ในทางคณิตศาสตร์วงแหวนอะเดล (Adele ring)เป็นโครงสร้างในทฤษฎีจำนวนที่รวม เวอร์ชัน เฉพาะที่ ทั้งหมด ของฟิลด์ทั่วโลกเข้าไว้ในวัตถุเดียว สำหรับจำนวนตรรกยะเวอร์ชันเฉพาะที่เหล่านี้รวมถึงจำนวนจริงและฟิลด์ของจำนวน -adicสำหรับจำนวนเฉพาะ ทั้งหมด โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นฟิลด์ทั่วโลก วงแหวนอะเดลของมัน ซึ่งมักจะใช้สัญลักษณ์เป็นวงแหวนเชิงทอพอโลยีที่สร้างขึ้นจากส่วนเติมเต็มของที่ทุกตำแหน่ง ของมัน ในทางรูปธรรม มันคือผลคูณแบบจำกัดของฟิลด์เฉพาะที่โดยสัมพันธ์กับวงแหวนการประเมินค่าที่ตำแหน่งที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน สมาชิกของวงแหวนนี้เรียกว่าอะเดล (Adele ) ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K_{v}}$

โครงสร้างผลคูณแบบจำกัดทำให้เกิดวงแหวนเชิงทอพอโลยีที่กะทัดรัดในระดับท้องถิ่น ฟิลด์ ฝังตัวในแนวทแยงมุมในฐานะวงแหวนย่อยแบบไม่ต่อเนื่อง และผลหารก็กะทัดรัด ในฐานะกลุ่มอาเบเลียนที่กะทัดรัดในระดับท้องถิ่นแบบบวก วงแหวนอะเดลจึงเป็นคู่ตัวเอง ทำให้เป็นฉากหลังที่เป็นธรรมชาติสำหรับการวิเคราะห์ฟูริเยร์บนฟิลด์ทั่วโลก ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}/K}$

กลุ่มของหน่วยในวงแหวนอะเดล พร้อมด้วยโทโพโลยีตามธรรมชาติ เรียกว่ากลุ่มไอเดล ผลหารซึ่งเรียกว่ากลุ่มชั้นไอเดลเป็นวัตถุสำคัญในทฤษฎีฟิลด์ชั้น อะเดลและไอเดลยังถูกใช้ในวิทยานิพนธ์ของเทต ทฤษฎีรูปแบบอัตโนมัติหลักการท้องถิ่น-สากลและคำอธิบายอะเดลของตัวหารกลุ่มเส้นและกลุ่มหลักบนเส้นโค้งพีชคณิตด้วย ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}$

ให้เป็นฟิลด์ทั่วโลกหมายถึงฟิลด์จำนวนหรือฟิลด์ฟังก์ชันทั่วโลก ให้วิ่งผ่านตำแหน่งของสำหรับแต่ละตำแหน่งให้เป็นการเติมเต็มของที่ถ้าไม่ใช่อาร์คิมีเดียน ให้เป็นวงแหวนการประเมินค่าที่สอดคล้องกัน^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle K}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$

เซตของอะเดลจำกัดของซึ่งแทนด้วยเป็นผลคูณแบบจำกัดของการเติมเต็มที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียนโดยสัมพันธ์กับซับริง: ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K,\mathrm {fin} }}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K,\mathrm {fin} }={\prod _{v\nmid \infty }}'K_{v}=\left\{(x_{v})_{v}\in \prod _{v\nmid \infty }K_{v}:x_{v}\in {\mathcal {O}}_{v}{\text{ for all but finitely many }}v\right\}.}$

มันมาพร้อมกับโทโพโลยีผลคูณแบบจำกัด ฐานของเซตเปิดนั้นกำหนดโดยผลคูณ

${\displaystyle \prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\notin E}{\mathcal {O}}_{v},}$

โดยที่เป็นเซตจำกัดของตำแหน่งที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดียน และแต่ละเป็นเซตเปิดในด้วยการบวกและการคูณแบบส่วนประกอบจึงเป็นวงแหวนเชิงทอพอโลยี^{[ 1 ] [ 3 ]}${\displaystyle E}$${\displaystyle U_{v}}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K,\mathrm {fin} }}$

วงแหวนอะเดลของซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ได้มาจากการเชื่อมต่อส่วนเติมเต็มที่ตำแหน่งอาร์คิมีเดียน: ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K,\mathrm {fin} }\times \prod _{v\mid \infty }K_{v}={\prod _{v\nmid \infty }}'K_{v}\times \prod _{v\mid \infty }K_{v}.}$

จำนวนตำแหน่งอาร์คิมีเดียนมีจำกัด และการเติมเต็มแบบอาร์คิมีเดียนแต่ละแบบ นั้นสมมาตรกับ หรือ สมาชิก ของเรียกว่าอเดลของ การบวกและการคูณถูกกำหนดตามส่วนประกอบ เพื่อความกระชับ มักจะเขียนว่า ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\prod _{v}'K_{v},}$

โดยเข้าใจว่าเงื่อนไขผลิตภัณฑ์ที่จำกัดจะใช้ได้เฉพาะที่ตำแหน่งที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดียนเท่านั้น^{[ 2 ] [ 1 ]}

ถ้าเป็นฟิลด์ฟังก์ชันทั่วโลก จะไม่มีตำแหน่งอาร์คิมีเดียนดังนั้น ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K,\mathrm {fin} }}$

มีการฝังตัวในแนวทแยงตามธรรมชาติ

${\displaystyle K\hookrightarrow \mathbb {A} _{K},\qquad a\mapsto (a,a,\ldots ).}$

แผนที่นี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างดีเนื่องจากองค์ประกอบอยู่ในสถานที่ที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดียนเกือบทั้งหมด ยกเว้นจำนวนจำกัด^{หลังจาก}ฝังแล้วถือว่าเป็นวงแหวนย่อยของและองค์ประกอบของมันบางครั้งเรียกว่าอะเดลหลักของ[ ^{3 ] [ 1 ]}${\displaystyle a\in K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นเซตของสถานที่ใน เราอาจกำหนดวงแหวนของ-adelesได้โดย ${\displaystyle S}$${\displaystyle K}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K,S}:=\prod _{v\in S}'K_{v},}$

โดยใช้วงแหวนการประเมินค่าที่ตำแหน่งที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน อีกครั้ง ถ้า ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{S}:=\prod _{v\notin S}'K_{v},}$

จากนั้นก็มีการย่อยสลายของผลิตภัณฑ์จากธรรมชาติ

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong \mathbb {A} _{K,S}\times \mathbb {A} _{K}^{S}.}$

