ฟังก์ชันLคือฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิก บนระนาบเชิงซ้อน และ เป็นหนึ่งในหลายประเภทของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์และสาขาที่เกี่ยวข้อง ฟังก์ชัน L มีคุณสมบัติและลักษณะพื้นฐานร่วมกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ซึ่งเป็นตัวอย่างต้นแบบของฟังก์ชัน L ดังนั้น ฟังก์ชัน L จึงเป็นการขยายความทั่วไปของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ข้อสันนิษฐานที่สำคัญบางประการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน L จึงได้แก่สมมติฐานของรีมันน์และการขยายความทั่วไป ของสมมติฐานดัง กล่าว

อนุกรมDirichletซึ่งโดยทั่วไปจะลู่เข้าบนระนาบครึ่งหนึ่งและอาจก่อให้เกิด ฟังก์ชัน Lผ่านการต่อยอดเชิงวิเคราะห์เรียกว่า อนุกรมL

กลุ่มย่อยพื้นฐานของฟังก์ชัน L ถูกสร้างขึ้นจากงานของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อฟังก์ชันซีตาของรีมันน์) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง นักคณิตศาสตร์อย่างแบร์นฮาร์ด รีมันน์ (1826-1866), ริชาร์ด เดเดคินด์ (1831-1916), เอริช เฮคเค (1887-1947) และเอมิล อาร์ติน (1898-1962) ได้ทำการศึกษาเกี่ยวกับกลุ่มย่อยของฟังก์ชัน L และค้นพบฟังก์ชัน L ที่ตั้งชื่อตามตนเองของแต่ละคน

คำว่า "ฟังก์ชัน L" และ "ฟังก์ชันซีตา" มักถูกใช้ในความหมายเดียวกัน เนื่องจากลักษณะการทำงานที่คล้ายคลึงกันและเป็นอนุพันธ์โดยพื้นฐาน อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันซีตาไม่ใช่ฟังก์ชัน L ทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชันซีตาไพรม์ไม่ใช่ฟังก์ชัน L เนื่องจากไม่สามารถขยายเชิงวิเคราะห์ไปยังระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดได้

ดังที่อาจอนุมานได้จากบทนำ ยังไม่มีคำจำกัดความทั่วไปและเป็นที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวางเกี่ยวกับฟังก์ชัน L และการสร้างฟังก์ชันดังกล่าว มีการสร้างและคำจำกัดความต่างๆ จากผู้เขียนที่มีชื่อเสียงหลายท่าน ดังต่อไปนี้

คำจำกัดความนี้เป็นนามธรรมและไม่สมบูรณ์ในแง่ที่ว่าไม่ได้ระบุวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เขากำหนดฟังก์ชัน L ให้ และไม่ได้ระบุกลไกที่แน่นอนของการกำหนดนี้ อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความนี้มีคุณสมบัติที่โดยทั่วไปคาดหวังได้จากฟังก์ชัน L

นิยามนี้ได้รับการขยายความและเริ่มต้นด้วยการกำหนดนิยามเบื้องต้น 6 ข้อ ดังต่อไปนี้:

วัตถุทางคณิตศาสตร์นี้เกี่ยวข้องกับอนุกรมดิริชเลต์ : ${\displaystyle \textstyle f}$

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }\lambda (f,n)n^{-s}}$,

ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าอนุกรม Lและผลคูณออยเลอร์ :

${\displaystyle \prod _{p\in \mathbb {P} }(1-\alpha _{1}(f,p)p^{-s})^{-1}\cdot \cdots \cdot (1-\alpha _{d}(f,p)p^{-s})^{-1}}$.

ในที่นี้ สำหรับ จำนวนธรรมชาติทั้งหมดและ. หมายถึงเซตของจำนวนเฉพาะทั้งหมด ${\displaystyle \textstyle \lambda (f,n)\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \textstyle \lambda (f,1)=1}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {P} }$

จำนวนธรรมชาติเรียกว่า “ดีกรี” ของฟังก์ชัน L หรือผลคูณของออยเลอร์สำหรับทุกจำนวนเฉพาะและทุกค่าของ เราจะได้ ${\displaystyle \textstyle d\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle i\in \{1,\ldots ,d\}}$${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}(f,p)\in \mathbb {C} }$

จำนวนเชิงซ้อนเหล่านี้เรียกว่าราก เฉพาะที่หรือพารามิเตอร์เฉพาะที่ของat${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}(f,p)\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \textstyle L(f,s)\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \textstyle p\in \mathbb {P} }$

สำหรับค่าที่กำหนดนิพจน์ ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$

${\displaystyle (1-\alpha _{1}(f,p)p^{-s})^{-1}\cdot \cdots \cdot (1-\alpha _{d}(f,p)p^{-s})^{-1}}$,

นั่นคือ ตัวประกอบ _{ที่ th}ในผลคูณของออยเลอร์ ซึ่งเรียกว่าตัวประกอบ ออยเลอร์ของat${\displaystyle p}$${\displaystyle L(f,s)}$${\displaystyle p}$

วัตถุนี้ได้รับการกำหนดค่าที่เรียกว่าปัจจัยแกมมา : ${\displaystyle \textstyle f}$

${\displaystyle \gamma (f,s)=\pi ^{-ds/2}\prod _{j=1}^{d}\Gamma \left({\frac {s+\kappa _{j}}{2}}\right)}$

โดยที่แทนฟังก์ชันแกมมาแทนจำนวนอัตโนมัติและแทนดีกรีของฟังก์ชัน L ที่กล่าวถึงข้างต้น พารามิเตอร์เป็นจำนวนเชิงซ้อน เรียกว่าพารามิเตอร์เฉพาะที่อนันต์หรือที่จุดจำนวนเฉพาะอนันต์ ${\displaystyle \textstyle \Gamma }$${\displaystyle \textstyle \pi }$${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle \คัปปา _{j}}$${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$

นอกจากนี้ยังมีการกำหนดจำนวนธรรมชาติให้กับวัตถุนั้นด้วย${\displaystyle \textstyle f}$

