ในพีชคณิตนามธรรมและทฤษฎีจำนวน ทฤษฎี ของคุมเมอร์ให้คำอธิบายเกี่ยวกับการขยายฟิลด์ บางประเภท ที่เกี่ยวข้องกับการเชื่อมต่อของ รากที่ nของสมาชิกในฟิลด์ พื้นฐาน ทฤษฎีนี้ได้รับการพัฒนาขึ้นครั้งแรกโดยเอิร์นส์ เอดเวิร์ด คุมเมอร์ในช่วงประมาณปี 1840 ในงานบุกเบิกของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ข้อความหลักไม่ขึ้นอยู่กับธรรมชาติของฟิลด์ – นอกเหนือจากลักษณะเฉพาะ ของมัน ซึ่งไม่ควรหารจำนวนเต็มn ลงตัว – ดังนั้นจึงจัดอยู่ในพีชคณิตนามธรรม ทฤษฎีการขยายแบบวัฏจักรของฟิลด์Kเมื่อลักษณะเฉพาะของK หาร nลงตัวเรียกว่าทฤษฎีอาร์ติน-ชไรเออร์

ทฤษฎีของ Kummer เป็นพื้นฐานสำคัญ เช่น ในทฤษฎีฟิลด์ชั้นและโดยทั่วไปในการทำความเข้าใจส่วนขยายแบบอาเบเลียนกล่าวคือ ในกรณีที่มีรากแห่งเอกภาพเพียงพอ ส่วนขยายแบบวัฏจักรสามารถเข้าใจได้ในแง่ของการดึงรากออกมา ภาระหลักในทฤษฎีฟิลด์ชั้นคือการกำจัดรากแห่งเอกภาพส่วนเกิน ('การลงไปสู่' ฟิลด์ที่เล็กกว่า) ซึ่งเป็นสิ่งที่ร้ายแรงกว่ามาก

ส่วนขยาย Kummerคือส่วนขยายฟิลด์L / Kโดยที่สำหรับจำนวนเต็มn > 1 ที่กำหนด เราจะได้ว่า

• Kประกอบด้วย รากที่ n ของเอกภาพที่แตกต่างกันnตัว(กล่าวคือ รากของX ⁿ − 1)
• L / Kมีกลุ่มGalois แบบอาเบเลียน ที่มีเลขชี้กำลังn

ตัวอย่างเช่น เมื่อn = 2 เงื่อนไขแรกจะเป็นจริงเสมอหากKมีลักษณะเฉพาะ ≠ 2 ส่วนขยายของ Kummer ในกรณีนี้รวมถึงส่วนขยายกำลังสอง โดยที่aในKเป็นองค์ประกอบที่ไม่ใช่กำลังสอง ตามการแก้สมการกำลังสอง ตามปกติ ส่วนขยายใดๆ ที่มีดีกรี 2 ของKจะมีรูปแบบนี้ ส่วนขยายของ Kummer ในกรณีนี้ยังรวมถึงส่วนขยายกำลังสองสองตัว และ ส่วนขยายกำลังสองหลายตัวที่ทั่วไปกว่าเมื่อKมีลักษณะเฉพาะ 2 จะไม่มีส่วนขยายของ Kummer ดังกล่าว ${\displaystyle L=K({\sqrt {a}})}$

เมื่อกำหนดให้n = 3 จะไม่มีส่วนขยาย Kummer ระดับ 3 ของฟิลด์จำนวนตรรกยะQเนื่องจากต้องใช้จำนวนเชิงซ้อน ที่ ^{มี รากที่สามของ 1 สามตัว ถ้าเรากำหนดให้} Lเป็นฟิลด์แยกส่วนของX³ − aเหนือQโดยที่aไม่ใช่กำลังสามของจำนวนตรรกยะ แล้วLจะมีฟิลด์ย่อยKที่มีรากที่สามของ 1 สามตัว นั่นเป็นเพราะว่าถ้า α และ β เป็นรากของพหุนามกำลังสาม เราจะได้ (α/β) ^³ = 1 และพหุนามกำลังสามเป็นพหุนามที่แยกส่วนได้ดังนั้นL / K จึง เป็นส่วนขยาย Kummer

