ปัญหาผลรวมของลูกบาศก์สี่ลูก^{[ 1 ]}ถามว่าจำนวนเต็ม ทุกจำนวน เป็นผลรวมของลูกบาศก์ สี่ลูก ของจำนวนเต็มหรือไม่ มีการคาดการณ์ว่าคำตอบคือใช่^{[ 2 ]}แต่การคาดการณ์นี้ยังไม่ได้รับการพิสูจน์หรือหักล้าง อย่างน้อยก็จากรายงานในปี 1982 โดย Philippe Revoy ^{[ 3 ]}และอีกครั้งในปี 2004 โดยHenri Cohen [ ^{4 ] ลูกบาศก์}บางลูกอาจเป็นจำนวนลบซึ่งแตกต่างจากปัญหาของ Waringเกี่ยวกับผลรวมของลูกบาศก์ ซึ่งจำเป็นต้องเป็นจำนวนบวก

คำถามนี้ได้รับการตอบแล้วสำหรับจำนวนเต็มบางประเภท โดยพิสูจน์ในแต่ละกรณีว่าจำนวนเต็มทุกจำนวนในประเภทนั้นสามารถแสดงเป็นผลรวมของกำลังสามของจำนวนเต็ม 4 ตัวได้ ไม่มีประเภทหรือจำนวนเฉพาะใดที่ทราบซึ่งพิสูจน์ได้ว่าเป็นไปไม่ได้^{[ 3 ] [ 4 ]}

ในปี พ.ศ. 2492 W. Sierpińskiและ A. Schinzel พิสูจน์ว่าจำนวนเต็มทั้งหมดในหมวดหมู่ต่อไปนี้สามารถแสดงเป็นผลรวมของลูกบาศก์จำนวนเต็ม 4 ตัวได้: ^{[ 2 ]}

• จำนวนเต็มที่สอดคล้องกับ 0 มอดูล 6
• จำนวนเต็มที่สอดคล้องกับ 3 มอดูล 6
• จำนวนเต็มที่สอดคล้องกับ 1 มอดูล 18
• จำนวนเต็มที่สอดคล้องกับ 7 มอดูล 18
• จำนวนเต็มที่สอดคล้องกับ 8 มอดูล 18

Sierpiński และ Schinzel ยังให้คำอธิบายว่าเอกลักษณ์ที่ใช้ในการพิสูจน์หมวดหมู่เหล่านี้สามารถใช้เพื่อสร้างเอกลักษณ์เสริมได้โดยการแทนที่ด้วยตลอดทั้งเอกลักษณ์ ซึ่งพิสูจน์ หมวดหมู่ ตรงข้ามกับเอกลักษณ์ดั้งเดิม^{[ 2 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle -x}$

โดยรวมแล้ว สิ่งนี้พิสูจน์ได้ว่าจำนวนเต็มทั้งหมด ยกเว้นจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับ ±2, ±4 และ ±5 มอดูล 18 สามารถแสดงเป็นผลรวมของลูกบาศก์ 4 ตัวได้^{[ 2 ]}

นอกจากนี้ Sierpiński และ Schinzel ยังได้จัดทำตารางแสดงวิธีแก้ปัญหาสำหรับจำนวนเต็มเฉพาะจำนวนมากในช่วง 2 ถึง 300 โดยระบุว่าตารางเหล่านี้ (นอกเหนือจากเอกลักษณ์และวิธีการก่อนหน้านี้ในเอกสาร) ร่วมกันพิสูจน์ว่าจำนวนเต็มทั้งหมดที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าหรือเท่ากับ 300 ยกเว้น ±148, ±257 และ ±284 สามารถแยกออกเป็นผลรวมของลูกบาศก์ 4 ตัวได้^{[ 2 ]}

ในปี พ.ศ. 2547 Henri Cohenได้สรุปผลลัพธ์เหล่านี้ให้ง่ายขึ้นโดยใช้เอกลักษณ์ต่อไปนี้ (ซึ่งบางส่วนเกือบจะเหมือนกับที่ Sierpiński และ Schinzel ใช้): ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}6x&=(x+1)^{3}+(x-1)^{3}-x^{3}-x^{3}\\6x+3&=x^{3}+(-x+4)^{3}+(2x-5)^{3}+(-2x+4)^{3}\\18x+1&=(2x+14)^{3}+(-2x-23)^{3}+ (-3x-26)^{3}+(3x+30)^{3}\\18x+7&=(x+2)^{3}+(6x-1)^{3}+(8x-2)^{3}+(-9x+2)^{3}\\18x+8&=(x-5)^{3}+(-x+14)^{3}+(-3x+29)^{3}+(3x-30)^{3}\ .\end{aligned}}}$$

ในปี พ.ศ. 2509 VA Demjanenkoได้ให้ข้อมูลระบุตัวตนดังต่อไปนี้: ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}54x+2&=(29484x^{2}+2211x+43)^{3}+(-29484x^{2}-2157x-41)^{3}+(9828x^{2}+485x+4)^{3}+(-9828x^{2}-971x-22)^{3}\\54x+20&=(3x-11)^{3}+(-3x+10)^{3}+(x+2)^{3}+(-x+7)^{3}\\21 6x-16&=(14742x^{2}-2157x+82)^{3}+(-14742x^{2}+2211x-86)^{3}+(4914x^{2}-971x+44)^{3}+(-4914x^{2}+485x-8)^{3}\\216x+92&=(3x-164)^{3}+(-3x+160)^{3}+(x-35)^{3}+(-x+71)^{3}\end{aligned}}}$$

เมื่อรวมกับเอกลักษณ์เสริมของพวกมัน สิ่งเหล่านี้พิสูจน์กรณี 18x±2 ยกเว้นจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับ 108x±38 Demjanenko ยังพิสูจน์กรณี 108x±38 ในบทความของเขาโดยใช้วิธีการขั้นสูงกว่า จึงพิสูจน์กรณี 18x±2 ได้อย่างสมบูรณ์^{[ 5 ]}

เมื่อพิจารณาผลลัพธ์นี้ร่วมกับผลลัพธ์ก่อนหน้านี้จาก Sierpiński และ Schinzel จะเหลือเพียงกรณี 18x±4 และ 18x±5 ที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ ซึ่งสามารถแสดงได้ง่ายกว่าในรูป 9x±4

Demjanenko ยังจัดทำตารางการแยกส่วนของตัวเลขเฉพาะจำนวนมากในกรณี 9x±4 ซึ่งเขาระบุว่าเป็นการขยายงานของ Sierpiński และ Schinzel เพื่อพิสูจน์ว่าจำนวนเต็มทั้งหมดที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าหรือเท่ากับ 1000 สามารถแยกส่วนเป็นผลรวมของลูกบาศก์ 4 ตัวได้^{[ 5 ]}

• ผลรวมของลูกบาศก์สามลูก