${\displaystyle q(f)\in \mathbb {N} }$,

นี่คือสิ่งที่เรียกว่า “ตัวนำ” หรือ “ผู้ควบคุม” ของฟังก์ชัน L จำนวนเฉพาะ ที่ไม่สามารถหารลงตัวได้ เรียกว่า จำนวนเฉพาะ ที่ไม่แตกแขนงเมื่อเทียบกับฟังก์ชันL ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle \textstyle q(f)}$${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$

โดยใช้ชุดอนุกรม Dirichlet, ตัวประกอบแกมมา และสัมประสิทธิ์นำหน้าที่เกี่ยวข้องกับเราสามารถกำหนดสิ่งที่เรียกว่าฟังก์ชัน L ที่สมบูรณ์ของ ได้ดังนี้ : ${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle f}$

${\displaystyle \Lambda (f,s)=q(f)^{s/2}\gamma (f,s)L(f,s).}$

นอกจากนี้ วัตถุดังกล่าวยังเกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อนอีก ด้วย${\displaystyle \textstyle f}$

${\displaystyle \epsilon (f)\in \mathbb {C} }$

จำนวนเชิงซ้อนนี้เรียกว่ารากของฟังก์ชันL ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$

ตอนนี้ วัตถุทางคณิตศาสตร์ตัวหนึ่งมีความสัมพันธ์กับวัตถุทางคณิตศาสตร์อีกตัวหนึ่ง (ซึ่งไม่ได้ระบุรายละเอียดไว้ในกรอบของคำจำกัดความเชิงนามธรรมนี้) เรียกว่าคู่ของและใช้สัญลักษณ์ แทนเช่นเดียวกับกรณีของก็เป็นอนุกรมดิริชเลต์เช่นกัน ${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }\lambda ({\bar {f}},n)n^{-s}}$,

ผลิตภัณฑ์ออยเลอร์

${\displaystyle \prod _{p\in \mathbb {P} }(1-\alpha _{1}({\bar {f}},p)p^{-s})^{-1}\cdot \ldots \cdot (1-\alpha _{\bar {d}}({\bar {f}},p)p^{-s})^{-1}}$

โดยมีปัจจัยแกมมาพจน์นำและฟังก์ชัน L ที่สมบูรณ์ ${\displaystyle \textstyle {\bar {d}}\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \textstyle \gamma ({\bar {f}},s)}$${\displaystyle \textstyle q({\bar {f}})}$${\displaystyle \textstyle \Lambda ({\bar {f}},s)}$

ถ้าเช่นนั้นเรียกว่าคู่ตัวเองซึ่งหมายความว่าไม่มีอะไรอื่นนอกจากสำหรับทั้งหมด^{[ 2 ]}${\displaystyle \textstyle f={\bar {f}}}$${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$${\displaystyle \textstyle \lambda (f,n)\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$

วัตถุที่กล่าวถึงข้างต้น ซึ่งเกี่ยวข้องกับวัตถุทางคณิตศาสตร์จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ เพื่อให้เป็นไปตามนิยามของฟังก์ชัน L ตามที่ Iwaniec และ Kowalski กล่าวไว้: ${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$

เงื่อนไขที่ต้องปฏิบัติตามสำหรับวัตถุทางคณิตศาสตร์${\displaystyle f}$

ดัชนี	เงื่อนไข	คำอธิบาย
1	ค่าสัมบูรณ์ของพารามิเตอร์ท้องถิ่นสำหรับ${\displaystyle \textstyle p}$	สำหรับจำนวนเฉพาะทุกจำนวนและทุกค่าเรามี ${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle i\in \{1,\ldots ,d\}}$${\displaystyle \textstyle |\alpha _{i}(f,p)|<p}$
2	ค่าของพารามิเตอร์ท้องถิ่นสำหรับส่วนที่ไม่แตกแขนง${\displaystyle \textstyle p}$	สำหรับจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่แตกแขนงเมื่อเทียบกับและสำหรับทุกเรามี ${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$${\displaystyle \textstyle i\in \{1,\ldots ,d\}}$${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}(f,p)\neq 0}$
3	ข้อกำหนดสำหรับพารามิเตอร์ท้องถิ่นที่ระยะอนันต์	พารามิเตอร์จะเป็นจำนวนจริงหรือปรากฏในรูปของ คู่สั งยุคเชิงซ้อนในตัวประกอบแกมมานอกจากนี้สำหรับทุกๆเงื่อนไขสุดท้ายนี้รับประกันว่าไม่มีศูนย์ในและไม่มีขั้วที่มีหมายถึงส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle \textstyle \kappa _{j}}$${\displaystyle \textstyle \gamma (f,s)}$${\displaystyle \textstyle \Re (\kappa _{j})>-1}$${\displaystyle \textstyle j\in \{1,\ldots ,d\}}$${\displaystyle \textstyle \gamma (f,s)}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \textstyle \Re (s)\geq 1}$${\displaystyle \textstyle \Re }$
4	การลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ของอนุกรม Dirichlet และผลคูณ Euler	ทั้งอนุกรม Dirichlet และผลคูณ Euler ที่เกี่ยวข้องกับจะ ต้องลู่เข้าอย่างสมบูรณ์สำหรับ${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$
5	ความสอดคล้องกันระหว่างฟังก์ชัน L อนุกรม Dirichlet และผลคูณ Euler ในระนาบครึ่งเชิงซ้อน	ฟังก์ชัน L, อนุกรม Dirichlet และผลคูณ Euler ที่เกี่ยวข้องจะต้องตรงกันในระนาบครึ่งเชิงซ้อน: ${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$ ${\displaystyle L(f,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\lambda (f,n)n^{-s}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-\alpha _{1}(f,p)p^{-s})^{-1}\cdot \cdots \cdot (1-\alpha _{d}(f,p)p^{-s})^{-1}.}$
6	ความต่อเนื่องเชิงวิเคราะห์และจุดขั้ว	จากเงื่อนไขดังกล่าว จะเห็นได้ว่าอนุกรม Dirichlet ต้องเป็นโฮ โลมอร์ฟิกในระนาบครึ่งอย่างไรก็ตาม สิ่งนี้จะต้องสามารถขยายได้ในเชิงวิเคราะห์ไป ยัง ฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกอันดับ 1 บนทั้งหมดซึ่งมีขั้วไม่เกินที่และ${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \textstyle s=0}$${\displaystyle \textstyle s=1}$
7	ค่าสัมบูรณ์ของรากที่สอง	รากที่สองมีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1 ดังนั้น จึงต้องเท่ากับ 1 ${\displaystyle \textstyle \epsilon (f)\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \textstyle |\epsilon (f)|}$
8	ข้อกำหนดสำหรับวัตถุที่เกี่ยวข้องกับคู่ของ${\displaystyle \textstyle f}$	ในส่วนที่เกี่ยวกับคู่ของจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda ({\bar {f}},n)={\bar {\lambda }}(f,n)}$สำหรับทุกคน : , เช่นเดียวกับ${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \textstyle \gamma ({\bar {f}},s)=\gamma (f,s)}$และ ${\displaystyle \textstyle q({\bar {f}})=q(f)}$. สิ่งเหล่านี้บ่งชี้ว่าในอนุกรม Dirichlet ที่เกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์จะเป็นค่าสังยุคเชิงซ้อนของสัมประสิทธิ์ในอนุกรม Dirichlet ที่เกี่ยวข้องกับ อย่างแม่นยำ ปัจจัยแกมมาและตัวนำที่เกี่ยวข้องกับและตามลำดับ จะต้องตรงกัน ${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$${\displaystyle \textstyle \lambda }$${\displaystyle \textstyle \lambda }$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$
9	สมการเชิงฟังก์ชัน	ฟังก์ชัน L สมบูรณ์สองฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับและตามลำดับ สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน ${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$ ${\displaystyle \Lambda (f,s)=\epsilon (f)\Lambda ({\bar {f}},1-s)}$ สำหรับทุกคน ${\displaystyle \textstyle s\in \mathbb {C} }$