โดยทั่วไปแล้ว เป็นความจริงที่ว่าเมื่อKประกอบด้วย รากที่ n ของเอกภาพ ที่แตกต่างกันnตัว ซึ่งหมายความว่าลักษณะเฉพาะของKไม่หารnลงตัว การเพิ่มรากที่ n ของสมาชิกใดๆ a ของ K เข้าไปในK จะสร้างส่วนขยายKummer (ดีกรีmสำหรับm บางตัว ที่หารn ลงตัว ) เนื่องจากเป็นฟิลด์แยกส่วนของพหุนามX ⁿ − aส่วนขยาย Kummer จึงจำเป็นต้องเป็นGaloisโดยมีกลุ่ม Galois ที่เป็นกลุ่มวัฏจักรอันดับmการติดตามการกระทำของ Galois ทำได้ง่ายผ่านทางรากที่ n ของเอกภาพที่อยู่ข้างหน้า${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}.}$

ทฤษฎีของ Kummerให้ข้อความผกผัน เมื่อKประกอบด้วย รากที่ n ของเอกภาพ ที่แตกต่างกันnตัว ทฤษฎีนี้กล่าวว่าการขยายแบบอาเบเลียน ใดๆ ของKที่มีเลขชี้กำลังหารnลงตัว จะเกิดขึ้นได้จากการดึงรากของสมาชิกในK ออกมา ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าK ^×แทนกลุ่มการคูณของสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ของKการขยายแบบอาเบเลียนของKที่มีเลขชี้กำลังnจะสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับกลุ่มย่อยของ

${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

นั่นคือ องค์ประกอบของK ^× มอดูล กำลังที่ nความสัมพันธ์นี้สามารถอธิบายได้อย่างชัดเจนดังต่อไปนี้ กำหนดให้กลุ่มย่อย

${\displaystyle \Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

ส่วนขยายที่เกี่ยวข้องกำหนดโดย

${\displaystyle K\left(\Delta ^{\frac {1}{n}}\right),}$

ที่ไหน

${\displaystyle \Delta ^{\frac {1}{n}}=\left\{{\sqrt[{n}]{a}}:a\in K^{\times },a\cdot \left(K^{\times }\right)^{n}\in \Delta \right\}.}$

อันที่จริงแล้ว การต่อ รากที่ nของตัวแทนหนึ่งตัวของแต่ละองค์ประกอบในชุดตัวสร้างใดๆ ของกลุ่ม Δ ก็เพียงพอแล้ว ในทางกลับกัน ถ้าLเป็นส่วนขยาย Kummer ของKแล้ว Δ จะถูกกู้คืนโดยใช้กฎ

${\displaystyle \Delta =\left(K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}\right)/(K^{\times })^{n}.}$

ในกรณีนี้มีไอโซมอร์ฟิซึม

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$

มอบให้โดย

${\displaystyle a\mapsto \left(\sigma \mapsto {\frac {\sigma (\alpha )}{\alpha }}\right),}$

โดยที่ α คือราก ที่ n ใดๆ ของ aในLในที่นี้หมายถึงกลุ่มการคูณของ รากที่ nของเอกภาพ (ซึ่งอยู่ในK ) และคือกลุ่มของโฮโมมอร์ฟิซึมต่อเนื่องจาก ที่มีโทโพโลยีแบบ Krullไปยังที่มีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง (โดยการดำเนินการของกลุ่มกำหนดโดยการคูณแบบจุดต่อจุด) กลุ่มนี้ (ที่มีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง) สามารถมองได้ว่าเป็นคู่แบบ Pontryaginของโดยสมมติว่าเราถือว่าเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มวงกลมถ้าส่วนขยายL / Kเป็นกลุ่มจำกัด แล้วคือกลุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง จำกัด และเรามี ${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})\cong \operatorname {Gal} (L/K),}$

