ในทางคณิตศาสตร์สแต็กโมดูลัสของเส้นโค้งเชิงวงรีซึ่งเขียนแทนด้วยหรือคือสแต็กเชิงพีชคณิตเหนือเส้นโค้งเชิงวงรีที่จำแนกประเภทโปรดทราบว่ามันเป็นกรณีพิเศษของสแต็กโมดูลัสของเส้นโค้งเชิงพีชคณิตโดยเฉพาะอย่างยิ่ง จุดของมันที่มีค่าอยู่ในฟิลด์บางฟิลด์จะสอดคล้องกับเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟิลด์นั้น และโดยทั่วไปแล้ว มอร์ฟิซึมจากสกีมไปยังจุดนั้นจะสอดคล้องกับเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟิลด์นั้นการสร้างปริภูมินี้ใช้เวลากว่าศตวรรษเนื่องจากการวางนัยทั่วไปต่างๆ ของเส้นโค้งเชิงวงรีที่เกิดขึ้นพร้อมกับการพัฒนาของฟิลด์ การวางนัยทั่วไปทั้งหมดเหล่านี้บรรจุอยู่ใน ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$${\displaystyle {\mathcal {M}__{\mathrm {ell} }}$${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {M}__{g,n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$

สแต็กโมดูลัสของเส้นโค้งวงรีเป็นสแต็ก Deligne–Mumford ที่แยกออกจากกันอย่างราบเรียบ และมีชนิดจำกัดเหนือแต่ไม่ใช่สกีม เนื่องจากเส้นโค้งวงรีมีออโตมอร์ฟิซึมที่ไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$

มีการแปลงแบบเหมาะสมของไปยังเส้นตรงเชิงเส้นตรง ซึ่งเป็นปริภูมิโมดูลัสหยาบของเส้นโค้งวงรี โดยกำหนดจากค่าคงที่jของเส้นโค้งวงรี ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$

เป็นการสังเกตแบบคลาสสิกที่ว่าเส้นโค้งวงรีทุกเส้นบนจะถูกจำแนกตามคาบ ของมัน เมื่อกำหนดฐานสำหรับโฮโมโลยีเชิงปริพันธ์และรูปแบบเชิงอนุพันธ์ โฮโลมอร์ฟิกทั่วโลก (ซึ่งมีอยู่เนื่องจากเรียบและมิติของปริภูมิของอนุพันธ์ดังกล่าวเท่ากับจีนัส 1) ปริพันธ์จะให้ตัวสร้างสำหรับแลตทิซ -อันดับ 2 ภายใน^{[ 1 ]หน้า 158}ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดแลตทิซเชิงปริพันธ์อันดับภายในจะมีการฝังทอรัสเชิงซ้อนลงในจากฟังก์ชัน P ของไวเออร์สตรัส^{[ 1 ]หน้า 165}การจับคู่แบบไอโซมอร์ฟิกนี้กำหนดโดยและเป็นไปตามโฮโมเทตีของแลตทิซซึ่งเป็นความสัมพันธ์สมมูลเป็นเรื่องปกติที่จะเขียนแลตทิซในรูปแบบสำหรับ ซึ่งเป็นองค์ประกอบของระนาบครึ่งบนเนื่องจากแลตทิซสามารถคูณด้วยและทั้งสองสร้างแลตทิซย่อยเดียวกัน จากนั้น ระนาบครึ่งบนจะให้ปริภูมิพารามิเตอร์ของเส้นโค้งวงรีทั้งหมดเหนือมีการสมมูลเพิ่มเติมของเส้นโค้งที่กำหนดโดยการกระทำของกลุ่ม มอ ดูลาร์ โดยที่เส้นโค้งวงรีที่กำหนดโดยแลตทิซจะสมสัณฐานกับเส้นโค้งที่กำหนดโดยแลตทิซที่กำหนดโดยการ กระทำของกลุ่มมอดู ลาร์ จากนั้น สแต็กโมดูลัสของเส้นโค้งวงรีเหนือจะกำหนดโดยผลหารสแต็กโปรดทราบว่าผู้เขียนบางคนสร้างปริภูมิโมดูลัสนี้โดยใช้การกระทำของกลุ่มมอดูลาร์แทนในกรณีนี้ จุดใน ที่มีตัวรักษาเสถียรภาพแบบไม่สำคัญเท่านั้นจะมีความหนาแน่น ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \alpha ,\beta \in H_{1}(E,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \omega \in \Gamma (E,\Omega _{E}^{1})}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\int _{\alpha }\omega &\int _{\beta }\omega \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\omega _{1}&\omega _{2}\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle E_{\Lambda }=\mathbb {C} /\Lambda }$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \phi :\mathbb {C} /\Lambda \to E(\mathbb {C} )}$$${\displaystyle z\mapsto [\wp (z,\Lambda ),\wp '(z,\Lambda ),1]\in \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$$${\displaystyle \Lambda }$$${\displaystyle z\Lambda \sim \Lambda ~{\text{สำหรับ}}~z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$$${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \cdot \tau }$${\displaystyle \tau \in {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \โอเมก้า _{1}^{-1}}$${\displaystyle \tau ,-\tau }$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{Mat}}_{2,2}(\mathbb {Z} ):ad-bc=1\right\}}$$${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \cdot \tau }$${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \cdot \tau '}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot \tau &={\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\\&=\tau '\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}\cong [{\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\backslash {\mathfrak {h}}]}$$${\displaystyle {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )={\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )/\{\pm I\}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$

