ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้งคือ ปริภูมิที่มีจุดสอดคล้องกับชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของเส้นโค้งเชิงพีชคณิตคำว่า "โมดูลัส" ถูกนำมาใช้เพื่อจุดประสงค์นี้โดยเบอร์นาร์ด รีมันน์และหมายถึง "พารามิเตอร์" ดังนั้น "ปริภูมิโมดูลัส" จึงหมายถึง ปริภูมิที่ให้พารามิเตอร์ซึ่งระบุเส้นโค้งทั้งหมดของชนิดที่กำหนด ด้วยปริภูมิโมดูลัส แทนที่จะศึกษาเส้นโค้งทีละเส้น เราจะศึกษาเส้นโค้งทั้งหมดของชนิดที่กำหนดในฐานะสมาชิกของตระกูลเรขาคณิตเดียวกัน ปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้ง (ของชนิดที่กำหนด) เป็นกรณีพิเศษของแนวคิดทั่วไปที่กว้างกว่าคือปริภูมิโมดูลัสซึ่งให้ปริภูมิพารามิเตอร์สำหรับวัตถุประเภทอื่น ๆ (เส้นโค้ง พื้นผิว ฯลฯ)

เงื่อนไขที่แตกต่างกันนำไปสู่ปริภูมิโมดูลัสที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น อาจกำหนดจีนัสอนุญาตเฉพาะ เส้นโค้ง เรียบหรือเส้นโค้งเอกลักษณ์บางเส้น หรือรวมจุดที่มีเครื่องหมายไว้ด้วย ขึ้นอยู่กับปัญหา วัตถุโมดูลัสอาจถูกสร้างขึ้นเป็น สกี มปริภูมิพีชคณิตหรือโดยธรรมชาติแล้วเป็นสแต็กพีชคณิตในหลายกรณีจะมีทั้งปริภูมิโมดูลัสแบบหยาบซึ่งบันทึกคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของเส้นโค้ง และสแต็กที่ละเอียดกว่าซึ่งบันทึกออโตมอร์ฟิซึมของเส้นโค้งเหล่านั้นด้วย

ตัวอย่างที่ได้รับการศึกษาอย่างดีคือโมดูลัสของเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเรียบ ที่มีจีนัส n บนฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน โมดูลัส เหล่านี้สอดคล้องกับพื้นผิวรีมันน์ แบบกระชับ ในทางคลาสสิก ปริภูมิโมดูลัส (หยาบ) ของเส้นโค้งจีนัส n ที่มีจุดทำเครื่องหมาย ( กลุ่มเส้นโค้งวงรี ) คือเส้นโค้งโมดูลาร์ (คลาสสิก) สำหรับโมดูลัส n สแต็กของเส้นโค้งเรียบจะถูกแทนด้วยและการทำให้เป็นกระชับโดยเส้นโค้งปมที่เสถียรจะถูกแทนด้วย ปริภูมิและสแต็กเหล่านี้มีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตทฤษฎีของไทช์มุลเลอร์และทฤษฎีของรูปแบบโมดูลาร์ ${\displaystyle g}$${\displaystyle g=1}$${\displaystyle g>1}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {M}__{g}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$

สแต็กโมดูลัสจัดกลุ่มตระกูลของเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเรียบ พร้อมทั้งไอโซมอร์ฟิซึมของเส้นโค้งเหล่านั้น เมื่อสแต็กนี้สามารถทำให้กระชับขึ้นได้โดยการเพิ่มจุด "ขอบเขต" ใหม่ ซึ่งสอดคล้องกับเส้นโค้งโหนดเสถียร (พร้อมไอโซมอร์ฟิซึมของเส้นโค้งเหล่านั้น) เส้นโค้งจะเสถียรก็ต่อเมื่อเป็นเส้นโค้งสมบูรณ์ เชื่อมต่อกัน ไม่มีจุดเอกฐานอื่นนอกจากจุดคู่ และมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมจำกัดเท่านั้น สแต็กที่ได้จะถูกแทนด้วยสแต็กโมดูลัสทั้งสองแบบบรรจุตระกูลเส้นโค้งสากล ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {M}__{g}}$${\displaystyle g>1}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$