นิยามของ Iwaniec และ Kowalski สะท้อนให้เห็นว่าฟังก์ชันที่ถือว่าเป็นฟังก์ชัน L โดยทั่วไปจะปรากฏเป็นการแมปของฟังก์ชัน L ไปยังวัตถุทางคณิตศาสตร์ (เช่น อักขระ Dirichlet หรือฟิลด์จำนวนพีชคณิต) นิยามของพวกเขานั้นเป็นนามธรรมและไม่สมบูรณ์ เนื่องจากยังคงเปิดคำถามไว้ว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์เหล่านั้นคืออะไรกันแน่ และการแมปนั้นจะดำเนินการอย่างไร

นิยามที่เสนอโดยนักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์-อเมริกันAtle Selbergในปี 1989 นั้นเป็นอิสระจากวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ในนิยามที่ไม่เป็นนามธรรมและไม่คลุมเครือ เขาได้ระบุเซตย่อยของเซตของอนุกรม Dirichlet ทั้งหมดซึ่งองค์ประกอบต้องเป็นไปตามคุณสมบัติบางประการ ได้แก่ การลู่เข้าสัมบูรณ์ของอนุกรม Dirichlet การต่อขยายเชิงวิเคราะห์ สมการเชิงฟังก์ชัน ข้อสันนิษฐานของ Ramanujan ^{[หมายเหตุ 1 ]}และผลคูณของ Euler เซตย่อยนี้ในปัจจุบันเรียกว่าชั้นSelberg ^{[ 3 ]}

สมมติฐานหลักและพื้นฐานที่กระตุ้นให้เกิดการนิยามชั้นเซลเบิร์กคือสิ่งที่เรียกว่าสมมติฐานรีมันน์อันยิ่งใหญ่เมื่อนำมาใช้กับชั้นเซลเบิร์ก สมมติฐานนี้กล่าวว่า ไม่มีศูนย์ใดของการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ของอนุกรมดิริชเลต์ในชั้นเซลเบิร์กที่มีส่วนจริงมากกว่า 1/2 ในกรณีขององค์ประกอบที่ง่ายที่สุด (ที่คาดการณ์ไว้) ของชั้นเซลเบิร์ก (อนุกรมดิริชเลต์ของรีมันน์พร้อมกับการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ไปยังฟังก์ชันซีตาของรีมันน์) ข้อสันนิษฐานนี้สอดคล้องกับสมมติฐานรีมันน์ซึ่งจนถึงปัจจุบันยังไม่มีการพิสูจน์หรือหักล้างแต่อย่างใด

ด้วยเหตุนี้ จึงต้องพิจารณาข้อบกพร่องที่เหลืออยู่ในการนิยามคำว่า "ฟังก์ชัน L" กล่าวคือ เราต้องการนิยามคำว่า "ฟังก์ชัน L" ในลักษณะที่ฟังก์ชัน L นั้นสามารถตรวจสอบได้ว่าสอดคล้องกับสมมติฐานรีมันน์อันยิ่งใหญ่ แต่ในทางกลับกัน เรายังไม่สามารถพิสูจน์แม้แต่กรณีที่ง่ายที่สุด (สมมติฐานรีมันน์สำหรับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์) ซึ่งอาจเป็นสัญญาณของการขาดความเข้าใจในฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ และทำให้ยากที่จะให้คำนิยามที่ชัดเจนของแนวคิดทั่วไปของฟังก์ชัน L

ส่วนนี้จะกล่าวถึงภาพรวมของตัวอย่างพื้นฐานของฟังก์ชัน L

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของฟังก์ชัน L และในขณะเดียวกันก็เป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับคำจำกัดความใด ๆ ของคำว่าฟังก์ชัน L โดยอิงจากงานของLeonhard Eulerคือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์^{[ 4 ]}${\displaystyle \textstyle \zeta }$

หนึ่งใน “วัตถุทางคณิตศาสตร์” ที่เป็นไปได้ในความหมายของแนวทางการนิยามโดย Iwaniec และ Kowalski ซึ่งฟังก์ชัน L นี้สามารถกำหนดให้ได้ คือฟิลด์ของจำนวนตรรกยะอนุกรม Dirichlet ของมัน ${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n^{s}}}\,,}$

นั่นคือ

${\displaystyle \lambda (\mathbb {Q} ,n)=1}$

สำหรับทุก ๆ ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์สำหรับเมื่อรวมกับผลคูณออยเลอร์ซึ่งลู่เข้าอย่างสมบูรณ์เช่นกัน จะได้ว่าต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับ: ^{[ 5 ]}${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle \zeta (s)=L(\mathbb {Q} ,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-p^{-s})^{-1}.}$

เนื่องจากทั้งหมดเป็นจำนวนจริง กล่าวคือเท่ากับ 1 ดังนั้นจึงเป็นคู่ของตัวเอง วัตถุคู่ของจึงเป็น ด้วยเช่นกัน ดังนั้น${\displaystyle \textstyle \lambda (\mathbb {Q} ,n)}$${\displaystyle \textstyle \zeta (s)}$${\displaystyle \textstyle f=\mathbb {Q} }$${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}=\mathbb {Q} }$

ระดับของผลคูณออยเลอร์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์คือ

${\displaystyle d=1}$.