จุดประสงค์ของวงแหวนอะเดลคือการพิจารณาการเติมเต็มทั้งหมดของฟิลด์ทั่วโลกพร้อมกัน สำหรับจำนวนตรรกยะ ค่าสัมบูรณ์ปกติจะให้การเติมเต็มแต่ทฤษฎีบทของออสโตรฟสกีแสดงให้เห็นว่ายังมีค่าสัมบูรณ์ -adic อีกด้วย หนึ่งค่าสำหรับจำนวนเฉพาะแต่ละตัวโดยทั่วไปแล้ว ฟิลด์ทั่วโลกจะมีตระกูลของการเติมเต็มหนึ่งค่าสำหรับแต่ละตำแหน่งวงแหวนอะเดลจะบรรจุการเติมเต็มเหล่านี้ไว้ในวัตถุเดียว เพื่อให้สามารถใช้วิธีการเชิงวิเคราะห์ได้ ในขณะที่ยังคงรักษาข้อมูลทางเลขคณิตจากจำนวนเฉพาะจำกัดทั้งหมดไว้^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle v}$

แนวคิดนี้มีพื้นฐานมาจากเรขาคณิตของจำนวนของมินคอฟสกี ถ้าเป็นฟิลด์จำนวนที่มีวงแหวนของจำนวนเต็มการฝังตัวแบบคลาสสิกของมินคอฟสกีจะวางเป็นแลตทิซในปริภูมิเวกเตอร์จริงมิติจำกัด ${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} \cong \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {C} ^{s}.}$

สิ่งนี้ทำให้สามารถศึกษาคำถามทางคณิตศาสตร์โดยใช้การอ้างเหตุผลเรื่องปริมาตรและความกะทัดรัดได้ วงแหวนอะเดลอาจถูกมองว่าเป็นการขยายในระดับท้องถิ่นและระดับโลกของโครงสร้างนี้ แทนที่จะใช้เพียงการเติมเต็มแบบอาร์คิมีเดียนเท่านั้น มันจะรวมการเติมเต็มทั้งหมดของในบริบทของอะเดล ฟิลด์ระดับโลกเองจะฝังตัวในแนวทแยงเป็นกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของและผลหารจะกะทัดรัด^{[ 3 ] [ 1 ]}${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}/K}$

วงแหวนอะเดลถูกนิยามว่าเป็นผลคูณแบบจำกัด แทนที่จะเป็นผลคูณคาร์ทีเซียนเต็มรูปแบบของการเติมเต็มทั้งหมด เงื่อนไขผลคูณแบบจำกัดกล่าวว่า อะเดลเป็นจำนวนเต็มเกือบทุกตำแหน่งที่ไม่ใช่ตำแหน่งอาร์คิมีเดียน เงื่อนไขนี้เป็นธรรมชาติจากมุมมองของฟิลด์ทั่วโลกเอง: ถ้าแล้วจะเป็นของสำหรับทุกตำแหน่งยกเว้นตำแหน่งจำกัดจำนวนจำกัดดังนั้นการฝังแนวทแยง ${\displaystyle a\in K}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle K\hookrightarrow \mathbb {A} _{K}}$

ที่ดินในผลิตภัณฑ์ที่ถูกจำกัด

ผลคูณที่จำกัดยังเป็นเงื่อนไขทางโทโพโลยีที่ทำให้วงแหวนอะเดลมีประโยชน์สำหรับการวิเคราะห์ ด้วยโทโพโลยีผลคูณที่จำกัดวงแหวนอะเดลจึงเป็นวงแหวนโทโพโลยีที่กะทัดรัดในระดับท้องถิ่น ความกะทัดรัดในระดับท้องถิ่นทำให้กลุ่มบวกของการวัดฮาร์ ทำให้สามารถทำการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกบนวงแหวนอะเดลได้ นี่เป็นหนึ่งในเหตุผลหลักที่อะเดลมีประโยชน์ในทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่^{[ 1 ] [ 4 ]}${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$

ตัวอย่างเช่น วิทยานิพนธ์ของเทตสร้างการวิเคราะห์ฟูริเยร์บนวงแหวนอะเดลและการอินทิเกรตเหนือกลุ่มไอเดลเพื่อให้การจัดการฟังก์ชันเฮคเคอย่างสม่ำเสมอ ในแนวทางนี้ อินทิกรัลซีตาทั่วโลกจะแยกตัวประกอบเป็นอินทิกรัลเฉพาะที่เหนือการเติมเต็มและโครงสร้างเฉพาะที่-ทั่วโลกของวงแหวนอะเดลอธิบายผลคูณออยเลอร์ การต่อยอดเชิงวิเคราะห์ และสมการเชิงฟังก์ชันของฟังก์ชัน เหล่านี้ ^{[ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle L}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle L}$

สำหรับทฤษฎีบทของ Ostrowski กล่าว ว่าตำแหน่งของ นั้นกำหนดโดยค่าสัมบูรณ์ปกติและค่าสัมบูรณ์ -adic หนึ่งค่าสำหรับจำนวนเฉพาะแต่ละตัวการเติมเต็มที่ตำแหน่งอนันต์คือ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \mathbb {Q} _{\infty }=\mathbb {R} ,}$

และการเติมเต็ม ณ ตำแหน่งที่สอดคล้องกับคือฟิลด์ของจำนวน -adic โดยมีวงแหวนการประเมินค่าดังนั้นวงแหวน adele ของคือ ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\mathbb {R} \times \prod _{p}'\mathbb {Q} _{p},}$

โดยที่ผลิตภัณฑ์ที่ถูกจำกัดนั้นจะถูกพิจารณาโดยสัมพันธ์กับวงแหวนย่อยหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\left\{(x_{\infty },x_{2},x_{3},x_{5},\ldots ):x_{\infty }\in \mathbb {R} ,\ x_{p}\in \mathbb {Q} _{p},\ x_{p}\in \mathbb {Z} _{p}{\text{ for all but finitely many }}p\right\}.}$

ดังนั้น adele ของคือจำนวนจริงพร้อมกับจำนวนตรรกยะ -adic สำหรับแต่ละจำนวนเฉพาะโดยที่ส่วนประกอบ -adic ทั้งหมด ยกเว้น จำนวนจำกัด เป็นจำนวนเต็ม -adic ^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

อะเดลจำกัดของคือ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }=\prod _{p}'\mathbb {Q} _{p}.}$

ค่าอินทิกรัลจำกัดของอะเดลคือ

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p}\mathbb {Z} _{p},}$

วงแหวนของจำนวนเต็มโปรไฟไนต์โดยใช้สัญลักษณ์นี้

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\mathbb {R} \times \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} },\qquad {\widehat {\mathbb {Z} }}\subset \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }.}$