สแต็กทั้งสองข้างต้นมีมิติ; ดังนั้นเส้นโค้งโหนดที่เสถียรสามารถระบุได้อย่างสมบูรณ์โดยการเลือกค่าของพารามิเตอร์ เมื่อในจีนัสที่ต่ำกว่า จะต้องคำนึงถึงการมีอยู่ของตระกูลออโตมอร์ฟิซึมที่เรียบ โดยการลบจำนวนของพวกมันออก มีคลาสสมมูลของเส้นโค้งเชิงซ้อนของจีนัสศูนย์เพียงคลาสเดียว นั่นคือทรงกลมรีมันน์ และกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของมันคือ PGL(2) ดังนั้นมิติของจึงเท่ากับ ${\displaystyle 3g-3}$${\displaystyle 3g-3}$${\displaystyle g>1}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim({\text{space of genus 0 curves}})-\dim({\text{group of automorphisms}})&=0-\dim(\mathrm {PGL} (2))\\&=-3.\end{aligned}}}$

ในทำนองเดียวกัน ในจีนัส 1 จะมีปริภูมิเส้นโค้งหนึ่งมิติ แต่เส้นโค้งแต่ละเส้นจะมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมหนึ่งมิติ ดังนั้น สแต็กจึงมีมิติเป็น 0 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$

เป็นทฤษฎีบทที่ไม่ธรรมดา ซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยPierre DeligneและDavid Mumford [ ^{1 ] ว่า}สแต็กโมดูลัสไม่สามารถลดทอนได้ หมายความว่าไม่สามารถแสดงเป็นผลรวมของซับสแต็กที่เหมาะสมสองอันได้ พวกเขาพิสูจน์สิ่งนี้โดยการวิเคราะห์ตำแหน่งของเส้นโค้งเสถียรในโครงร่างฮิลเบิร์ตของเส้นโค้งที่ฝังตัวแบบไตรแคนอนิก (จากการฝังตัวของแอมเพิลมากสำหรับทุกเส้นโค้ง) ซึ่งมีพหุนามฮิลเบิร์ตจากนั้น สแต็กจะเป็นการสร้างของปริภูมิโมดูลั ส การใช้ทฤษฎีการเปลี่ยนรูป Deligne และ Mumford แสดงให้เห็นว่าสแต็กนี้เรียบ และใช้สแต็กของไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างเส้นโค้งเสถียรเพื่อแสดงว่ามีตัวรักษาเสถียรภาพจำกัด ดังนั้นจึงเป็นสแต็ก Deligne–Mumfordยิ่งไปกว่านั้น พวกเขายังพบการแบ่งชั้นของเป็น ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {M}__{g}}$${\displaystyle H_{g}}$${\displaystyle \mathrm {Hilb} _{\mathbb {P} ^{5g-5-1}}^{P_{g}(n)}}$${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$${\displaystyle P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)}$${\displaystyle [H_{g}/\mathrm {PGL} (5g-6)]}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {M}__{g}}$${\displaystyle \mathrm {ไอซอม} _{S}(C,C')}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {M}__{g}}$${\displaystyle H_{g}}$

${\displaystyle H_{g}^{o}\coprod H_{g,1}\coprod \cdots \coprod H_{g,n}}$,

โดยที่คือโครงร่างย่อยของเส้นโค้งเรียบเสถียร และคือส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ของ พวกเขาทำการวิเคราะห์ส่วนประกอบของ(ในฐานะผลหาร GIT ) หากมีส่วนประกอบหลายส่วนของ ส่วนประกอบเหล่านั้นจะไม่สมบูรณ์ นอกจากนี้ ส่วนประกอบใดๆ ของจะต้องมีเส้นโค้งที่ไม่เอกฐาน ดังนั้น ตำแหน่งเอกฐานจึงเชื่อมต่อกัน ดังนั้นจึงบรรจุอยู่ในส่วนประกอบเดียวของยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากทุกส่วนประกอบตัดกับส่วนประกอบทั้งหมดจึงต้องบรรจุอยู่ในส่วนประกอบเดียว ดังนั้นปริภูมิหยาบจึงไม่สามารถลดทอนได้ จากทฤษฎีทั่วไปของสแต็กพีชคณิต สิ่งนี้บ่งชี้ว่าผลหารสแต็กไม่สามารถลดทอนได้ ${\displaystyle H_{g}^{o}}$${\displaystyle H_{g,i}}$${\displaystyle S^{*}=H_{g}\setminus H_{g}^{o}}$${\displaystyle {\mathcal {M}__{g}^{0}=H_{g}^{0}/\mathrm {PGL} (5g-6)}$${\displaystyle H_{g}^{o}}$${\displaystyle H_{g}}$${\displaystyle S^{*}}$${\displaystyle H_{g}}$${\displaystyle S^{*}}$${\displaystyle H_{g}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {M}__{g}}$

