บทความนี้ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เชิงเทคนิคสำหรับลอการิทึม กรณีที่ไม่มีฐานกำกับ ควรตีความว่าเป็นลอการิทึมธรรมชาติซึ่งมักเขียนว่าหรือ เช่น กัน${\displaystyle \log(x)}$${\displaystyle \ln(x)}$${\displaystyle \log _{e}(x)}$

ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะคือฟังก์ชันที่นับจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนจริงxบาง จำนวน ^{[ 1 ] [ 2 ]}โดยใช้สัญลักษณ์π ( x ) (ไม่เกี่ยวข้องกับจำนวนπ )

รูปแบบสมมาตรที่พบเห็นได้บ้างคือπ ₀ ( x )ซึ่งเท่ากับπ ( x ) − 1 ⁄ 2ถ้าxเป็นจำนวนเฉพาะพอดี และเท่ากับπ ( x )ในกรณีอื่น ๆ กล่าวคือ จำนวนของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าxบวกครึ่งหนึ่งถ้าxเท่ากับจำนวนเฉพาะ

สิ่งที่น่าสนใจอย่างยิ่งในทฤษฎีจำนวนคืออัตราการเติบโตของฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะ^{[ 3 ] [ 4 ]}ในช่วงปลายศตวรรษที่ 18 เกาส์และเลอฌองเดอร์ได้ตั้งข้อสันนิษฐานว่ามีค่าประมาณ โดยที่logคือลอการิทึมธรรมชาติในความหมายที่ว่า ข้อความนี้คือทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ ข้อความที่เทียบเท่ากันคือ โดยที่liคือ ฟังก์ชัน ปริพันธ์ลอการิทึมทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกในปี 1896 โดยฌาคส์ ฮาดามาร์ดและ ชาร์ ลส์ เดอ ลา วาลเล ปูแซงอย่างอิสระ โดยใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ที่รีมันน์แนะนำในปี 1859 การพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะที่ไม่ใช้ฟังก์ชันซีตาหรือการวิเคราะห์เชิงซ้อนถูกค้นพบประมาณปี 1948 โดยแอตเล เซลเบิร์กและพอล เออร์โดส (ส่วนใหญ่เป็นอิสระต่อกัน) ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}}$$$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log x}}=1.}$$$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\operatorname {li} (x)}}=1}$$

ในปี พ.ศ. 2342 เดอ ลา วัลเล ปูแซงพิสูจน์ ว่า ^{[ 6 ]} สำหรับค่าคงที่บวกa บางค่า ที่นี่O (...)คือสัญลักษณ์Oขนาดใหญ่$${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$$

ปัจจุบันทราบค่าประมาณที่แม่นยำยิ่งขึ้นของπ ( x ) แล้ว ตัวอย่างเช่น ในปี 2545 เควิน ฟอร์ดได้พิสูจน์ว่า^{[ 7 ]}$${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-0.2098(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}\right)\right).}$$

Mossinghoff และTrudgianพิสูจน์^{[ 8 ]}ขอบเขตบนที่ชัดเจนสำหรับความแตกต่างระหว่างπ ( x )และli( x ) : $${\displaystyle {\bigl |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\bigr |}\leq 0.2593{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.315}}}\right)\quad {\text{สำหรับ }}x\geq 229.}$$

สำหรับค่าxที่ไม่มากเกินไปอย่างไม่สมเหตุสมผลli( x )จะมากกว่าπ ( x )อย่างไรก็ตาม เป็นที่ทราบกันดีว่าπ ( x ) − li( x )สามารถเปลี่ยนเครื่องหมายได้เป็นอนันต์ครั้ง สำหรับการอธิบายเรื่องนี้ โปรดดูที่จำนวนของสกิวส์ (Skewes' number )