การฝังแนวทแยงของส่งจำนวนตรรกยะไปยังอะเดล ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle a}$

${\displaystyle (a,a,a,\ldots ).}$

สิ่งนี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างชัดเจน เนื่องจากจำนวนตรรกยะมีตัวประกอบเฉพาะในตัวส่วนเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ดังนั้นสำหรับจำนวนเฉพาะทั้งหมด ยกเว้นจำนวนเฉพาะจำนวนจำกัด ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle p}$

ให้เป็นฟิลด์จำนวนที่มีวงแหวนของจำนวนเต็มในแต่ละตำแหน่งจำกัดการเติมเต็มจะเป็นส่วนขยายจำกัดของ บางตัวและวงแหวนการประเมินค่าของมันจะใช้สัญลักษณ์ในแต่ละตำแหน่งอนันต์ การเติมเต็มจะสมสัณฐานกับหรือวงแหวนอะเดลคือ ${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\prod _{v\nmid \infty }'K_{v}\times \prod _{v\mid \infty }K_{v},}$

โดยที่ผลคูณแบบจำกัดเหนือตำแหน่งจำกัดนั้นกระทำโดยสัมพันธ์กับริงดังนั้น อะเดลของคือตระกูลที่มีสำหรับทุกตำแหน่งโดยที่สำหรับทุกตำแหน่ง ยกเว้นตำแหน่งจำกัดจำนวนจำกัด ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle (x_{v})_{v}}$${\displaystyle x_{v}\in K_{v}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x_{v}\in {\mathcal {O}}_{v}}$

ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นฟิลด์จำนวนกำลังสอง ปัจจัยอาร์คิมีเดียนของมันจะเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งคือเมื่อมีฝังจริงสองอัน หรือเมื่อ มีฝังเชิงซ้อนหนึ่งคู่ ส่วนจำกัดคือผลคูณที่จำกัดเหนืออุดมคติ เฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์ของ^{[ 2 ] [ 1 ]}${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

ถ้าเป็นส่วนขยายจำกัดของฟิลด์จำนวน การสร้างแบบอะเดลิกจะเข้ากันได้กับการขยายสเกลาร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะมีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ ${\displaystyle L/K}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L,}$

และในกรณีพิเศษนั้น ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$

${\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }L.}$

สิ่งนี้ทำให้มีอีกวิธีหนึ่งในการมองวงแหวนอะเดลของฟิลด์จำนวนเป็นส่วนขยายอะเดลของวงแหวนอะเดลเชิงตรรกะ^{[ 3 ] [ 1 ]}

ทีนี้ลองพิจารณาฟิลด์ฟังก์ชันดู

${\displaystyle K=\mathbb {F} _{q}(\mathbb {P} ^{1})=\mathbb {F} _{q}(t)}$

ของเส้นเชิงโปรเจกทีฟเหนือฟิลด์จำกัด ตำแหน่งของเส้นเหล่านี้สอดคล้องกับจุดปิดของฟิลด์ดังกล่าว จุดเหล่านี้สามารถอธิบายได้ว่าเป็นแผนที่ ${\displaystyle x}$${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}}$

${\displaystyle x:\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q^{n}}\longrightarrow \mathbb {P} ^{1}}$

ตัวอย่างเช่น มีจุดในรูปแบบ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle q+1}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}\longrightarrow \mathbb {P} ^{1}.}$

สำหรับประเด็นหนึ่งวงแหวนท้องถิ่นที่ใช้ในผลิตภัณฑ์ที่ถูกจำกัดคือวงแหวนท้องถิ่นที่สมบูรณ์แล้ว ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x},}$

และฟิลด์ท้องถิ่นที่สอดคล้องกันคือฟิลด์เศษส่วน ซึ่งมักใช้สัญลักษณ์ดังนั้นวงแหวนอะเดลของอาจเขียนได้ ดังนี้${\displaystyle K_{X,x}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}(\mathbb {P} ^{1})}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {F} _{q}(\mathbb {P} ^{1})}=\prod _{x\in X}'K_{X,x},}$

โดยที่ผลคูณที่จำกัดจะพิจารณาจากวงแหวนท้องถิ่นที่เสร็จสมบูรณ์ เทียบเท่ากับองค์ประกอบของมันคือตระกูลโดยที่เป็นเช่นนั้นสำหรับจุดทั้งหมด ยกเว้นจุดจำนวนจำกัด^{[ 1 ]}${\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$${\displaystyle (f_{x})_{x}}$${\displaystyle f_{x}\in K_{X,x}}$${\displaystyle f_{x}\in {\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$${\displaystyle x}$

คำอธิบายเดียวกันนี้ใช้ได้กับเส้นโค้งเรียบที่เหมาะสมใดๆบนฟิลด์จำกัด ถ้าเป็นฟิลด์ฟังก์ชันของมันแล้ว ${\displaystyle X/\mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle K=\mathbb {F} _{q}(X)}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\prod _{x\in X}'K_{X,x},}$

โดยที่วิ่งผ่านจุดปิดของต่างจากฟิลด์จำนวน ฟิลด์ฟังก์ชันทั่วโลกไม่มีตำแหน่งอาร์คิมีเดียน ดังนั้นวงแหวนอะเดลจำกัดและวงแหวนอะเดลเต็มจึงเหมือนกัน ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

โทโพโลยีบนวงแหวนอะเดลคือโทโพโลยีผลคูณแบบจำกัด สำหรับเซตจำกัดของตำแหน่งที่ประกอบด้วยตำแหน่งอาร์คิมีเดียน ให้กำหนด ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P):=\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}{\mathcal {O}}_{v}.}$

เนื่องจากมีโทโพโลยีแบบผลคูณและการบวกและการคูณแบบส่วนประกอบ จึงเป็นวงแหวนโทโพโลยีที่กระชับในระดับท้องถิ่น ถ้าเป็นเซตจำกัดอีกเซตหนึ่งของตำแหน่งที่บรรจุแล้ว จะเป็นวงแหวนย่อยแบบเปิดของวงแหวนอะเดลคือการรวมกันของวงแหวนย่อยแบบเปิดทั้งหมดเหล่านี้ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P')}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\bigcup _{P\supset P_{\infty },\ |P|<\infty }\mathbb {A} _{K}(P).}$