ความเหมาะสมหรือความกะทัดรัดสำหรับออร์บิโฟลด์เป็นผลมาจากทฤษฎีบทเกี่ยวกับการลดเสถียรภาพบนเส้นโค้ง^{[ 1 ]}สามารถพบได้โดยใช้ทฤษฎีบทของGrothendieckเกี่ยวกับการลดเสถียรภาพของวาไรตี้อาเบเลียนและแสดงให้เห็นถึงความเทียบเท่ากับการลดเสถียรภาพของเส้นโค้ง^{[ 1 ]ส่วนที่ 5.2}

เรายังสามารถพิจารณาปริภูมิโมดูลัสหยาบที่แสดงถึงชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของเส้นโค้งเรียบหรือเส้นโค้งเสถียรได้อีกด้วย ปริภูมิโมดูลัสหยาบเหล่านี้ได้รับการศึกษามาก่อนที่จะมีการนำแนวคิดเรื่องสแต็กโมดูลัสมาใช้เสียอีก อันที่จริง แนวคิดเรื่องสแต็กโมดูลัสถูกนำเสนอโดยเดลิญและมัมฟอร์ดเพื่อพยายามพิสูจน์ความเป็นโปรเจคทีฟของปริภูมิโมดูลัสหยาบ ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา ปรากฏชัดว่าสแต็กของเส้นโค้งนั้นเป็นวัตถุพื้นฐานที่สำคัญกว่า

ปริภูมิโมดูลัสหยาบจะมีมิติเท่ากับสแต็กเมื่อ; อย่างไรก็ตาม ในกรณีจีนัสศูนย์ ปริภูมิโมดูลัสหยาบจะมีมิติเป็นศูนย์ และในกรณีจีนัสหนึ่ง จะมีมิติเป็นหนึ่ง ${\displaystyle g>1}$

การหาเรขาคณิตของปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้งจีนัสสามารถทำได้โดยใช้ทฤษฎีการเปลี่ยนรูปจำนวนโมดูลัสสำหรับเส้นโค้งจีนัส เช่นจะถูกกำหนดโดยกลุ่มโคฮอโมโลยี${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

${\displaystyle H^{1}(C,T_{C})}$

ด้วยทฤษฎีคู่ของ Serreกลุ่มโคฮอโมโลยีนี้จึงสมสัณฐานกับ

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,\omega _{C}\otimes T_{C}^{\vee })\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})\end{aligned}}}$

สำหรับชีฟคู่แต่การใช้ทฤษฎีบทรีมันน์-รอคแสดงให้เห็นว่าดีกรีของบันเดิลแคนอนิกคือดังนั้นดีกรีของคือดังนั้นจึงไม่มีส่วนตัดทั่วโลก หมายความว่า${\displaystyle \omega _{C}}$${\displaystyle -2}$${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 2}}$${\displaystyle -4}$

${\displaystyle H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0}$

แสดงให้เห็นว่าไม่มีการบิดเบือนของเส้นโค้งจีนัส ซึ่งพิสูจน์ได้ว่าเป็นเพียงจุดเดียว และเส้นโค้งจีนัสเพียงอย่างเดียวจะได้รับจากความยากลำบากทางเทคนิคเพียงอย่างเดียวคือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของคือกลุ่มพีชคณิตซึ่งจะแข็งตัวเมื่อจุดสามจุด^{[ 2 ]}บนถูกตรึงไว้ ดังนั้นผู้เขียนส่วนใหญ่จึงถือว่าหมายถึง ${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0,3}}$

กรณีจีนัส 1 เป็นหนึ่งในกรณีแรกๆ ที่เข้าใจได้ดีของปริภูมิโมดูลัส อย่างน้อยก็บนจำนวนเชิงซ้อน เพราะคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของเส้นโค้งวงรีถูกจำแนกโดยค่าคงที่ J

${\displaystyle j:{\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }\to \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}$

โดยที่. ในทางโทโพโลยีเป็นเพียงเส้นตรงเชิงเส้นตรง แต่สามารถบีบอัดเป็นสแต็กที่มีปริภูมิโทโพโลยีพื้นฐานได้โดยการเพิ่มเส้นโค้งเสถียรที่อนันต์ นี่คือเส้นโค้งวงรีที่มีจุดยอดแหลมเพียงจุดเดียว การสร้างกรณีทั่วไปเหนือ เสร็จสมบูรณ์ครั้งแรกโดยDeligneและRapoport ^{[ 3 ]}${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }={\mathcal {M}}_{1,1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$

