บทความนี้ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เชิงเทคนิคสำหรับลอการิทึม กรณีที่ไม่มีฐานกำกับ ควรตีความว่าเป็นลอการิทึมธรรมชาติซึ่งมักเขียนว่าหรือ เช่น กัน${\displaystyle \log(x)}$${\displaystyle \ln(x)}$${\displaystyle \log _{e}(x)}$

ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันเชบิเชฟเป็นได้ทั้งฟังก์ชันแปลงค่าเป็นสเกลาร์ ( ฟังก์ชันเชบิเชฟ ) หรือฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องอีกสองฟังก์ชันฟังก์ชันเชบิเชฟตัวแรกϑ ( x )หรือθ ( x )กำหนดโดย

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}$

โดยที่หมายถึงลอการิทึมธรรมชาติ โดยผลรวม จะ ครอบคลุมจำนวนเฉพาะp ทั้งหมด ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับx${\displaystyle \log }$

ฟังก์ชันเชบิเชฟตัวที่สอง ψ ( x )ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน โดยผลรวมจะครอบคลุมกำลังของจำนวนเฉพาะ ทั้งหมด ที่ไม่เกิน  x

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,}$

โดยที่Λคือฟังก์ชัน von Mangoldtฟังก์ชัน Chebyshev โดยเฉพาะฟังก์ชันที่สองψ ( x )มักถูกใช้ในการพิสูจน์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเฉพาะเนื่องจากโดยทั่วไปแล้วการทำงานกับฟังก์ชันเหล่านี้ง่ายกว่าการทำงานกับฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ π ( x ) (ดูสูตรที่แน่นอนด้านล่าง) ฟังก์ชัน Chebyshev ทั้งสองฟังก์ชันมีลักษณะเป็นเส้นกำกับของ  xซึ่งเป็นข้อความที่เทียบเท่ากับทฤษฎีบท จำนวนเฉพาะ

ฟังก์ชันเชบีเชฟ (Tchebycheff function) , ฟังก์ชันยูทิลิตี้เชบีเชฟ (Chebyshev utility function ) หรือฟังก์ชันสเกลาร์เชบีเชฟแบบถ่วงน้ำหนัก (weighted Tchebycheff scalarizing function)ใช้เมื่อต้องการหาค่าต่ำสุดของหลายฟังก์ชัน และต้องการ "แปลง" ฟังก์ชันเหล่านั้นให้เป็นฟังก์ชันเดียว:

${\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}f_{i}(x).}$^{[ 1 ]}

โดยการลดฟังก์ชันนี้ให้เหลือน้อยที่สุดสำหรับค่าต่างๆ ของจะได้จุดทุกจุดบนแนวหน้าพาเรโตแม้แต่ในส่วนที่ไม่นูน^{[ 1 ]}บ่อยครั้งที่ฟังก์ชันที่ต้องลดให้เหลือน้อยที่สุดไม่ใช่แต่สำหรับค่าสเกลาร์บางค่าจากนั้น^{[ 2 ]}${\displaystyle w}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle |f_{i}-z_{i}^{*}|}$${\displaystyle z_{i}^{*}}$${\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}|f_{i}(x)-z_{i}^{*}|.}$

ฟังก์ชันทั้งสามนี้ตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่ปาฟนูตี เชบิเชฟ

ฟังก์ชันเชบิเชฟตัวที่สองสามารถมองได้ว่ามีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันตัวแรกโดยการเขียนดังนี้

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p}$

โดยที่kเป็นจำนวนเต็มที่ ไม่ซ้ำกัน ซึ่งp ^k ≤ xและx < p ^{k +1}ค่าของkระบุไว้ในOEIS :  A206722ความสัมพันธ์โดยตรงมากขึ้นแสดงโดย

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.}$

ผลรวมสุดท้ายนี้มีพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น เนื่องจาก

${\displaystyle \vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{สำหรับ}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.}$