สำหรับพารามิเตอร์ท้องถิ่น ณ ตำแหน่งนั้นจะเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle \textstyle p}$

${\displaystyle \alpha (\mathbb {Q} ,p)=1}$

สำหรับทุกค่าโดยปกติแล้วจะใช้ค่าตัวประกอบแกมมาต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์: ${\displaystyle \textstyle p\in \mathbb {P} }$

${\displaystyle \gamma (\mathbb {Q} ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right).}$

ดังนั้น พารามิเตอร์เฉพาะที่ระยะอนันต์จึงเป็น 0 ตัวนำของคือ ${\displaystyle \textstyle \kappa }$${\displaystyle \textstyle \zeta }$

${\displaystyle \textstyle q(\mathbb {Q} )=1}$,

ดังนั้นฟังก์ชันซีตาของรีมันน์แบบสมบูรณ์จึงมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \Lambda (\mathbb {Q} ,s):=\gamma (\mathbb {Q} ,s)L(\mathbb {Q} ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

คำจำกัดความนี้ใช้ได้เฉพาะกับเนื่องจากฟังก์ชันซีตาของรีมันน์สามารถกำหนดได้ผ่านอนุกรม Dirichlet หรือผลคูณ Euler เฉพาะในระนาบครึ่งนี้เท่านั้น อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ที่สมบูรณ์มีการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ไปยังฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด การขยายนี้เป็นโฮโลมอร์ฟิก ยกเว้นขั้วเดี่ยวสองขั้วที่และที่มีเศษ เหลือ เป็น −1 และ 1 ตามลำดับ^{[ 6 ]} ถ้าเรากำหนดให้ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ที่สมบูรณ์ที่ต่อยอดแล้วเป็น เช่นกัน มันจะสอดคล้องกับจำนวนราก ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$${\displaystyle \textstyle s=0}$${\displaystyle \textstyle s=1}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle \epsilon (\mathbb {Q} )=1}$

สมการเชิงฟังก์ชัน^{[ 7 ]}

${\displaystyle \Lambda (\mathbb {Q} ,s)=\Lambda (\mathbb {Q} ,1-s).}$

ดังนั้น ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ซึ่งเดิมทีถูกกำหนดไว้เฉพาะผ่านอนุกรมดิริชเลต์หรือผลคูณออยเลอร์เท่านั้น ตอนนี้มีการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ไปยังฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนซึ่งไม่ถูกกำหนดเฉพาะที่เนื่องจากมีขั้วเดี่ยวที่มีเศษเหลือ 1 ที่นั่น หากเรายังคงใช้สัญลักษณ์สำหรับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ที่ต่อยอดไว้เช่นกัน มันจะสอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน^{[ 8 ]}${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \textstyle s=1}$${\displaystyle \textstyle \zeta }$

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s).}$

ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ (ที่ขยายทางวิเคราะห์) ก่อให้เกิดคำถามที่สำคัญที่สุดข้อหนึ่งในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ นั่นคือ คำถามเกี่ยวกับตำแหน่งที่แน่นอนของสิ่งที่เรียกว่าศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์ธรรมดา ซึ่ง อยู่ภายใน "แถบวิกฤต" สมมติฐาน ของ รีมันน์จากปี 1859 ซึ่งยังไม่ได้รับการพิสูจน์หรือหักล้างจนถึงทุกวันนี้ ระบุว่าศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์ธรรมดาทั้งหมดของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์มีส่วนจริงเท่ากับการพิสูจน์สมมติฐานนี้จะช่วยให้สามารถประมาณการการกระจายของจำนวนเฉพาะได้อย่างแม่นยำเป็นพิเศษ ${\displaystyle \textstyle 0<\Re (s)<1}$${\displaystyle 1/2}$

ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์มีความสัมพันธ์ใกล้ชิดที่สุดกับฟังก์ชัน L ของดิริชเลต์ ซึ่งรวมถึงฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เป็นกรณีพิเศษ ในขณะที่ในอนุกรมดิริชเลต์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ สัมประสิทธิ์ทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1 แต่ในฟังก์ชัน L ของดิริชเลต์ สัมประสิทธิ์เหล่านี้ถูกกำหนดโดยใช้อักขระดิริชเลต์ดังนั้นจึงมีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1 หรือเท่ากับ 0 ให้เป็นจำนวนเต็ม และให้เป็นอักขระดิริชเลต์โมดูลัส: ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \textstyle m\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \textstyle m}$

${\displaystyle \chi :(\mathbb {Z} /m)^{\times }\longrightarrow S^{1}:=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}$

กำหนดให้ คือโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มจากกลุ่มของสมาชิกที่ผกผันได้เมื่อเทียบกับการคูณในริงชั้นเศษเหลือ ไปยังกลุ่มวงกลมของจำนวนเชิงซ้อนที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1 อักขระดิริชเลต์ดังกล่าวเรียกว่าอักขระดั้งเดิมและเป็นตัวสร้างของถ้ายังไม่ได้กำหนดโดยการประกอบ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Z} /m}$${\displaystyle \textstyle S^{1}}$${\displaystyle \textstyle \chi }$${\displaystyle \textstyle m}$${\displaystyle \textstyle \chi }$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /m)^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Z} /m')^{\times }\;{\stackrel {\chi '}{\longrightarrow }}\;S^{1}}$

