ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งใน ทฤษฎี พีชคณิตของฟิลด์ฐานปกติ (normal basis) คือ ฐานชนิดพิเศษสำหรับส่วนขยายกาโลอิส (Galois extensions)ที่มีดีกรีจำกัด ซึ่งมีลักษณะเฉพาะคือเป็นวงโคจร เดียว สำหรับกลุ่มกาโลอิสทฤษฎีบทฐานปกติกล่าวว่าส่วนขยายกาโลอิสของฟิลด์ที่มีดีกรีจำกัดใดๆ ก็มีฐานปกติ ในทฤษฎีจำนวนพีชคณิตการศึกษาคำถามที่ละเอียดกว่าเกี่ยวกับการมีอยู่ของฐานจำนวนเต็มปกติเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎี โมดูลกาโลอิส

ให้K เป็นส่วนขยายกาโลอิสที่มีกลุ่มกาโลอิสทฤษฎีบทฐานปกติแบบคลาสสิกกล่าวว่ามีสมาชิก n ตัวที่ทำให้ n เป็นฐานของKซึ่งถือว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือFนั่นคือ สมาชิกใดๆสามารถเขียนได้ในรูป n ได้อย่างไม่ซ้ำกันสำหรับสมาชิกบางตัว${\displaystyle F\subset K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \beta \in K}$${\displaystyle \{g(\beta ):g\in G\}}$${\displaystyle \alpha \in K}$${\textstyle \alpha =\sum _{g\in G}a_{g}\,g(\beta )}$${\displaystyle a_{g}\in F.}$

ฐานปกติจะแตกต่างจาก ฐาน องค์ประกอบดั้งเดิมในรูปแบบโดยที่เป็นองค์ประกอบที่มีพหุนามขั้นต่ำที่มีดีกรี. ${\displaystyle \{1,\beta ,\beta ^{2},\ldots ,\beta ^{n-1}\}}$${\displaystyle \beta \in K}$${\displaystyle n=[K:F]}$

ส่วนขยายฟิลด์K / Fที่มีกลุ่มกาโลอิสGสามารถมองได้อย่างเป็นธรรมชาติว่าเป็นตัวแทนของกลุ่มGเหนือฟิลด์Fซึ่งแต่ละออโตมอร์ฟิซึมจะถูกแทนด้วยตัวมันเอง ตัวแทนของGเหนือฟิลด์Fสามารถมองได้ว่าเป็นโมดูลซ้ายสำหรับพีชคณิตกลุ่มF [ G ] โฮโมมอร์ฟิซึมทุกตัวของโมดูล ซ้าย F [ G ] อยู่ในรูปแบบสำหรับบางค่าเนื่องจากเป็นฐานเชิงเส้นของF [ G ] เหนือFจึงสรุปได้ง่ายว่าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงก็ต่อเมื่อ สร้างฐานปกติของKเหนือFทฤษฎีบทฐานปกติจึงเท่ากับข้อความที่กล่าวว่า ถ้าK / Fเป็นส่วนขยายกาโลอิสจำกัด แล้วเป็นโมดูลซ้ายในแง่ของตัวแทนของGเหนือFนี่หมายความว่าK เป็นไอโซมอ ร์ ฟิกกับตัวแทนปกติ${\displaystyle \phi :F[G]\rightarrow K}$${\displaystyle \phi (r)=r\beta }$${\displaystyle \beta \in K}$${\displaystyle \{1\cdot \sigma |\sigma \in G\}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle K\cong F[G]}$${\displaystyle F[G]}$

สำหรับฟิลด์จำกัดสามารถระบุได้ดังนี้: ^{[ 1 ]}ให้แทนฟิลด์ของสมาชิกq ตัว โดยที่ q = p ^mเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะและให้ แทนฟิลด์ส่วนขยายของฟิลด์นี้ที่ มีดีกรีn ≥ 1โดยที่กลุ่มกาโลอิสคือกลุ่มวัฏจักรที่สร้างขึ้นโดยออโตมอร์ฟิซึมโฟรเบนิ อุ ส กำลังqด้วยจากนั้นจะมีสมาชิกβ ∈ K อยู่ เช่นนั้น เป็นฐานของKเหนือF${\displaystyle F=\mathrm {GF} (q)=\mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle K=\mathrm {GF} (q^{n})=\mathbb {F} _{q^{n}}}$${\displaystyle G={\text{Gal}}(K/F)=\{1,\Phi ,\Phi ^{2},\ldots ,\Phi ^{n-1}\}}$${\displaystyle \Phi ^{n}=1,}$${\displaystyle \Phi (\alpha )=\alpha ^{q},}$${\displaystyle \Phi ^{n}=1=\mathrm {Id} _{K}.}$$${\displaystyle \{\beta ,\Phi (\beta ),\Phi ^{2}(\beta ),\ldots ,\Phi ^{n-1}(\beta )\}\ =\ \{\beta ,\beta ^{q},\beta ^{q^{2}},\ldots ,\beta ^{q^{n-1}}\!\}}$$