ฟังก์ชัน เชบิเชฟตัวที่สองคือลอการิทึมของตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง  n

${\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.}$

ค่าของlcm(1, 2, ..., n )สำหรับตัวแปรจำนวนเต็มnสามารถดูได้ที่ OEIS :  A003418

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ เชื่อมโยงผล ^หารทั้งสองและ[ ^{3 ]}${\displaystyle {\frac {\psi (x)}{x}}}$${\displaystyle {\frac {\vartheta (x)}{x}}}$

ทฤษฎีบท:สำหรับเราจะได้ว่า ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle 0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.}$

ความไม่เท่าเทียมกันนี้หมายความว่า

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้าตัวแปรหนึ่งหรือทั้งสองมีแนวโน้มเข้าใกล้ลิมิต ตัวแปรอีกตัวก็จะมีแนวโน้มเข้าใกล้ลิมิตเช่นกัน และลิมิตทั้งสองจะเท่ากัน ${\displaystyle \psi (x)/x}$${\displaystyle \vartheta (x)/x}$

พิสูจน์:เนื่องจากเราจึงได้ว่า ${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n})}$

${\displaystyle 0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n}).}$

แต่จากนิยามของอสมการที่เรามีนั้นเป็นเรื่องเล็กน้อย ${\displaystyle \vartheta (x)}$

${\displaystyle \vartheta (x)\leq \sum _{p\leq x}\log x\leq x\log x}$

ดังนั้น

${\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log _{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}}$

สุดท้าย หารด้วยเพื่อให้ได้อสมการในทฤษฎีบท ${\displaystyle x}$

ขอบเขตต่อไปนี้เป็นที่ทราบสำหรับฟังก์ชันเชบิเชฟ: ^{[1] [2]} (ในสูตรเหล่านี้p _kคือจำนวนเฉพาะลำดับที่k ; p ₁ = 2 , p ₂ = 3 , เป็นต้น)

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}}$

นอกจากนี้ ภายใต้สมมติฐานของรีมันน์

${\displaystyle {\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}}$

สำหรับε > 0ใด ๆ

ขอบเขตบนมีอยู่สำหรับทั้งϑ ( x )และψ ( x )โดยที่^{[ 4 ] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}}$

สำหรับx ใดๆ ที่ มากกว่า 0

คำ อธิบาย ของค่าคงที่ 1.03883 อยู่ในOEIS :  A206431

ในปี ค.ศ. 1895 ฮันส์ คาร์ล ฟรีดริช ฟอน มานโกลด์ต์ได้พิสูจน์^[4]นิพจน์ที่ชัดเจนสำหรับψ ( x )เป็นผลรวมของศูนย์ ที่ไม่ซับซ้อน ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ :

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}$

(ค่าตัวเลขของ⁠ζ ′ (0)/ζ (0)(คือ log(2π) ) ในที่นี้ ρวิ่งไปตามศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของฟังก์ชันซีตา และ ψ ₀ก็เหมือนกับ ψยกเว้นว่าที่จุดไม่ต่อเนื่องแบบกระโดด (กำลังของจำนวนเฉพาะ) มันจะมีค่าอยู่กึ่งกลางระหว่างค่าทางซ้ายและขวา:

${\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\\,\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

จากอนุกรมเทย์เลอร์สำหรับลอการิทึมพจน์สุดท้ายในสูตรที่ชัดเจนสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นผลรวมของ⁠x ^ω/ωเหนือศูนย์ที่ไม่สำคัญของฟังก์ชันซีตา ω = −2, −4, −6, ...กล่าวคือ

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).}$

ในทำนองเดียวกัน พจน์แรกx = ⁠x ¹/1ซึ่งสอดคล้องกับขั้วเดี่ยวของฟังก์ชันซีตาที่ 1 การที่มันเป็นขั้วแทนที่จะเป็นศูนย์นั้นเป็นสาเหตุที่ทำให้พจน์มีเครื่องหมายตรงข้าม