สืบเนื่องมาจากอักขระ Dirichlet modulo ที่มีตัวหารที่เหมาะสมของโดยใช้อักขระ Dirichlet ดังกล่าวจะมีการกำหนดการแมปต่อไปนี้ ซึ่งแสดงด้วยและเรียกว่าอักขระ Dirichlet modulo : ^{[ 9 ]}${\displaystyle \textstyle \chi '}$${\displaystyle \textstyle m'}$${\displaystyle \textstyle m'}$${\displaystyle \textstyle m}$${\displaystyle \textstyle \chi }$${\displaystyle \textstyle \chi }$${\displaystyle \textstyle m}$

${\displaystyle \chi :{\text{ }}\mathbb {Z} \to \mathbb {C} ,{\text{ }}\chi (n)={\begin{cases}\chi (n\operatorname {mod} m)&{\text{if}}\quad \operatorname {gcd} (n,m)=1\\0&{\text{if}}\quad \operatorname {gcd} (n,m)>1.\end{cases}}}$

อักขระDirichlet ที่ไม่สำคัญ โมดู ลัส 1 จะมีค่าเป็น 1 ถ้าและ 0 ในกรณีอื่น ๆ อักขระ Dirichlet ที่ไม่สำคัญโมดูลัส 1 เรียกว่าอักขระหลักซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับทุกๆ ${\displaystyle \textstyle \chi ^{0}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \textstyle \operatorname {gcd} (n,m)=1}$${\displaystyle \chi (n)=1}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

ทีนี้ ถ้าเป็นอักขระ Dirichlet ดั้งเดิมแบบโมดูลัส แล้วฟังก์ชัน L จะถูกกำหนดให้กับวัตถุทางคณิตศาสตร์นี้ดังนี้: ด้วย ${\displaystyle \textstyle \chi :\mathbb {Z} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle \textstyle m}$${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \lambda (\chi ,n):=\chi (n)}$

ซีรี่ส์ Dirichlet (หรือเรียกอีกอย่างว่าซีรี่ส์ Dirichlet L)

${\displaystyle L(\chi ,s):=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (\chi ,n)}{n^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$

สำหรับเป็นค่าสัมบูรณ์^{[ 11 ]} ด้วยพารามิเตอร์ท้องถิ่นสำหรับ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$${\displaystyle \textstyle p}$

${\displaystyle \alpha (\chi ,p):=\chi (p)}$

สิ่งนี้ยังใช้ได้กับผลคูณออยเลอร์ที่สอดคล้องกันด้วย และเรามีเอกลักษณ์^{[ 12 ]}

${\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-\chi (p)p^{-s})^{-1}}$

สำหรับ. เช่นเดียวกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle d=1}$

คือลำดับของผลคูณออยเลอร์ ถ้าเรากำหนดให้เมื่อ(ในกรณีนี้เรียกว่า “คู่”) และถ้า(ในกรณีนี้เรียกว่า “คี่”) แล้ว ${\displaystyle \textstyle \kappa =0}$${\displaystyle \textstyle \chi (-1)=1}$${\displaystyle \textstyle \chi }$${\displaystyle \textstyle \kappa =1}$${\displaystyle \textstyle \chi (-1)=-1}$${\displaystyle \textstyle \chi }$

${\displaystyle \gamma (\chi ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s+\kappa }{2}}\right)}$

ปัจจัยแกมมาที่เกี่ยวข้องกับนั่นคือพารามิเตอร์เฉพาะที่จุดจำนวนเฉพาะอนันต์ ผู้นำของอักขระ Dirichlet ดั้งเดิมก็คือผู้นำของฟังก์ชัน Dirichlet L ด้วยเช่นกัน: ${\displaystyle \textstyle \chi }$${\displaystyle \textstyle \kappa \in \{0,1\}}$${\displaystyle \textstyle m}$${\displaystyle \textstyle \chi }$

${\displaystyle q(\chi )=m}$.

ฟังก์ชัน L ของ Dirichlet ที่สมบูรณ์จึงมีรูปแบบดังนี้^{[ 13 ]}

${\displaystyle \Lambda (\chi ,s):=q(\chi )^{\frac {s}{2}}\gamma (\chi ,s)L(\chi ,s)=\left({\frac {m}{\pi }}\right)^{\frac {s}{2}}\Gamma \left({\frac {s+\kappa }{2}}\right)\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},}$

นิยามที่ใช้ได้เฉพาะกับเนื่องจากอนุกรม Dirichlet ที่ใช้จะลู่เข้าเฉพาะที่นั่น อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชัน Dirichlet L ที่สมบูรณ์ดังกล่าวสามารถขยายได้ทางวิเคราะห์ไปยังซึ่งส่งผลให้เป็นฟังก์ชันอินทิกรัลหากเป็นอักขระ Dirichlet ที่ไม่ใช่ค่าศูนย์^{[ 14 ]} มิฉะนั้น ฟังก์ชันที่ขยายจะมีขั้วเดี่ยวที่ โดยมีเศษเหลือ 1 ^{[ 15 ]}วัตถุคู่ของคือนั่นคือ อักขระ Dirichlet ที่ได้จากโดยการผันเชิงซ้อนของค่าฟังก์ชันของนั่นคือ ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \textstyle \chi }$${\displaystyle \textstyle s=1}$${\displaystyle \textstyle \chi }$${\displaystyle {\overline {\chi }}}$${\displaystyle \textstyle \chi }$${\displaystyle \textstyle \chi }$

${\displaystyle \textstyle {\overline {\chi }}(n)={\overline {\chi (n)}}}$

สำหรับทั้งหมดหมายเลขรากสามารถกำหนดได้โดยใช้ผลรวมเกาส์เซียน^{[ 16 ]}${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \textstyle \epsilon (\chi )}$

${\displaystyle \tau (\chi )=\sum _{x\operatorname {mod} q(\chi )}\chi (x)\exp(2\pi ix/q(\chi ))}$

