ในคณิตศาสตร์ของผลรวมของกำลังเป็นปัญหาที่ยังเปิดอยู่ในการกำหนดลักษณะของจำนวนที่สามารถแสดงเป็นผลรวมของลูกบาศก์ สามตัว ของจำนวนเต็ม โดยอนุญาตให้ลูกบาศก์ทั้งบวกและลบอยู่ในผลรวม เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับจำนวนเต็มที่จะเท่ากับผลรวมดังกล่าวคือจะต้องไม่เท่ากับ 4 หรือ 5 มอดูล 9 เพราะลูกบาศก์มอดูล 9 คือ 0, 1 และ −1 และไม่มีจำนวนสามตัวใดที่สามารถรวมกันได้ 4 หรือ 5 มอดูล 9 ^{[ 1 ]}ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าเงื่อนไขที่จำเป็นนี้เพียงพอหรือไม่ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ปัญหาดังกล่าวมีรูปแบบที่หลากหลาย เช่น ผลรวมของกำลังสามที่ไม่เป็นลบ และผลรวมของกำลังสามของจำนวนตรรกยะ จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถแสดงในรูปผลรวมของกำลังสามของจำนวนตรรกยะได้ แต่ยังไม่ทราบว่าผลรวมของกำลังสามที่ไม่เป็นลบนั้นเป็นเซตที่มีความหนาแน่นตามธรรมชาติ ที่ไม่เป็นศูนย์หรือ ไม่

การแสดง 0 ที่ไม่ใช่แบบธรรมดาในรูปผลรวมของลูกบาศก์สามลูก จะให้ตัวอย่างค้านสำหรับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สำหรับเลขชี้กำลังสาม เนื่องจากลูกบาศก์หนึ่งในสามลูกจะมีเครื่องหมายตรงข้ามกับอีกสองลูก และค่าลบของมันจะเท่ากับผลรวมของอีกสองลูก ดังนั้น ตาม การพิสูจน์ของ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ในกรณีนั้นของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์^{[ 2 ]}จึงมีเพียงคำตอบที่ไม่สำคัญเท่านั้น

${\displaystyle a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.}$

สำหรับการแสดงแทนค่า 1 และ 2 นั้น มีชุดคำตอบที่ไม่มีที่สิ้นสุด

${\displaystyle (9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1}$ (ค้นพบ^{[ 3 ]}โดย K. Mahler ในปี พ.ศ. 2479)

และ

${\displaystyle (1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2}$(ค้นพบ^{[ 4 ]}โดย AS Verebrusov ในปี พ.ศ. 2451 อ้างอิงโดย LJ Mordell ^{[ 5 ]} )

สิ่งเหล่านี้สามารถปรับขนาดเพื่อให้ได้ตัวแทนสำหรับลูกบาศก์ใดๆ หรือจำนวนใดๆ ที่เป็นสองเท่าของลูกบาศก์^{[ 5 ]} นอกจากนี้ยังมีตัวแทนอื่นๆ ที่รู้จักของ 2 ซึ่งไม่ได้กำหนดโดยตระกูลอนันต์เหล่านี้: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle 1\ 214\ 928^{3}+3\ 480\ 205^{3}+(-3\ 528\ 875)^{3}=2,}$

${\displaystyle 37\ 404\ 275\ 617^{3}+(-25\ 282\ 289\ 375)^{3}+(-33\ 071\ 554\ 596)^{3}=2,}$

${\displaystyle 3\ 737\ 830\ 626\ 090^{3}+1\ 490\ 220\ 318\ 001^{3}+(-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^{3}=2.}$

อย่างไรก็ตาม 1 และ 2 เป็นเพียงตัวเลขที่มีการแสดงแทนซึ่งสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ด้วยพหุนามกำลังสี่ดังที่กล่าวมาข้างต้น^{[ 5 ]} แม้แต่ในกรณีของการแสดงแทนของ 3 หลุยส์ เจ. มอร์เดลล์เขียนไว้ในปี 1953 ว่า "ฉันไม่รู้อะไรเลย" มากไปกว่าคำตอบเล็กๆ ของมัน

${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3}$

และข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนกำลังสามทั้งสามจำนวนจะต้องเท่ากันโมดูลัส 9 ^{[ 7 ] [ 8 ]}

นับตั้งแต่ปี 1955 และเริ่มต้นจากการริเริ่มของ Mordell ผู้เขียนหลายท่านได้นำการค้นหาเชิงคำนวณสำหรับการแสดงแทนเหล่านี้มา ใช้ ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 6 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} Elsenhans & Jahnel (2009)ใช้วิธีการของNoam Elkies  ( 2000 ) ที่เกี่ยวข้องกับการลดแลตทิซเพื่อค้นหาคำตอบทั้งหมดของสมการไดโอแฟนไทน์

