ในทางคณิตศาสตร์ สแต็กพีชคณิตเป็นการวางนัยทั่วไปอย่างกว้างขวางของปริภูมิพีชคณิตหรือสกีมซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับการศึกษาทฤษฎีโมดูลัส ปริภูมิโมดูลัสจำนวนมากถูกสร้างขึ้นโดยใช้เทคนิคเฉพาะของสแต็กพีชคณิต เช่นทฤษฎีบทการแทนของ Artinซึ่งใช้ในการสร้างปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้งพีชคณิตแบบมีจุด และสแต็กโมดูลัสของเส้นโค้งวงรี เดิมที Alexander Grothendieck ^{[ 1 ]}ได้นำเสนอเทคนิคนี้เพื่อติดตามออโตมอร์ฟิซึมบนปริภูมิโมดูลัส ซึ่งเป็นเทคนิคที่ช่วยให้สามารถปฏิบัติต่อปริภูมิโมดูลัสเหล่านี้ราวกับว่าสกีมหรือปริภูมิพีชคณิตพื้นฐานของพวกมัน^{เรียบ หลังจากที่ Grothendieck พัฒนาทฤษฎีทั่วไปของการลงมา [} 2 ^]และGiraudพัฒนา^{ทฤษฎีทั่วไป}ของสแต็ก [ ^{3 ]}แนวคิดของสแต็กพีชคณิตก็ถูกกำหนดโดยMichael Artin ^{[ 4 ]}${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {M}__{g,n}}$

หนึ่งในตัวอย่างที่กระตุ้นให้เกิดการใช้สแต็กเชิงพีชคณิตคือการพิจารณาแผนผังกรุปอยด์ เหนือแผนผังที่กำหนดไว้เช่น ถ้า(โดยที่คือแผนผังกลุ่มของรากที่เอกภาพ ) คือแผนที่การฉายภาพ และคือการกระทำของกลุ่ม${\displaystyle (R,U,s,t,m)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R=\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}$${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle U=\mathbb {A} _{S}^{n}}$${\displaystyle s={\text{pr}}_{U}}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \zeta _{n}\cdot (x_{1},\ldots ,x_{n})=(\zeta _{n}x_{1},\ldots ,\zeta _{n}x_{n})}$

และเป็นแผนที่การคูณ${\displaystyle m}$

${\displaystyle m:(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\times _{\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\to \mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}$

จากนั้น เมื่อกำหนด-scheme แล้ว groupoid scheme จะก่อให้เกิด groupoid (โดยที่คือฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง) ยิ่งไปกว่านั้น การสร้างนี้เป็นฟังก์ชันบน ก่อให้เกิด 2-functorแบบ contravariant${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \pi :X\to S}$${\displaystyle (R(X),U(X),s,t,m)}$${\displaystyle R,U}$${\displaystyle (\คณิตศาสตร์ {Sch} /S)}$

${\displaystyle (R(-),U(-),s,t,m):(\mathrm {Sch} /S)^{\mathrm {op} }\to {\text{Cat}}}$

หมวดหมู่ 2ของหมวดหมู่ขนาดเล็กอยู่ที่ไหนอีกวิธีหนึ่งในการมองสิ่งนี้คือหมวดหมู่ไฟเบอร์ผ่านการสร้าง Grothendieckการได้รับเงื่อนไขทางเทคนิคที่ถูกต้อง เช่นโทโพโลยี Grothendieckบนจะให้คำจำกัดความของสแต็กพีชคณิต ตัวอย่างเช่น ในกรุปอยด์ที่เกี่ยวข้องของจุด - สำหรับฟิลด์เหนือวัตถุต้นกำเนิดจะมีกรุปอยด์ของออโตมอร์ฟิซึม อย่างไรก็ตาม เพื่อให้ได้สแต็กพีชคณิตจากและไม่ใช่แค่สแต็ก จะต้องมีสมมติฐานทางเทคนิคเพิ่มเติมสำหรับ^{[ 5 ]}$แมว$${\displaystyle [U/R]\to (\mathrm {Sch} /S)}$${\displaystyle (\คณิตศาสตร์ {Sch} /S)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0\in \mathbb {A} _{S}^{n}(k)}$${\displaystyle \mu _{n}(k)}$${\displaystyle [U/R]}$${\displaystyle [U/R]}$

ปรากฏว่าการใช้โทโพโลยี fppf ^{[ 6 ]} (แบนราบอย่างซื่อสัตย์และมีการนำเสนอจำกัดในระดับท้องถิ่น ) บนซึ่งแสดงด้วยเป็นพื้นฐานสำหรับการกำหนดสแต็กพีชคณิต จากนั้นสแต็กพีชคณิต^{[ 7 ]}ก็เป็นหมวดหมู่ไฟเบอร์${\displaystyle (\คณิตศาสตร์ {Sch} /S)}$${\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)_{fppf}}$