โปรดทราบว่าผู้เขียนส่วนใหญ่พิจารณากรณีของเส้นโค้งจีนัสหนึ่งที่มีจุดทำเครื่องหมายหนึ่งจุดเป็นจุดกำเนิดของกลุ่ม เนื่องจากมิฉะนั้นกลุ่มเสถียรภาพในปริภูมิโมดูลัสสมมุติจะมีกลุ่มเสถียรภาพที่จุดที่กำหนดโดยเส้นโค้ง เนื่องจากเส้นโค้งวงรีมีโครงสร้างกลุ่มอาเบเลียน การทำเช่นนี้จะเพิ่มความซับซ้อนทางเทคนิคที่ไม่จำเป็นให้กับปริภูมิโมดูลัสสมมุตินี้ ในทางกลับกันเป็นสแต็ก Deligne–Mumfordที่ เรียบเนียน${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$${\displaystyle [C]\in {\mathcal {M}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$

ในจีนัส 2 ถือเป็นผลลัพธ์คลาสสิกที่เส้นโค้งดังกล่าวทั้งหมดเป็นไฮเปอร์อิลิปติก [ ^{4 ] หน้า 298}ดังนั้นพื้นที่โมดูลัสจึงสามารถกำหนดได้อย่างสมบูรณ์จากตำแหน่งกิ่งของเส้นโค้งโดยใช้สูตร Riemann–Hurwitzเนื่องจากเส้นโค้งจีนัส 2 ใดๆ ก็ตามจะกำหนดโดยพหุนามในรูปแบบ

${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(xa)(xb)(xc)}$

สำหรับค่าที่กำหนดไว้อย่างเฉพาะเจาะจงบางค่า พื้นที่พารามิเตอร์สำหรับเส้นโค้งดังกล่าวจะกำหนดโดย ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}\setminus (\Delta _{a,b}\cup \Delta _{a,c}\cup \Delta _{b,c}),}$

ซึ่ง^{สอดคล้อง}กับตำแหน่ง^{[ 5} ]${\displaystyle \Delta _{i,j}}$${\displaystyle i\neq j}$

การใช้พื้นที่เชิงฉายแบบถ่วงน้ำหนักและสูตร Riemann–Hurwitzเส้นโค้งไฮเปอร์อิลิปติกสามารถอธิบายได้ว่าเป็นพหุนามในรูปแบบ^{[ 6 ]}

${\displaystyle z^{2}=ax^{6}+bx^{5}y+cx^{4}y^{2}+dx^{3}y^{3}+ex^{2}y^{4}+fxy^{5}+gy^{6},}$

โดยที่พารามิเตอร์สำหรับส่วนต่างๆ ของ นั้นโลคัสของส่วนต่างๆ ที่ไม่มีรากสามตัว จะครอบคลุมเส้นโค้งทุกเส้นที่แสดงด้วยจุดนั้น ${\displaystyle a,\ldots ,f}$${\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} (3,1),{\mathcal {O}}(g))}$${\displaystyle C}$${\displaystyle [C]\in {\mathcal {M}}_{2}}$

นี่คือปริภูมิโมดูลัสแรกของเส้นโค้งที่มีทั้งโลคัสไฮเปอร์อิลิปติกและโลคัสที่ไม่ใช่ไฮเปอร์อิลิปติก^{[ 7 ] [ 8 ]}เส้นโค้งที่ไม่ใช่ไฮเปอร์อิลิปติกทั้งหมดกำหนดโดยเส้นโค้งระนาบดีกรี 4 (โดยใช้สูตรดีกรีจีนัส ) ซึ่งกำหนดพารามิเตอร์โดยโลคัสเรียบในแผนผังฮิลเบิร์ตของไฮเปอร์เซอร์เฟซ

${\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{2}}^{8t-4}\cong \mathbb {P} ^{{\binom {6}{4}}-1}}$.

จากนั้น พื้นที่โมดูลัสจะถูกแบ่งชั้นตามกลุ่มย่อย

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{3}=[H_{2}/\mathrm {PGL} (3))]\coprod {\mathcal {M}}_{3}^{\mathrm {hyp} }}$.