ในทำนองเดียวกันคือเซตของทั้งหมดเช่นนั้นสำหรับสถานที่ที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดียนเกือบทั้งหมดโทโพโลยีของเกิดจากข้อกำหนดที่ว่าทั้งหมดเป็นวงแหวนย่อยแบบเปิด ดังนั้น จึงเป็นวงแหวนโทโพโลยีแบบกระชับเฉพาะที่^{[ 1 ] [ 3 ]}${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle x=(x_{v})_{v}}$${\displaystyle |x_{v}|_{v}\leq 1}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$

โครงสร้างเดียวกันนี้สามารถนำไปใช้กับเซตของสถานที่ได้ สำหรับทุกเซตของสถานที่วงแหวนของ-adeles ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K,S}=\prod _{v\in S}'K_{v}}$

เป็นวงแหวนเชิงทอพอโลยีแบบกระชับเฉพาะที่ โดยมีทอพอโลยีผลคูณแบบจำกัด ถ้า

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{S}=\prod _{v\notin S}'K_{v},}$

จากนั้นก็มีการย่อยสลายของผลิตภัณฑ์จากธรรมชาติ

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong \mathbb {A} _{K,S}\times \mathbb {A} _{K}^{S}.}$

การฝังแนวทแยง

${\displaystyle K\hookrightarrow \mathbb {A} _{K},\qquad a\mapsto (a,a,\ldots )}$

ระบุด้วยวงแหวนย่อยของด้วยการฝังตัวนี้ องค์ประกอบของเรียกว่า adeles หลัก ภาพของเป็นแบบไม่ต่อเนื่องในและผลหาร ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}/K}$

มีความกะทัดรัด โดยเฉพาะอย่างยิ่งปิดในคุณสมบัติความกะทัดรัดนี้เป็นหนึ่งในเหตุผลหลักที่ทำให้วงแหวนอะเดลมีประโยชน์ในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกและการประยุกต์ใช้ทางเลขคณิต^{[ 3 ] [ 1 ]}${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$

วงแหวนอะเดลยังแยกออกเป็นตัวประกอบเฉพาะที่เลือกไว้และตัวประกอบที่เหลือได้อย่างเป็นธรรมชาติ กำหนดตำแหน่งหนึ่งของให้เป็นเซตจำกัดของตำแหน่งที่มีและและกำหนด ${\displaystyle v}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle v}$${\displaystyle P_{\infty }}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(P,v):=\prod _{w\in P\setminus \{v\}}K_{w}\times \prod _{w\notin P}{\mathcal {O}}_{w}.}$

แล้ว

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(P,v).}$

นอกจากนี้ ให้กำหนด

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(v):=\bigcup _{P\supset P_{\infty }\cup \{v\}}\mathbb {A} _{K}'(P,v),}$

โดยที่วิ่งผ่านเซตจำกัดทั้งหมดที่ประกอบด้วยแล้ว ${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{\infty }\cup \{v\}}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(v),}$

ผ่านทางแผนที่

${\displaystyle (a_{w})_{w}\mapsto (a_{v},(a_{w})_{w\neq v}).}$

ดังนั้นจึงมีการฝังตัวตามธรรมชาติและการฉายภาพตามธรรมชาติโครงสร้างเดียวกันนี้ใช้ได้กับเซตของสถานที่จำกัดใดๆ แทนที่จะใช้กับสถานที่เดียว ${\displaystyle K_{v}\hookrightarrow \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\twoheadrightarrow K_{v}}$${\displaystyle v}$

เนื่องจากเป็นกลุ่มบวกที่มีความกะทัดรัดในระดับท้องถิ่น จึงมีการวัด Haar แบบบวก การวัดนี้ใช้ในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกบนฟิลด์ทั่วโลก และมักจะถูกทำให้เป็นมาตรฐานเป็นผลคูณของการวัด Haar ในระดับท้องถิ่น ด้วยการทำให้เป็นมาตรฐานมาตรฐานที่ตำแหน่งที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดียน วงแหวนการประเมินค่าจะมีการวัดสำหรับตำแหน่งจำกัดเกือบทั้งหมด^{[ 5 ] [ 4 ]}${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$${\displaystyle 1}$

เนื่องจากเป็นกลุ่มบวกที่มีความกะทัดรัดในระดับท้องถิ่น จึงมีการวัด Haar แบบบวก ซึ่งมักจะแสดงด้วยการวัดนี้สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้โดยใช้ผลคูณของการวัด Haar ในระดับท้องถิ่นบนการเติมเต็ม ที่ตำแหน่งที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียนการวัดในระดับท้องถิ่นมักจะทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้วงแหวนการประเมินค่ามีการวัดที่ตำแหน่งแบบอาร์คิมีเดียนจะใช้การวัด Lebesgue ตามปกติบนหรือ^{[ 1 ] [ 4 ]}${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle dx_{v}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

ฟังก์ชันเรียกว่าฟังก์ชันง่าย ถ้า ${\displaystyle f:\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f=\prod _{v}f_{v},}$

โดยที่แต่ละค่าสามารถวัดได้ และสำหรับตำแหน่งที่ไม่ใช่ตำแหน่งอาร์คิมีเดียนเกือบทั้งหมดด้วยการทำให้เป็นมาตรฐาน ฟังก์ชันเชิงเดี่ยวที่สามารถหาปริพันธ์ได้ทุกฟังก์ชันจะสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้ ${\displaystyle f_{v}:K_{v}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle f_{v}=\mathbf {1} _{{\mathcal {O}}_{v}}}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {A} _{K}}f\,dx=\prod _{v}\int _{K_{v}}f_{v}\,dx_{v}.}$

ผลคูณมีค่าจำกัดในแง่ที่ว่าปัจจัยเกือบทั้งหมดมีค่าเท่ากับ. ^{[ 7 ] [ 1 ]}${\displaystyle 1}$

การวิเคราะห์ฟูริเยร์บนวงแหวนอะเดลนั้นอาศัยลักษณะเฉพาะของกลุ่มการบวกของมัน ถ้าเป็นกลุ่มอาเบเลียนที่กระชับในระดับท้องถิ่น กลุ่มลักษณะเฉพาะของมันคือกลุ่มของโฮโมมอร์ฟิซึมต่อเนื่องทั้งหมดจากไปยัง ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\},}$

ด้วยโทโพโลยีของการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในเซตย่อยกระชับ วงแหวนอะเดลเป็นคู่ตัวเองในฐานะกลุ่มอาเบเลียนกระชับเฉพาะที่:

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong {\widehat {\mathbb {A} _{K}}}.}$

สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดยการลดรูปให้เหลือคำสั่งท้องถิ่นที่สอดคล้องกันสำหรับการเติมเต็มแต่ละครั้งตัวอย่างเช่น อักขระทั่วไป ${\displaystyle K_{v}}$