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$

สำหรับค่าบวกไม่เกิน 1000 และสำหรับ[ ^{16 ] เหลือ}เพียง 33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 และ 975 เป็นปัญหาที่ยังเปิดอยู่ในปี 2009 สำหรับและ 192, 375 และ 600 ยังคงไม่มีวิธีแก้ปัญหาแบบดั้งเดิม (เช่น) หลังจากที่Timothy Browningได้กล่าวถึงปัญหานี้ในNumberphileในปี 2016 Huisman (2016)ได้ขยายการค้นหาเหล่านี้เพื่อแก้ปัญหากรณีของ 74 ด้วยวิธีแก้ปัญหา ${\displaystyle n}$${\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{14}}$${\displaystyle n\leq 1000}$${\displaystyle \gcd(x,y,z)=1}$${\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{15}}$

${\displaystyle 74=(-284\ 650\ 292\ 555\ 885)^{3}+66\ 229\ 832\ 190\ 556^{3}+283\ 450\ 105\ 697\ 727^{3}.}$

จากการค้นหาเหล่านี้ พบว่าจำนวนทั้งหมดที่ไม่เท่ากับ 4 หรือ 5 มอดูล 9 มีคำตอบ โดยมีข้อยกเว้นไม่เกินสองรายการ คือ 33 และ 42 ^{[ 17 ]}${\displaystyle n<100}$

อย่างไรก็ตาม ในปี 2019 แอนดรูว์ บุคเกอร์ได้ยุติคดีโดยการค้นพบว่า ${\displaystyle n=33}$

${\displaystyle 33=8\ 866\ 128\ 975\ 287\ 528^{3}+(-8\ 778\ 405\ 442\ 862\ 239)^{3}+(-2\ 736\ 111\ 468\ 807\ 040)^{3}.}$

เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ Booker ได้ใช้กลยุทธ์การค้นหาทางเลือกโดยใช้เวลาในการทำงานเป็นสัดส่วนกับค่าสูงสุด^{[ 18 ]}ซึ่งเป็นแนวทางที่ Heath-Brown et al. แนะนำไว้แต่เดิม^{[ 19 ]}เขายังพบว่า ${\displaystyle \min(|x|,|y|,|z|)}$

${\displaystyle 795=(-14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^{3}+14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^{3}+2\ 337\ 348\ 783\ 323\ 923^{3},}$

และพบว่าไม่มีทางออกสำหรับปัญหาดังกล่าวหรือปัญหาอื่นๆ ที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข ${\displaystyle n=42}$${\displaystyle n\leq 1000}$${\displaystyle |z|\leq 10^{16}}$

หลังจากนั้นไม่นาน ในเดือนกันยายน ปี 2019 บุคเกอร์และแอนดรูว์ ซัทเธอร์แลนด์ก็ยุติคดีในที่สุด โดยใช้เวลาประมวลผล 1.3 ล้านชั่วโมงบนโครงข่ายไฟฟ้าทั่วโลกของCharity Engineเพื่อค้นพบว่า ${\displaystyle n=42}$

${\displaystyle 42=(-80\ 538\ 738\ 812\ 075\ 974)^{3}+80\ 435\ 758\ 145\ 817\ 515^{3}+12\ 602\ 123\ 297\ 335\ 631^{3},}$

รวมถึงวิธีแก้ปัญหาสำหรับกรณีอื่นๆ ที่ไม่เคยรู้จักมาก่อนอีกหลายกรณี รวม^ถึงและสำหรับ^{[ 20} ]${\displaystyle n=165}$${\displaystyle 579}$${\displaystyle n\leq 1000}$

นอกจากนี้ บุ๊คเกอร์และซัทเธอร์แลนด์ยังพบการแสดงผลแบบที่สามของเลข 3 โดยใช้เวลาประมวลผลคอมพิวเตอร์เพิ่มเติมอีก 4 ล้านชั่วโมงบนเว็บไซต์ Charity Engine:

${\displaystyle 3=569\ 936\ 821\ 221\ 962\ 380\ 720^{3}+(-569\ 936\ 821\ 113\ 563\ 493\ 509)^{3}+(-472\ 715\ 493\ 453\ 327\ 032)^{3}.}$^{[ 20 ] [ 21 ]}

การค้นพบนี้ได้ยุติคำถามของ Louis J. Mordellที่มีอายุ 65 ปีซึ่งกระตุ้นให้เกิดการวิจัยมากมายเกี่ยวกับปัญหานี้^{[ 7 ]}

ในระหว่างการนำเสนอภาพแทนเลข 3 แบบที่สามในวิดีโอที่เขาปรากฏตัวในช่อง YouTube ชื่อ Numberphileบูเกอร์ยังได้นำเสนอภาพแทนเลข 906 อีกด้วย:

