ในทางคณิตศาสตร์ระนาบครึ่งบนคือ${\displaystyle {\mathcal {H}},}$เซตของจุดในระนาบ${\displaystyle (x,y)}$พิกัดคาร์ทีเซียนที่มีส่วนระนาบ${\displaystyle y>0.}$ครึ่งล่างคือเซตของจุดที่มี แทนสามารถสร้างระนาบครึ่งที่มีทิศทางใดๆ ก็ได้โดยการหมุน${\displaystyle (x,y)}$ระนาบระนาบ ครึ่ง เป็นตัวอย่างของปริภูมิครึ่ง มิติ ระนาบครึ่งสามารถแบ่งออกเป็นสองควอดแรนต์ได้ ${\displaystyle y<0}$

การแปลงเชิงเส้นของระนาบครึ่งบนประกอบด้วย

1. กะ, , และ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+c,y)}$${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$
2. การขยายตัว${\displaystyle (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y)}$${\displaystyle \lambda >0.}$

ข้อเสนอ:ให้⁠ ⁠${\displaystyle A}$และ⁠ ⁠${\displaystyle B}$เป็นครึ่งวงกลมในระนาบครึ่งบนที่มีจุดศูนย์กลางอยู่บนขอบเขต แล้วจะมีฟังก์ชันเชิงเส้นตรงที่แปลงจาก ไปยัง ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

พิสูจน์: ขั้นแรก เลื่อนจุดศูนย์กลางของ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ไปที่ ⁠ ⁠${\displaystyle (0,0).}$จากนั้นจึงนำ${\displaystyle \lambda =({\text{diameter of}}\ B)/({\text{diameter of}}\ A)}$

และขยาย จากนั้นเลื่อนไปที่${\displaystyle (0,0)}$กึ่งกลางของ${\displaystyle B.}$

คำนิยาม: . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\left\{\left(\cos ^{2}\theta ,{\tfrac {1}{2}}\sin 2\theta \right)\mid 0<\theta <\pi \right\}}$

สามารถระบุ ได้${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ว่าเป็นวงกลมที่มีรัศมีโดย${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่และเป็น${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},0{\bigr )},}$กราฟพิกัดเชิงขั้ว ของ${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta .}$

ข้อเสนอ: ⁠ ⁠ ${\displaystyle (0,0),}$⁠ ⁠${\displaystyle \rho (\theta )}$ใน⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {Z}},}$และ⁠ ⁠${\displaystyle (1,\tan \theta )}$เป็นจุดร่วมเส้นตรง

อันที่จริงแล้วคือการกลับด้านของเส้นตรงในวงกลมหนึ่งหน่วยเนื่องจากเส้นทแยงมุมจากไปยังมีความยาวกำลังสองเท่ากับดังนั้นจึง เป็นส่วนกลับของความยาวนั้น ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$${\displaystyle {\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (1,\tan \theta )}$${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta }$${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta }$

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดใดๆ⁠ ⁠${\displaystyle p}$และ⁠ ⁠${\displaystyle q}$ในระนาบครึ่งบน สามารถกำหนดได้อย่างสอดคล้องกันดังนี้: เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนของเส้นตรงจาก⁠ ⁠${\displaystyle p}$ไป ยัง ⁠ ⁠${\displaystyle q}$จะตัดกับขอบเขตหรือขนานกับขอบเขต ในกรณีหลัง⁠ ⁠${\displaystyle p}$และ⁠ ⁠${\displaystyle q}$จะอยู่บนรังสีที่ตั้งฉากกับขอบเขต และสามารถใช้การวัดแบบลอการิทึม เพื่อกำหนดระยะห่างที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การขยาย ในกรณีแรก ⁠ ⁠${\displaystyle p}$และ⁠ ⁠${\displaystyle q}$จะอยู่บนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากและขอบเขต จากข้อเสนอข้างต้น วงกลมนี้สามารถเคลื่อนที่โดยการเคลื่อนที่เชิงเส้นไปยัง ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {Z}}.}$ระยะห่างบน⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$สามารถกำหนดได้โดยใช้ความสอดคล้องกับจุดบนและการวัดแบบลอการิทึมบนรังสีนี้ ด้วยเหตุนี้ ระนาบครึ่งบนจึงกลายเป็นปริภูมิเมตริกชื่อเรียกทั่วไปของปริภูมิเมตริกนี้คือระนาบไฮเปอร์โบลิกในแง่ของแบบจำลองทางเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกแบบจำลองนี้มักถูกเรียกว่าแบบจำลองระนาบครึ่งปวงกาเร ${\displaystyle {\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}}$