${\displaystyle \qquad }$

โดยทั่วไป จุดต่างๆ ใน​​จะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับสแต็กการจำแนกประเภทเนื่องจากเส้นโค้งวงรีทุกเส้นสอดคล้องกับการปกคลุมสองชั้นของดังนั้นการกระทำของ บนจุด จึงสอดคล้องกับการผกผันของสองสาขาของการปกคลุมนี้ มีจุดพิเศษบางจุด^{[ 2 ]หน้า 10-11}ที่สอดคล้องกับเส้นโค้งวงรีที่มี-invariantเท่ากับและโดยที่กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมมีลำดับ 4, 6 ตามลำดับ^{[ 3 ]หน้า 170}จุดหนึ่งในโดเมนพื้นฐานที่มีตัวรักษาเสถียรภาพลำดับสอดคล้องกับและจุดที่สอดคล้องกับตัวรักษาเสถียรภาพลำดับสอดคล้องกับ^{[ 4 ]หน้า} 78 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$${\displaystyle B(\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle j}$${\displaystyle 1728}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle \tau =i}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle \tau =e^{2\pi i/3},e^{\pi i/3}}$

เมื่อกำหนดเส้นโค้งระนาบด้วยสมการไวเออร์สตรัสและคำตอบโดยทั่วไปสำหรับj-invariantจะมีการส่ง -involution ในกรณีพิเศษของเส้นโค้งที่มีการคูณเชิงซ้อนจะมีการส่ง -involution อีกกรณีพิเศษคือเมื่อดังนั้นเส้นโค้งในรูปแบบจะมีการส่ง -involution โดยที่คือรากที่สามของเอกภาพ $${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$$${\displaystyle (t,s)}$${\displaystyle j\neq 0,1728}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle (t,s)\mapsto (t,-s)}$$${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax}$$${\displaystyle \mathbb {Z} /4}$${\displaystyle (t,s)\mapsto (-t,{\sqrt {-1}}\cdot s)}$${\displaystyle a=0}$$${\displaystyle y^{2}=x^{3}+b}$$${\displaystyle \mathbb {Z} /6}$${\displaystyle (t,s)\mapsto (\zeta _{3}t,-s)}$${\displaystyle \zeta _{3}}$${\displaystyle e^{2\pi i/3}}$

มีเซตย่อยของระนาบครึ่งบนที่เรียกว่าโดเมนพื้นฐาน ซึ่งประกอบด้วย คลาสไอโซมอร์ฟิซึมทั้งหมดของเส้นโค้งวงรี มันคือเซตย่อยการพิจารณาพื้นที่นี้มีประโยชน์เพราะช่วยให้เห็นภาพสแต็กได้ ชัดเจน ขึ้น จากแผนที่ผลหารภาพของเป็นฟังก์ชันทั่วถึงและภายในเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง^{[ 4 ]หน้า 78}นอกจากนี้ จุดบนขอบเขตสามารถระบุได้ด้วยภาพสะท้อนภายใต้การผกผันที่ส่งดังนั้นจึงสามารถมองเห็นได้ว่าเป็นเส้นโค้งเชิงโปรเจก ทีฟ ที่มีจุดหนึ่งถูกลบออกที่อนันต์^{[ 5 ]หน้า} 52 $${\displaystyle D=\{z\in {\mathfrak {h}}:|z|\geq 1{\text{ and }}{\text{Re}}(z)\leq 1/2\}}$$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\to {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\backslash {\mathfrak {h}}}$$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\text{Re}}(z)\mapsto -{\text{Re}}(z)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

