เรขาคณิตของจำนวนหรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีจำนวนเชิงเรขาคณิตเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีจำนวนที่ใช้เรขาคณิตในการศึกษาจำนวนพีชคณิตโดยทั่วไปวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตจะถูกมองว่าเป็นแลตทิซและการศึกษาแลตทิซเหล่านี้ให้ข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับจำนวนพีชคณิต^{[ 1 ]}เฮอร์มันน์ มินคอฟสกี  ( 1896 ) ได้ริเริ่มแนวทางการวิจัยนี้เมื่ออายุ 26 ปีในงานของเขาเรื่อง เรขาคณิตของจำนวน^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

เรขาคณิตของจำนวนมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับสาขาคณิตศาสตร์อื่น ๆ โดยเฉพาะการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและการประมาณไดโอแฟนไทน์ซึ่งเป็นปัญหาของการหาจำนวนตรรกยะ ที่ประมาณปริมาณอตรรกยะ^{[ 3 ]}

สมมติว่าเป็นแลตทิซในปริภูมิยุคลิดมิติและเป็นทรงนูนสมมาตรศูนย์กลาง ทฤษฎีบทของมินคอฟสกีซึ่งบางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทแรกของมินคอฟสกี กล่าวว่า ถ้าแล้วจะมีเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์อยู่ใน ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \operatorname {vol} (K)>2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Gamma }$

ค่าต่ำสุดที่ต่อเนื่องกันจะถูกกำหนดให้เป็นค่าต่ำสุดของจำนวนต่างๆที่มีเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นของทฤษฎีบทของมินคอฟสกีเกี่ยวกับค่าต่ำสุดที่ต่อเนื่องกันบางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทที่สองของมินคอฟสกีเป็นการเสริมความแข็งแกร่งของทฤษฎีบทแรกของเขาและระบุว่า^{[ 4 ]}${\displaystyle \lambda _{k}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda K}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol} (K)\leq 2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma ).}$

มินคอฟสกีนำผลลัพธ์ของเขาไปประยุกต์ใช้ในสาขาทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตและนี่เป็นแรงบันดาลใจประการหนึ่งสำหรับคำว่าเรขาคณิตของจำนวนวงแหวนของจำนวนเต็มในฟิลด์จำนวนสามารถฝังตัวเป็นแลตทิซในปริภูมิที่มีมิติสูงกว่าได้จำนวนเต็มเกาส์เซียนซึ่งทั้งหมดเป็นจำนวนเต็มอยู่แล้ว เป็นแลตทิซในระนาบเชิงซ้อนวงแหวนของจำนวนเต็มอื่นๆ อาจไม่ใช่แลตทิซอย่างชัดเจน เช่นซึ่งบรรจุอยู่ในเส้นจำนวนจริงแต่มีความ หนาแน่น${\displaystyle a+ib}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]}$

แนวคิดพื้นฐานของ Minkowski คือการฝังตัวเลขลงในพื้นที่มิติที่สูงกว่า และนี่เป็นคำอธิบายหนึ่งว่าทำไมทฤษฎีทั่วไปจึงถูกเรียกว่า "เรขาคณิตของตัวเลข" ^{[ 5 ]}วงแหวนของจำนวนเต็มทุกวงสามารถฝังลงในพื้นที่ยุคลิดมิติที่สูงกว่าได้ ซึ่งจะกลายเป็นแลตทิซ^{[ 6 ]}โดยทั่วไปแล้วอุดมคติเศษส่วน ทุกตัว จะฝังตัวเป็นแลตทิซ การประมาณขนาดของเวกเตอร์แลตทิซและปริมาตรจะนำไปสู่ขอบเขตบรรทัดฐานของขนาดของอุดมคติ ที่เป็นตัวแทน ภายในแต่ละชั้นอุดมคติโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรขาคณิตของตัวเลขได้ให้การพิสูจน์ครั้งแรกว่ากลุ่มชั้นอุดมคติมีจำนวนจำกัดเนื่องจากจำนวนองค์ประกอบในแลตทิซที่มีบรรทัดฐานจำกัดมีจำนวนจำกัด ซึ่งเป็นปัญหาสำคัญที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขก่อนงานของ Minkowski ข้อโต้แย้งทางเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องให้การพิสูจน์ทางเลือกของทฤษฎีบทหน่วย Dirichlet

การสร้างของมินโกวสกีฝังฟิลด์จำนวนลงในส่วนเติมเต็มจริงและส่วนเติมเต็มเชิงซ้อนทั้งหมดพร้อมกัน นั่นคือ การฝังของฟิลด์จำนวนลงในฟิลด์ จำนวนจริง ซึ่ง อาจเป็นส่วนเติมเต็มจริง ถ้า ฟิลด์จำนวนจริงเป็นจริง หรือเป็นส่วนเติมเต็มเชิงซ้อน ถ้า ฟิลด์จำนวนจริง มีการฝังจริงและมีคู่ของการฝังเชิงซ้อน การฝังของมินโกวสกีจะทำให้ ฟิลด์จำนวนจริงเป็นจริง${\displaystyle K}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \sigma (K)\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} \cong \mathbb {R} ^{r_{1}}\times \mathbb {C} ^{r_{2}}}$