โดยที่ผลรวมนั้นครอบคลุมชั้นเศษเหลือทั้งหมดโมดูลัสตัวสร้างและแทนจำนวนวงกลมแทนหน่วยจินตนาการและแทนฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยที่ ${\displaystyle \textstyle q(\chi )=m}$${\displaystyle \textstyle \pi }$${\displaystyle \textstyle i}$${\displaystyle \exp }$

${\displaystyle \epsilon (\chi )={\begin{cases}{\frac {\tau (\chi )}{\sqrt {q(\chi )}}}&{\text{if}}\quad \chi (-1)=1\\{\frac {\tau (\chi )}{i{\sqrt {q(\chi )}}}}&{\text{if}}\quad \chi (-1)=-1\end{cases}}}$

จากนั้นฟังก์ชัน Dirichlet L ที่ขยายและสมบูรณ์จะสอดคล้องกับสมการฟังก์ชัน^{[ 17 ]}

${\displaystyle \Lambda (\chi ,s)=\epsilon (\chi )\Lambda ({\overline {\chi }},1-s).}$

ตามที่กำหนดไว้ในทฤษฎีบทจำนวนรากเนื่องจาก[ ^{18 ]} ฟังก์ชัน L ของ Dirichlet ประกอบด้วยฟังก์ชันซีตาของ Riemann เนื่องจากเกิดขึ้นจากอักขระ Dirichlet แบบไม่มีความสำคัญโมดูล 1 กล่าวคือ อักขระ^{หลัก[ 19 ]}${\displaystyle \textstyle |\epsilon (\chi )|=1}$${\displaystyle \textstyle |\tau (\chi )|={\sqrt {q(\chi )}}}$

ในปี ค.ศ. 1837 ปีเตอร์ กุสตาฟ ดิริชเลต์ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ได้ใช้ฟังก์ชัน L ของดิริชเลต์ ซึ่งตั้งชื่อตามเขา เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะของดิริชเลต์ซึ่งกล่าวว่า ในลำดับเลขคณิต ทุกชุด (เรียกอีกอย่างว่าลำดับเลขคณิต )

${\displaystyle a,a\pm n,a\pm 2n,a\pm 3n,\ldots ,{\text{ with }}\operatorname {gcd} (a,n)=1,}$

ที่ไหน${\displaystyle a,n\in \mathbb {N} }$

กล่าวคือ ในทุกชั้นเศษเหลือจะมีจำนวนเฉพาะเป็นอนันต์^{[ 20 ] [ 21 ]} ข้อโต้แย้งที่สำคัญในการพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะของ Dirichlet คือการตระหนักรู้ที่ ใช้ได้กับอักขระ Dirichlet ที่ไม่ใช่แบบธรรมดาทุกตัว^{[ 22 ]}${\displaystyle \textstyle a\operatorname {mod} n}$${\displaystyle \textstyle \Lambda (\chi ,1)\neq 0}$${\displaystyle \textstyle \chi }$

ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ถูกนิยามบนฟิลด์จำนวนตรรกยะ ซึ่งเป็นฟิลด์จำนวนพีชคณิตที่ง่ายที่สุด ฟังก์ชัน L ของเดเดคินด์ขยายการอ้างอิงนี้ไปยังฟิลด์จำนวนพีชคณิตใดๆ กล่าวคือส่วนขยายฟิลด์ จำกัด ของเช่นให้เป็นฟิลด์จำนวนพีชคณิต และให้เป็นระดับการขยายของฟิลด์นั้น เหนือให้เป็นโดเมนจำนวนเต็มและเป็นดิสคริมิแนนต์ยิ่งไปกว่านั้น ให้เป็นจำนวนการฝัง ตัวจริง และเป็นจำนวนคู่ของการฝังตัวเชิงซ้อนของดังนั้น${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle n_{K}=[K:\mathbb {Q} ]\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle d_{K}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle n_{1}\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle n_{2}\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle n_{K}=n_{1}+2n_{2}}$

ฟังก์ชัน L ของ Dedekind (หรือที่รู้จักกันในชื่อฟังก์ชันซีตาของ Dedekind ) ที่เกี่ยวข้องกับถูกกำหนดโดย^{[ 23 ]}${\displaystyle K}$${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle \zeta _{K}(s):=L(K,s):=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}.}$

โดยผลรวมจะวิ่งผ่านอุดมคติ จำนวนเต็มทั้งหมด ของที่แตกต่างจากอุดมคติศูนย์หมายถึงค่าสัมบูรณ์ของสัมประสิทธิ์ของอนุกรมดิริชเลต์ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})\in \mathbb {N} }$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle \sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (K,n)}{n^{s}}}}$

ดังนั้นจึงเป็น^{[ 24 ]}

${\displaystyle \lambda (K,n)=\#\{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}\mid {\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})=n\}\in \mathbb {N} _{0}.}$

สำหรับทุก ๆ ค่าพวกเขาจะระบุจำนวนของไอเดียลเชิงปริพันธ์ของ ที่มีบรรทัดฐานสัมบูรณ์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นจำนวนจริง ดังนั้น จึงเป็นคู่ตัวเอง อนุกรมดิริชเลต์ลู่เข้าสัมบูรณ์สำหรับเช่นเดียวกับผลคูณออยเลอร์ที่สอดคล้องกัน ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda (K,n)}$${\displaystyle L(K,s)}$${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle \prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

ในที่นี้ ผลคูณจะขยายไปทั่วอุดมคติเฉพาะ ทั้งหมด ที่แตกต่างจากอุดมคติศูนย์ สำหรับเอกลักษณ์ต่อไปนี้เป็นจริง^{[ 25 ]}${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle L(K,s)=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (K,n)}{n^{s}}}=\prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

รูปแบบของผลคูณออยเลอร์นี้ยังไม่แสดงปัจจัยออยเลอร์แต่ละรายการ ไม่ ว่าในกรณีใด ระดับของผลคูณออยเลอร์จะเท่ากับระดับของการขยายฟิลด์: ^{[ 26 ]}${\displaystyle (1-\alpha _{1}(K,p)p^{-s})^{-1}\cdot \ldots \cdot (1-\alpha _{d}(K,p)p^{-s})^{-1}}$${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle d=[K:\mathbb {Q} ]=n_{K}=n_{1}+2n_{2}.}$