${\displaystyle e_{\infty }(t)=\exp(2\pi it)}$

ทำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึม

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow {\widehat {\mathbb {R} }},\qquad s\mapsto {\bigl (}t\mapsto e_{\infty }(ts){\bigr )}.}$

อักขระท้องถิ่นที่คล้ายคลึงกันถูกใช้ที่ตำแหน่งที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดียน และผลคูณที่จำกัดของอักขระเหล่านั้นทำให้เกิดความเป็นคู่ตัวเองทั่วโลกของ. ^{[ 1 ] [ 4 ]}${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$

หลังจากเลือกอักขระบวกที่ไม่ใช่ค่าพื้นฐานแล้ว การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันที่เหมาะสมบนจะถูกกำหนดโดย ${\displaystyle \chi :\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {T} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(y)=\int _{\mathbb {A} _{K}}f(x)\chi (xy)\,dx.}$

ด้วยการเลือกมาตรวัด Haar ที่เหมาะสม การแปลงฟูริเยร์นี้จะสอดคล้องกับสูตรการผกผันและสูตร Plancherel ทั่วไป คุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งของการตั้งค่าแบบ adelic คือ การวิเคราะห์ฟูริเยร์แบบทั่วโลกจะถูกนำไปรวมกับการวิเคราะห์ฟูริเยร์แบบเฉพาะที่เหนือส่วนเติมเต็ม ${\displaystyle K_{v}}$

ด้วยความช่วยเหลือของตัวละครการวิเคราะห์ฟูริเยร์สามารถทำได้บนวงแหวนอะเดล ในวิทยานิพนธ์ของเทต จอห์น เทตใช้การวิเคราะห์ฟูริเยร์บนวงแหวนอะเดลและการอินทิเกรตเหนือกลุ่มไอเดลเพื่อศึกษาฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ฟังก์ชัน ดิริชเลต์และฟังก์ชันเฮคเคที่ทั่วไปมากขึ้น รูปแบบอะเดลของฟังก์ชันเหล่านี้สามารถแสดงเป็นอินทิกรัลเหนือวงแหวนอะเดลหรือกลุ่มไอเดล โดยสัมพันธ์กับการวัดฮาร์ที่สอดคล้องกัน จากนั้นสมการเชิงฟังก์ชันและการต่อขยายเมโรเมอร์ฟิกของพวกมันสามารถพิสูจน์ได้โดยการใช้การวิเคราะห์ฟูริเยร์และการรวมปัวซงในการตั้งค่าอะเดล^{[ 5 ] [ 6 ] [ 8 ]}${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

ตัวอย่างเช่น สำหรับ, ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$

${\displaystyle \int _{\widehat {\mathbb {Z} }}|x|^{s}\,d^{\times }x=\zeta (s),}$

โดยที่การวัด Haar แบบคูณบนกลุ่ม idele จำกัดจะถูกทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้มีปริมาตรและขยายด้วยศูนย์ไปยังวงแหวน adele จำกัด ดังนั้นฟังก์ชันซีตาของ Riemann สามารถเขียนได้เป็นอินทิกรัลเหนือเซตย่อยของวงแหวน adele ^{[ 9 ]}${\displaystyle d^{\times }x}$${\displaystyle I_{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }}$${\displaystyle 1}$

วงแหวนอะเดลเข้าสู่ทฤษฎีสนามชั้นผ่านกลุ่มหน่วยของมัน ซึ่งก็คือกลุ่มอิเดล ผลหาร ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$

${\displaystyle C_{K}=\mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}$

คือกลุ่มคลาสอุดมคติของทฤษฎีฟิลด์คลาสทั่วโลกอธิบายส่วนขยายอาเบลของในแง่ของผลหารเชิงโทโพโลยีของในการกำหนดสูตรหนึ่งกฎการแลกเปลี่ยนแบบ Artin ทั่วโลก ให้โฮโมมอร์ฟิซึมการแลกเปลี่ยนจากกลุ่มคลาสอุดมคติไปยังกลุ่ม Galois ของส่วนขยายอาเบลสูงสุดของที่ระดับจำกัด สำหรับส่วนขยายอาเบลจำกัดผลหารที่สอดคล้องกันของจะถูกอธิบายโดยใช้กลุ่มย่อยบรรทัดฐานจาก^{[ 10 ] [ 11 ]}${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle C_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L/K}$${\displaystyle C_{K}}$${\displaystyle C_{L}}$

สูตรอะเดลิกนี้ได้รวบรวมแผนที่ความสัมพันธ์แบบต่างตอบแทนในระดับท้องถิ่นของทฤษฎีสนามชั้นในระดับท้องถิ่นเข้าไว้ในข้อความระดับโลก โดยแทนที่สูตรเดิมที่อิงตามทฤษฎีอุดมคติ ซึ่งเกี่ยวข้องกับกลุ่มชั้นอุดมคติและกลุ่มชั้นรังสี ด้วยข้อความเกี่ยวกับโทโพโลยีและผลหารของกลุ่มชั้นอุดมคติ

กลุ่มอุดมคติ (idele group) เป็นการปรับปรุงเชิงโทโพโลยีของกลุ่มอุดมคติเศษส่วนของฟิลด์จำนวน สำหรับฟิลด์จำนวนส่วนจำกัดของกลุ่มอุดมคติจะแมปไปยังกลุ่มอุดมคติเศษส่วนโดย ${\displaystyle K}$

${\displaystyle (x_{\mathfrak {p}})_{\mathfrak {p}}\longmapsto \prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{v_{\mathfrak {p}}(x_{\mathfrak {p}})}.}$

เคอร์เนลเป็นผลคูณของกลุ่มหน่วยท้องถิ่น ดังนั้น กลุ่มคลาสอุดมคติธรรมดาสามารถกู้คืนได้เป็นผลหารของกลุ่มคลาสอุดมคติ มุมมองนี้ให้การตีความแบบอะดิลิกของความจำกัดของจำนวนคลาส: ความกะทัดรัดของคลาสอุดมคติบรรทัดฐานหนึ่งบ่งชี้ว่ากลุ่มคลาสอุดมคติมีความกะทัดรัด และเนื่องจากเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง จึงมีจำนวนจำกัด^{[ 3 ] [ 1 ]}