การให้เหตุผลอย่างง่ายแสดงให้เห็นว่าวงแหวนของจำนวนเต็มเป็นกลุ่มอาเบเลียนที่ปราศจากทอร์ชั่นที่มีอันดับโดยที่คือดีกรีของฟิลด์จำนวน ดังนั้นจึงสามารถฝังตัวเป็นแลตทิซภายใต้การฝังตัวแบบมินคอฟสกีได้ สำหรับตัวอย่างของมีการฝังตัวจริงสองแบบ คือและและจุดจะฝังตัวเป็นจุดและภาพจึงเป็นแลตทิซที่สร้างโดย และใน${\displaystyle n}$${\displaystyle n=r_{1}+2r_{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]}$${\displaystyle {\sqrt {2}}\to {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}\to -{\sqrt {2}}}$${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}$${\displaystyle (a+b{\sqrt {2}},a-b{\sqrt {2}})}$${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle ({\sqrt {2}},-{\sqrt {2}})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

ทฤษฎีบทของมินคอฟสกีแสดงให้เห็นว่าคลาสไอเดียลทุกคลาสของประกอบด้วยไอเดียลเชิงปริพันธ์ที่มีบรรทัดฐานซึ่งถูกจำกัดอย่างชัดเจนโดยพิจารณาจากดิสครีมิแนนต์ ของ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

อันที่จริง ตัวแยกแยะจะเข้ามาทางปริมาตรร่วมของแลตทิซนี้ ตัวแยกแยะคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์แกรมของฐานจำนวนเต็มของโดยสัมพันธ์กับรูปแบบร่องรอยภายใต้การฝังแบบมินคอฟสกี ดีเทอร์มิแนนต์นี้คือกำลังสองของปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานพื้นฐาน โดยมีปัจจัยที่มาจากฝังเชิงซ้อน: โดยทั่วไปแล้ว สำหรับอุดมคติเศษส่วน ${\displaystyle \Delta _{K}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle (\operatorname {Tr} _{K/\mathbb {Q} }}$$${\displaystyle \operatorname {covol} ({\mathcal {O}}_{K})=2^{-r_{2}}{\sqrt {|\Delta _{K}|}}.}$$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle \operatorname {covol} ({\mathfrak {a}})=2^{-r_{2}}N({\mathfrak {a}}){\sqrt {|\Delta _{K}|}}.}$

ดังนั้น ตัวแยกแยะจึงวัดปริมาตรของเซลล์พื้นฐานของแลตทิซเลขคณิตที่ได้จากวงแหวนของจำนวนเต็ม การนำทฤษฎีบททรงนูนของมินคอฟสกีมาใช้กับแลตทิซนี้จะให้องค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่ง สอดคล้องกับ เงื่อนไข ซึ่งเป็นการประมาณค่าที่อยู่เบื้องหลังขอบเขตของมินคอฟสกีสำหรับชั้นอุดมคติ ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {a}}}$$${\displaystyle |N_{K/\mathbb {Q} }(\alpha )|\leq \left({\frac {4}{\pi }}\right)^{r_{2}}{\frac {n!}{n^{n}}}{\sqrt {|\Delta _{K}|}}\,N({\mathfrak {a}}),}$$

อีกหนึ่งการประยุกต์ใช้ทฤษฎีของมินคอฟสกีคือการนำไปใช้กับรูปแบบกำลังสองรูปแบบกำลังสองที่เป็นบวกแน่นอนใน ตัวแปร nตัว กำหนดรูปทรงรีในการถามหาค่าเล็กๆ ของรูปแบบกำลังสองบนจำนวนเต็มเทียบเท่ากับการถามว่าการปรับขนาดของรูปทรงรีนี้มีจุดจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์บนโครงข่ายหรือไม่ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับทรงนูนของมินคอฟสกีจะให้ขอบเขตสำหรับค่าต่ำสุดของรูปแบบกำลังสองบนจำนวนเต็มในรูปของดีเทอร์มิแนนต์ของมัน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

