้ายด้วย 1 ในระบบฐานเก้า^{[ 56 ] [ 57 ]}ดังนั้นรากของจำนวนคู่สมบูรณ์ทุกจำนวน ยกเว้น 6 จึงเท่ากับ 1
• จำนวนสมบูรณ์ ที่ไม่มีกำลังสอง เพียงจำนวน เดียวคือ 6 ^{[ 58 ]}

ผลรวมของตัวหารแท้ให้จำนวนประเภทอื่นๆ อีกหลายประเภท จำนวนที่ผลรวมน้อยกว่าจำนวนนั้นเองเรียกว่าจำนวนขาดแคลนและจำนวนที่ผลรวมมากกว่าจำนวนนั้นเรียกว่า จำนวนอุดมสมบูรณ์คำศัพท์เหล่านี้ รวมทั้งคำว่า"สมบูรณ์ " มาจากศาสตร์แห่งตัวเลข ของกรีก คู่ของจำนวนที่ผลรวมของตัวหารแท้ของกันและกันเรียกว่า จำนวนที่เป็นมิตรและวงจรของจำนวนที่ใหญ่กว่านั้นเรียกว่า จำนวนที่เข้ากันได้จำนวนเต็มบวกที่จำนวนเต็มบวกที่เล็กกว่าทุกจำนวนเป็นผลรวมของตัวหารที่แตกต่างกันของมันเรียกว่าจำนวนเชิงปฏิบัติ

ตามนิยามแล้ว จำนวนสมบูรณ์คือจุดคงที่ของฟังก์ชันตัวหารแบบจำกัดs ( n ) = σ ( n ) − nและลำดับส่วนย่อย ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนสมบูรณ์คือลำดับคงที่ จำนวนสมบูรณ์ทั้งหมดเป็น จำนวนสมบูรณ์ -perfect หรือจำนวนแกรนวิลล์ ด้วย${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

จำนวนกึ่งสมบูรณ์ (Semiperfect number)คือจำนวนธรรมชาติที่เท่ากับผลรวมของตัวหารแท้ทั้งหมดหรือบางส่วนของมัน ส่วนจำนวนกึ่งสมบูรณ์ที่เท่ากับผลรวมของตัวหารแท้ทั้งหมดของมันคือจำนวนสมบูรณ์ (Perfect number) จำนวนมากมายส่วนใหญ่เป็นจำนวนกึ่งสมบูรณ์ ส่วนจำนวนมากมายที่ไม่ใช่จำนวนกึ่งสมบูรณ์เรียกว่าจำนวนประหลาด (Weird numbers )

• เลขตัวหารฮาร์มอนิก
• เลขไฮเปอร์เพอร์เฟค
• กลุ่มเลนสเตอร์
• รายชื่อจำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์และจำนวนสมบูรณ์
• คูณจำนวนสมบูรณ์
• ตัวเลขที่สมบูรณ์แบบขั้นสุดยอด
• จำนวนสมบูรณ์เอกภาพ

• Nankar, ML: "ประวัติศาสตร์ของตัวเลขที่สมบูรณ์แบบ", Ganita Bharati 1, no. 1–2 (1979), 7–8
• Hagis, P. (1973). "ขอบเขตล่างสำหรับเซตของจำนวนเฉพาะสมบูรณ์คี่" . คณิตศาสตร์ของการคำนวณ . 27 (124): 951– 953. doi : 10.2307/2005530 . JSTOR  2005530 .
• Riele, HJJ "จำนวนสมบูรณ์และลำดับการแบ่งส่วน" ใน HW Lenstra และ R. Tijdeman (บรรณาธิการ): วิธีการคำนวณในทฤษฎีจำนวนเล่มที่ 154 อัมสเตอร์ดัม 1982 หน้า 141–157
• Riesel, H. จำนวนเฉพาะและวิธีการทางคอมพิวเตอร์สำหรับการแยกตัวประกอบ , Birkhauser, 1985.
• ซานดอร์, โยซเซฟ; เครสติซี, โบริสลาฟ (2004) คู่มือทฤษฎีจำนวน II ดอร์เดรชท์: Kluwer Academic. หน้า  15 –98. ไอเอสบีเอ็น 1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001 .

• "จำนวนสมบูรณ์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• เดวิด โมวส์: ตัวเลขที่สมบูรณ์แบบ เป็นมิตร และเข้ากับคนง่าย
• จำนวนสมบูรณ์ – ประวัติศาสตร์และทฤษฎี
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "จำนวนสมบูรณ์" . แมธเวิลด์ .
• ลำดับ OEIS A000396 (จำนวนสมบูรณ์)
• สุดยอดอินเทอร์เน็ต Mersenne Prime Search (GIMPS)
• จำนวนสมบูรณ์ (Perfect Numbers)ฟอรัมคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยเดร็กเซล
• Grimes, James. "8128: เลขสมบูรณ์แบบ" . Numberphile . Brady Haran . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2013-05-31 . เรียกดูเมื่อ2013-04-02 .