แนวคิดวงกลมเดียวกันนี้ยังให้สูตรอะเดลิกของทฤษฎีบทหน่วยด้วย ถ้าเป็นเซตจำกัดของตำแหน่งที่ประกอบด้วยตำแหน่งอาร์คิมีเดียน กลุ่มของหน่วย - จะปรากฏเป็นการตัดกันของ กับกลุ่มย่อยเปิดตามธรรมชาติของกลุ่มอิเดล โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับ ฟิลด์จำนวนทฤษฎีบทหน่วยของดิริชเลต์กล่าวว่า ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }\cong \mu (K)\times \mathbb {Z} ^{r+s-1},}$

โดยที่เป็นกลุ่มวัฏจักรจำกัดของรากเอกภาพในคือจำนวนการฝังจริง และคือจำนวนคู่สังยุคของการฝังเชิงซ้อน^{[ 1 ] [ 3 ]}${\displaystyle \mu (K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$

โทโพโลยีบนทำให้ผลหารกระชับ ทำให้สามารถทำการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกบนวงแหวนอะเดลได้ ด้วยความช่วยเหลือของอักขระของ สามารถทำการวิเคราะห์ฟูริเยร์บนวงแหวนอะเดลได้ จากนั้นการอินทิเกรตเหนือกลุ่มไอเดลจะให้ค่าอินทิกรัลซีตา^{[ 5 ] [ 4 ]}${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}/K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$

ในวิทยานิพนธ์ของเทต จอห์น เทตใช้การวิเคราะห์ฟูริเยร์บนวงแหวนอะเดลและกลุ่มไอเดลเพื่อศึกษาฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ฟังก์ชันดิริชเลต์และฟังก์ชันเฮคเคทั่วไปรูปแบบอะเดลของฟังก์ชันเหล่านี้สามารถแสดงเป็นปริพันธ์เหนือวงแหวนอะเดลหรือกลุ่มไอเดล โดยสัมพันธ์กับการวัดฮาร์ที่สอดคล้องกัน จากนั้นสมการเชิงฟังก์ชันและการต่อขยายเมโรเมอร์ฟิกของฟังก์ชันเหล่านี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้การวิเคราะห์ฟูริเยร์และการรวมปัวซงในบริบทอะเดล^{[ 5 ] [ 12 ] [ 6 ]}${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

ตัวอย่างเช่น สำหรับจะมีการแสดงอินทิกรัลอะเดลิกของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$

${\displaystyle \int _{\widehat {\mathbb {Z} }}|x|^{s}\,d^{\times }x=\zeta (s),}$

โดยที่คือมาตรวัดฮาร์แบบคูณบนกลุ่มไอเดลจำกัดซึ่งได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้มีปริมาตรและขยายโดยศูนย์ไปยังวงแหวนอะเดลจำกัด ดังนั้น ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์จึงสามารถเขียนได้ในรูปของปริพันธ์เหนือเซตย่อยของวงแหวนอะเดล ${\displaystyle d^{\times }x}$${\displaystyle I_{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }}$${\displaystyle 1}$

กลุ่มอะเดลิกยังให้ภาษาธรรมชาติสำหรับรูปแบบอัตโนมัติ อีกด้วย แทนที่จะศึกษาฟังก์ชันแยกกันบนจุดจริง จุดเชิงซ้อน และจุดอะดิกของกลุ่มพีชคณิต เราจะศึกษาฟังก์ชันบนกลุ่มอะเดลิก เช่นตัวอย่างเช่น รูปแบบอัตโนมัติสำหรับบนอาจมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันบน ${\displaystyle p}$${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Q} )\backslash \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })}$

โดยตรงตามเงื่อนไขพีชคณิต การวิเคราะห์ และการเติบโตที่เหมาะสม ในบริบทนี้ฟังก์ชันออโตมอร์ฟิกมักจะสามารถอธิบายได้ด้วยปริพันธ์เหนือกลุ่มอะเดลิก^{[ 13 ] [ 14 ]}${\displaystyle L}$

โดยทั่วไป การใช้จุดอะเดลิกสำหรับกลุ่มพีชคณิตแบบลดรูปถือเป็นหัวใจสำคัญในทฤษฎีสมัยใหม่ของการแสดงแทนแบบอัตโนมัติ มุมมองนี้ยังเป็นหนึ่งในจุดเริ่มต้นของโปรแกรม Langlandsซึ่งเชื่อมโยงการแสดงแทนแบบอัตโนมัติของกลุ่มอะเดลิกกับการแสดงแทนแบบกาโลอิส^{[ 13 ]}${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$${\displaystyle G}$

วงแหวนอะเดลให้การตีความที่เป็นเอกภาพของทฤษฎีบทการประมาณค่าและคำถามท้องถิ่น-ทั่วโลกทฤษฎีบทการประมาณค่าแบบอ่อนกล่าวว่า สำหรับการประเมินค่าที่ไม่เท่ากันจำนวนจำกัดของภาพแนวทแยงของมีความหนาแน่นในผลคูณของการเติมเต็มที่สอดคล้องกันทฤษฎีบทการประมาณค่าแบบเข้มแข็งกล่าวว่า หลังจากละเว้นตำแหน่งหนึ่งฟิลด์มีความหนาแน่นในผลคูณที่จำกัดเหนือตำแหน่งอื่นๆ ทั้งหมด ดังนั้นฟิลด์ทั่วโลกจึงเป็นแบบไม่ต่อเนื่องในวงแหวนอะเดลทั้งหมด แต่จะมีความหนาแน่นเมื่อละเว้นตำแหน่งหนึ่ง^{[ 3 ]}${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle K}$

ภาษาอะเดลิกยังใช้ในการกำหนดหลักการระดับท้องถิ่น-ระดับโลกเช่นหลักการของฮัสเซในปัญหาดังกล่าว เราจะเปรียบเทียบคำตอบบนฟิลด์ระดับโลกกับตระกูลคำตอบที่เข้ากันได้บนการเติมเต็มทั้งหมดวงแหวนอะเดลิกให้พื้นที่เดียวที่สามารถรวบรวมและศึกษาเงื่อนไขระดับท้องถิ่นเหล่านี้ร่วมกันได้ ${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{v}}$

สำหรับเส้นโค้งเรียบ ที่เหมาะสม ซึ่งมีฟิลด์ฟังก์ชันวงแหวนอะเดลของสามารถอธิบายได้โดยใช้การเติมเต็มที่จุดปิดของในการตั้งค่านี้ อะเดลจะคืน กลุ่ม ตัวหารและกลุ่มปิการ์ดของเส้นโค้งนั้น ${\displaystyle X/\mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Div} (X)=\mathbb {A} _{X}^{\times }/\mathbb {O} _{X}^{\times }}$

และ

${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)=K^{\times }\backslash \mathbb {A} _{X}^{\times }/\mathbb {O} _{X}^{\times }.}$