ในกรณีที่กลุ่มกาโลอิสเป็นกลุ่มวัฏจักรดังที่กล่าวมาข้างต้นทฤษฎีบทฐานปกติที่สร้างขึ้นโดยนั้นเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงพื้นฐานสองประการ ประการแรกคือความเป็นอิสระเชิงเส้นของอักขระ: อักขระแบบทวีคูณคือการแมปχจากกลุ่มHไปยังฟิลด์Kที่สอดคล้องกับ; จากนั้นอักขระที่แตกต่างกันใดๆจะเป็นอิสระเชิงเส้นใน ปริภูมิเวกเตอร์ Kของการแมป เราใช้สิ่งนี้กับออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่มกาโลอิสซึ่งคิดว่าเป็นการแมปจากกลุ่มแบบทวีคูณตอนนี้ ในฐานะ ปริภูมิเวกเตอร์ Fดังนั้นเราอาจพิจารณาว่าเป็นสมาชิกของพีชคณิตเมทริกซ์ M _n ( F ); เนื่องจากกำลังของมันเป็นอิสระเชิงเส้น (เหนือKและโดยเฉพาะอย่างยิ่งเหนือF ) พหุนามขั้นต่ำ ของมัน ต้องมีดีกรีอย่างน้อยnนั่นคือต้องเป็น ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi ^{n}=1,}$${\displaystyle \chi (h_{1}h_{2})=\chi (h_{1})\chi (h_{2})}$${\displaystyle \chi _{1},\chi _{2},\ldots }$${\displaystyle \chi _{i}=\พี ^{i}:K\to K,}$${\displaystyle H=K^{\times }}$${\displaystyle K\cong F^{n}}$${\displaystyle \Phi :F^{n}\to F^{n}}$${\displaystyle 1,\พี ,\ldots ,\พี ^{n-1}}$${\displaystyle X^{n}-1}$

ข้อเท็จจริงพื้นฐานข้อที่สองคือการจำแนกประเภทของโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดบน PIDเช่นทุกโมดูลM ดังกล่าว สามารถแสดงได้เป็น โดยที่อาจถูกเลือกให้เป็นพหุนามเอกลักษณ์หรือศูนย์ และเป็นพหุคูณของคือพหุนามเอกลักษณ์ที่มีดีกรีน้อยที่สุดที่ทำให้โมดูลเป็นศูนย์ หรือเป็นศูนย์หากไม่มีพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์ดังกล่าว ในกรณีแรกในกรณีที่สอง ในกรณีของเรา G แบบ วัฏจักรขนาดnที่สร้างขึ้นโดยเรามีการสมสัณฐานของพีชคณิตFโดยที่Xสอดคล้องกับดังนั้นทุกโมดูล อาจถูกมองว่าเป็นโมดูล โดยการคูณด้วยXคือการคูณด้วยในกรณีของKหมายความว่าดังนั้นพหุนามเอกลักษณ์ที่มีดีกรีน้อยที่สุดที่ทำให้K เป็นศูนย์ คือพหุนามขั้นต่ำของเนื่องจากK เป็นปริภูมิ Fมิติจำกัดการแสดงข้างต้นจึงเป็นไปได้ด้วยเนื่องจากเราสามารถมีได้เพียงและเป็น โมดูล F [ X ] เท่านั้น (หมายเหตุ นี่คือไอโซมอร์ฟิซึมของ ปริภูมิเชิงเส้น Fแต่ไม่ใช่ของวงแหวนหรือ พีชคณิต F ) สิ่งนี้ทำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมของโมดูลที่เราได้พูดถึงข้างต้น และภายใต้เงื่อนไขนี้ ฐานทางด้านขวาจะสอดคล้องกับฐานปกติของKทางด้านซ้าย ${\displaystyle F[X]}$${\textstyle M\cong \bigoplus _{i=1}^{k}{\frac {F[X]}{(f_{i}(X))}}}$${\displaystyle f_{i}(X)}$${\displaystyle f_{i+1}(X)}$${\displaystyle f_{i}(X)}$${\displaystyle f_{k}(X)}$${\textstyle \dim _{F}M=\sum _{i=1}^{k}\deg f_{i}}$${\displaystyle \dim _{F}M=\infty }$${\displaystyle \Phi }$${\textstyle F[G]\cong {\frac {F[X]}{(X^{n}-1)}}}$${\displaystyle 1\cdot \Phi }$${\displaystyle F[G]}$${\displaystyle F[X]}$${\displaystyle 1\cdot \Phi }$${\displaystyle X\alpha =\Phi (\alpha )}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle f_{k}(X)=X^{n}-1}$${\displaystyle \dim _{F}(K)=n,}$${\displaystyle k=1}$${\textstyle K\cong {\frac {F[X]}{(X^{n}{-}\,1)}}}$${\displaystyle F[G]}$${\displaystyle K\cong F[G]}$${\displaystyle \{1,X,X^{2},\ldots ,X^{n-1}\}}$${\displaystyle \{\beta ,\Phi (\beta ),\Phi ^{2}(\beta ),\ldots ,\Phi ^{n-1}(\beta )\}}$

