ทฤษฎีจำนวนเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่มุ่งเน้นการศึกษาจำนวนเต็มและฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ เป็นหลัก นักทฤษฎีจำนวนศึกษา ทั้ง จำนวนเฉพาะและคุณสมบัติของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่สร้างขึ้นจากจำนวนเต็ม (เช่นจำนวนตรรกยะ ) หรือที่กำหนดให้เป็นการขยายความของจำนวนเต็ม (เช่นจำนวนเต็มพีชคณิต )

จำนวนเต็มสามารถพิจารณาได้ทั้งในตัวของมันเองหรือในฐานะคำตอบของสมการ ( เรขาคณิตไดโอแฟนไท น์ ) คำถามในทฤษฎีจำนวนมักเข้าใจได้จากการศึกษา วัตถุ เชิงวิเคราะห์เช่นฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ซึ่งเข้ารหัสคุณสมบัติของจำนวนเต็ม จำนวนเฉพาะ หรือวัตถุทางทฤษฎีจำนวนอื่นๆ ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง ( ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ ) นอกจากนี้ยังสามารถศึกษาจำนวนจริงในความสัมพันธ์กับจำนวนตรรกยะได้ เช่น วิธีการประมาณค่าจำนวนอตรรกยะด้วยเศษส่วน ( การประมาณค่าไดโอแฟนไทน์ )

ทฤษฎีจำนวนเป็นหนึ่งในสาขาที่เก่าแก่ที่สุดของคณิตศาสตร์ควบคู่ไปกับเรขาคณิต ลักษณะเฉพาะอย่างหนึ่งของทฤษฎีจำนวนคือมันเกี่ยวข้องกับข้อความที่เข้าใจง่ายแต่แก้ได้ยากมาก ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ซึ่งได้รับการพิสูจน์ 358 ปีหลังจากที่ได้กำหนดสูตรดั้งเดิม และสมมติฐานของโกลด์บัคซึ่งยังคงไม่ได้รับการแก้ไขตั้งแต่ศตวรรษที่ 18 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (1777–1855) เคยกล่าวไว้ว่า "คณิตศาสตร์เป็นราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ และทฤษฎีจำนวนเป็นราชินีแห่งคณิตศาสตร์" ^{[ 1 ]}มันถูกมองว่าเป็นสุดยอดของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ โดยไม่มีการประยุกต์ใช้นอกเหนือจากคณิตศาสตร์ จนกระทั่งทศวรรษ 1970 เมื่อจำนวนเฉพาะกลายเป็นพื้นฐานสำหรับการสร้าง อัลกอริธึม การเข้ารหัสแบบกุญแจสาธารณะเช่น ระบบการ เข้ารหัส RSA

ทฤษฎีจำนวนเป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาจำนวนเต็มและคุณสมบัติและความสัมพันธ์ ของจำนวนเต็ม ^{[ 2 ]}จำนวนเต็มประกอบด้วยเซตที่ขยายเซตของจำนวนธรรมชาติ ให้รวมถึงจำนวนและนิเสธของจำนวนธรรมชาตินักทฤษฎีจำนวนศึกษาจำนวนเฉพาะรวมถึงคุณสมบัติของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่สร้างขึ้นจากจำนวนเต็ม (เช่นจำนวนตรรกยะ ) หรือกำหนดเป็นการวางนัยทั่วไปของจำนวนเต็ม (เช่นจำนวนเต็มพีชคณิต ) ^{[ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle \{1,2,3,\dots \}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \{-1,-2,-3,\dots \}}$

ทฤษฎีจำนวนมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับเลขคณิต และผู้เขียนบางคนใช้คำทั้งสองเป็นคำพ้องความหมาย^{[ 5 ]}อย่างไรก็ตาม ในปัจจุบัน คำว่า "เลขคณิต" ถูกใช้ในความหมายของการศึกษาการดำเนินการทางตัวเลขและขยายไปถึงจำนวนจริง^{[ 6 ]}ในความหมายที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้น ทฤษฎีจำนวนจำกัดอยู่เฉพาะการศึกษาจำนวนเต็มและมุ่งเน้นไปที่คุณสมบัติและความสัมพันธ์ของจำนวนเต็ม^{[ 7 ]} ตาม ธรรมเนียมแล้ว เป็นที่รู้จักกันในชื่อเลขคณิตขั้นสูง^{[ 8 ]}ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 คำว่าทฤษฎีจำนวนได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวาง^{[หมายเหตุ 1 ]}คำว่าจำนวนหมายถึงจำนวนเต็ม ซึ่งหมายถึงทั้งจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนเต็ม^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นศึกษาแง่มุมของจำนวนเต็มที่สามารถตรวจสอบได้โดยใช้วิธีการเบื้องต้น เช่นการพิสูจน์เบื้องต้น [ ^{12 ] ใน} ทางตรงกันข้ามทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ อาศัย จำนวนเชิงซ้อนและเทคนิคจากการวิเคราะห์และแคลคูลัส[ ^{13 ] ทฤษฎี}จำนวนเชิงพีชคณิตใช้โครงสร้างพีชคณิตเช่นฟิลด์และริงเพื่อวิเคราะห์คุณสมบัติและความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนทฤษฎีจำนวนเชิงเรขาคณิตใช้แนวคิดจากเรขาคณิตเพื่อศึกษาจำนวน^{[ 14 ]}สาขาอื่นๆ ของทฤษฎีจำนวน ได้แก่ทฤษฎีจำนวนเชิงความน่าจะเป็น [ ^{15 ] ทฤษฎี}จำนวนเชิงการจัดเรียง [ ^{16 ] ทฤษฎี} จำนวนเชิงคำนวณ^{[ 17 ]}และทฤษฎีจำนวนประยุกต์ ซึ่งตรวจสอบการประยุกต์ใช้ทฤษฎีจำนวนกับวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี^{[ 18 ]}

ในประวัติศาสตร์ที่บันทึกไว้ ความรู้เกี่ยวกับตัวเลขมีอยู่ในอารยธรรมโบราณของเมโสโปเตเมีย อียิปต์ จีน และอินเดีย^{[ 19 ]}การค้นพบทางประวัติศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดเกี่ยวกับเลขคณิตคือPlimpton 322ซึ่งมีอายุราว 1800 ปีก่อนคริสตกาล เป็นแผ่นดินเหนียวที่แตกหักซึ่งมีรายการของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนนั่นคือจำนวนเต็มที่สามเหลี่ยมเหล่านี้มีจำนวนมากและใหญ่เกินกว่าที่จะได้มาด้วย กำลัง แบบดิบๆ^{[ 20 ]}รูปแบบของตารางแสดงให้เห็นว่ามันถูกสร้างขึ้นโดยใช้สิ่งที่เทียบเท่ากับเอกลักษณ์ ในภาษาปัจจุบัน ^{[ 21 ]}ซึ่งแฝงอยู่ในแบบฝึกหัดของชาวบาบิโลนโบราณ^{[ 22 ]}มีการเสนอแนะว่าตารางนี้เป็นแหล่งของตัวอย่างตัวเลขสำหรับปัญหาในโรงเรียน^{[ 23 ] [หมายเหตุ 2 ]}แผ่นจารึกพลิมป์ตัน 322 เป็นหลักฐานเดียวที่หลงเหลืออยู่ของสิ่งที่ในปัจจุบันเรียกว่าทฤษฎีจำนวนในคณิตศาสตร์บาบิโลน แม้ว่าพีชคณิตบาบิโลน ชนิดหนึ่ง จะพัฒนาไปมากแล้วก็ตาม^{[ 24 ]}${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$$${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}+1=\left({\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2},}$$