ในทุกกรณีที่กล่าวมาข้างต้น พบว่าปริภูมิโมดูลัสเป็นปริภูมิเอกฐานซึ่งหมายความว่ามีมอร์ฟิซึมเชิงตรรกะเด่นอยู่

${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to {\mathcal {M}}_{g}}$

และเป็นที่คาดหวังกันมานานแล้วว่าสิ่งนี้จะเป็นจริงในทุกสกุล อันที่จริง Severi ได้พิสูจน์แล้วว่าสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับสกุลจนถึง[ ^{9 ] ถึง แม้ว่าสำหรับสกุล [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}ปรากฏว่าพื้นที่โมดูลัสทั้งหมดดังกล่าวเป็นประเภททั่วไป ซึ่งหมายความว่าไม่ใช่แบบยูนิเรชันนัล พวกเขาทำสิ่งนี้สำเร็จโดยการศึกษามิติ Kodairaของพื้นที่โมดูลัสหยาบ ${\displaystyle 10}$${\displaystyle g\geq 23}$

${\displaystyle \kappa _{g}=\mathrm {Kod} ({\overline {\mathcal {M}}}_{g}),}$

และพบว่าสำหรับ. ในความเป็นจริง สำหรับ, ${\displaystyle \kappa _{g}>0}$${\displaystyle g\geq 23}$${\displaystyle g>23}$

${\displaystyle \kappa _{g}=3g-3=\dim({\mathcal {M}}_{g}),}$

และด้วยเหตุนี้จึงจัดเป็นประเภททั่วไป ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

สิ่งนี้มีความสำคัญในเชิงเรขาคณิต เนื่องจากหมายความว่าระบบเชิงเส้นใดๆ บนวาไรตี้แบบมีกฎเกณฑ์ไม่สามารถบรรจุเส้นโค้งสากลได้^{[ 13 ]}${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}}$

พื้นที่โมดูลัสมีการแบ่งชั้นตามธรรมชาติบนขอบเขต ซึ่งจุดต่างๆ แสดงถึง เส้นโค้งจีนัสเอกลักษณ์^{[ 14 ]}มันแยกออกเป็นชั้นๆ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$${\displaystyle \partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=\coprod _{0\leq h\leq (g/2)}\Delta _{h}^{*}}$,

ที่ไหน

• ${\displaystyle \Delta _{h}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{h}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g-h}}$สำหรับ.${\displaystyle 1\leq h<g/2}$
• ${\displaystyle \Delta _{0}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{g-1,2}/(\mathbb {Z} /2)}$โดยการกระทำดังกล่าวจะสลับตำแหน่งของจุดสองจุดที่ทำเครื่องหมายไว้
• ${\displaystyle \Delta _{g/2}\cong ({\overline {\mathcal {M}}}_{g/2}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g/2})/(\mathbb {Z} /2)}$เมื่อใดก็ตามที่เป็นเลขคู่${\displaystyle g}$

เส้นโค้งที่อยู่เหนือตำแหน่งเหล่านี้สอดคล้องกับ

• เส้นโค้งสองเส้นที่เชื่อมต่อกัน ณ จุดคู่${\displaystyle C,C'}$
• การ ทำให้เส้นโค้ง จีนัสเป็นมาตรฐานณ จุดเอกฐานคู่จุดเดียว${\displaystyle g}$
• เส้นโค้งสองเส้นที่มีจีนัสเดียวกันเชื่อมต่อกันที่จุดคู่โดยไม่จำกัดการเรียงสับเปลี่ยน

สำหรับกรณีของสกุลนั้น มีการแบ่งชั้นตามที่กำหนดโดย ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial {\overline {\mathcal {M}}}_{2}&=\Delta _{0}^{*}\coprod \Delta _{1}^{*}\\&={\overline {\mathcal {M}}}_{1,2}/(\mathbb {Z} /2)\coprod ({\overline {\mathcal {M}}}_{1}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{1})/(\mathbb {Z} /2)\end{aligned}}}$.