${\displaystyle 906=(-74\ 924\ 259\ 395\ 610\ 397)^{3}+72\ 054\ 089\ 679\ 353\ 378^{3}+35\ 961\ 979\ 615\ 356\ 503^{3}.}$^{[ 22 ]}

กรณีที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขที่เหลืออยู่จนถึง 1,000 มีเพียง 7 ตัวเลข ได้แก่ 114, 390, 627, 633, 732, 921 และ 975 และไม่มีวิธีแก้ปัญหาแบบดั้งเดิมที่ทราบ (เช่น) สำหรับ 192, 375 และ 600 ^{[ 20 ] [ 23 ]}${\displaystyle \gcd(x,y,z)=1}$

ปัญหาผลรวมของลูกบาศก์สามลูกได้รับความนิยมในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาโดยBrady Haranผู้สร้างช่องYouTube ชื่อ Numberphileโดยเริ่มจากวิดีโอในปี 2015 เรื่อง "ปัญหาที่ยังแก้ไม่ตกกับ 33" ซึ่งมีการสัมภาษณ์Timothy Browning [ ^{24 ] ตาม} มาด้วยวิดีโอ "74 แก้ได้แล้ว" หกเดือนต่อมา โดย Browning พูดคุยเกี่ยวกับการค้นพบวิธีแก้ปัญหาสำหรับ 74 ของ Huisman ในปี 2016 ^{[ 25 ]} ในปี 2019 Numberphile ได้เผยแพร่วิดีโอที่เกี่ยวข้องสามรายการ ได้แก่ "42 คือ 33 ตัวใหม่", "ปริศนาของ 42 ได้รับการแก้ไขแล้ว" และ "3 เป็นผลรวมของลูกบาศก์ 3 ลูก" เพื่อเป็นการระลึกถึงการค้นพบวิธีแก้ปัญหาสำหรับ 33, 42 และวิธีแก้ปัญหาใหม่สำหรับ 3 ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 22 ]}

วิธีแก้ปัญหาของ Booker สำหรับ 33 ได้รับการนำเสนอในบทความที่ปรากฏในQuanta Magazine ^{[ 28 ]}และNew Scientist ^{[ 29 ]}รวมถึงบทความในNewsweekซึ่งประกาศความร่วมมือของ Booker กับ Sutherland ว่า "...นักคณิตศาสตร์กำลังทำงานร่วมกับ Andrew Sutherland จาก MIT เพื่อพยายามหาคำตอบสำหรับตัวเลขที่ยังแก้ไม่ได้ตัวสุดท้ายที่ต่ำกว่าหนึ่งร้อย: 42" ^{[ 30 ]} ตัวเลข 42 ได้รับความสนใจจากสาธารณชนมากขึ้นเนื่องจากปรากฏในนวนิยายวิทยาศาสตร์เรื่องThe Hitchhiker's Guide to the Galaxy ของ Douglas Adams ในปี 1979 ในฐานะคำตอบของ คำถามสุดท้ายเกี่ยว กับ ชีวิต จักรวาล และทุกสิ่ง

การประกาศของ Booker และ Sutherland ^{[ 31 ] [ 32 ]}เกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาสำหรับ 42 ได้รับการรายงานข่าวจากสื่อต่างประเทศ รวมถึงบทความในNew Scientist , ^{[ 33 ]} Scientific American , ^{[ 34 ]} Popular Mechanics , ^{[ 35 ]} The Register , ^{[ 36 ]} Die Zeit , ^{[ 37 ]} Der Tagesspiegel , ^{[ 38 ]} Helsingin Sanomat , ^{[ 39 ]} Der Spiegel , ^{[ 40 ]} New Zealand Herald , ^{[ 41 ]} Indian Express , ^{[ 42 ]} Der Standard , ^{[ 43 ]} Las Provincias , ^{[ 44 ]} Nettavisen , ^{[ 45 ]} Digi24 , ^{[ 46 ]}และBBC World Service . ^{[ 47 ]} Popular Mechanicsตั้งชื่อวิธีแก้ปัญหาสำหรับ 42 ว่าเป็นหนึ่งใน "10 ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของปี 2019" ^{[ 48 ]}

การแก้ไขคำถามของมอร์เดลล์โดยบุ๊คเกอร์และซัทเธอร์แลนด์ในอีกไม่กี่สัปดาห์ต่อมาได้จุดประกายให้เกิดการรายงานข่าวอีกครั้ง^{[ 21 ] [ 49 ] [ 50 ] [ 51 ] [ 52 ] [ 53 ] [ 54 ]}