สำหรับx > 1ให้π ₀ ( x ) = π ( x ) − ⁠1/2เมื่อ xเป็นจำนวนเฉพาะ และ π ₀ ( x ) = π ( x )ในกรณีอื่น Bernhard Riemannในงานของเขาเรื่องOn the Number of Primes Less Than a Given Magnitudeได้พิสูจน์ว่า π ₀ ( x )เท่ากับ ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle \pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho }),}$$ โดยที่ μ ( n )คือฟังก์ชันโมเบียส , li( x )คือฟังก์ชันปริพันธ์ลอการิทึม , ρเป็นดัชนีของศูนย์ทุกตัวของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ และli( x ⁾$${\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} \left(x^{1/n}\right),}$$^ρ/n)ไม่ได้รับการประเมินด้วยการตัดสาขาแต่ถือว่าเป็นEi( ⁠ρ/n⁠ log x )โดยที่ Ei( x )คืออินทิกรัลเลขชี้กำลังหากศูนย์ที่ไม่สำคัญถูกรวบรวมและผลรวมจะถูกคำนวณเฉพาะศูนย์ที่ไม่สำคัญ ρของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เท่านั้น π ₀ ( x )อาจประมาณได้โดย ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \pi _{0}(x)\approx \operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} \left(x^{\rho }\right)-{\frac {1}{\log x}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\log x}}.}$$

สมมติฐานของ รีมันน์ ชี้ให้เห็นว่าศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวจะอยู่บนเส้นRe( s ) = ⁠1/2⁠ .

ตารางแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันทั้งสามπ ( x ) , ⁠x/ล็อกxและ li ( x )เปรียบเทียบกันที่เลขยกกำลัง 10 ดูเพิ่มเติมที่ ^{[ 3 ] [ 11 ]}และ ^{[ 12 ]}

x	π ( x )	π ( x ) − ⁠x/ล็อกx⁠	li( x ) − π ( x )	⁠x/π ( x )⁠	⁠x/ล็อกx⁠  % ข้อผิดพลาด
10	4	0	2	2,500	−8.57%
10 2	25	3	5	4,000	+13.14%
10 3	168	23	10	5.952	+13.83%
10 4	1,229	143	17	8.137	+11.66%
10 5	9,592	906	38	10.425	+9.45%
10 6	78,498	6,116	130	12.739	+7.79%
10 7	664,579	44,158	339	15.047	+6.64%
10 8	5,761,455	332,774	754	17.357	+5.78%
10 9	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667	+5.10%
10 10	455,052,511	20,758,029	3,104	21.975	+4.56%
10 11	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283	+4.13%
10 12	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590	+3.77%
10 13	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896	+3.47%
10 14	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202	+3.21%
10 15	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507	+2.99%
10 16	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812	+2.79%
10 17	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,928	7,956,589	38.116	+2.63%
10 18	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420	+2.48%
10 19	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,961	99,877,775	42.725	+2.34%
10 20	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,702	222,744,644	45.028	+2.22%
10 21	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332	+2.11%
10 22	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636	+2.02%
10 23	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939	+1.93%
10 24	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	54.243	+1.84%
10 25	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	56.546	+1.77%
10 26	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	58.850	+1.70%
10 27	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	61.153	+1.64%
10 28	157,589,269,275,973,410,412,739,598	2,484,097,167,669,186,251,622,127	1,427,745,660,374	63.456	+1.58%
10 29	1,520,698,109,714,272,166,094,258,063	23,130,930,737,541,725,917,951,446	4,551,193,622,464	65.759	+1.52%

ในสารานุกรมลำดับจำนวนเต็มออนไลน์คอลัมน์π ( x )คือลำดับOEIS :  A006880 , π ( x ) − ⁠x/ล็อกx⁠คือลำดับ OEIS :  A057835และ li( x ) − π ( x )คือลำดับ OEIS :  A057752