ดังนั้น การอธิบายกลุ่มเส้นตรงบนเส้นโค้งโดยใช้เกณฑ์ตัวหาร จึงสามารถแสดงออกมาในรูปแบบอะเดลได้

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับกลุ่มพีชคณิต ผลหารคู่แบบอะเดลิกจะอธิบายโมดูลัสของบันเดิลบนเส้นโค้ง ในการทำให้เป็นแบบเดียวกันของเวลล์ สำหรับกลุ่มที่เหมาะสม เช่นกลุ่มกึ่งง่ายและสำหรับ จะมีคำอธิบายแบบอะเดลิกในรูปแบบ ${\displaystyle G}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)=G(K)\backslash G(\mathbb {A} _{X})/G(\mathbb {O} _{X}).}$

ด้วยเหตุนี้ จึงเป็นการฟื้นคืนคำอธิบายแบบอะเดลิกของกลุ่มปิการ์ด ${\displaystyle G=\mathbb {G} _{m}}$

นอกจากนี้ Adele ยังปรากฏในโคฮอโมโลยีของเส้นโค้งพีชคณิตด้วย ถ้าเป็นเส้นโค้งเรียบที่เหมาะสมบนจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถกำหนด adeles ของฟิลด์ฟังก์ชันของมันได้ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับกรณีฟิลด์ฟังก์ชันบนฟิลด์จำกัด Tate พิสูจน์ว่า ทฤษฎีบทคู่ ของ Serreบน${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} (X)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}})\simeq H^{0}(X,\Omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}^{-1})^{*},}$

สามารถอนุมานได้โดยการทำงานกับวงแหวนอะเดลนี้โดยที่เป็นมัดเส้นบน^{[ 15 ]}${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} (X)}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle X}$

กลุ่มอุดมคติของฟิลด์ทั่วโลกคือกลุ่มของสมาชิกที่ผกผันได้ของวงแหวนอะเดลโดยปกติจะใช้สัญลักษณ์ แทน ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$

หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นผลิตภัณฑ์โดยตรงที่ถูกจำกัด ${\displaystyle I_{K}}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }=\prod _{v}'K_{v}^{\times }}$

ของกลุ่มการคูณของส่วนเติมเต็มโดยพิจารณาจากกลุ่มหน่วยที่ตำแหน่งที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน ดังนั้น idele คือตระกูลที่มีสำหรับทุกตำแหน่งโดยที่ สำหรับตำแหน่งที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดีย น ทั้งหมด ยกเว้นจำนวนจำกัด${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$${\displaystyle x=(x_{v})_{v}}$${\displaystyle x_{v}\in K_{v}^{\times }}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x_{v}\in {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$${\displaystyle v}$

ถึงแม้ว่าจะเป็นกลุ่มของหน่วยในวงแหวนอะเดล แต่ก็ไม่ได้มีโทโพโลยีของปริภูมิย่อยที่สืบทอดมาจากแต่กลับมีโทโพโลยีผลคูณแบบจำกัด ซึ่งเทียบเท่ากับโทโพโลยีที่เกิดจากการฝังตัว ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }\longrightarrow \mathbb {A} _{K}\times \mathbb {A} _{K},\qquad x\mapsto (x,x^{-1}).}$

ด้วยโทโพโลยีนี้จึงเป็น กลุ่มโท โพ โลยีแบบ อาเบเลียนที่กระชับเฉพาะที่${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$

การฝังแนวทแยงของลงในจะให้กลุ่มย่อยของอุดมคติหลักผลหาร ${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$

${\displaystyle C_{K}=\mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}$

คือกลุ่มชั้นอุดมคติกลุ่มนี้เป็นวัตถุสำคัญในทฤษฎีฟิลด์ชั้นซึ่งส่วนขยายอาเบเลียนของจะถูกอธิบายในแง่ของผลหารเชิงโทโพโลยีของ ${\displaystyle K}$${\displaystyle C_{K}}$

กลุ่มว่างยังมีค่าสัมบูรณ์ตามธรรมชาติ หรือโมดูลัสด้วย

${\displaystyle |x|_{\mathbb {A} }=\prod _{v}|x_{v}|_{v},}$

โดยที่ค่าสัมบูรณ์ในท้องถิ่นจะถูกทำให้เป็นมาตรฐานด้วยวิธีมาตรฐาน ผลคูณจะมีค่าจำกัดสำหรับอุดมคติ เนื่องจากส่วนประกอบจำกัดเกือบทั้งหมดเป็นหน่วย กลุ่มย่อย

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}=\{x\in \mathbb {A} _{K}^{\times }:|x|_{\mathbb {A} }=1\}}$

เป็นกลุ่มของอุดมคติที่มีบรรทัดฐานหนึ่ง ตามสูตรผลคูณ อยู่ในและผลหารเป็นกลุ่มกระชับ ${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}/K^{\times }}$

สำหรับฟิลด์จำนวน ส่วนจำกัดของกลุ่มอุดมคติจะแมปไปยังกลุ่มอุดมคติเศษส่วนโดยธรรมชาติ

${\displaystyle (x_{\mathfrak {p}})_{\mathfrak {p}}\longmapsto \prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{v_{\mathfrak {p}}(x_{\mathfrak {p}})}.}$

แก่นหลักคือดังนั้นกลุ่มชั้นอุดมคติธรรมดาจึงถูกกู้คืนมาเป็นผลหารของกลุ่มชั้นอุดมคติ ด้วยวิธีนี้ กลุ่มชั้นอุดมคติจะปรับปรุงกลุ่มชั้นอุดมคติให้ดียิ่งขึ้นโดยการเก็บรักษาข้อมูลหน่วยท้องถิ่นและข้อมูลอาร์คิมีเดียนไว้ ${\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}_{K}^{\times }}$

นอกจากนี้ อิเดลยังใช้ในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกบนฟิลด์ทั่วโลก ในวิทยานิพนธ์ของเทตการอินทิเกรตเหนือวงแหวนอะเดลและกลุ่มอิเดลให้การจัดการที่เป็นเอกภาพของฟังก์ชันเฮคเค รวมถึงผลคูณออยเลอร์ การต่อยอดเชิงวิเคราะห์ และสมการเชิงฟังก์ชัน ${\displaystyle L}$

ส่วนก่อนหน้านี้ได้ให้คำจำกัดความพื้นฐานและการใช้งานหลักของวงแหวนอะเดลแล้ว ส่วนนี้จะบันทึกข้อเท็จจริงทางโครงสร้างมาตรฐานบางประการและภาพร่างแสดงการพิสูจน์