โปรดทราบว่าการพิสูจน์นี้สามารถนำไปใช้ได้ในกรณีของการขยาย Kummer แบบวัฏจักรด้วยเช่น กัน

พิจารณาฟิลด์เหนือโดยมีออโตมอร์ฟิซึมแบบโฟรเบนิอุสการพิสูจน์ข้างต้นชี้แจงการเลือกฐานปกติในแง่ของโครงสร้างของKในฐานะตัวแทนของG (หรือ โมดูล F [ G ]) การแยกตัวประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ หมายความว่าเรามีผลรวมโดยตรงของโมดูลF [ G ] (โดย ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน ): ส่วนประกอบแรกคือในขณะที่ส่วนประกอบที่สองเป็นไอโซมอร์ฟิกใน ฐานะโมดูล F [ G ] กับ ภายใต้การกระทำ(ดังนั้นในฐานะ โมดูล F [ G ] แต่ไม่ใช่ในฐานะ พีชคณิต F ) ${\displaystyle K=\mathrm {GF} (2^{3})=\mathbb {F} _{8}}$${\displaystyle F=\mathrm {GF} (2)=\mathbb {F} _{2}}$${\displaystyle \Phi (\alpha )=\alpha ^{2}}$$${\displaystyle X^{n}-1\ =\ X^{3}-1\ =\ (X{-}1)(X^{2}{+}X{+}1)\ \in \ F[X]}$$$${\displaystyle K\ \cong \ {\frac {F[X]}{(X^{3}{-}\,1)}}\ \cong \ {\frac {F[X]}{(X{+}1)}}\oplus {\frac {F[X]}{(X^{2}{+}X{+}1)}}.}$$${\displaystyle F\subset K}$${\displaystyle \mathbb {F} _{2^{2}}\cong \mathbb {F} _{2}[X]/(X^{2}{+}X{+}1)}$${\displaystyle \Phi \cdot X^{i}=X^{i+1}.}$${\displaystyle K\cong \mathbb {F} _{2}\oplus \mathbb {F} _{4}}$

องค์ประกอบที่สามารถใช้เป็นฐานปกติได้คือองค์ประกอบที่อยู่นอกโมดูลย่อยทั้งสอง ดังนั้นและในแง่ของ วงโคจร GของKซึ่งสอดคล้องกับตัวประกอบที่ไม่สามารถแยกย่อยได้ของ: องค์ประกอบของคือรากขององค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ของโมดูลย่อยคือรากของในขณะที่ฐานปกติ ซึ่งในกรณีนี้มีเพียงหนึ่งเดียว จะได้มาจากรากของตัวประกอบที่เหลือ ${\displaystyle \beta \in K}$${\displaystyle (\Phi {+}1)(\beta )\neq 0}$${\displaystyle (\Phi ^{2}{+}\Phi {+}1)(\beta )\neq 0}$$${\displaystyle t^{2^{3}}-t\ =\ t(t{+}1)\left(t^{3}+t+1\right)\left(t^{3}+t^{2}+1\right)\ \in \ F[t],}$$${\displaystyle F=\mathbb {F} _{2}}$${\displaystyle t(t{+}1)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{4}}$${\displaystyle t^{3}+t+1}$${\displaystyle t^{3}{+}t^{2}{+}1}$