ค่าของπ (10 ²⁴ )เดิมทีคำนวณโดย J. Buethe, J. Franke , A. Jost และ T. Kleinjung โดยสมมติสมมติฐานของ Riemann [ ^{13 ] ต่อ} มาได้รับการตรวจสอบอย่างไม่มีเงื่อนไขในการคำนวณโดย DJ Platt ^{[ 14 ]} ค่าของπ (10 ²⁵ )มาจากผู้เขียนทั้งสี่คนเดียวกัน^{[ 15 ]} ค่าของπ (10 ²⁶ )คำนวณโดย DB Staple ^{[ 16 ]}รายการก่อนหน้าอื่นๆ ทั้งหมดในตารางนี้ได้รับการตรวจสอบแล้วเช่นกันในงานนั้น

ค่าสำหรับ 10 ²⁷ , 10 ²⁸และ 10 ²⁹ได้รับการประกาศโดย David Baugh และ Kim Walisch ในปี 2015, ^{[ 17 ]} 2020, ^{[ 18 ]}และ 2022, ^{[ 19 ]}ตามลำดับ

วิธีง่ายๆ ในการหาπ ( x )หากxไม่มากเกินไป คือการใช้ตะแกรงของเอราโตสเธเนสเพื่อสร้างจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับxแล้วนับจำนวนเฉพาะเหล่านั้น

วิธีการที่ละเอียดกว่าในการหาπ ( x )มาจากเลอจองเดอร์₍โดยใช้หลักการรวม-แยก ): เมื่อกำหนดx แล้วถ้าp₁ _, p₂ _, …, pᵢเป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน จำนวนของจำนวนเต็มที่น้อยกว่าหรือเท่ากับxซึ่งหารด้วยpᵢ ไม่ _{ลงตัว}คือ

${\displaystyle \lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor +\cdots }$

(โดยที่⌊ x ⌋แทนฟังก์ชันปัดเศษลง ) ดังนั้นจำนวนนี้จึงเท่ากับ

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1}$

เมื่อจำนวนp ₁ , p ₂ ,…, p _n เป็นจำนวน เฉพาะ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับรากที่สองของx

ในบทความชุดหนึ่งที่ตีพิมพ์ระหว่างปี 1870 ถึง 1885 เอิร์น _ส์ไมเซลได้อธิบาย (และใช้) วิธีการเชิงการจัดเรียงที่ใช้งานได้จริงในการประเมินค่า π ( x ) ดังนี้ : ให้p₁ _, p₂ _, …, pₙเป็น จำนวนเฉพาะ n ตัวแรก และให้Φ( m , n )แทนจำนวนธรรมชาติ ที่ ไม่มากกว่าm _ซึ่งหารด้วยpᵢ ตัวใด เลยสำหรับi ≤ nแล้ว

${\displaystyle \Phi (m,n)=\Phi (m,n-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{n}}},n-1\right).}$

กำหนดให้จำนวนธรรมชาติmถ้าn = π ( ³ √ m )และถ้าμ = π ( √ m ) − nแล้ว

${\displaystyle \pi (m)=\Phi (m,n)+n(\mu +1)+{\frac {\mu ^{2}-\mu }{2}}-1-\sum _{k=1}^{\mu }\pi \left({\frac {m}{p_{n+k}}}\right)}$

โดยใช้วิธีการนี้ Meissel คำนวณπ ( x )สำหรับxเท่ากับ5 × 10 ⁵ , 10 ⁶ , 10 ⁷และ10 ⁸

ในปี 1959 เดอร์ริค เฮนรี เลห์เมอร์ได้ขยายและทำให้วิธีการของไมเซลง่ายขึ้น กำหนดให้สำหรับจำนวนจริงmและสำหรับจำนวนธรรมชาติnและk P _k ( m , n )คือจำนวนของจำนวนที่ไม่มากกว่าmซึ่งมีตัวประกอบเฉพาะkตัวพอดี และทั้งหมดมากกว่าp _nนอกจากนี้ ให้กำหนดP ₀ ( m , n ) = 1แล้ว