ทฤษฎีบทของเออร์ฮาร์ด ชมิดท์กล่าวว่า สำหรับค่าคงที่บวกK ที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน จะมีจำนวนธรรมชาติx อยู่เป็นอนันต์จำนวน ซึ่งทำให้

${\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}}$

และจำนวนธรรมชาติx ที่เป็นอนันต์ ซึ่งเป็นเช่นนั้น

${\displaystyle \psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.}$^{[5] [6]}

ในการเขียนแบบสัญลักษณ์ตัวเล็ก ๆเราอาจเขียนข้างต้นได้ดังนี้

${\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).}$

HardyและLittlewood ^[7]พิสูจน์ผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งกว่าว่า

${\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).}$

ฟังก์ชันเชบิเชฟตัวแรกคือลอการิทึมของค่าดั้งเดิมของxซึ่งเขียนแทนด้วยx #ดังที่เรามี

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).}$

ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะเทียบเท่ากับจากรูปแบบที่เทียบเท่ากับ โดยที่คือสัญลักษณ์เล็กจึงสรุปได้ทันทีว่าเรามี ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }({\vartheta (x)}/x)=1}$${\displaystyle \vartheta (x)=x(1+o(1))}$${\displaystyle x\rightarrow \infty }$${\displaystyle o}$${\displaystyle o}$

${\displaystyle x\#=e^{(1+o(1))x}.}$

ฟังก์ชันเชบิเชฟสามารถเชื่อมโยงกับฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะได้ดังนี้ กำหนดให้

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}$

แล้ว

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.}$

การเปลี่ยนจากΠไปเป็นฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ π นั้นเกิดขึ้นผ่านสมการ

${\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\,\right)+\cdots }$

แน่นอนว่าπ ( x ) ≤ xดังนั้นเพื่อความสะดวกในการประมาณค่า ความสัมพันธ์สุดท้ายนี้สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบ

${\displaystyle \pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).}$

สมมติฐานของ รีมันน์ กล่าวว่าศูนย์ ที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด ของฟังก์ชันซีตาจะมีส่วนจริงเท่ากับ⁠1/2ในกรณีนี้| x ρ ^| = √ xและสามารถแสดงได้ว่า

${\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).}$

จากที่กล่าวมาข้างต้น หมายความว่าอย่างไร

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).}$

ฟังก์ชันการปรับเรียบถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle \psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.}$

สามารถแสดงให้เห็นได้อย่างง่ายดายว่า${\displaystyle \psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.}$

• ^ Pierre Dusart, "การประมาณค่าฟังก์ชันบางอย่างบนจำนวนเฉพาะโดยไม่ใช้ RH"arXiv: 1002.0442
• ^ Pierre Dusart, "ขอบเขตที่คมชัดกว่าสำหรับψ,θ,π, p _k ", รายงานการวิจัยฉบับที่ 1998-06, มหาวิทยาลัยลิโมฌส์ ฉบับย่อปรากฏในชื่อ " จำนวนเฉพาะที่ kมากกว่า k (log k + log log k − 1)สำหรับ k ≥ 2",คณิตศาสตร์ของการคำนวณ, เล่มที่ 68, ฉบับที่ 225 (1999), หน้า 411–415
• ↑เออร์ฮาร์ด ชมิดต์, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze",Mathematische Annalen,57(1903), หน้า 195–204
• ^ G.H. Hardy และ JE Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes",Acta Mathematica,41(1916) หน้า 119–196
• ^ Davenport, Harold(2000). ในทฤษฎีจำนวนเชิงคูณ . Springer. หน้า 104.ISBN 0-387-95097-4ค้นหาหนังสือผ่าน Google

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ฟังก์ชันเชบิเชฟ" . MathWorld .
• "ฟังก์ชันผลรวมของMangoldt " PlanetMath
• "ฟังก์ชันเชบิเชฟ" PlanetMath
• สูตรที่ชัดเจนของรีมันน์พร้อมภาพและวิดีโอ