ในทางตรงกันข้าม สำหรับฟิลด์ส่วนขยายที่n = 4หารลงตัวด้วยp = 2เราจะมีไอโซมอร์ฟิซึมของโมดูล F [ G ] โดยที่ตัวดำเนินการไม่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้โมดูลLมีโมดูลย่อยซ้อนกันซึ่งกำหนดโดยปริภูมิไอเกนทั่วไปของและองค์ประกอบฐานปกติβคือองค์ประกอบที่อยู่นอกปริภูมิไอเกนทั่วไปที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งเป็นองค์ประกอบที่มี ${\displaystyle L=\mathrm {GF} (2^{4})=\mathbb {F} _{16}}$$${\displaystyle L\ \cong \ \mathbb {F} _{2}[X]/(X^{4}{-}1)\ =\ \mathbb {F} _{2}[X]/(X{+}1)^{4}.}$$${\displaystyle \Phi \cong X}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle (\Phi {+}1)^{3}(\beta )\neq 0}$

ฐานปกติมักถูกใช้ใน แอปพลิเคชัน การเข้ารหัสลับที่อิงตามปัญหาลอการิทึมแบบไม่ต่อเนื่องเช่นการเข้ารหัสลับเส้นโค้งวงรีเนื่องจากโดยทั่วไปแล้วการคำนวณโดยใช้ฐานปกติจะมีประสิทธิภาพมากกว่าการใช้ฐานอื่นๆ

ตัวอย่างเช่น ในฟิลด์ด้านบน เราอาจแทนองค์ประกอบต่างๆ ด้วยสตริงบิต โดย ที่สัมประสิทธิ์คือบิตตอนนี้เราสามารถยกกำลังสององค์ประกอบต่างๆ ได้โดยการเลื่อนแบบวงกลมซ้ายเนื่องจากการยกกำลังสอง^β⁴ จะได้β⁸ = ^β⁴ซึ่งทำให้ฐานปกติมีความน่าสนใจเป็นพิเศษสำหรับระบบการเข้ารหัสที่ใช้การยกกำลังสองบ่อยๆ ${\displaystyle K=\mathrm {GF} (2^{3})=\mathbb {F} _{8}}$$${\displaystyle \alpha \ =\ (a_{2},a_{1},a_{0})\ =\ a_{2}\Phi ^{2}(\beta )+a_{1}\Phi (\beta )+a_{0}\beta \ =\ a_{2}\beta ^{4}+a_{1}\beta ^{2}+a_{0}\beta ,}$$${\displaystyle a_{i}\in \mathrm {GF} (2)=\{0,1\}.}$${\displaystyle \alpha ^{2}=\Phi (a_{2},a_{1},a_{0})=(a_{1},a_{0},a_{2})}$