การวิเคราะห์ชั้นเหล่านี้เพิ่มเติมสามารถนำมาใช้เพื่อให้ผู้สร้างวงแหวน Chow ^{[ 14 ]ข้อเสนอ 9.1}${\displaystyle A^{*}({\overline {\mathcal {M}}}_{2})}$

เราสามารถเพิ่มความซับซ้อนให้กับปัญหาได้โดยการพิจารณาโมดูลัสสแต็กของเส้นโค้งโหนดที่มีจีนัส g และมีจุดทำเครื่องหมาย n จุด ซึ่งแตกต่างกันเป็นคู่ๆ และแตกต่างจากโหนด เส้นโค้งที่ทำเครื่องหมายไว้ดังกล่าวจะเรียกว่าเสถียรได้ก็ต่อเมื่อกลุ่มย่อยของออโตมอร์ฟิซึมของเส้นโค้งที่ตรึงจุดทำเครื่องหมายไว้นั้นมีจำนวนจำกัด โมดูลัสสแต็กของเส้นโค้งเรียบ (หรือเสถียร) ที่มีจีนัส g และมีจุดทำเครื่องหมาย n จุด จะถูกแทนด้วย(หรือ) และมีมิติ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$${\displaystyle 3g-3+n}$

กรณีที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือ สแต็กโมดูลัสของเส้นโค้งจีนัส 1 ที่มีจุดทำเครื่องหมายหนึ่งจุด นี่คือสแต็กของเส้นโค้งวงรีรูปแบบโมดูลาร์ระดับ 1 คือส่วนตัดของมัดเส้นบนสแต็กนี้ และรูปแบบโมดูลาร์ระดับNคือส่วนตัดของมัดเส้นบนสแต็กของเส้นโค้งวงรีที่มีโครงสร้างระดับN (โดยประมาณคือการทำเครื่องหมายจุดลำดับN ) ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}$

คุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของปริภูมิโมดูลัสแบบกระชับคือ ขอบเขตของปริภูมิเหล่านั้นสามารถอธิบายได้ในรูปของปริภูมิโมดูลัสสำหรับจีนัสเมื่อกำหนดเส้นโค้งปมที่มีเครื่องหมายและเสถียรแล้ว เราสามารถเชื่อมโยงกราฟคู่ ของมัน ซึ่ง เป็น กราฟที่มีจุดยอดที่ติดป้ายกำกับด้วยจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และอนุญาตให้มีวงวน ขอบหลายเส้น และขอบครึ่งเส้นที่มีหมายเลขได้ ในที่นี้ จุดยอดของกราฟสอดคล้องกับส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ของเส้นโค้งปม การติดป้ายกำกับจุดยอดคือจีนัสทางเลขคณิตของส่วนประกอบที่สอดคล้องกัน ขอบสอดคล้องกับปมของเส้นโค้ง และขอบครึ่งเส้นสอดคล้องกับเครื่องหมาย การปิดของโลคัสของเส้นโค้งกับกราฟคู่ที่กำหนดใน นั้นสมมาตรกับ ผล หารสแต็กของผลคูณของปริภูมิโมดูลัสแบบกระชับของเส้นโค้งโดยกลุ่มจำกัด ในผลคูณนั้น ตัวประกอบที่สอดคล้องกับจุดยอดvมีจีนัส g _vที่ได้มาจากป้ายกำกับ และจำนวนเครื่องหมายเท่ากับจำนวนขอบและขอบครึ่งเส้นที่ออกจากจุดvค่าจีนัสรวมgคือผลรวมของ g _vบวกกับจำนวนวงจรปิดในกราฟ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g',n'}}$${\displaystyle g'<g}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$${\displaystyle \prod _{v}{\overline {\mathcal {M}}}_{g_{v},n_{v}}}$${\displaystyle n_{v}}$

เส้นโค้งเสถียรที่มีกราฟคู่ประกอบด้วยจุดยอดที่มีป้ายกำกับ(ดังนั้นจุดยอดอื่นๆ ทั้งหมดจึงมีและกราฟเป็นต้นไม้) เรียกว่า "หางเชิงตรรกะ" และปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้งเหล่านี้จะถูกแทนด้วยเส้นโค้งเสถียรที่มีกราฟคู่เป็นต้นไม้เรียกว่า "ประเภทกะทัดรัด" (เนื่องจากจาโคเบียนเป็นแบบกะทัดรัด) และปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้งเหล่านี้จะถูกแทนด้วย^{[ 2 ]}${\displaystyle g_{v}=g}$${\displaystyle g_{v}=0}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {r.t.} }}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {c.} }}$

• การคาดเดาของวิทเทน
• วงแหวนตรรกะซ้ำซ้อน
• ทฤษฎีบท Grothendieck–Riemann–Roch

• " โทโพโลยีและเรขาคณิตของปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้ง" aimath.org สถาบันคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา
• "โมดูลัสของแผนที่เสถียร ตัวแปรคงที่ของ Gromov-Witten และโคฮอโมโลยีควอนตัม"