เรขาคณิตของจำนวนยังให้การพิสูจน์ทางเรขาคณิตของผลลัพธ์ในการประมาณค่าไดโอแฟนไทน์ด้วย ตัวอย่างเช่น ปัญหาการประมาณค่าจำนวนจริงด้วยจำนวนตรรกยะ สามารถกำหนดเป็นปัญหาการหาจุดจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ในทรงนูนที่เหมาะสมได้ อสมการที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบเชิงเส้นหลายรูปแบบในตัวแปรจำนวนเต็มสามารถตีความได้ว่าเป็นเงื่อนไขที่กำหนดบริเวณนูนสมมาตรในปริภูมิยูคลิด จากนั้นทฤษฎีบทของมินคอฟสกีจะให้การมีอยู่ของคำตอบจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับขอบเขตที่กำหนดไว้

วิธีการนี้เป็นพื้นฐานของผลลัพธ์คลาสสิกเกี่ยวกับการประมาณค่าพร้อมกันและเกี่ยวกับค่าเล็กๆ ของระบบรูปแบบเชิงเส้น เช่นทฤษฎีบทการประมาณค่าของ Dirichlet

ในช่วงปี พ.ศ. 2473–2503 มีการวิจัยเกี่ยวกับเรขาคณิตของจำนวนโดยนักทฤษฎีจำนวนหลายคน (รวมถึงLouis Mordell , Harold DavenportและCarl Ludwig Siegel ) ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา Lenstra, Brion และBarvinokได้พัฒนาทฤษฎีเชิงการจัดเรียงที่นับจุดแลตติซในทรงนูนบางทรง^{[ 7 ]}

ในเรขาคณิตของจำนวนทฤษฎีบทปริภูมิย่อยได้รับการค้นพบโดยWolfgang M. Schmidtในปี 1972 ^{[ 8 ]}ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า ถ้าnเป็นจำนวนเต็มบวก และL ₁ ,..., L _nเป็นรูปแบบเชิงเส้นอิสระเชิงเส้น ใน ตัวแปร nตัวที่มี สัมประสิทธิ์ พีชคณิตและถ้า ε>0 เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้วจุดจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์xใน พิกัด nที่มี

${\displaystyle |L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\varepsilon }}$

อยู่ใน ปริภูมิย่อยที่เหมาะสมจำนวน จำกัดของQ ⁿ

เนื่องจากทรงนูนพบได้ทั่วไปในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ เรขาคณิตของจำนวนของมินคอฟสกีจึงนำไปสู่การพัฒนาในสาขาอื่นๆ ที่ไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับทฤษฎีจำนวนและทฤษฎีแลตติส

เรขาคณิตของจำนวนมีส่วนช่วยในการพัฒนาเรขาคณิตนูนการดำเนินการที่สำคัญอย่างหนึ่งบนทรงนูนคือผลรวมมินคอฟสกี อสมการ บรุนน์-มินคอฟสกีเชื่อมโยงปริมาตรของผลรวมนี้กับปริมาตรของส่วนประกอบต่างๆ โดยกล่าวในรูปแบบหนึ่งว่า ${\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,\ b\in B\}}$

${\displaystyle \operatorname {vol} (A+B)^{1/n}\geq \operatorname {vol} (A)^{1/n}+\operatorname {vol} (B)^{1/n}.}$

ผลลัพธ์ดังกล่าวจัดอยู่ในสาขาเรขาคณิตนูนของงานของมินคอฟสกี กล่าวคือ เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของวัตถุ ปริมาตร และโครงสร้างเชิงเส้นในปริภูมิยูคลิด ในเรขาคณิตของจำนวน แนวคิดเหล่านี้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในการศึกษาเซตผลรวมซึ่งเป็นหนึ่งในวัตถุสำคัญของคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบบวก

เรขาคณิตของจำนวนของ Minkowski มีอิทธิพลอย่างมากต่อการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน Minkowski พิสูจน์ว่าทรงนูนสมมาตรเหนี่ยวนำบรรทัดฐานในปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด ทฤษฎีบทของ Minkowski ได้รับการขยายไปสู่ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีโดยKolmogorovซึ่งทฤษฎีบทของเขากล่าวว่าเซตทรงนูนสมมาตรที่ปิดและมีขอบเขตสร้างทอพอโลยีของปริภูมิBanach ^{[ 9 ]}

นักวิจัยยังคงศึกษาการวางนัยทั่วไปของเซตรูปดาวและเซตที่ไม่นูน อื่นๆ ต่อ ไป^{[ 10 ]}