ในการบรรยายรับเชิญของบุ๊คเกอร์ในงานสัมมนาทฤษฎีจำนวนเชิงอัลกอริทึม ครั้งที่ 14 เขาได้กล่าวถึงความสนใจที่เป็นที่นิยมในปัญหานี้และปฏิกิริยาของสาธารณชนต่อการประกาศวิธีแก้ปัญหาสำหรับ 33 และ 42 ^{[ 55 ]}

ในปี 1992 Roger Heath-Brownตั้งข้อสันนิษฐานว่าทุกจำนวนที่ไม่เท่ากับ 4 หรือ 5 มอดูล 9 จะมีการแสดงแทนเป็นผลรวมของลูกบาศก์สามจำนวนได้ไม่จำกัด^{[ 56 ]} กรณีของปัญหานี้ถูกใช้โดยBjorn Poonenเป็นตัวอย่างเริ่มต้นในการสำรวจเกี่ยวกับปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินได้ในทฤษฎีจำนวนซึ่งปัญหาที่สิบของ Hilbertเป็นตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุด^{[ 57 ]}แม้ว่ากรณีเฉพาะนี้จะได้รับการแก้ไขแล้ว แต่ก็ยังไม่ทราบว่าการแสดงแทนจำนวนเป็นผลรวมของลูกบาศก์นั้นสามารถตัดสินได้หรือไม่ กล่าวคือ ไม่ทราบว่าอัลกอริทึมสามารถทดสอบได้ในเวลาจำกัดหรือไม่ สำหรับทุกอินพุต ว่าจำนวนที่กำหนดมีการแสดงแทนดังกล่าวหรือไม่ หากข้อสันนิษฐานของ Heath-Brown เป็นจริง ปัญหานั้นก็สามารถตัดสินได้ ในกรณีนี้ อัลกอริทึมสามารถแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องโดยการคำนวณมอดูล 9 ส่งคืนค่าเท็จเมื่อเป็น 4 หรือ 5 และส่งคืนค่าจริงในกรณีอื่น ๆ งานวิจัยของ Heath-Brown ยังรวมถึงการคาดการณ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้นเกี่ยวกับระยะทางที่อัลกอริทึมจะต้องค้นหาเพื่อหาตัวแทนที่ชัดเจนแทนที่จะเพียงแค่พิจารณาว่ามีอยู่หรือไม่^{[ 56 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n=33}$${\displaystyle n}$

ปัญหารูปแบบหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับปัญหาของ Waringต้องการการแสดงผลในรูปผลรวมของลูกบาศก์สามลูกของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ในศตวรรษที่ 19 Carl Gustav Jacob Jacobiและผู้ร่วมงานได้รวบรวมตารางคำตอบของปัญหานี้^{[ 58 ]}มีการคาดการณ์ว่าจำนวนที่สามารถแสดงแทนได้นั้นมีความหนาแน่นตามธรรมชาติ ที่เป็น บวก^{[ 59 ] [ 60 ]}สิ่งนี้ยังคงไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด แต่Trevor Wooleyได้แสดงให้เห็นว่าจำนวนตั้งแต่ ถึงมีการแสดงผลดังกล่าว^{[ 61 ] [ 62 ] [ 63 ]} ความหนาแน่นมี ค่าสูงสุด^{[ 1 ]}${\displaystyle \Omega (n^{0.917})}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Gamma (4/3)^{3}/6\approx 0.119}$

จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถแสดงเป็นผลรวมของลูกบาศก์สามลูกของจำนวนตรรกยะ (แทนที่จะเป็นผลรวมของลูกบาศก์ของจำนวนเต็ม) ^{[ 64 ] [ 65 ]}

• ปัญหาผลรวมของลูกบาศก์สี่ตัวว่าจำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นผลรวมของลูกบาศก์สี่ตัวหรือไม่
• ข้อสันนิษฐานของออยเลอร์เกี่ยวกับผลรวมของกำลัง § k = 3ซึ่งเกี่ยวข้องกับลูกบาศก์ที่สามารถเขียนได้เป็นผลรวมของลูกบาศก์บวกสามลูก
• จำนวนของเพลโตข้อความโบราณที่อาจกล่าวถึงสมการ^3³ + ^4³ + ^5³ = ^6³
• หมายเลขแท็กซี่คือจำนวนเต็มที่เล็กที่สุดที่สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของกำลังสามของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนใน n วิธีที่แตกต่างกัน

• คำตอบของn = x³ ⁺ y³ + ^z³สำหรับ 0 ≤ n ≤ 99 ^โดยฮิซาโนริ มิชิมะ
• สามลูกบาศก์ , แดเนียล เจ. เบิร์นสไตน์
• ผลรวมของลูกบาศก์สามจำนวน , Mathpages