${\displaystyle \Phi (m,n)=\sum _{k=0}^{+\infty }P_{k}(m,n)}$

โดยที่ผลรวมนั้นมีพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ให้yเป็นจำนวนเต็มที่³ √ m ≤ y ≤ √ mและกำหนดให้n = π ( y )แล้วP ₁ ( m , n ) = π ( m ) − nและP _k ( m , n ) = 0เมื่อk ≥ 3ดังนั้น

${\displaystyle \pi (m)=\Phi (m,n)+n-1-P_{2}(m,n)}$

การคำนวณP ₂ ( m , n )สามารถทำได้ดังนี้:

${\displaystyle P_{2}(m,n)=\sum _{y<p\leq {\sqrt {m}}}\left(\pi \left({\frac {m}{p}}\right)-\pi (p)+1\right)}$

โดยผลรวมนั้นครอบคลุมจำนวนเฉพาะ

ในทางกลับกัน การคำนวณΦ( m , n )สามารถทำได้โดยใช้กฎต่อไปนี้:

1. ${\displaystyle \Phi (m,0)=\lfloor m\rfloor }$
2. ${\displaystyle \Phi (m,b)=\Phi (m,b-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{b}}},b-1\right)}$

โดยใช้วิธีการของเขาและIBM 701เลห์เมอร์สามารถคำนวณค่าที่ถูกต้องของπ (10 ⁹ )และพลาดค่าที่ถูกต้องของπ (10 ¹⁰ )ไป 1 ^{[ 20 ]}

Lagarias, Miller, Odlyzko, Deléglise และ Rivat ได้ทำการปรับปรุงวิธีการนี้เพิ่มเติม^{[ 21 ]}

นอกจากนี้ยังมีการใช้ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะอื่นๆ ด้วย เนื่องจากใช้งานได้สะดวกกว่า

ฟังก์ชันนับกำลังของจำนวนเฉพาะของรีมันน์มักจะใช้สัญลักษณ์Π ₀ ( x )หรือJ ₀ ( x )โดยมีการกระโดดเป็นระยะ⁠1/nที่เลขชี้กำลังเฉพาะ p ⁿและมีค่าอยู่กึ่งกลางระหว่างสองข้างที่จุดไม่ต่อเนื่องของ π ( x )รายละเอียดเพิ่มเติมนี้ใช้เพราะฟังก์ชันนี้สามารถกำหนดได้ด้วยการแปลงเมลลินผกผัน

ในทางรูปธรรม เราอาจกำหนดΠ ₀ ( x )โดย

${\displaystyle \Pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}+\sum _{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}\right)\ }$

โดยที่ตัวแปรpในแต่ละผลรวมจะมีค่าครอบคลุมจำนวนเฉพาะทั้งหมดภายในขอบเขตที่กำหนดไว้

เราอาจเขียนได้เช่นกัน

${\displaystyle \ \Pi _{0}(x)=\sum _{n=2}^{x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}-{\frac {\Lambda (x)}{2\log x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi _{0}\left(x^{1/n}\right)}$

โดยที่Λคือฟังก์ชันของฟอน มังโกลด์และ

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\pi (x-\varepsilon )+\pi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

สูตรการผกผันของโมเบียสจึงให้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\ \Pi _{0}\left(x^{1/n}\right),}$

โดยที่μ ( n )คือฟังก์ชันโมเบียส

เมื่อทราบความสัมพันธ์ระหว่างลอการิทึมของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์และฟังก์ชันΛ ของฟอน มังโกลด์ และใช้สูตรของเพอร์รอนเราจะได้ว่า

${\displaystyle \log \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }\Pi _{0}(x)x^{-s-1}\,\mathrm {d} x}$

ฟังก์ชันเชบีเชฟจะถ่วงน้ำหนักจำนวนเฉพาะหรือกำลังของจำนวนเฉพาะp ⁿด้วยlog p :

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)&=\sum _{p\leq x}\log p\\\psi (x)&=\sum _{p^{n}\leq x}\log p=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta \left(x^{1/n}\right)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).\end{aligned}}}$