• Matthias Beck, Sinai Robins. การคำนวณค่าต่อเนื่องแบบไม่ต่อเนื่อง: การแจงนับจุดจำนวนเต็มในทรงหลายเหลี่ยม , ตำราคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรี , Springer, 2007.
• เอ็นริโก บอมบิเอรี ; Vaaler, J. (ก.พ. 1983) "บทแทรกของซีเกล" สิ่งประดิษฐ์ทางคณิตศาสตร์ . 73 (1): 11– 32. Bibcode : 1983InMat..73...11B . ดอย : 10.1007/BF01393823 . S2CID  121274024 .
• เอนริโก บอมเบียรีและ วอลเตอร์ กูเบลอร์ (2006). ความสูงในเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์ . สำนักพิมพ์เคมบริดจ์
• JWS Cassels . บทนำสู่เรขาคณิตของจำนวน . ชุดหนังสือคณิตศาสตร์คลาสสิกของ Springer, Springer-Verlag 1997 (พิมพ์ซ้ำจากฉบับปี 1959 และ 1971 ของ Springer-Verlag)
• John Horton ConwayและNJA Sloane , Sphere Packings, Lattices and Groups , Springer-Verlag, NY, ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 3, 1998
• RJ Gardner, Geometric tomography, Cambridge University Press, New York, 1995. ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง: 2006.
• M. Grötschel , Lovász, L. , A. Schrijver : อัลกอริทึมทางเรขาคณิตและการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงผสมผสาน , Springer, 1988
• PM Gruber , เรขาคณิตนูนและเรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่อง, Springer-Verlag, นิวยอร์ก, 2007
• PM Gruber, JM Wills (บรรณาธิการ), คู่มือเรขาคณิตนูน เล่ม A และ B, North-Holland, อัมสเตอร์ดัม, 1993
• Hancock, Harris (1939). การพัฒนาเรขาคณิตของจำนวนแบบมินคอฟสกี . Macmillan.(ตีพิมพ์ซ้ำในปี 1964 โดยสำนักพิมพ์โดเวอร์)
• เอ็ดมันด์ ฮลอว์กา , โยฮันเนส ชอยเซนไกเออร์, รูดอล์ฟ แทชเนอร์ทฤษฎีเรขาคณิตและจำนวนวิเคราะห์มหาวิทยาลัย. สปริงเกอร์-แวร์แลก, 1991.
• Kalton, Nigel J. ; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984), ตัวสุ่มตัวอย่างในปริภูมิ F , ชุดบันทึกการบรรยายของสมาคมคณิตศาสตร์แห่งลอนดอน, 89, เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, หน้า xii+240, ISBN 0-521-27585-7, MR  0808777
• ซีจี เล็กเคอร์เคเรกเกอร์ . เรขาคณิตของตัวเลข . วอลเตอร์ส-นูร์ดฮอฟฟ์, ฮอลแลนด์เหนือ, ไวลีย์ 1969.
• Lenstra, อลาสกา ; Lenstra, HW Jr. ; โลวาสซ์, แอล. (1982). "การแยกตัวประกอบพหุนามด้วยสัมประสิทธิ์ตรรกยะ" (PDF ) คณิตศาตร์อันนาเลน . 261 (4): 515– 534. ดอย : 10.1007/ BF01457454 hdl : 1887/3810 . คุณ 0682664 . S2CID  5701340 .
• Lovász, L. : ทฤษฎีเชิงอัลกอริทึมของจำนวน กราฟ และความนูน , การประชุมวิชาการระดับภูมิภาค CBMS-NSF ในสาขาคณิตศาสตร์ประยุกต์ ครั้งที่ 50, SIAM, ฟิลาเดลเฟีย, เพนซิลเวเนีย, 1986
• Malyshev, AV (2001) [1994], "เรขาคณิตของจำนวน" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , สำนักพิมพ์ EMS
• Minkowski, Hermann (1910), Geometrie der Zahlen , Leipzig and Berlin: RG Teubner, JFM  41.0239.03 , MR  0249269 , ดึงข้อมูลเมื่อ 2016-02-28
• Wolfgang M. Schmidt . การประมาณค่าไดโอแฟนไทน์ . เอกสารประกอบการบรรยายทางคณิตศาสตร์ 785. Springer. (1980 [1996 พร้อมการแก้ไขเล็กน้อย])
• Schmidt, Wolfgang M. (1996). การประมาณค่าไดโอแฟนไทน์และสมการไดโอแฟนไทน์ . บันทึกการบรรยายทางคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1467 (ฉบับที่ 2). Springer-Verlag . ISBN 3-540-54058-X. Zbl  0754.11020 .
• Rolf Schneider, รูปทรงนูน: ทฤษฎี Brunn-Minkowski,สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, เคมบริดจ์, 1993
• Siegel, Carl Ludwig (1989). บรรยายเรื่องเรขาคณิตของจำนวน . Springer-Verlag .
• Anthony C. Thompson, เรขาคณิตแบบมินคอฟสกี,สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, เคมบริดจ์, 1996
• Hermann Weyl . ทฤษฎีการลดรูปสำหรับความสมมูลทางเลขคณิต Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940) 126–164. doi : 10.1090/S0002-9947-1940-0002345-2
• Hermann Weyl. ทฤษฎีการลดรูปสำหรับความสมมูลทางเลขคณิต. II. Trans. Amer. Math. Soc. 51 (1942) 203–231. doi : 10.2307/1989946