บางครั้งนักคณิตศาสตร์ระบุว่าระนาบคาร์ทีเซียนคือระนาบเชิงซ้อนและระนาบครึ่งบนจะสอดคล้องกับเซตของจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตนาการ เป็นบวก :

${\displaystyle {\mathcal {H}}:=\{x+iy\mid y>0;\ x,y\in \mathbb {R} \}.}$

คำศัพท์นี้เกิดขึ้นจากภาพจำทั่วไปของจำนวนเชิงซ้อนว่าเป็นจุดในระนาบที่กำหนดด้วยพิกัดคาร์ทีเซียนเมื่อแกนอยู่ในแนวตั้ง " ระนาบครึ่ง บน " จะสอดคล้องกับบริเวณเหนือแกน และด้วยเหตุนี้จึงสอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อนที่ ${\displaystyle x+iy}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y>0}$

เป็นขอบเขตของฟังก์ชันที่น่าสนใจหลายอย่างในการวิเคราะห์เชิงซ้อนโดยเฉพาะอย่างยิ่งรูปแบบมอดูลาร์ระนาบครึ่งล่างที่กำหนดโดย⁠ ⁠${\displaystyle y<0}$ก็ดีเช่นกัน แต่โดยทั่วไปแล้วไม่ค่อยได้ใช้วงกลมหน่วยเปิด⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ (เซตของจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าหนึ่ง) เทียบเท่ากับการแมปแบบคอนฟอร์มอลกับ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ (ดู " เมตริกปวงกาเร ") ซึ่งหมายความว่าโดยปกติแล้วสามารถผ่านระหว่าง ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {H}}}$และ⁠ ⁠ ได้${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$

นอกจากนี้ มันยังมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกโดยที่แบบจำลองระนาบครึ่งของปวงกาเรให้วิธีการตรวจสอบการเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกเมตริกของปวงกาเรให้เมตริก ไฮเปอร์โบลิก บนปริภูมิ

ทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกรูปสำหรับพื้นผิวระบุว่าระนาบครึ่งบนเป็นปริภูมิปกคลุมสากล ของพื้นผิวที่มี ความโค้งเกาส์เซียนลบคงที่

ระนาบครึ่งบนปิดคือการรวมกันของระนาบครึ่งบนและแกนจริง มันคือการปิดของระนาบครึ่งบน

การสรุปทั่วไปตามธรรมชาติอย่าง หนึ่งในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์คือปริภูมิไฮเปอร์โบลิก ซึ่ง${\displaystyle n}$เป็นแม${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n},}$นิโฟลด์รีมันน์แบบสมมาตรสูงสุดเชื่อมต่อกันอย่างง่ายและมี มิติ n โดยมี ${\displaystyle n}$ความโค้งภาคตัดขวางคงที่ในศัพท์เฉพาะนี้ ระนาบครึ่งบนคือ nเนื่องจากมีมิติจริง${\displaystyle -1}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$${\displaystyle 2.}$

ในทฤษฎีจำนวนทฤษฎีของรูปแบบมอดูลาร์ของฮิลเบิร์ตเกี่ยวข้องกับการศึกษาฟังก์ชันบางอย่างบนผลคูณโดยตรงของสำเนา${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n}}$ของระนาบครึ่ง${\displaystyle n}$บน นอกจากนี้ พื้นที่อีกแห่งที่น่าสนใจสำหรับนักทฤษฎีจำนวนคือพื้นที่ครึ่งบนของซีเกลซึ่งเป็นโดเมนของรูปแบบมอดูลาร์ของซีเกล ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n},}$

• ย่านคัสป์
• ระนาบครึ่งบนที่ซับซ้อนขยายออก
• กลุ่มฟุคเซียน
• โดเมนพื้นฐาน
• ครึ่งพื้นที่
• กลุ่มไคลเนียน
• กลุ่มโมดูลาร์
• สแต็กโมดูลัสของเส้นโค้งวงรี
• พื้นผิวรีมันน์
• ทฤษฎีบทชวาร์ซ–อาห์ลฟอร์ส–เลือก