สำหรับx ≥ 2 , ^{[ 22 ]}

${\displaystyle \vartheta (x)=\pi (x)\log x-\int _{2}^{x}{\frac {\pi (t)}{t}}\,\mathrm {d} t}$

และ

${\displaystyle \pi (x)={\frac {\vartheta (x)}{\log x}}+\int _{2}^{x}{\frac {\vartheta (t)}{t\log ^{2}(t)}}\mathrm {d} t.}$

สูตรสำหรับฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะมีสองประเภท ได้แก่ สูตรทางคณิตศาสตร์และสูตรเชิงวิเคราะห์ สูตรเชิงวิเคราะห์สำหรับการนับจำนวนเฉพาะเป็นสูตรแรกที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ สูตรเหล่านี้มีที่มาจากผลงานของ Riemann และvon Mangoldtและโดยทั่วไปเรียกว่าสูตรที่ชัดเจน^{[ 23 ]}

เรามีนิพจน์ต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชันเชบิเชฟ ตัวที่สอง ψ :

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log 2\pi -{\frac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right),}$

ที่ไหน

${\displaystyle \psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

ในที่นี้ρคือค่าศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ในแถบวิกฤต ซึ่งส่วนจริงของρอยู่ระหว่างศูนย์และหนึ่ง สูตรนี้ใช้ได้กับค่าxที่มากกว่าหนึ่ง ซึ่งเป็นบริเวณที่สนใจ ผลรวมของรากนั้นลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขและควรคำนวณตามลำดับค่าสัมบูรณ์ ของส่วนจินตนาการที่เพิ่มขึ้น โปรดทราบว่าผลรวมเดียวกันของรากที่ไม่สำคัญจะให้ ค่าลบสุดท้ายในสูตร

สำหรับΠ ₀ ( x )เรามีสูตรที่ซับซ้อนกว่า

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} \left(x^{\rho }\right)-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}.}$

อีกครั้ง สูตรนี้ใช้ได้สำหรับx > 1ในขณะที่ρคือศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของฟังก์ชันซีตาเรียงตามค่าสัมบูรณ์ พจน์แรกli( x )คือฟังก์ชันปริพันธ์ลอการิทึม ตามปกติ นิพจน์li( x ^ρ )ในพจน์ที่สองควรพิจารณาว่าเป็นEi( ρ log x )โดยที่Eiคือการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ของ ฟังก์ชัน ปริพันธ์เอกซ์โพเนน เชีย ลจากจำนวนจริงลบไปยังระนาบเชิงซ้อนที่มีการตัดกิ่งตามจำนวนจริงบวก ปริพันธ์สุดท้ายเท่ากับอนุกรมเหนือศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์:

${\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t\log t}}\left(\sum _{m}t^{-2m}\right)\,\mathrm {d} t=\sum _{m}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{-2m}}{t\log t}}\,\mathrm {d} t\,\,{\overset {\left(u=t^{-2m}\right)}{=}}-\sum _{m}\operatorname {li} \left(x^{-2m}\right)}$

ดังนั้นสูตรการผกผันของโมเบียสจึงให้ผลลัพธ์ ดังนี้ ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} \left(x^{\rho }\right)-\sum _{m}\operatorname {R} \left(x^{-2m}\right)}$

ใช้ได้สำหรับx > 1โดยที่

${\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} \left(x^{1/n}\right)=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(\log x\right)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}}$

คือฟังก์ชัน R ของ Riemann ^{[ 24 ]}และμ ( n )คือฟังก์ชัน Möbiusอนุกรมหลังสำหรับฟังก์ชันนี้เรียกว่าอนุกรมGram ^{[ 25 ] [ 26 ]}เนื่องจากlog x < xสำหรับทุกx > 0อนุกรมนี้จึงลู่เข้าสำหรับx บวกทั้งหมด เมื่อเปรียบเทียบกับอนุกรมสำหรับe ^x ลอการิทึมใน อนุกรม Gram ของผลรวมเหนือส่วนประกอบศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์ควรประเมินเป็นρ log xและไม่ใช่log x ^ρ