แม้ว่าอารยธรรมอื่น ๆ อาจมีอิทธิพลต่อคณิตศาสตร์กรีกในช่วงเริ่มต้น^{[ 25 ]}แต่หลักฐานทั้งหมดของการยืมดังกล่าวปรากฏขึ้นค่อนข้างช้า^{[ 26 ] [ 27 ]}และเป็นไปได้ว่าคณิตศาสตร์กรีก(arithmētikḗ ) ซึ่งเป็นการศึกษาเชิงทฤษฎีหรือปรัชญาเกี่ยวกับตัวเลข เป็นประเพณีดั้งเดิม^{[ 28 ]}นักคณิตศาสตร์กรีกโบราณมักจะแยกตัวเลข (ส่วนใหญ่เป็นจำนวนเต็มบวก แต่บางครั้งก็เป็นจำนวนตรรกยะ) ออกจากขนาดหรือความยาว โดยมีเพียงตัวเลขเท่านั้นที่เป็นหัวข้อของการคำนวณเลขคณิต

ความสนใจอย่างมากในการหารลงตัวพบได้ในเลขคณิตกรีกยุคแรกชาวพีทาโกเรียนมักให้คุณสมบัติลึกลับแก่จำนวนสมบูรณ์และ จำนวนที่เป็นมิตร และอุทิศเวลาให้กับการศึกษา จำนวน รูปหลายเหลี่ยมหรือจำนวนรูปทรง^{[ 29 ]}ต่อมา ยูคลิดได้อุทิศส่วนหนึ่งของหนังสือ Elements ของเขา ให้กับหัวข้อที่อยู่ในทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น รวมถึงจำนวนเฉพาะและการหารลงตัว [ ^{30 ] เขา}ได้ให้อัลกอริทึมของยูคลิดสำหรับการคำนวณตัวหารร่วมมากที่สุดของสองจำนวนและบทพิสูจน์ที่บ่งบอกถึงจำนวนเฉพาะที่ไม่มีที่สิ้นสุด โดยอาศัยผลงานของชาวพีทาโกเรียนรุ่นก่อน นิโคมาคัสแห่งเกราซาได้เขียนหนังสือIntroduction to Arithmeticซึ่งมีอิทธิพลในศตวรรษต่อมา ในขณะที่ หนังสือ Mathematics Useful For Understanding Plato ของธีออนแห่งสมีร์นาได้กล่าวถึงแนวคิดเรื่องความสอดคล้องกันผู้เขียนยุคโบราณตอนปลายที่สำคัญที่สุดอาจเป็นดิโอแฟนตัสแห่งอเล็กซานเด รีย ซึ่งน่าจะมีชีวิตอยู่ในช่วงศตวรรษที่ 3 หลังคริสต์ศักราช เขาเขียนหนังสือArithmeticaซึ่งเป็นชุดโจทย์พร้อมวิธีทำ โดยโจทย์คือการหาคำตอบที่เป็นจำนวนตรรกยะของระบบสมการพหุนาม ซึ่งมักอยู่ในรูปหรือในภาษาปัจจุบันสมการไดโอแฟนไทน์คือสมการพหุนามที่ต้องการหาคำตอบที่เป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนเต็ม ${\displaystyle f(x,y)=z^{2}}$${\displaystyle f(x,y,z)=w^{2}}$

หลังจากโรมล่มสลาย การพัฒนาได้เปลี่ยนไปสู่เอเชีย แม้ว่าจะไม่ต่อเนื่องก็ตามทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนปรากฏเป็นแบบฝึกหัด^{[ 31 ]}ในซุนจื่อซวนจิง (ระหว่างศตวรรษที่ 3 ถึง 5) ^{[ 32 ]}ต่อมาผลลัพธ์นี้ได้รับการสรุปเป็นภาพรวมด้วยวิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ที่เรียกว่าต้าหยานซู่ (大衍術) ในตำราคณิตศาสตร์เก้าส่วน ของ ฉินจิ่วเสวในปี 1247 ^{[ 33 ] [ 34 ]}นอกจากนี้ยังมีเรื่องลึกลับเกี่ยวกับตัวเลขในคณิตศาสตร์ของจีน^{[หมายเหตุ 3 ]}แต่ต่างจากของชาวพีทาโกเรียน ดูเหมือนว่ามันจะไม่นำไปสู่สิ่งใด ในขณะที่ดาราศาสตร์กรีกอาจมีอิทธิพลต่อการเรียนรู้ของอินเดีย^{[ 35 ]}ดูเหมือนว่าคณิตศาสตร์ของอินเดียจะเป็นประเพณีดั้งเดิม^{[ 36 ] [ 37 ]}อารยภฏะ (ค.ศ. 476–550) แสดงให้เห็นว่าคู่ของสมการที่สอดคล้องกันพร้อมกันสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการที่เขาเรียกว่ากุฏฏกะหรือเครื่องบด [ ^{38 ] ซึ่ง}เป็นขั้นตอนที่ใกล้เคียงกับอัลกอริทึมแบบยุคลิด^{[ 39 ]}ดูเหมือนว่าอารยภฏะจะนึกถึงการประยุกต์ใช้ในการคำนวณทางดาราศาสตร์^{[ 35 ]}พราหมณคุปตะ (ค.ศ. 628) เริ่มการศึกษาอย่างเป็นระบบเกี่ยวกับสมการกำลังสองที่ไม่แน่นอน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการของเพล ล์ ขั้นตอนทั่วไปในการแก้สมการของเพลล์น่าจะถูกค้นพบโดยชยเทวะการอธิบายที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่ปรากฏในบีชาคณิตะของภัสการะที่ 2 (ศตวรรษที่ 12) ^{[ 40 ]}${\displaystyle n\equiv a_{1}{\bmod {m}__{1}}$${\displaystyle n\equiv a_{2}{\bmod {m}__{2}}$

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 9 กาหลิบอัล-มามูนได้สั่งให้แปลงานคณิตศาสตร์ของกรีกหลายชิ้นและงานภาษาสันสกฤตอย่างน้อยหนึ่งชิ้น^{[ 41 ] [ 42 ]}งานหลักของดิโอแฟนตัสคือArithmeticaได้รับการแปลเป็นภาษาอาหรับโดยQusta ibn Luqa (820–912) ส่วนหนึ่งของตำราal-Fakhri (โดยal-Karajī , 953 – ประมาณ 1029) สร้างขึ้นจากงานชิ้นนี้ในระดับหนึ่ง ตามที่ Rashed Roshdi กล่าวไว้Ibn al-Haytham ผู้ร่วมสมัยของ Al-Karajī รู้^{[ 43 ]}สิ่งที่ต่อมาเรียกว่าทฤษฎีบทของวิลสันนอกเหนือจากตำราเกี่ยวกับกำลังสองในลำดับเลขคณิตโดยFibonacciแล้ว ไม่มีทฤษฎีจำนวนใดที่กล่าวถึงได้เกิดขึ้นในยุโรปตะวันตกในช่วงยุคกลาง เรื่องราวเริ่มเปลี่ยนแปลงในยุโรปในช่วงปลายยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาการเนื่องจากการศึกษาผลงานของกรีกโบราณอีกครั้ง ตัวเร่งปฏิกิริยาคือการแก้ไขข้อความและการแปล Arithmeticaของ Diophantus เป็นภาษาละติน^{[ 44 ]}

ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส(ค.ศ. 1607–1665) ไม่เคยตีพิมพ์งานเขียนของเขา แต่สื่อสารผ่านจดหมายและเขียนบันทึกย่อไว้ที่ขอบกระดาษแทน^{[ 45 ]}ผลงานของเขาในทฤษฎีจำนวนนำมาซึ่งความสนใจในสาขานี้อีกครั้งในยุโรป เขาตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ซึ่งเป็นผลลัพธ์พื้นฐานในเลขคณิตแบบมอดูลาร์ และทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์รวมถึงพิสูจน์ทฤษฎีบทสามเหลี่ยมมุมฉากของแฟร์มาต์^{[ 2 ] [ 46 ]}เขายังศึกษาจำนวนเฉพาะทฤษฎีบทกำลังสองสี่และ สม การของเพลล์ อีกด้วย ^{[ 47 ] [ 48 ]}

ความสนใจของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (1707–1783) ในทฤษฎีจำนวนเริ่มขึ้นครั้งแรกในปี 1729 เมื่อเพื่อนของเขา นักสมัครเล่น^{[หมายเหตุ 4 ]}คริสเตียน โกลด์บัค ชี้ให้เขาเห็นงานบางส่วนของแฟร์มาต์เกี่ยวกับเรื่องนี้^{[ 49 ] [ 50 ]}สิ่งนี้ถูกเรียกว่า "การเกิดใหม่" ของทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่^{[ 51 ]}หลังจากที่แฟร์มาต์ไม่ประสบความสำเร็จในการดึงดูดความสนใจของคนร่วมสมัยของเขาในเรื่องนี้^{[ 52 ]}เขาพิสูจน์ข้อกล่าวอ้างของแฟร์มาต์ รวมถึงทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ทำงานเบื้องต้นเพื่อพิสูจน์ว่าจำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นผลรวมของกำลังสองสี่ตัว^{[ 53 ]}และกรณีเฉพาะของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์^{[ 54 ]}เขาเขียนเกี่ยวกับความเชื่อมโยงระหว่างเศษส่วนต่อเนื่องและสมการของเพลล์^{[ 55 ] [ 56 ]}เขาก้าวแรกไปสู่ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์^{[ 57 ]}

นักวิทยาศาสตร์ร่วมสมัยชาวยุโรปสามคนได้สานต่องานในทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นโจเซฟ-หลุยส์ ลากรองจ์ (1736–1813) ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทกำลังสองสี่ทฤษฎีบทของวิลสันและพัฒนาทฤษฎีพื้นฐานของสมการของเพลล์อย่างสมบูรณ์อาเดรียน-มารี เลอฌองเดร (1752–1833) ได้กล่าวถึงกฎของการแลกเปลี่ยนกำลังสองเขายังตั้งข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะและทฤษฎีบทของดิริชเลต์เกี่ยวกับลำดับเลขคณิตเขาได้อธิบายสมการอย่างละเอียด[ ^{58 ] ใน}วัยชรา เขาเป็นคนแรกที่พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สำหรับ[ ^{59 ] คา}ร์ล ฟรีดริช เกาส์ (1777–1855) ได้เขียนDisquisitiones Arithmeticae (1801) ซึ่งมีอิทธิพลอย่างมากในด้านทฤษฎีจำนวนและกำหนดวาระสำหรับศตวรรษที่ 19 ส่วนใหญ่ ในงานนี้ Gauss ได้พิสูจน์กฎของการแลกเปลี่ยนกำลังสอง^{[ 60 ]}และพัฒนาทฤษฎีของรูปแบบกำลังสอง เขายังได้แนะนำสัญลักษณ์พื้นฐานบางอย่างให้กับความสอดคล้องและอุทิศส่วนหนึ่งให้กับเรื่องการคำนวณ รวมถึงการทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะ^{[ 61 ]}เขาสร้างความเชื่อมโยงระหว่างรากของเอกภาพและทฤษฎีจำนวน^{[ 62 ]}ด้วยวิธีนี้ Gauss จึงอาจกล่าวได้ว่าได้ก้าวไปสู่ผลงานของÉvariste Galois และ ทฤษฎีจำนวนพีชคณิต ${\displaystyle ขวาน^{2}+โดย^{2}+cz^{2}=0}$${\displaystyle n=5}$

นับตั้งแต่ต้นศตวรรษที่สิบเก้า การเปลี่ยนแปลงต่างๆ ต่อไปนี้ได้ค่อยๆ เกิดขึ้น:

• การเกิดขึ้นของทฤษฎีจำนวน (หรือเลขคณิตขั้นสูง ) ในฐานะสาขาวิชา^{[ 63 ]}
• การพัฒนาคณิตศาสตร์สมัยใหม่ส่วนใหญ่ซึ่งจำเป็นสำหรับทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่ขั้นพื้นฐาน ได้แก่การวิเคราะห์เชิงซ้อนทฤษฎีกลุ่มทฤษฎีกาลัวส์ควบคู่ไปกับความเข้มงวดที่มากขึ้นในการวิเคราะห์และนามธรรมในพีชคณิต
• การแบ่งทฤษฎีจำนวนออกเป็นสาขาย่อยอย่างคร่าวๆ ในยุคปัจจุบัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีจำนวน เชิงวิเคราะห์และทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต

อาจกล่าวได้ว่าทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตเริ่มต้นด้วยการศึกษาความสัมพันธ์แบบผกผันและไซโคลโทมี แต่แท้จริงแล้วได้พัฒนาอย่างเต็มที่ด้วยการพัฒนาพีชคณิตนามธรรมและทฤษฎีอุดมคติและ ทฤษฎี การประเมินค่า ในยุคแรก ดังที่กล่าวไว้ด้านล่าง จุดเริ่มต้นตามธรรมเนียมสำหรับทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์คือทฤษฎีบทของ Dirichlet เกี่ยวกับลำดับเลขคณิต (1837) ^{[ 64 ] [ 65 ]}ซึ่งการพิสูจน์ได้แนะนำฟังก์ชัน Lและเกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติกบางส่วนและกระบวนการจำกัดบนตัวแปรจริง^{[ 66 ]}การใช้แนวคิดเชิงวิเคราะห์ในทฤษฎีจำนวนครั้งแรกนั้นย้อนกลับไปถึง Euler (ทศวรรษ 1730) ^{[ 67 ] [ 68 ]}ซึ่งใช้ชุดอนุกรมกำลังที่เป็นทางการและข้อโต้แย้งการจำกัดที่ไม่เข้มงวด (หรือโดยนัย) การใช้ การวิเคราะห์ เชิงซ้อนในทฤษฎีจำนวนเกิดขึ้นในภายหลัง: งานของBernhard Riemann (1859) เกี่ยวกับฟังก์ชันซีตาเป็นจุดเริ่มต้นตามแบบแผน^{[ 69 ]}ทฤษฎีบทสี่กำลังสองของ Jacobi (1839) ซึ่งมีมาก่อนหน้านี้ เป็นส่วนหนึ่งของสายงานที่แตกต่างกันในตอนแรก ซึ่งปัจจุบันได้เข้ามามีบทบาทสำคัญในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ ( รูปแบบมอดูลาร์ ) ^{[ 70 ]}

สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกาเป็นผู้มอบรางวัลโคล (Cole Prize ) ในสาขาทฤษฎีจำนวนนอกจากนี้ ทฤษฎีจำนวนยังเป็นหนึ่งในสามสาขาย่อยทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับรางวัลแฟร์มาต์ (Fermat Prize )

ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นเกี่ยวข้องกับหัวข้อในทฤษฎีจำนวนโดยใช้วิธีการพื้นฐานในเลขคณิต^{[ 4 ]}หัวข้อหลักในการศึกษาคือการหารลงตัวการแยกตัวประกอบและความเป็นจำนวนเฉพาะรวมถึงความสอดคล้องกันในเลขคณิตมอดูลาร์ [ ^{71 ] [ 12 ] หัวข้อ}อื่นๆ ในทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ได้แก่สมการไดโอแฟน ไท น์เศษส่วนต่อเนื่องการแบ่งส่วนจำนวนเต็มและการประมาณค่าไดโอแฟนไทน์^{[ 72 ]}

เลขคณิตคือการศึกษาการดำเนินการทางตัวเลขและศึกษาว่าตัวเลขถูกรวมและแปลงอย่างไรโดยใช้การดำเนินการทางเลขคณิต ได้แก่การบวกการลบการคูณ การหารการยกกำลังการถอดรากและลอการิทึม ตัวอย่างเช่น การคูณเป็นการดำเนินการที่รวม ^{ตัวเลข}สองตัวที่เรียกว่าตัวประกอบ เพื่อสร้างตัวเลขตัวเดียวที่เรียกว่าผลคูณเช่น[ ^{73 ]}${\displaystyle 2\times 3=6}$

การหารลงตัวเป็นคุณสมบัติระหว่างจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์สองจำนวนที่เกี่ยวข้องกับการหาร จำนวนเต็มจะกล่าวได้ว่าหารลงตัวด้วยจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ถ้าเป็นพหุคูณของนั่นคือ ถ้ามีจำนวนเต็ม อยู่จำนวนหนึ่งที่ สูตรที่เทียบเท่ากันคือหารลงตัวและแสดงด้วยเครื่องหมายขีดแนวตั้ง ซึ่งในกรณีนี้คือ ในทางกลับกัน ถ้าไม่ใช่เช่นนั้นจะหารไม่ลงตัวด้วยทำให้มีเศษเหลือทฤษฎีบทการหารของยูคลิดกล่าวว่าและโดยทั่วไปสามารถเขียนได้เป็น โดยที่เศษเหลือคิดเป็นปริมาณบวกที่น้อยที่สุดที่เหลืออยู่ ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นศึกษาหลักเกณฑ์การหารลงตัวเพื่อระบุอย่างรวดเร็วว่าจำนวนเต็มที่กำหนดหารลงตัวด้วยตัวหารคงที่หรือไม่ ตัวอย่างเช่น เป็นที่ทราบกันว่าจำนวนเต็มใด ๆ หารลงตัวด้วย 3 ถ้าผลรวมของตัวเลข ในหลักทศนิยม หารลงตัวด้วย 3 ^{[ 74 ] [ 9 ] [ 75 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle q}$${\displaystyle a=bq}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b|a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a=bq+r}$${\displaystyle r}$

ตัวหารร่วมของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์หลายจำนวน คือจำนวนเต็มที่หารจำนวนเหล่านั้นได้ทั้งหมดตัวหารร่วมมาก (gcd) คือตัวหารที่มากที่สุดในบรรดาตัวหารดังกล่าว จำนวนเต็มสองจำนวนเรียกว่าเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน ถ้าตัวหารร่วมมากของจำนวนทั้งสอง และในขณะเดียวกันก็เป็นตัวหารเพียงตัวเดียวของจำนวนทั้งสอง คือ 0 อัลกอริทึม ของยุคลิดคำนวณตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวนโดยการใช้ทฤษฎีบทการหารซ้ำๆ และเลื่อนตัวหารและเศษเหลือหลังจากทุกขั้นตอน อัลกอริทึมนี้สามารถขยายเพื่อแก้สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น ในกรณีพิเศษได้ สม การไดโอแฟนไทน์มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าหลายตัวและสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม สมการไดโอแฟนไทน์อีกประเภทหนึ่งอธิบายไว้ในทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งคำตอบเรียกว่าสามเหลี่ยมพีทาโกรัสถ้าคำตอบทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม^{[ 9 ] [ 10 ]}นิพจน์อีกประเภทหนึ่งคือเศษส่วนต่อเนื่องซึ่งเขียนผลรวมของจำนวนเต็มและเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นผลรวมดังกล่าวอีกตัวหนึ่ง^{[ 76 ]}${\displaystyle 1}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle ax+by=1}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$

ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นศึกษาคุณสมบัติการหารลงตัวของจำนวนเต็ม เช่นจำนวนคู่และจำนวนคี่จำนวนเฉพาะและจำนวนสมบูรณ์ฟังก์ชันทางทฤษฎีจำนวนที่สำคัญ ได้แก่ ฟังก์ชันนับตัวหาร ฟังก์ชันผลรวมตัวหารและการดัดแปลง และฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์จำนวนเฉพาะคือจำนวนเต็มที่มากกว่าซึ่งมีตัวหารบวกเพียง 1 และตัวจำนวนเฉพาะนั้นเอง จำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 ที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะเรียกว่าจำนวนประกอบทฤษฎีบทของ ยูคลิด แสดงให้เห็นว่ามีจำนวนเฉพาะอนันต์ที่ประกอบเป็นเซต 1 ตะแกรงของเอราโตสเธเนสถูกคิดค้นขึ้นเป็นอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการระบุจำนวนเฉพาะทั้งหมดจนถึงจำนวนธรรมชาติที่กำหนดโดยการกำจัดจำนวนประกอบทั้งหมด^{[ 77 ]}${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \{2,3,5,7,11,\cdots \}}$

การแยกตัวประกอบเป็นวิธีการแสดงจำนวนในรูปผลคูณโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีจำนวนการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มคือการแยกจำนวนเต็มออกเป็นผลคูณของจำนวนเต็ม กระบวนการของการใช้ขั้นตอนนี้ซ้ำๆ จนกว่าตัวประกอบทั้งหมดจะเป็นจำนวนเฉพาะเรียกว่าการแยก ตัวประกอบเฉพาะ คุณสมบัติพื้นฐานของจำนวนเฉพาะแสดงอยู่ในบทพิสูจน์ของยูคลิด ผลที่ตามมาของบทพิสูจน์คือ ถ้าจำนวนเฉพาะหารผลคูณของจำนวนเต็มได้ จำนวนเฉพาะนั้นจะหารตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวในผลคูณนั้นได้ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันเป็นทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตที่เกี่ยวข้องกับการแยกตัวประกอบเฉพาะ ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าจำนวนเต็มทุกจำนวนที่มากกว่าสามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ และการแยกตัวประกอบนี้จะไม่ซ้ำกันจนถึงลำดับของตัวประกอบ ตัวอย่างเช่นสามารถแสดงได้อย่างไม่ซ้ำกันเป็นหรือเพียงแค่^{[ 78 ] [ 9 ]}${\displaystyle 1}$${\displaystyle 120}$${\displaystyle 2\times 2\times 2\times 3\times 5}$${\displaystyle 2^{3}\times 3\times 5}$

