ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันปริพันธ์ลอการิทึมหรือปริพันธ์ลอการิทึม li( x ) เป็นฟังก์ชันพิเศษมีความเกี่ยวข้องกับปัญหาทางฟิสิกส์และมี ความสำคัญ ในทฤษฎีจำนวนโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตามทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ ฟังก์ชันนี้เป็นค่าประมาณ ที่ดีมาก ของฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะซึ่งนิยามว่าคือจำนวนของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับค่าx ที่กำหนด ให้

อินทิกรัลลอการิทึมมีการแสดงในรูปอินทิกรัลซึ่งกำหนดไว้สำหรับจำนวนจริง บวกทุกตัว x  ≠ 1 โดยอินทิกรัลจำกัด

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.}$

ในที่นี้lnหมายถึงลอการิทึมธรรมชาติฟังก์ชัน1/(ln t )มีจุดเอกฐานที่t = 1และปริพันธ์สำหรับx > 1ถูกตีความว่าเป็นค่าหลักของโคชี

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right).}$

อย่างไรก็ตาม อินทิกรัลลอการิทึมยังสามารถถือได้ว่าเป็น ฟังก์ชันเชิงซ้อนแบบ เมโรเมอร์ฟิกในโดเมนเชิงซ้อน ในกรณีนี้ ฟังก์ชันจะมีหลายค่า โดยมีจุดแยกที่ 0 และ 1 และค่าระหว่าง 0 และ 1 ที่กำหนดโดยอินทิกรัลข้างต้นจะไม่สอดคล้องกับค่าที่เกิน 1 ฟังก์ชันเชิงซ้อนแสดงอยู่ในรูปด้านบน ค่าบนแกนจริงที่เกิน 1 จะเหมือนกับที่กำหนดไว้ข้างต้น แต่ค่าระหว่าง 0 และ 1 จะถูกเลื่อนไป iπ เพื่อให้ค่าสัมบูรณ์ที่ 0 เป็น π แทนที่จะเป็นศูนย์ ฟังก์ชันเชิงซ้อนยังถูกกำหนด (แต่มีหลายค่า) สำหรับจำนวนที่มีส่วนจริงเป็นลบ แต่บนแกนจริงลบ ค่าจะไม่ใช่จำนวนจริง

อินทิกรัลลอการิทึมแบบออฟเซ็ตหรืออินทิกรัลลอการิทึมแบบออยเลอร์นิยามได้ดังนี้

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).}$

ด้วยเหตุนี้ การแสดงผลในรูปอินทิกรัลจึงมีข้อดีคือช่วยหลีกเลี่ยงภาวะเอกฐานในโดเมนของการอินทิเกรต

ในทำนองเดียวกัน

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {Li} (x)+\operatorname {li} (2).}$

ฟังก์ชัน li( x ) มีค่าศูนย์บวกเพียงค่าเดียว ซึ่งเกิดขึ้นที่x ≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... OEIS :  A070769 ; ตัวเลขนี้เรียกว่าค่าคงที่ Ramanujan– Soldner

${\displaystyle \operatorname {li} ({\text{Li}}^{-1}(0))={\text{li}}(2)}$➤ 1.045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151... OEIS :  A069284

นี่คือตำแหน่งของฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งต้องเข้าใจว่าเป็นค่าหลักของโคชีของฟังก์ชันนั้น ${\displaystyle -(\Gamma (0,-\ln 2)+i\,\pi )}$${\displaystyle \Gamma (a,x)}$

ฟังก์ชัน li( x ) มีความสัมพันธ์กับปริพันธ์เลขชี้กำลัง Ei( x ) ผ่านสมการ

${\displaystyle \operatorname {li} (x)={\hbox{Ei}}(\ln x),}$

ซึ่งใช้ได้สำหรับx  > 0 เอกลักษณ์นี้ให้การแสดงอนุกรมของ li( x ) ดังนี้

${\displaystyle \operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ for }}u\neq 0\,,}$

โดยที่γ ≈ 0.57721 56649 01532 ... OEIS :  A001620คือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนีสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน สูตรคือ

${\displaystyle \operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln u+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ for }}u\neq 0\,,}$

(โดยไม่ต้องพิจารณาค่าสัมบูรณ์ของ u) อนุกรมลู่เข้าอย่างรวดเร็วยิ่งขึ้นโดยRamanujan ^{[ 1 ]}คือ

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\gamma +\ln |\ln x|+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}\right).}$

อีกครั้ง สำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อนเมโรเมอร์ฟิก เทอมนั้นจะต้องถูกแทนที่ด้วย${\displaystyle \ln |\ln u|}$${\displaystyle \ln \ln u.}$

พฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกสำหรับทั้งและสำหรับคือ ${\displaystyle x\to \infty }$${\displaystyle x\to 0^{+}}$

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=O\left({\frac {x}{\ln x}}\right).}$

สัญลักษณ์ O ขนาดใหญ่อยู่ที่ไหนการขยายอนุกรมเชิงเส้นกำกับแบบเต็มคือ ${\displaystyle O}$

${\displaystyle \operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}$

หรือ

${\displaystyle {\frac {\operatorname {li} (x)}{x/\ln x}}\sim 1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots .}$

ซึ่งจะให้พฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกที่แม่นยำยิ่งขึ้นดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \operatorname {li} (x)-{\frac {x}{\ln x}}=O\left({\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\right).}$

อนุกรมนี้เป็นการขยายเชิงอะซิมโทติกที่ไม่ลู่เข้า กล่าวคือ เป็นการประมาณค่าที่เหมาะสมก็ต่อเมื่อตัดอนุกรมที่จำนวนพจน์จำกัด และใช้เฉพาะค่าx ที่มีค่ามากเท่านั้น การขยายนี้ได้มาจากอนุกรมเชิงอะซิมโท ติก สำหรับปริพันธ์เลขชี้กำลัง โดยตรง

นี่หมายความว่าเราสามารถกำหนดวงเล็บให้กับ li ได้ดังนี้:

${\displaystyle 1+{\frac {1}{\ln x}}<\operatorname {li} (x){\frac {\ln x}{x}}<1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {3}{(\ln x)^{2}}}}$

สำหรับทุกคน ${\displaystyle \ln x\geq 11}$

อินทิกรัลลอการิทึมมีความสำคัญในทฤษฎีจำนวนโดยปรากฏในการประมาณจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าค่าที่กำหนด ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะกล่าวว่า:

${\displaystyle \pi (x)\sim \operatorname {li} (x)}$

โดยที่หมายถึงจำนวนของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ ${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle x}$

หากสมมติว่าสมมติฐานของรีมันน์เป็นจริง เราจะได้ผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งยิ่งขึ้น: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle |\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O({\sqrt {x}}\log x)}$

อันที่จริงสมมติฐานของรีมันน์นั้นเทียบเท่ากับข้อความที่ว่า:

${\displaystyle |\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O(x^{1/2+a})}$สำหรับสิ่งใดก็ตาม${\displaystyle a>0}$

สำหรับค่าเล็ก ๆแต่ความแตกต่างจะเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นจำนวนครั้งอนันต์เมื่อค่าเพิ่มขึ้น และครั้งแรกที่เกิดเหตุการณ์นี้จะอยู่ระหว่าง 10 ¹⁹และ${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {li} (x)>\pi (x)}$${\displaystyle x}$1.4 × 10 ³¹⁶ .

• ยอร์เกน เปเดอร์เซน แกรม
• จำนวนของสกิวส์
• รายการอินทิกรัลของฟังก์ชันลอการิทึม