พารามิเตอร์เฉพาะที่ขึ้นอยู่กับพฤติกรรมการแยกส่วนของอุดมคติ ${\displaystyle \alpha _{j}(K,p)}$${\displaystyle (p):=p{\mathcal {O}}_{K}}$

อุดมคติทุกอันมี “การแยกส่วนอุดมคติหลัก” ที่ไม่ซ้ำกันจนถึงลำดับของตัวประกอบ${\displaystyle (p)}$

${\displaystyle (p)=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{e_{\mathfrak {p}}}}$

ในอุดมคติเฉพาะโดยที่เงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง: และสำหรับอุดมคติเฉพาะจำนวนจำกัดเท่านั้น สำหรับ อุดมคติเฉพาะอย่างมากที่สุดอาจเป็นจริงได้อุดมคติ เฉพาะดัง กล่าวหา รลงตัว และเราเขียนว่าเลขชี้กำลังในการแยกส่วนอุดมคติเฉพาะของเรียกว่าดัชนีการแตกกิ่งของเหนือถ้าแล้ว สำหรับบางค่าซึ่งเรียกว่าดัชนีความเฉื่อยของเหนือสำหรับทุกค่าดัชนีการแตกกิ่งและความเฉื่อยที่เกี่ยวข้องกับอุดมคติจะสอดคล้องกับความสัมพันธ์ต่อไปนี้เมื่อเทียบกับดีกรีของ: ${\displaystyle 0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle e_{\mathfrak {p}}\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle e_{\mathfrak {p}}>0}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle n_{K}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle e_{\mathfrak {p}}>0}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle (p)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}|(p)}$${\displaystyle e_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle (p)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}|(p)}$${\displaystyle {\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})=p^{f_{\mathfrak {p}}}}$${\displaystyle f_{\mathfrak {p}}\in \mathbb {N} }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle (p)}$${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle \sum _{{\mathfrak {p}}|(p)}e_{\mathfrak {p}}f_{\mathfrak {p}}=n_{K}.}$

โดยใช้ความรู้เกี่ยวกับดัชนีความเฉื่อยสำหรับทุกๆพารามิเตอร์ท้องถิ่นสามารถกำหนดได้โดยใช้ปัจจัยในเอกลักษณ์^{[ 27 ]}${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle \alpha _{j}(K,p)}$${\displaystyle (1-p^{-sf_{\mathfrak {p}}})^{-1}}$

${\displaystyle \prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\;\prod _{{\mathfrak {p}}|(p)}(1-p^{-sf_{\mathfrak {p}}})^{-1},}$

โดยการแยกตัวประกอบพหุนามในวงแหวนพหุนาม ${\displaystyle X^{f_{\mathfrak {p}}}-1}$${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$

ปัจจัยแกมมาที่เกี่ยวข้องกับคือ^{[ 28 ]}${\displaystyle L(K,s)}$

${\displaystyle \gamma (K,s)=\pi ^{-{\frac {s\cdot n_{K}}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}.}$

ค่าของดิสคริมิแนนต์ของคือตัวนำของ: ^{[ 29 ]}${\displaystyle K}$${\displaystyle L(K,s)}$

${\displaystyle q(K)=|d_{K}|.}$

ดังนั้น ฟังก์ชัน L ที่สมบูรณ์ของสำหรับจึงกำหนดโดย ${\displaystyle K}$${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle \Lambda (K,s):=q(K)^{\frac {s}{2}}\,\gamma (K,s)\,L(K,s)=\left({\frac {|d_{K}|}{\pi ^{n_{K}}}}\right)^{\frac {s}{2}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}\,\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}.}$

ฟังก์ชันนี้มีการต่อขยายเชิงวิเคราะห์ไปยังระนาบเชิงซ้อนที่มีขั้วเดี่ยวที่และและเศษตกค้างที่และตามลำดับ โดยที่คือจำนวนหลักอนันต์คือจำนวนชั้นคือตัวควบคุมของและคือจำนวนรากหน่วยใน^{[ 30 ]}${\displaystyle s=0}$${\displaystyle s=1}$${\displaystyle -{\frac {2^{r}hR}{w}}}$${\displaystyle {\frac {2^{r}hR}{w}}}$${\displaystyle r=n_{1}+n_{2}}$${\displaystyle h\in \mathbb {N} }$${\displaystyle R\in \mathbb {R} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle w\in \mathbb {N} }$${\displaystyle K}$

ฟังก์ชัน L ของ Dedekind จะมีรากเป็น 1 เสมอ: ^{[ 31 ]}

${\displaystyle \epsilon (K)=1.}$

ดังนั้น ฟังก์ชัน L ที่ขยายเชิงวิเคราะห์อย่างสมบูรณ์จึงสอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน^{[ 32 ]}${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Lambda (K,s)=\Lambda (K,1-s).}$

ฟังก์ชันที่ขยายเชิงวิเคราะห์ในขณะนี้ยังอนุญาตให้มีการขยายเชิงวิเคราะห์ของกล่าวคือผ่านคำจำกัดความ^{[ 33 ]}${\displaystyle \Lambda (K,s)}$${\displaystyle L(K,s)}$

${\displaystyle L(K,s):={\frac {\Lambda (K,s)}{|d_{k}|^{\frac {s}{2}}\,\gamma (K,s)}}=\left({\frac {\pi ^{n_{K}}}{|d_{K}|}}\right)^{\frac {s}{2}}\cdot {\frac {\Lambda (K,s)}{\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}}}.}$

สิ่งนี้ทำให้เกิดฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนที่มีขั้วเดี่ยวที่ หนึ่งในคุณสมบัติที่น่าสนใจคือ สูตรจำนวนชั้นวิเคราะห์ที่เรียกว่าซึ่งเศษเหลือของที่มีรูปแบบดังต่อไปนี้: ^{[ 34 ]}${\displaystyle L(K,s)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle s=1}$${\displaystyle L(K,s)}$${\displaystyle s=1}$

${\displaystyle \operatorname {Res} _{s=1}\,L(K,s)={\frac {2^{n_{1}}(2\pi )^{n_{2}}}{w{\sqrt {|d_{K}|}}}}\,hR.}$