เลขคณิตแบบมอดูลาร์ทำงานกับเซตจำกัดของจำนวนเต็มและแนะนำแนวคิดของความสอดคล้องและชั้นเศษเหลือ ความสอดคล้องของจำนวนเต็มสองจำนวนมอดูล(จำนวนเต็มบวกที่เรียกว่ามอดูลัส) คือความสัมพันธ์สมมูลที่เป็นจริง การหารแบบ ยุคลิดบนทั้งและและบนและให้เศษเหลือเดียวกัน เขียนเป็นในลักษณะที่คล้ายคลึงกับนาฬิกา 12 ชั่วโมง ผลรวมของและเท่ากับแต่สอดคล้องกับชั้นเศษเหลือมอดูลคือเซตที่ประกอบด้วยจำนวนเต็มทั้งหมดที่สอดคล้องกับมอดูล ที่กำหนด ตัวอย่างเช่นประกอบด้วยผลคูณทั้งหมดของที่เพิ่มขึ้นด้วย เลขคณิตแบบ มอดูลาร์มีสูตรมากมายสำหรับการแก้ปัญหาความสอดคล้องของกำลังขนาดใหญ่ได้อย่างรวดเร็ว ทฤษฎีบทที่มีอิทธิพลคือทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ซึ่งกล่าวว่าถ้าจำนวนเฉพาะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับจำนวนเต็มบางจำนวนแล้วเป็นจริงทฤษฎีบทของออยเลอร์ขยายสิ่งนี้เพื่อยืนยันว่าจำนวนเต็มทุกตัวสอดคล้องกับความสอดคล้องโดยที่ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์นับจำนวนเต็มบวกทั้งหมดจนถึงจำนวน ที่ไม่มีตัวหาร ร่วมกับเลขคณิตมอดูลาร์ยังให้สูตรที่ใช้ในการแก้ความสอดคล้องที่มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าในลักษณะเดียวกับการแก้สมการในพีชคณิต เช่นทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน^{[ 79 ]}${\displaystyle a,b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n|(ab)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\textstyle a\equiv b{\pmod {n}}}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 9}$${\displaystyle 13}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 6\mathbb {Z} +1}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a}$${\textstyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}},}$$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ แตกต่างจากทฤษฎีจำนวนพื้นฐานตรงที่อาศัยจำนวนเชิงซ้อนและเทคนิคจากการวิเคราะห์และแคลคูลัส ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์อาจนิยามได้ว่า

• ในแง่ของเครื่องมือ เช่น การศึกษาจำนวนเต็มโดยใช้เครื่องมือจากการวิเคราะห์จริงและเชิงซ้อน^{[ 64 ]}หรือ
• ในแง่ของความกังวล เช่น การศึกษาภายในทฤษฎีจำนวนเกี่ยวกับการประมาณค่าขนาดและความหนาแน่นของจำนวนบางจำนวน (เช่น จำนวนเฉพาะ) ตรงข้ามกับเอกลักษณ์^{[ 80 ]}

ศึกษาการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ พฤติกรรมของฟังก์ชันทฤษฎีจำนวน และจำนวนอตรรกยะ^{[ 81 ]}

ทฤษฎีจำนวนมีชื่อเสียงว่าเป็นสาขาที่มีผลลัพธ์มากมายที่สามารถอธิบายให้คนทั่วไปเข้าใจได้ ในขณะเดียวกัน การพิสูจน์ผลลัพธ์เหล่านี้จำนวนมากก็ไม่ได้เข้าถึงได้ง่ายนัก ส่วนหนึ่งเป็นเพราะขอบเขตของเครื่องมือที่ใช้ค่อนข้างกว้างขวางผิดปกติในคณิตศาสตร์^{[ 82 ]}ตัวอย่างของปัญหาในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ ได้แก่ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ สมมติฐาน โกลด์บัค สมมติฐานจำนวนเฉพาะคู่ สมมติฐาน ฮาร์ดี-ลิตเติลวูดปัญหาวาริงและสมมติฐานรีมันน์เครื่องมือที่สำคัญที่สุดบางส่วนของทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ ได้แก่วิธีวงกลมวิธีตะแกรงและฟังก์ชัน L (หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ การศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชันเหล่านี้) ทฤษฎีรูปแบบมอดูลาร์ (และโดยทั่วไปคือรูปแบบอัตโนมัติ ) ก็มีบทบาทสำคัญมากขึ้นเรื่อยๆ ในเครื่องมือของทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์^{[ 83 ]}

การวิเคราะห์เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาลิมิตซึ่งกำหนดเป็นค่าที่ลำดับหรือฟังก์ชันมีแนวโน้มเข้าหาเมื่ออาร์กิวเมนต์ (หรือดัชนี) เข้าใกล้ค่าเฉพาะ ตัวอย่างเช่น ลิมิตของลำดับคือในบริบทของฟังก์ชัน ลิมิตของเมื่อเข้าใกล้อนันต์คือ[ ^{84 ] จำนวนเชิงซ้อน}ขยายจำนวนจริงด้วยหน่วยจินตนาการซึ่งกำหนดเป็นคำตอบของจำนวนเชิงซ้อนทุกจำนวนสามารถแสดงได้เป็น โดยที่เรียกว่าส่วนจริงและเรียกว่าส่วนจินตนาการ^{[ 85 ]}${\displaystyle 0.9,0.99,0.999,...}$${\displaystyle 1}$${\textstyle {\frac {1}{x}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i^{2}=-1}$${\displaystyle x+iy}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

การกระจายตัวของจำนวนเฉพาะซึ่งอธิบายโดยฟังก์ชันที่นับจำนวนเฉพาะทั้งหมดจนถึงจำนวนจริงที่กำหนดนั้น คาดเดาไม่ได้และเป็นหัวข้อสำคัญในการศึกษาทฤษฎีจำนวน สูตรพื้นฐานสำหรับลำดับบางส่วนของจำนวนเฉพาะ รวมถึงพหุนามสร้างจำนวนเฉพาะของออยเลอร์ได้รับการพัฒนาขึ้นแล้ว อย่างไรก็ตาม สูตรเหล่านี้จะไม่สามารถใช้งานได้เมื่อจำนวนเฉพาะมีขนาดใหญ่เกินไป ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ให้การกำหนดรูปแบบของแนวคิดที่ว่าจำนวนเฉพาะปรากฏน้อยลงเมื่อค่าตัวเลขเพิ่มขึ้น การกระจายตัวหนึ่งระบุอย่างไม่เป็นทางการว่าฟังก์ชันประมาณ ค่า อีกการกระจายตัวหนึ่งเกี่ยวข้องกับปริพันธ์ลอการิทึมแบบออฟเซ็ตซึ่งลู่เข้าสู่ค่าได้เร็วขึ้น^{[ 3 ]}${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\frac {x}{\log(x)}}}$${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle \pi (x)}$

ฟังก์ชันซีตาได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเชื่อมโยงกับการกระจายของจำนวนเฉพาะ มันถูกนิยามว่าเป็นอนุกรมที่ลู่เข้าถ้ามากกว่าออยเลอร์ได้แสดงให้เห็นถึงความเชื่อมโยงที่เกี่ยวข้องกับผลคูณอนันต์เหนือจำนวนเฉพาะทั้งหมด ซึ่งแสดงออกมาในรูปเอกลักษณ์รีมันน์ได้ขยายนิยามไปสู่ตัวแปรเชิงซ้อนและตั้งข้อสันนิษฐานว่ากรณีที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด ( ) ที่ฟังก์ชันส่งคืนค่าศูนย์คือกรณีที่ส่วนจริงของเท่ากับเขาสร้างความเชื่อมโยงระหว่างศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์กับฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ ในสิ่งที่ปัจจุบันได้รับการยอมรับว่าเป็นสมมติฐานรีมันน์ ที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข การแก้ปัญหาสมมติฐานนี้จะนำไปสู่ผลลัพธ์โดยตรงสำหรับการทำความเข้าใจการกระจายของจำนวนเฉพาะ^{[ 86 ]}$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$$${\displaystyle s}$${\displaystyle 1}$$${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p{\text{ prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}.}$$${\displaystyle 0<\Re (s)<1}$${\displaystyle s}$${\textstyle {\frac {1}{2}}}$