Folkmar Bornemann พิสูจน์^{[ 27 ]}เมื่อสมมติสมมติฐานว่าศูนย์ทั้งหมดของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เป็นแบบง่าย^{[หมายเหตุ 1 ]}ว่า

${\displaystyle \operatorname {R} \left(e^{-2\pi t}\right)={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}t^{-2k-1}}{(2k+1)\zeta (2k+1)}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\rho }{\frac {t^{-\rho }}{\rho \cos {\frac {\pi \rho }{2}}\zeta '(\rho )}}}$

โดยที่ρวิ่งผ่านศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ และt > 0

ผลรวมเหนือศูนย์ซีตาที่ไม่ธรรมดาในสูตรสำหรับπ ₀ ( x )อธิบายความผันผวนของπ ₀ ( x )ในขณะที่เทอมที่เหลือให้ส่วน "เรียบ" ของฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะ^{[ 28 ]}ดังนั้นจึงสามารถใช้ได้

${\displaystyle \operatorname {R} (x)-\sum _{m=1}^{\infty }\operatorname {R} \left(x^{-2m}\right)}$

เป็นตัวประมาณที่ดีของπ ( x )สำหรับx > 1อันที่จริง เนื่องจากพจน์ที่สองเข้าใกล้ 0 เมื่อx → ∞ในขณะที่แอมพลิจูดของส่วนที่ "มีสัญญาณรบกวน" นั้นโดยประมาณคือ⁠√ x/ล็อกxการประมาณค่า π ( x )โดยใช้ R( x )เพียงอย่างเดียวก็ให้ผลลัพธ์ที่ดีเช่นกัน และความผันผวนของการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะสามารถแสดงได้อย่างชัดเจนด้วยฟังก์ชัน

${\displaystyle {\bigl (}\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x){\bigr )}{\frac {\log x}{\sqrt {x}}}.}$

Ramanujan ^{[ 29 ]}พิสูจน์ว่าความไม่เท่าเทียมกัน

${\displaystyle \pi (x)^{2}<{\frac {ex}{\log x}}\pi \left({\frac {x}{e}}\right)}$

ใช้ได้กับค่าx ที่มีขนาดใหญ่พอสมควรทุก ค่า

ต่อไปนี้เป็นอสมการที่มีประโยชน์บางส่วนสำหรับ π ( x )

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}<\pi (x)<1.25506{\frac {x}{\log x}}\quad {\text{for }}x\geq 17.}$

อสมการทางซ้ายเป็นจริงสำหรับx ≥ 17และอสมการทางขวาเป็นจริงสำหรับx > 1ค่าคงที่ 1.25506 คือ 30บันทึก 113/113ปัดเศษ ให้ เหลือ 5 ตำแหน่งทศนิยม เช่น π ( x )ล็อกx/xมีค่าสูงสุดที่ x = p ₃₀ = 113 ^{[ 30 ]}

Pierre Dusartพิสูจน์ในปี 2010: ^{[ 31 ]}

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-1}}<\pi (x)<{\frac {x}{\log x-1.1}}\quad {\text{for }}x\geq 5393{\text{ and }}x\geq 60184,{\text{ respectively.}}}$

เมื่อไม่นานมานี้ Dusart ได้พิสูจน์^{[ 32 ]} (ทฤษฎีบท 5.1) ว่า

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}\right)\leq \pi (x)\leq {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}+{\frac {7.59}{\log ^{3}x}}\right),}$

สำหรับx ≥ 88789และ x > 1ตามลำดับ

ในทางกลับกัน ค่าประมาณของจำนวนเฉพาะลำดับที่nคือ p _n

${\displaystyle p_{n}=n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}+O\left({\frac {(\log \log n)^{2}}{(\log n)^{2}}}\right)\right).}$