เราสามารถระบุลักษณะเฉพาะของตัวอย่าง ฟังก์ชัน L ที่รู้จักกันดี ซึ่งเราต้องการเห็นการสรุปเป็นแบบทั่วไปได้ดังนี้:

• ตำแหน่งของศูนย์และขั้ว;
• สมการเชิงฟังก์ชันโดยสัมพันธ์กับเส้นแนวตั้งบางเส้น Re( s ) = ค่าคงที่
• ค่าที่น่าสนใจของจำนวนเต็มที่เกี่ยวข้องกับปริมาณจากทฤษฎีKทางพีชคณิต

งานวิจัยอย่างละเอียดได้ก่อให้เกิดข้อสันนิษฐานที่น่าเชื่อถือจำนวนมาก ตัวอย่างเช่น เกี่ยวกับประเภทของสมการเชิงฟังก์ชันที่ควรนำมาใช้ เนื่องจากฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เชื่อมโยงผ่านค่าของมันที่จำนวนเต็มคู่บวก (และจำนวนเต็มคี่ลบ) กับจำนวนเบอร์นูลลีจึงมีการมองหาการวางนัยทั่วไปที่เหมาะสมของปรากฏการณ์นั้น ในกรณีนี้ได้มีการค้นพบผลลัพธ์สำหรับฟังก์ชันL แบบ p -adicซึ่งอธิบายโมดูลกาโลอิสบาง ประเภท

สถิติของการกระจายศูนย์มีความน่าสนใจเนื่องจากมีความเชื่อมโยงกับปัญหาต่างๆ เช่น สมมติฐานรีมันน์ทั่วไป การกระจายของจำนวนเฉพาะ เป็นต้น ความเชื่อมโยงกับ ทฤษฎี เมทริกซ์สุ่มและความโกลาหลควอนตัมก็มีความน่าสนใจเช่นกัน โครงสร้างแฟรกทัลของการกระจายได้รับการศึกษาโดยใช้การวิเคราะห์ช่วงที่ปรับขนาดใหม่^{[ 35 ]}ความคล้ายคลึงกันในตัวเองของการกระจายศูนย์นั้นน่าทึ่งมาก และมีลักษณะเฉพาะด้วยมิติแฟรกทัลขนาด ใหญ่ ที่ 1.9 มิติแฟรกทัลที่ค่อนข้างใหญ่นี้พบได้ในศูนย์ที่ครอบคลุมอย่างน้อยสิบห้าอันดับของขนาดสำหรับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์และสำหรับศูนย์ของ ฟังก์ชัน L อื่นๆ ที่มีอันดับและตัวนำที่แตกต่างกัน ด้วย

หนึ่งในตัวอย่างที่มีอิทธิพล ทั้งต่อประวัติศาสตร์ของฟังก์ชัน Lทั่วไปและในฐานะปัญหาการวิจัยที่ยังคงเปิดอยู่ คือสมมติฐานที่พัฒนาโดยBryan BirchและPeter Swinnerton-Dyerในช่วงต้นทศวรรษ 1960 สมมติฐานนี้ใช้กับเส้นโค้งวงรีEและปัญหาที่พยายามแก้ไขคือการทำนายอันดับของเส้นโค้งวงรีเหนือจำนวนตรรกยะ (หรือฟิลด์ทั่วโลก อื่น ๆ ) กล่าวคือ จำนวนตัวสร้างอิสระของกลุ่มจุดตรรกยะ งานวิจัยก่อนหน้านี้จำนวนมากในสาขานี้เริ่มรวมเป็นหนึ่งเดียวโดยอาศัยความรู้ที่ดีขึ้นเกี่ยวกับ ฟังก์ชัน Lนี่เป็นเหมือนตัวอย่างต้นแบบของทฤษฎีฟังก์ชัน L ที่กำลังก่อตัวขึ้น

การพัฒนาครั้งนี้เกิดขึ้นก่อนโครงการของ Langlandsไม่กี่ปี และสามารถถือได้ว่าเป็นการเสริมซึ่งกันและกัน กล่าวคือ งานของ Langlands เกี่ยวข้องอย่างมากกับฟังก์ชันL ของ Artinซึ่งเช่นเดียวกับฟังก์ชันLของ Heckeได้รับการนิยามไว้เมื่อหลายทศวรรษก่อน และเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันL ที่แนบมากับ การแสดงแทนแบบอัตโนมัติทั่วไป

ค่อยๆ ชัดเจนขึ้นว่าการสร้างฟังก์ชันซีตาของ Hasse–Weilอาจนำไปใช้เพื่อให้ได้ ฟังก์ชัน L ที่ถูกต้อง ในเชิงวิเคราะห์ได้อย่างไร: จะต้องมีการป้อนข้อมูลบางอย่างจากการวิเคราะห์ ซึ่งหมายถึง การวิเคราะห์ แบบอัตโนมัติกรณีทั่วไปในปัจจุบันได้รวมเอาโครงการวิจัยต่างๆ จำนวนมากเข้าไว้ด้วยกันในระดับแนวคิด

• "LMFDB ฐานข้อมูลของ ฟังก์ชัน Lรูปแบบโมดูลาร์ และวัตถุที่เกี่ยวข้อง "
• Lavrik, AF (2001) [1994]. "ฟังก์ชัน L" . สารานุกรมคณิตศาสตร์ . EMS Press .

บทความเกี่ยวกับการค้นพบครั้งสำคัญ ในฟังก์ชันLเหนือธรรมชาติระดับที่สาม

L Function mihareze.org

• "ภาพแวบหนึ่งของโลก (คณิตศาสตร์) ใหม่"คณิตศาสตร์Physorg.comสถาบันคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา 13 มีนาคม 2551
• เรห์ไมเยอร์, ​​จูลี (2 เมษายน 2551). "การคืบคลานเข้าหา Riemann" . ข่าววิทยาศาสตร์ . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 16 กุมภาพันธ์ 2555 . สืบค้นเมื่อ5 สิงหาคม 2551 .
• "การตามล่าหา ฟังก์ชัน L ที่ยากจะจับต้อง " . คณิตศาสตร์. Physorg.com . มหาวิทยาลัยบริสตอล. 6 สิงหาคม 2551.