เราอาจตั้งคำถามเชิงวิเคราะห์เกี่ยวกับจำนวนพีชคณิตและใช้แนวทางเชิงวิเคราะห์เพื่อตอบคำถามเหล่านั้น ดังนั้นทฤษฎีจำนวนพีชคณิตและทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์จึงมาบรรจบกัน ตัวอย่างเช่น เราอาจกำหนดอุดมคติเฉพาะ (การวางนัยทั่วไปของจำนวนเฉพาะในขอบเขตของจำนวนพีชคณิต) และถามว่ามีอุดมคติเฉพาะกี่ตัวจนถึงขนาดที่กำหนด คำถามนี้สามารถตอบได้โดยการตรวจสอบฟังก์ชันซีตาของเดเดคินด์ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ซึ่งเป็น วัตถุเชิงวิเคราะห์ที่สำคัญในรากฐานของเรื่องนี้^{[ 87 ]}นี่เป็นตัวอย่างของกระบวนการทั่วไปในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์: การหาข้อมูลเกี่ยวกับการกระจายของลำดับ (ในที่นี้คืออุดมคติเฉพาะหรือจำนวนเฉพาะ) จากพฤติกรรมเชิงวิเคราะห์ของฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนที่สร้างขึ้นอย่างเหมาะสม^{[ 88 ]}

ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นใช้การพิสูจน์เบื้องต้นซึ่งเป็นคำที่ยกเว้นการใช้จำนวนเชิงซ้อนแต่อาจรวมถึงการวิเคราะห์พื้นฐาน^{[ 72 ]}ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดยใช้การวิเคราะห์เชิงซ้อนในปี 1896 แต่การพิสูจน์เบื้องต้นพบได้ในปี 1949 โดย Erdős และ Selberg เท่านั้น[ 89 ] คำ^{นี้ค่อนข้างกำกวม}ตัวอย่างเช่น การพิสูจน์ที่อิงตามทฤษฎีบท Tauberian เชิงซ้อน เช่นWiener–Ikeharaมักถูกมองว่าค่อนข้างกระจ่าง แต่ไม่ใช่เบื้องต้น แม้ว่าจะใช้การวิเคราะห์ Fourierไม่ใช่การวิเคราะห์เชิงซ้อนก็ตาม ในที่นี้และที่อื่นๆ การพิสูจน์ เบื้องต้นอาจยาวและยากกว่าสำหรับผู้อ่านส่วนใหญ่มากกว่าการพิสูจน์ขั้นสูงกว่า

บางหัวข้อที่โดยทั่วไปถือว่าเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ (เช่นทฤษฎีตะแกรง ) จะครอบคลุมได้ดีกว่าด้วยนิยามที่สองมากกว่านิยามแรก^{[หมายเหตุ 5 ]}ตัวอย่างเช่น ตะแกรงขนาดเล็กใช้การวิเคราะห์เพียงเล็กน้อย แต่ก็ยังจัดอยู่ในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์^{[หมายเหตุ 6 ]}

จำนวนพีชคณิตคือจำนวนเชิงซ้อน ใดๆ ที่เป็นคำตอบของสมการพหุนามบางสมการที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น คำตอบทุกคำตอบของสมการ เป็นจำนวนพีชคณิต ฟิลด์ของจำนวนพีชคณิตเรียกอีกอย่างว่าฟิลด์จำนวนพีชคณิตหรือเรียกสั้นๆ ว่าฟิลด์จำนวนทฤษฎีจำนวนพีชคณิตศึกษาฟิลด์จำนวนพีชคณิต^{[ 90 ]}${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{5}+(11/2)x^{3}-7x^{2}+9=0}$

อาจกล่าวได้ว่าฟิลด์จำนวนที่ง่ายที่สุด นั่นคือฟิลด์กำลังสอง นั้น เกาส์ได้ศึกษามาแล้ว เนื่องจากเนื้อหาเกี่ยวกับรูปแบบกำลังสองในDisquisitiones Arithmeticaeสามารถเขียนใหม่ได้ในแง่ของไอเดียลและ บรรทัดฐานในฟิลด์กำลังสอง ( ฟิลด์กำลังสองประกอบด้วยจำนวนทั้งหมดในรูปแบบโดยที่ และเป็นจำนวนตรรกยะ และ เป็นจำนวนตรรกยะคงที่ซึ่งรากที่สองไม่ใช่จำนวนตรรกยะ) ยิ่งไปกว่านั้นวิธีการจักราวาลา ในศตวรรษที่สิบเอ็ดนั้น ในแง่สมัยใหม่แล้วก็คืออัลกอริทึมสำหรับการหาหน่วยของฟิลด์จำนวนกำลังสองจริง อย่างไรก็ตาม ทั้งภัสการะและเกาส์ไม่รู้จักฟิลด์จำนวนในลักษณะเช่นนั้น ${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle d}$

พื้นฐานของหัวข้อนี้ถูกวางไว้ในช่วงปลายศตวรรษที่สิบเก้า เมื่อมีการนำจำนวนอุดมคติทฤษฎีอุดมคติและทฤษฎีการประเมินค่าเข้า มาใช้ ซึ่งเป็นสามวิธีที่เสริมกันในการจัดการกับการขาดการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันในฟิลด์จำนวนพีชคณิต (ตัวอย่างเช่น ในฟิลด์ที่สร้างขึ้นโดยจำนวนตรรกยะและ จำนวนสามารถแยกตัวประกอบได้ทั้งเป็นและ ; , , และ ทั้งหมด ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ดังนั้นในความหมายแบบง่ายๆ จึงคล้ายคลึงกับจำนวนเฉพาะในหมู่จำนวนเต็ม) แรงผลักดันเริ่มต้นสำหรับการพัฒนาจำนวนอุดมคติ (โดยKummer ) ดูเหมือนจะมาจากการศึกษากฎการตอบแทนที่สูงกว่า^{[ 91 ]}นั่นคือ การวางนัยทั่วไปของการ ตอบแทนกำลังสอง${\displaystyle {\sqrt {-5}}}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle 6=2\cdot 3}$${\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 1+{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle 1-{\sqrt {-5}}}$

ฟิลด์จำนวนมักถูกศึกษาในฐานะส่วนขยายของฟิลด์จำนวนที่เล็กกว่า: ฟิลด์Lกล่าวได้ว่าเป็นส่วนขยายของฟิลด์Kถ้าLประกอบด้วยK (ตัวอย่างเช่น จำนวนเชิงซ้อนCเป็นส่วนขยายของจำนวนจริงRและจำนวนจริงRเป็นส่วนขยายของจำนวนตรรกยะQ ) การจำแนกประเภทส่วนขยายที่เป็นไปได้ของฟิลด์จำนวนที่กำหนดนั้นเป็นปัญหาที่ยากและยังไม่ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ ส่วนขยายแบบอาเบเลียน—นั่นคือ ส่วนขยายLของKที่กลุ่มกาโลอิส^{[หมายเหตุ 7 ]} Gal( L / K ) ของLเหนือKเป็นกลุ่มอาเบเลียน —เป็นที่เข้าใจกันค่อนข้างดี การจำแนกประเภทของส่วนขยายเหล่านี้เป็นเป้าหมายของโครงการทฤษฎีฟิลด์ชั้นซึ่งเริ่มต้นในปลายศตวรรษที่สิบเก้า (ส่วนหนึ่งโดยโครเนกเกอร์และไอเซนสไตน์ ) และดำเนินการส่วนใหญ่ในช่วงปี 1900–1950

ตัวอย่างหนึ่งของงานวิจัยที่กำลังดำเนินอยู่เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตคือทฤษฎีอิวาซาวะโครงการแลงแลนด์ซึ่งเป็นหนึ่งในแผนงานวิจัยขนาดใหญ่ที่สำคัญในปัจจุบันของคณิตศาสตร์ บางครั้งถูกอธิบายว่าเป็นความพยายามที่จะวางนัยทั่วไปของทฤษฎีฟิลด์ชั้นไปสู่ส่วนขยายที่ไม่เป็นอาเบเลียนของฟิลด์จำนวน

ปัญหาหลักของเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์คือการพิจารณาว่าสมการไดโอแฟนไทน์จะมีคำตอบเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะหรือไม่ และถ้ามี จะมีจำนวนเท่าใด แนวทางที่ใช้คือการมองคำตอบของสมการเป็นวัตถุทางเรขาคณิต

ตัวอย่างเช่น สมการในตัวแปรสองตัวกำหนดเส้นโค้งในระนาบ โดยทั่วไปแล้ว สมการหรือระบบสมการในตัวแปรสองตัวขึ้นไปจะกำหนดเส้นโค้งพื้นผิวหรือวัตถุอื่น ๆ ใน ปริภูมิ nมิติ ในเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์ เราจะถามว่ามีจุดตรรกยะ (จุดที่พิกัดทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะ) หรือ จุดจำนวนเต็ม (จุดที่พิกัดทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม) บนเส้นโค้งหรือพื้นผิวหรือไม่ ถ้ามีจุดดังกล่าว ขั้นตอนต่อไปคือการถามว่ามีจำนวนเท่าใดและกระจายตัวอย่างไร คำถามพื้นฐานในทิศทางนี้คือ มีจุดตรรกยะจำนวนจำกัดหรืออนันต์บนเส้นโค้งหรือพื้นผิวที่กำหนดให้หรือไม่

ยกตัวอย่างเช่นสมการพีทาโกรัส เราต้องการทราบคำตอบที่เป็นจำนวนตรรกยะของสมการนี้ กล่าวคือxและyเป็นจำนวนตรรกยะทั้งคู่ นี่เหมือนกับการถามหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดของสมการ เพราะคำตอบใดๆ ของสมการหลังจะให้คำตอบของสมการแรกด้วย นอกจากนี้ยังเหมือนกับการถามหาจุดทั้งหมดที่มีพิกัดเป็นจำนวนตรรกยะบนเส้นโค้งที่อธิบายโดย(วงกลมรัศมี 1 ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด) ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$${\displaystyle x=a/c}$${\displaystyle y=b/c}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

การเปลี่ยนคำถามเกี่ยวกับสมการให้อยู่ในรูปของจุดบนเส้นโค้งนั้นเหมาะสมอย่างยิ่ง ความจำกัดหรือไม่จำกัดของจำนวนจุดตรรกยะหรือจำนวนเต็มบนเส้นโค้งพีชคณิต (นั่นคือ คำตอบตรรกยะหรือจำนวนเต็มของสมการ โดยที่เป็นพหุนามในสองตัวแปร) ขึ้นอยู่กับจีนัสของเส้นโค้ง อย่างมาก ^{[หมายเหตุ 8 ]}ความสำเร็จที่สำคัญของแนวทางนี้คือการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยไวลส์ซึ่งแนวคิดทางเรขาคณิตอื่นๆ ก็มีความสำคัญไม่แพ้กัน ${\displaystyle f(x,y)=0}$${\displaystyle f}$

นอกจากนี้ยังมีเรื่องของประมาณค่าไดโอแฟนไทน์ ที่เกี่ยวเนื่องกันอย่างใกล้ชิด กล่าว คือ เมื่อกำหนดจำนวนหนึ่งให้พิจารณาว่าจำนวนนั้นสามารถประมาณค่าได้ดีเพียงใดด้วยจำนวนตรรกยะ เราต้องการหาค่าประมาณที่ดีเมื่อเทียบกับปริมาณพื้นที่ที่จำเป็นในการเขียนจำนวนตรรกยะนั้น กล่าวคือ เรียก(โดยที่) ว่าเป็นค่าประมาณที่ดีของถ้าโดยที่มีค่ามาก คำถามนี้มีความน่าสนใจเป็นพิเศษหากเป็นจำนวนพีชคณิต หากไม่สามารถประมาณค่า ได้ดี แสดงว่าสมการบางสมการไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะ ยิ่งไปกว่านั้น แนวคิดหลายอย่าง (โดยเฉพาะอย่างยิ่งแนวคิดเรื่องความสูง ) มีความสำคัญอย่างยิ่งทั้งในเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์และในการศึกษาเรื่องประมาณค่าไดโอแฟนไทน์ คำถามนี้ยังมีความน่าสนใจเป็นพิเศษในทฤษฎีจำนวนอดิศัยกล่าวคือ หากจำนวนใดสามารถประมาณค่าได้ดีกว่าจำนวนพีชคณิตใดๆ จำนวนนั้นก็คือจำนวนอดิศัยด้วยเหตุผลนี้เองที่ทำให้เห็น ว่า πและe เป็นจำนวนอดิศัย${\displaystyle x}$${\displaystyle a/q}$${\displaystyle \gcd(a,q)=1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |x-a/q|<{\frac {1}{q^{c}}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

เรขาคณิตไดโอแฟนไทน์ไม่ควรสับสนกับเรขาคณิตของจำนวนซึ่งเป็นชุดของวิธีการทางกราฟิกสำหรับตอบคำถามบางอย่างในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตเรขาคณิตเชิงเลขคณิตเป็นคำร่วมสมัยสำหรับขอบเขตเดียวกันกับที่ครอบคลุมโดยเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อต้องการเน้นความเชื่อมโยงกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสมัยใหม่ (ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีบทของฟอลติงส์ ) มากกว่าเทคนิคในการประมาณค่าไดโอแฟนไทน์

ทฤษฎีจำนวนเชิงความน่าจะเป็นเริ่มต้นด้วยคำถามเช่นต่อไปนี้: สุ่มเลือกจำนวนเต็มn จำนวน หนึ่งระหว่างหนึ่งถึงหนึ่งล้าน โอกาสที่ n จะเป็นจำนวนเฉพาะมีมากน้อยเพียงใด? (นี่เป็นเพียงอีกวิธีหนึ่งในการถามว่ามีจำนวนเฉพาะกี่จำนวนระหว่างหนึ่งถึงหนึ่งล้าน) โดยเฉลี่ยแล้ว n จะ มีตัวหารเฉพาะกี่ตัว? ความน่าจะเป็นที่ n จะมีตัวหารหรือตัวหารเฉพาะมากกว่าหรือน้อยกว่าค่าเฉลี่ยมากน้อยเพียงใด?

คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงในทฤษฎีจำนวนเริ่มต้นด้วยคำถามเช่นนี้: เซตอนันต์ที่ค่อนข้าง "หนา" ประกอบด้วยสมาชิกจำนวนมากในลำดับเลขคณิตหรือไม่: , ${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle a+b,a+2b,a+3b,\ldots ,a+10b}$เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเขียนจำนวนเต็มขนาดใหญ่เป็นผลรวมขององค์ประกอบของ?${\displaystyle A}$

มีคำถามหลักสองข้อคือ "สามารถคำนวณได้หรือไม่" และ "สามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วหรือไม่" ใครๆ ก็สามารถตรวจสอบได้ว่าจำนวนใดเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ หรือหากไม่ใช่ ก็สามารถแยกมันออกเป็นตัวประกอบเฉพาะได้ แต่การทำเช่นนั้นอย่างรวดเร็วเป็นอีกเรื่องหนึ่ง ปัจจุบันมีอัลกอริทึมที่รวดเร็วสำหรับการตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะแล้วแต่ถึงแม้จะมีการทำงานมากมาย (ทั้งทางทฤษฎีและทางปฏิบัติ) ก็ยังไม่มีอัลกอริทึมที่รวดเร็วอย่างแท้จริงสำหรับการแยกตัวประกอบ

เป็นเวลานานแล้วที่ทฤษฎีจำนวนโดยทั่วไป และโดยเฉพาะอย่างยิ่งการศึกษาจำนวนเฉพาะ ถูกมองว่าเป็นตัวอย่างมาตรฐานของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ โดยไม่มีการประยุกต์ใช้ใดๆ นอกเหนือจากคณิตศาสตร์ นอกจากการใช้ฟันเฟืองที่มีจำนวนเฉพาะเพื่อกระจายการสึกหรออย่างสม่ำเสมอ^{[ 92 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง นักทฤษฎีจำนวน เช่นนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษGH Hardyภาคภูมิใจในการทำงานที่ไม่มีความสำคัญทางทหารเลย^{[ 93 ]}นักทฤษฎีจำนวนLeonard Dickson (1874–1954) กล่าวว่า "ขอบคุณพระเจ้าที่ทฤษฎีจำนวนไม่แปดเปื้อนด้วยการประยุกต์ใช้ใดๆ" มุมมองเช่นนี้ใช้ไม่ได้กับทฤษฎีจำนวนอีกต่อไปแล้ว^{[ 94 ]}

วิสัยทัศน์เกี่ยวกับความบริสุทธิ์ของทฤษฎีจำนวนถูกทำลายลงในทศวรรษ 1970 เมื่อมีการประกาศต่อสาธารณะว่าจำนวนเฉพาะสามารถใช้เป็นพื้นฐานสำหรับการสร้าง อัลกอริธึ มการเข้ารหัสแบบกุญแจสาธารณะได้^{[ 95 ]}โครงการต่างๆ เช่น RSA นั้นอาศัยความยากลำบากในการแยกตัวประกอบของจำนวนประกอบขนาดใหญ่ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ^{[ 96 ]}การประยุกต์ใช้เหล่านี้ได้นำไปสู่การศึกษาอัลกอริธึมสำหรับการคำนวณด้วยจำนวนเฉพาะอย่างมีนัยสำคัญ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะซึ่งเป็นวิธีการตรวจสอบว่าจำนวนที่กำหนดเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ จำนวนเฉพาะยังใช้ในการคำนวณสำหรับผลรวมตรวจสอบตารางแฮชและตัวสร้างเลขสุ่มเทียมอีก ด้วย

ในปี พ.ศ. 2517 Donald Knuthกล่าวว่า "ทฤษฎีบทแทบทุกข้อในทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นเกิดขึ้นในลักษณะที่เป็นธรรมชาติและมีแรงจูงใจที่เกี่ยวข้องกับปัญหาในการทำให้คอมพิวเตอร์ทำการคำนวณเชิงตัวเลขความเร็วสูง" ^{[ 97 ]} ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นได้รับการสอนใน หลักสูตร คณิตศาสตร์เชิงดิสครีตสำหรับนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์นอกจากนี้ยังมีการประยุกต์ใช้กับความต่อเนื่องในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขอีก ด้วย ^{[ 98 ]}

ทฤษฎีจำนวนมีแอปพลิเคชันสมัยใหม่หลายด้านที่ครอบคลุมหลากหลายสาขา เช่น:

• วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ : อัลกอริทึม การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (FFT) ซึ่งใช้ในการคำนวณการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องอย่างมีประสิทธิภาพ มีการใช้งานที่สำคัญในการประมวลผลสัญญาณและการวิเคราะห์ข้อมูล^{[ 99 ]}
• ฟิสิกส์ : สมมติฐานของรีมันน์มีความเชื่อมโยงกับการกระจายของจำนวนเฉพาะและได้รับการศึกษาถึงผลกระทบที่อาจเกิดขึ้นในฟิสิกส์^{[ 100 ]}
• รหัสแก้ไขข้อผิดพลาด : ทฤษฎีฟิลด์จำกัดและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตถูกนำมาใช้เพื่อสร้างรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดที่มีประสิทธิภาพ^{[ 101 ]}
• การศึกษาเกี่ยวกับบันไดเสียงดนตรี: แนวคิดของ " ระบบเสียงเท่ากัน " ซึ่งเป็นพื้นฐานของดนตรีตะวันตกสมัยใหม่ส่วนใหญ่ เกี่ยวข้องกับการแบ่งอ็อกเทฟออกเป็น 12 ส่วนเท่าๆ กัน^{[ 102 ]}เรื่องนี้ได้รับการศึกษาโดยใช้ทฤษฎีจำนวนและโดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณสมบัติของรากที่ 12 ของ 2

• พลศาสตร์เชิงเลขคณิต
• ฟิลด์ฟังก์ชันพีชคณิต
• โทโพโลยีเชิงเลขคณิต
• สนามจำกัด
• หมายเลข p-adic
• รายชื่ออัลกอริธึมเชิงทฤษฎีจำนวน

สองวิธีที่ได้รับความนิยมมากที่สุดในการแนะนำหัวข้อนี้ ได้แก่:

• Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938]. บทนำสู่ทฤษฎีจำนวน (ฉบับปรับปรุงโดย DR Heath-Brown และJH Silvermanฉบับที่ 6) สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ดISBN 978-0-19-921986-5.
• Vinogradov, IM (2003) [1954]. องค์ประกอบของทฤษฎีจำนวน (พิมพ์ซ้ำจากฉบับปี 1954). Mineola, NY: Dover Publications.

หนังสือของ Hardy และ Wright เป็นหนังสือคลาสสิกที่ครอบคลุม แต่ความชัดเจนบางครั้งอาจลดลงเนื่องจากผู้เขียนยืนกรานในวิธีการพื้นฐาน ( Apostol 1981 ) จุดเด่นหลักของหนังสือของ Vinogradov อยู่ที่ชุดปัญหาต่างๆ ซึ่งนำไปสู่ความสนใจในการวิจัยของ Vinogradov เองอย่างรวดเร็ว ตัวบทนั้นเรียบง่ายมากและแทบจะไม่มีรายละเอียดใดๆ หนังสือแนะนำเบื้องต้นยอดนิยมอื่นๆ ได้แก่:

• Ivan M. Niven ; Herbert S. Zuckerman; Hugh L. Montgomery (2008) [1960]. บทนำสู่ทฤษฎีจำนวน (พิมพ์ซ้ำฉบับที่ 5 ปี 1991) John Wiley & Sons . ISBN 978-81-265-1811-1สืบค้นเมื่อ28 กุมภาพันธ์ 2559
• โรเซน, เคนเนธ เอช. (2010). ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น (ฉบับที่ 6). เพียร์สัน เอ็ดดูเคชั่ น . ISBN 978-0-321-71775-7สืบค้นเมื่อ28 กุมภาพันธ์ 2559

หนังสือเรียนเล่มที่สองที่ได้รับความนิยม ได้แก่:

• Borevich, AI ; Shafarevich, Igor R. (1966). ทฤษฎีจำนวน . คณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์. เล่มที่ 20. บอสตัน, แมสซาชูเซตส์: สำนักพิมพ์ Academic Press . ISBN 978-0-12-117850-5MR 0195803​ ​
• Serre, Jean-Pierre (1996) [1973]. หลักสูตรเลขคณิต . ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา . เล่ม 7. Springer. ISBN 978-0-387-90040-7.

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวน

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวน

• บทความ เรื่องทฤษฎีจำนวนในสารานุกรมคณิตศาสตร์
• เว็บทฤษฎีจำนวน