สมมติว่าเป็นส่วนขยายกาโลอิสจำกัดของฟิลด์อนันต์Fให้[ K  : F ] = n , , โดยที่ตามทฤษฎีบทองค์ประกอบดั้งเดิมจะมีและ อยู่ เช่นนั้นให้เราเขียนพหุนามขั้นต่ำ (เอกนาม) ของfเหนือKคือพหุนามดีกรีn ที่ไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้ ซึ่งกำหนดโดยสูตร เนื่องจากfแยกตัวประกอบได้ (มีรากเดี่ยว) เราอาจกำหนด กล่าว อีกนัยหนึ่ง คือ สังเกตว่าและสำหรับต่อไป กำหนดเมทริกซ์AของพหุนามเหนือKและพหุนามDโดย สังเกตว่าโดยที่kถูกกำหนดโดย; โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ก็ต่อ เมื่อดังนั้นคือเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนที่สอดคล้องกับการเรียงสับเปลี่ยนของGซึ่งส่งแต่ละไปยัง(เราใช้สัญลักษณ์ แทนเมทริกซ์ที่ได้จากการประเมินที่) ดังนั้นเราเห็นว่าDเป็นพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงมีรากเพียงจำนวนจำกัด เนื่องจากเราสมมติว่าFเป็นอนันต์ เราจึงสามารถหา ได้เช่นนั้น เรากำหนดให้ เป็นฐานปกติ เราต้องแสดงเพียงว่าเป็นอิสระเชิงเส้นเหนือFดังนั้นสมมติว่าสำหรับบาง การใช้ออโตมอร์ฟิซึมจะให้ผลลัพธ์สำหรับทุกiกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เนื่องจากเราจึงสรุปได้ว่าซึ่งเป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์ ${\displaystyle K/F}$${\displaystyle {\text{Gal}}(K/F)=G=\{\sigma _{1}...\sigma _{n}\}}$${\displaystyle \sigma _{1}={\text{Id}}}$${\displaystyle \alpha \in K}$${\displaystyle i\neq j\implies \sigma _{i}(\alpha )\neq \sigma _{j}(\alpha )}$${\displaystyle K=F[\alpha ]}$${\displaystyle \alpha _{i}=\sigma _{i}(\alpha )}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(X)&=\prod _{i=1}^{n}(X-\alpha _{i})\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}g(X)&=\ {\frac {f(X)}{(X-\alpha )f'(\alpha )}}\\g_{i}(X)&=\ {\frac {f(X)}{(X-\alpha _{i})f'(\alpha _{i})}}=\ \sigma _{i}(g(X)).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{i}(X)&=\prod _{\begin{array}{c}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{array}}{\frac {X-\alpha _{j}}{\alpha _{i}-\alpha _{j}}}\\g(X)&=g_{1}(X).\end{aligned}}}$$${\displaystyle g(\alpha )=1}$${\displaystyle g_{i}(\alpha )=0}$${\displaystyle i\neq 1}$${\displaystyle n\times n}$$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{ij}(X)&=\sigma _{i}(\sigma _{j}(g(X))=\sigma _{i}(g_{j}(X))\\D(X)&=\det A(X).\end{aligned}}}$$${\displaystyle A_{ij}(X)=g_{k}(X)}$${\displaystyle \sigma _{k}=\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle \sigma _{i}=\sigma _{j}^{-1}}$${\displaystyle A(\alpha )}$${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle \sigma _{i}^{-1}}$${\displaystyle A(\alpha )}$${\displaystyle A(X)}$${\displaystyle x=\alpha }$${\displaystyle D(\alpha )=\det A(\alpha )=\pm 1}$${\displaystyle a\in F}$${\displaystyle D(a)\neq 0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\beta &=g(a)\\\beta _{i}&=g_{i}(a)=\sigma _{i}(\beta ).\end{aligned}}}$$${\displaystyle \{\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}\}}$${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}$${\textstyle \sum _{j=1}^{n}x_{j}\beta _{j}=0}$${\displaystyle x_{1}...x_{n}\in F}$${\displaystyle \sigma _{i}}$${\textstyle \sum _{j=1}^{n}x_{j}\sigma _{i}(g_{j}(a))=0}$${\displaystyle A(a)\cdot {\overline {x}}={\overline {0}}}$${\displaystyle \det A(a)=D(a)\neq 0}$${\displaystyle {\overline {x}}={\overline {0}}}$

เป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะใช้เพราะว่า แต่สิ่งนี้ไม่สามารถทำได้ เพราะเราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเพื่อสรุปว่าสำหรับF -automorphism ใดๆ และพหุนามเหนือค่าของพหุนามที่aเท่ากับ${\displaystyle a=\alpha }$${\displaystyle D(\alpha )\neq 0}$${\displaystyle a\in F}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle h(X)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \sigma (h(X))}$${\displaystyle \sigma (h(a))}$

ฐานปกติแบบดั้งเดิมของส่วนขยายของฟิลด์จำกัดE / FคือฐานปกติสำหรับE / Fที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบดั้งเดิมของEซึ่งก็คือตัวสร้างของกลุ่มการคูณK ^× (โปรดทราบว่านี่เป็นคำจำกัดความขององค์ประกอบดั้งเดิมที่เข้มงวดกว่าที่กล่าวไว้ข้างต้นหลังจากทฤษฎีบทฐานปกติทั่วไป: จำเป็นต้องมีกำลังขององค์ประกอบเพื่อสร้างองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวของKไม่ใช่เพียงแค่ฐาน) Lenstra และ Schoof (1987) พิสูจน์แล้วว่าส่วนขยายของฟิลด์จำกัดทุกตัวมีฐานปกติแบบดั้งเดิม กรณีที่Fเป็นฟิลด์เฉพาะนั้นได้รับการตัดสินโดยHarold Davenportแล้ว

ถ้าK / Fเป็นส่วนขยายกาโลอิส และxในKสร้างฐานปกติเหนือFแล้วxจะเป็นอิสระในK / Fถ้าxมีคุณสมบัติที่ว่าสำหรับทุกกลุ่มย่อยHของกลุ่มกาโลอิสGที่มีฟิลด์คงที่K ^Hแล้วxจะเป็นอิสระสำหรับK / K ^Hแล้วxจะเรียกว่าเป็นอิสระโดยสมบูรณ์ในK / Fส่วนขยายกาโลอิสทุกอันมีองค์ประกอบที่เป็นอิสระโดยสมบูรณ์^{[ 2 ]}

• ฐานคู่ในการขยายสาขา
• ฐานพหุนาม
• ลอการิทึมของเซค