มีบันเดิลเส้นบนสแต็กโมดูลัสซึ่งส่วนต่างๆ สอดคล้องกับฟังก์ชันโมดูลาร์บนระนาบครึ่งบนบนนั้นมีแอคชั่นที่เข้ากันได้กับแอคชั่นที่กำหนดโดย แอคชั่น ดีกรีถูกกำหนดโดยดังนั้นบันเดิลเส้นแบบไม่สำคัญที่มีแอคชั่นดีกรีจะลดลงเหลือบันเดิลเส้น ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งแสดง ด้วย สังเกตว่าแอคชั่นบนตัวประกอบเป็นการแทนของบนดังนั้นการแทนดังกล่าวสามารถเทนเซอร์เข้าด้วยกันได้ แสดงให้เห็นส่วนต่างๆ ของจึงเป็นฟังก์ชันส่วนที่เข้ากันได้กับแอคชั่นของหรือเทียบเท่ากับฟังก์ชันที่นี่คือเงื่อนไขที่แน่นอนสำหรับฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่จะเป็นโมดูลาร์ ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {L}}^{\otimes k}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \mathbb {C} \times {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\text{SL}__{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$$${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\times {\displaystyle \mathbb {C} \times {\mathfrak {h}}}\to {\displaystyle \mathbb {C} \times {\mathfrak {h}}}}$$${\displaystyle k}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:(z,\tau )\mapsto \left((c\tau +d)^{k}z,{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)}$$${\displaystyle \mathbb {C} \times {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes k}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes k}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes l}\cong {\mathcal {L}}^{\otimes (k+l)}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes k}}$${\displaystyle f\in \Gamma (\mathbb {C} \times {\mathfrak {h}})}$${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle f:{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle f\left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot \tau \right)=(c\tau +d)^{k}f(\tau )}$$

รูปแบบโมดูลาร์คือฟังก์ชันโมดูลาร์ที่สามารถขยายไปสู่การทำให้กระชับได้เนื่องจากในการทำให้สแต็กกระชับจะต้องเพิ่มจุดที่อนันต์ ซึ่งทำได้โดยผ่านกระบวนการติดกาวโดยการติดกาวดิสก์ (ซึ่งฟังก์ชันโมดูลาร์มีการขยาย) ^{[ 2 ]หน้า} 29-33 $${\displaystyle {\overline {{\mathcal {L}}^{\otimes k}}}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}$$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

การสร้างเส้นโค้งสากลเป็นกระบวนการสองขั้นตอน: (1) สร้างเส้นโค้งสากลแล้ว (2) แสดงให้เห็นว่าเส้นโค้งนี้มีพฤติกรรมที่ดีเมื่อเทียบกับการกระทำบนการรวมการกระทำทั้งสองนี้เข้าด้วยกันจะให้ผลลัพธ์เป็นสแต็กผลหาร${\displaystyle {\mathcal {E}}\to {\mathcal {M}}_{1,1}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$$${\displaystyle [({\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\ltimes \mathbb {Z} ^{2})\backslash \mathbb {C} \times {\mathfrak {h}}]}$$

แลตทิซ อันดับ 2 ทุกตัวในเหนี่ยวนำให้เกิดการกระทำแบบแคนอนิกบนเช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ เนื่องจากแลตทิซทุกตัวเป็นแบบโฮโมเทติกกับแลตทิซในรูปแบบดังนั้นการกระทำจะส่งจุดไปยังเนื่องจากในสามารถเปลี่ยนแปลงได้ในการกระทำนี้ จึงมีการกระทำแบบเหนี่ยวนำบน ซึ่งให้ปริภูมิผลหารโดยการฉายภาพไปยัง ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle (1,\tau )}$${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$$${\displaystyle (m,n)\cdot z\mapsto z+m\cdot 1+n\cdot \tau }$$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} \times {\mathfrak {h}}}$$${\displaystyle (m,n)\cdot (z,\tau )\mapsto (z+m\cdot 1+n\cdot \tau ,\tau )}$$$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}}$$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

มีแอคชั่นหนึ่งที่เข้ากันได้กับแอคชั่นบนหมายความว่า เมื่อกำหนดจุดและ แล้วแลตทิซใหม่และแอคชั่นที่เหนี่ยวนำจากจะมีพฤติกรรมตามที่คาดไว้ แอคชั่นนี้กำหนดโดยซึ่งเป็นการคูณเมทริกซ์ทางด้านขวา ดังนั้น${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle z\in {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle g\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle g\cdot z}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}\cdot g}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:(m,n)\mapsto (m,n)\cdot {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle (m,n)\cdot {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=(am+cn,bm+dn)}$$

• โดเมนพื้นฐาน
• โฮโมเทตี
• โครงสร้างระดับ (เรขาคณิตเชิงพีชคณิต)
• โมดูลัสของวาไรตี้อาเบเลียน
• พันธุ์ชิมูระ
• เส้นโค้งแบบโมดูลาร์
• โคฮอโมโลยีเชิงวงรี

• moduli+stack+of+elliptic+curves at the n Lab
• "ชุดโมดูลัสของเส้นโค้งวงรี" โครงการ Stacks