อย่างไรก็ตาม ไอโซมอร์ฟิซึมสุดท้ายนั้นไม่เป็น ธรรมชาติ

สำหรับจำนวนเฉพาะ ให้เป็นฟิลด์ที่ประกอบด้วยและ เป็นส่วนขยายกาโลอิสที่ มี ดีกรี โปรดสังเกตว่ากลุ่มกาโลอิสเป็นกลุ่มวัฏจักรที่สร้างขึ้นโดยให้ ${\displaystyle p}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \zeta _{p}}$${\displaystyle K(\beta )/K}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \alpha =\sum _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{l}\sigma ^{l}(\beta )\in K(\beta )}$

ถ้าเราเลือกอย่างเหมาะสม (ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็น ฐานปกติ ) แล้วและ ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \{\sigma ^{i}(\beta )\}_{i=0}^{p-1}}$${\displaystyle \alpha \neq 0}$

${\displaystyle \zeta _{p}\sigma (\alpha )=\sum _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{l+1}\sigma ^{l+1}(\beta )=\alpha .}$

ดังนั้น จึงเป็นเช่นนั้นและ ${\displaystyle \alpha \neq \sigma (\alpha )}$${\displaystyle K(\alpha )=K(\beta )}$

${\displaystyle \alpha ^{p}=\pm \prod _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{-l}\alpha =\pm \prod _{l=0}^{p-1}\sigma ^{l}(\alpha )=\pm N_{K(\beta )/K}(\alpha )\in K}$,

โดยที่เครื่องหมาย จะเป็นถ้าเป็นเลขคี่และถ้า${\displaystyle \pm }$${\displaystyle +}$${\displaystyle p}$${\displaystyle -}$${\displaystyle p=2}$

เมื่อใดที่ส่วนขยายอาเบเลียนที่มีดีกรีเป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง โดยที่ให้ใช้เหตุผลเดียวกันกับฟิลด์ย่อยกาโลอิสที่มีดีกรีเพื่อให้ได้ ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle n=\prod _{j=1}^{m}p_{j}}$${\displaystyle \zeta _{n}\in K}$${\displaystyle K(\beta _{j})/K}$${\displaystyle p_{j}}$

${\displaystyle L=K\left(a_{1}^{1/p_{1}},\ldots ,a_{m}^{1/p_{m}}\right)=K\left(A^{1/p_{1}},\ldots ,A^{1/p_{m}}\right)=K\left(A^{1/n}\right)}$

ที่ไหน

${\displaystyle A=\prod _{j=1}^{m}a_{j}^{n/p_{j}}\in K}$.

หนึ่งในเครื่องมือหลักของทฤษฎี Kummer คือแผนที่ Kummer ให้เป็นจำนวนเต็มบวกและให้เป็นฟิลด์ที่ไม่จำเป็นต้องมีรากที่ n ของเอกภาพให้ แทนการปิดเชิงพีชคณิตของจะมีลำดับที่แน่นอนสั้นๆ${\displaystyle m}$${\displaystyle K}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {\overline {K}}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} {\overline {K}}^{\times }[m]\xrightarrow {} {\overline {K}}^{\times }\xrightarrow {z\mapsto z^{m}} {\overline {K}}^{\times }\xrightarrow {} 0}$

เมื่อเลือกส่วนขยายและใช้-โคฮอโมโลยี จะได้ลำดับดังนี้ ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle \mathrm {Gal} ({\overline {K}}/L)}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} L^{\times }/(L^{\times })^{m}\xrightarrow {} H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }[m]\right)\xrightarrow {} H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }\right)[m]\xrightarrow {} 0}$