ความแตกต่างระหว่างโทโพโลยีผลิตภัณฑ์แบบจำกัดและแบบไม่จำกัดสามารถแสดงให้เห็นได้โดยใช้ลำดับใน. ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

บทตั้ง.พิจารณาลำดับต่อไปนี้ใน: ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\left({\frac {1}{2}},1,1,\ldots \right)\\x_{2}&=\left(1,{\frac {1}{3}},1,\ldots \right)\\x_{3}&=\left(1,1,{\frac {1}{5}},1,\ldots \right)\\x_{4}&=\left(1,1,1,{\frac {1}{7}},1,\ldots \right)\\&\vdots \end{aligned}}}$

ในโทโพโลยีผลคูณ ค่านี้จะลู่เข้าสู่ค่าหนึ่งแต่จะไม่ลู่เข้าเลยในโทโพโลยีผลคูณแบบจำกัด${\displaystyle (1,1,\ldots )}$

บทพิสูจน์ในโทโพโลยีผลคูณ การลู่เข้าสอดคล้องกับการลู่เข้าในแต่ละพิกัด ซึ่งเป็นเรื่องง่ายเพราะลำดับจะกลายเป็นสถานะคงที่ ลำดับจะไม่ลู่เข้าในโทโพโลยีผลคูณแบบจำกัด สำหรับแต่ละ adele และสำหรับแต่ละสี่เหลี่ยมผืนผ้าเปิดแบบจำกัดจะมีสำหรับและดังนั้นสำหรับทั้งหมดเป็นผลให้สำหรับเกือบทั้งหมดในการพิจารณานี้และเป็นเซตย่อยจำกัดของเซตของสถานที่ทั้งหมด ${\displaystyle a=(a_{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle \textstyle U=\prod _{p\in E}U_{p}\times \prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p},}$${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle a_{p}\in \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle p\notin F.}$${\displaystyle x_{n}-a\notin U}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$

จำนวนเต็มโปรไฟไนต์ถูกนิยามว่าเป็นการเติมเต็มโปรไฟไนต์ของวงแหวนที่มีอันดับบางส่วน กล่าวคือ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle n\geq m\Leftrightarrow m|n,}$

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}:=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}$

เลมมา.${\displaystyle \textstyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.}$

บทพิสูจน์ข้อนี้เป็นผลมาจากทฤษฎีบท เศษเหลือของจีน

เลมมา.${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }={\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}$

บทพิสูจน์ใช้คุณสมบัติสากลของผลคูณเทนเซอร์ กำหนดฟังก์ชัน -ไบลิเนียร์ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\begin{cases}\Psi :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }\\\left((a_{p})_{p},q\right)\mapsto (a_{p}q)_{p}.\end{cases}}}$

สิ่งนี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างดี เนื่องจากสำหรับค่าที่กำหนดโดยที่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จะมีจำนวนเฉพาะเพียงจำนวนจำกัดที่หารลงตัวให้เป็นโมดูลอีกตัวหนึ่งที่ มี แผนที่เชิงเส้นคู่แบบ - จะต้องเป็นกรณีที่แยกตัวประกอบผ่านได้อย่างไม่ซ้ำกัน กล่าวคือ มีแผนที่เชิงเส้น คู่แบบ - ที่ไม่ซ้ำกันอยู่ ซึ่งสามารถกำหนดได้ดังนี้: สำหรับค่าที่กำหนดจะมีและ อยู่ เช่นนั้นสำหรับทุกค่า กำหนดสามารถแสดงได้ว่า ได้รับการกำหนดไว้อย่างดี เป็นเชิงเส้นคู่แบบ - สอดคล้องกับและเป็นเอกลักษณ์ที่มีคุณสมบัติเหล่านี้ ${\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle m,n}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \Phi :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to M.}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\tilde {\Phi }}:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }\to M}$${\displaystyle \Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi .}$${\displaystyle {\tilde {\Phi }}}$${\displaystyle (u_{p})_{p}}$${\displaystyle u\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (v_{p})_{p}\in {\widehat {\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle u_{p}={\tfrac {1}{u}}\cdot v_{p}}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle {\tilde {\Phi }}((u_{p})_{p}):=\Phi ((v_{p})_{p},{\tfrac {1}{u}}).}$${\displaystyle {\tilde {\Phi }}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi }$

บทสรุป.กำหนดให้สิ่งนี้ส่งผลให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมเชิงพีชคณิต${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }:={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}$

การพิสูจน์.

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\left({\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} \right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times (\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )\cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$

บทตั้ง.สำหรับฟิลด์จำนวน,${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.}$

หมายเหตุ:เมื่อใช้ในกรณีที่มีตัวบวก ด้านขวาจะได้รับโทโพโลยีผลคูณ และโทโพโลยีนี้จะถูกส่งผ่านไอโซมอร์ฟิซึมไปยัง${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\oplus \dots \oplus \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },}$${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.}$

ถ้าเป็นส่วนขยายจำกัด แล้ว ก็คือฟิลด์ทั่วโลก ดังนั้น จึงถูกกำหนด และวงแหวนสามารถระบุได้ด้วยวงแหวนย่อยของแมปไปยังโดยที่สำหรับแล้วจะอยู่ในวงแหวนย่อยถ้าสำหรับและสำหรับ ทั้งหมดที่อยู่เหนือตำแหน่งเดียวกันของ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {A} _{L}={\prod _{v}}'L_{v}.}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{L}.}$${\displaystyle a=(a_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle a'=(a'_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}}$${\displaystyle a'_{w}=a_{v}\in K_{v}\subset L_{w}}$${\displaystyle w|v.}$${\displaystyle a=(a_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle a_{w}\in K_{v}}$${\displaystyle w|v}$${\displaystyle a_{w}=a_{w'}}$${\displaystyle w,w'}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K.}$

บทตั้ง.ถ้าเป็นส่วนขยายจำกัด แล้วทั้งในเชิงพีชคณิตและเชิงโทโพโลยี${\displaystyle L/K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L}$

ด้วยความช่วยเหลือของไอโซมอร์ฟิซึมนี้ การรวมจึงกำหนดโดย ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\subset \mathbb {A} _{L}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {A} _{L}\\\alpha \mapsto \alpha \otimes _{K}1.\end{cases}}}$

นอกจากนี้ ยังสามารถระบุadeles หลักใน ด้วยกลุ่มย่อยของ adeles หลักใน ผ่านการฝังตัวตามธรรมชาติ ได้อีกด้วย${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$${\displaystyle K\to L.}$

พิสูจน์^{[ 16 ]}ให้เป็นฐานของเหนือแล้วสำหรับเกือบทั้งหมด${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle v,}$