ต่อไปนี้เป็นอสมการบางส่วนสำหรับ จำนวนเฉพาะลำดับที่ nขอบล่างมาจาก Dusart (1999) ^{[ 33 ]}และขอบบนมาจาก Rosser (1941) ^{[ 34 ]}

${\displaystyle n(\log n+\log \log n-1)<p_{n}<n(\log n+\log \log n)\quad {\text{for }}n\geq 6.}$

อสมการด้านซ้ายเป็นจริงสำหรับn ≥ 2และอสมการด้านขวาเป็นจริงสำหรับn ≥ 6รูปแบบที่แตกต่างกันบางครั้งพบเห็นการแทนที่ ขอบล่างที่ง่ายกว่านั้นคือ^{[ 35 ]}${\displaystyle \log n+\log \log n=\log(n\log n).}$

${\displaystyle n\log n<p_{n},}$

ซึ่งใช้ได้กับ n ≥ 1 ทุกค่าแต่ ขอบล่างข้างต้นจะแคบกว่าสำหรับn > e ^e ≈15.154

ในปี 2010 Dusart ได้พิสูจน์^{[ 31 ]} (ข้อเสนอ 6.7 และ 6.6) ว่า

${\displaystyle n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2.1}{\log n}}\right)\leq p_{n}\leq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}\right),}$

สำหรับn ≥ 3และn ≥ 688383ตามลำดับ

ในปี 2024 Axler ^{[ 36 ]}ได้กระชับสิ่งนี้ให้แน่นขึ้นอีก (สมการ 1.12 และ 1.13) โดยใช้ขอบเขตในรูปแบบ

${\displaystyle f(n,g(w))=n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}-{\frac {g(\log \log n)}{2\log ^{2}n}}\right)}$

พิสูจน์ว่า

${\displaystyle f(n,w^{2}-6w+11.321)\leq p_{n}\leq f(n,w^{2}-6w)}$

สำหรับn ≥ 2และn ≥ 3468ตามลำดับ ขอบล่างอาจลดรูปเป็นf ( n , w ² ) ได้ โดยไม่เปลี่ยนแปลงความถูกต้อง ขอบบนอาจกระชับขึ้นเป็นf ( n , w ² − 6 w + 10.667)ถ้าn ≥ 46254381

มีขอบเขตเพิ่มเติมที่มีความซับซ้อนแตกต่างกันไป^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]}

สมมติฐานของ รีมันน์ บ่งชี้ว่าขอบเขตของข้อผิดพลาดในการประมาณค่าπ ( x ) นั้นแคบลงมาก และส่งผลให้การกระจายตัวของจำนวนเฉพาะมีความสม่ำเสมอมากขึ้น

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).}$

โดยเฉพาะ^{[ 40 ]}

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {\sqrt {x}}{8\pi }}\,\log {x},\quad {\text{for all }}x\geq 2657.}$

Dudek (2015)พิสูจน์ว่าสมมติฐานของ Riemann บ่งชี้ว่าสำหรับทุกx ≥ 2จะมีจำนวนเฉพาะpที่สอดคล้องกับเงื่อนไข ดังกล่าว

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x.}$

• สมมติฐานของแบร์ทรองด์
• ข้อสันนิษฐานของออปเปอร์มันน์
• รามานุจัน ไพรม์

• คริส คาลด์เวลล์, เพจหลักลำดับที่ Nบนเว็บไซต์ The Prime Pages
• Tomás Oliveira e Silva, ตารางฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ
• Dudek, Adrian W. (2015), "เกี่ยวกับสมมติฐานของรีมันน์และความแตกต่างระหว่างจำนวนเฉพาะ", International Journal of Number Theory , 11 (3): 771– 778, arXiv : 1402.6417 , Bibcode : 2014arXiv1402.6417D , doi : 10.1142/S1793042115500426 , ISSN  1793-0421 , S2CID  119321107