โดยทฤษฎีบทที่ 90 ของฮิลเบิร์ต และด้วยเหตุนี้เราจึงได้ไอโซมอร์ฟิซึม นี่คือแผนที่คุมเมอร์ แผนที่เวอร์ชันนี้ยังมีอยู่เมื่อพิจารณาทั้งหมดพร้อมกัน กล่าวคือ เนื่องจากการหาลิมิตโดยตรงเหนือ จะ ได้ ไอโซมอร์ฟิซึม ${\displaystyle H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }\right)=0}$${\displaystyle \delta :L^{\times }/\left(L^{\times }\right)^{m}\xrightarrow {\sim } H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }[m]\right)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle L^{\times }/(L^{\times })^{m}=L^{\times }\otimes m^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle m}$

${\displaystyle \delta :L^{\times }\otimes \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \xrightarrow {\sim } H^{1}\left(L,{\overline {K}}_{tors}\right)}$,

โดยที่torsหมายถึงกลุ่มย่อยทอร์ชั่นของรากแห่งเอกภาพ

ทฤษฎีของ Kummer มักถูกนำมาใช้ในบริบทของเส้นโค้งวงรี ให้เป็นเส้นโค้งวงรีจะมีลำดับที่แน่นอนสั้นๆ ลำดับหนึ่ง ${\displaystyle E/K}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} E[m]\xrightarrow {} E\xrightarrow {P\mapsto m\cdot P} E\xrightarrow {} 0}$,

โดยการคูณด้วยแผนที่นั้นเป็นการส่งทั่วถึงเนื่องจากหารลงตัว การเลือกส่วนขยายเชิงพีชคณิตและการหาโคฮอโมโลยี เราจะได้ลำดับ Kummer สำหรับ: ${\displaystyle m}$${\displaystyle E}$${\displaystyle L/K}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} E(L)/mE(L)\xrightarrow {} H^{1}(L,E[m])\xrightarrow {} H^{1}(L,E)[m]\xrightarrow {} 0}$.

การคำนวณกลุ่มมอร์เดลล์-ไวล์แบบอ่อนเป็นส่วนสำคัญของการพิสูจน์ทฤษฎีบทมอร์เดลล์-ไวล์ การ ที่ค่า ไม่เป็นศูนย์เพิ่มความซับซ้อนที่สำคัญให้กับทฤษฎีนี้ ${\displaystyle E(L)/mE(L)}$${\displaystyle H^{1}(L,E)}$

สมมติว่าGเป็นกลุ่มโปรไฟไนต์ที่กระทำต่อโมดูลAด้วยโฮโมมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึง π จากโมดูลG Aไปยังตัวมันเอง สมมติด้วยว่าGกระทำอย่างไม่มีผลต่อเคอร์เนลCของ π และกลุ่มโคฮอโมโลยีแรก H ¹ ( G , A ) เป็นกลุ่มที่ไม่มีผล ดังนั้นลำดับที่แน่นอนของโคฮอโมโลยีกลุ่มแสดงให้เห็นว่ามีไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างA ^G /π( A ^G ) และ Hom( G , C )

ทฤษฎีของ Kummer เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีนี้ เมื่อAเป็นกลุ่มการคูณของส่วนปิดที่แยกได้ของฟิลด์k , Gเป็นกลุ่ม Galois, π เป็น แผนที่กำลังลำดับที่ nและCเป็นกลุ่มรากที่n ของเอกภาพ ส่วน ทฤษฎีของ Artin–Schreierเป็นกรณีพิเศษเมื่อAเป็นกลุ่มการบวกของส่วนปิดที่แยกได้ของฟิลด์kที่มีลักษณะเฉพาะเป็นบวกp , Gเป็นกลุ่ม Galois, π เป็นแผนที่ Frobeniusลบด้วยเอกลักษณ์ และCเป็นฟิลด์จำกัดอันดับpการกำหนดให้A เป็นกลุ่มการบวกของวงแหวนของเวกเตอร์ Witt ที่ถูกตัดทอน จะได้ทฤษฎี Artin–Schreier ทั่วไปของ Witt สำหรับ ส่วน ขยายของเลขชี้กำลังที่หารp ⁿ

• สนามกำลังสอง