${\displaystyle p:{\mathcal {X}}\to (\mathrm {Sch} /S)_{fppf}}$

โดยที่

1. ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$เป็นหมวดหมู่ที่มีโครงสร้างเป็นกรุปอยด์หมายความว่าหมวดหมู่ระดับบนสำหรับบางหมวด หมู่ เป็นกรุปอยด์${\displaystyle \pi :X\to S}$
2. แผนที่แนวทแยงของหมวดหมู่ที่มีเส้นใยสามารถแสดงได้ในรูปของปริภูมิพีชคณิต${\displaystyle \Delta :{\mathcal {X}}\to {\mathcal {X}}\times _{S}{\mathcal {X}}}$
3. มีโครงร่างและ 1-มอร์ฟิซึมที่เกี่ยวข้องของหมวดหมู่ไฟเบอร์ซึ่งเป็นการส่งแบบทั่วถึงและเรียบเรียกว่าแอตลาส${\displaystyle fppf}$${\displaystyle U\to S}$${\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}$

ก่อนอื่นเลย มีการใช้โทโพโลยี fppf เนื่องจากมีพฤติกรรมที่ดีเมื่อพิจารณาถึงการสืบเนื่องตัวอย่างเช่น หากมีสคีมและสามารถปรับปรุงให้เป็นการครอบคลุม fppf ของหากเป็นแบบแบน ประเภทจำกัดเฉพาะที่ หรือการนำเสนอจำกัดเฉพาะที่ ก็จะมีคุณสมบัตินี้^{[ 8 ]}แนวคิดประเภทนี้สามารถขยายเพิ่มเติมได้โดยพิจารณาคุณสมบัติเฉพาะที่อยู่บนเป้าหมายหรือแหล่งที่มาของมอร์ฟิซึมสำหรับการครอบคลุมเรากล่าวว่าคุณสมบัติเป็นแบบเฉพาะที่บนแหล่งที่มาหาก${\displaystyle X,Y\in \ตัวดำเนินการ {Ob} (\mathrm {Sch} /S)}$${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \{X_{i}\to X\}_{i\in I}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle f:X\to Y}$จะมีก็ต่อเมื่อแต่ละอย่างมีเท่านั้น${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle X_{i}\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

มีแนวคิดที่คล้ายคลึงกันบนเป้าหมายที่เรียกว่า " ตำแหน่งเฉพาะที่บนเป้าหมาย"ซึ่งหมายความว่าเมื่อมีการกำหนดขอบเขตแล้ว${\displaystyle \{Y_{i}\to Y\}_{i\in I}}$

${\displaystyle f:X\to Y}$จะมีก็ต่อเมื่อแต่ละอย่างมีเท่านั้น${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle X\times _{Y}Y_{i}\to Y_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

สำหรับโทโพโลยี fppf การมีอิมเมอร์ชันเป็นคุณสมบัติเฉพาะที่เป้าหมาย^{[ 9 ]}นอกจากคุณสมบัติก่อนหน้านี้ที่เป็นคุณสมบัติเฉพาะที่แหล่งกำเนิดสำหรับโทโพโลยี fppf แล้วการเปิดสากลยังเป็นคุณสมบัติเฉพาะที่แหล่งกำเนิดอีกด้วย^{[ 10 ]}นอกจากนี้ การเป็นโนเธอร์เรียนเฉพาะที่และจาคอบสันยังเป็นคุณสมบัติเฉพาะที่แหล่งกำเนิดและเป้าหมายสำหรับโทโพโลยี fppf ^{[ 11 ]}สิ่งนี้ไม่เป็นจริงในโทโพโลยี fpqc ทำให้มันไม่ "ดี" เท่าในแง่ของคุณสมบัติทางเทคนิค แม้ว่าจะเป็นเช่นนั้น การใช้สแต็กพีชคณิตเหนือโทโพโลยี fpqc ก็ยังคงมีประโยชน์ เช่น ในทฤษฎีโฮโมโทปีโครมา ติก นี่เป็นเพราะสแต็กโมดูลัสของกฎกลุ่มอย่างเป็นทางการเป็นสแต็กพีชคณิต fpqc ^{[ 12 ]หน้า} 40 ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{fg}}$

ตามคำจำกัดความ 1-มอร์ฟิซึมของหมวดหมู่ไฟเบอร์ในกรุปอยด์สามารถแสดงแทนด้วยปริภูมิพีชคณิต^{[ 13 ]}หากสำหรับมอร์ฟิซึม fppf ใดๆของสกีมและ 1-มอร์ฟิซึมใดๆหมวดหมู่ไฟเบอร์ที่เกี่ยวข้องในกรุปอยด์${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle U\to S}$${\displaystyle y:(Sch/U)_{fppf}\to {\mathcal {Y}}}$

${\displaystyle (Sch/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}}$

สามารถแสดงเป็นปริภูมิพีชคณิตได้^[ 14 ^{] [ 15 ] หมายความ}ว่ามีปริภูมิพีชคณิตอยู่

${\displaystyle F:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets}$

โดยที่หมวดหมู่ไฟเบอร์ที่เกี่ยวข้อง^{[ 16 ]}เทียบเท่ากับมีเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันหลายประการสำหรับการแสดงแทนของเส้นทแยงมุม^{[ 17 ]}ซึ่งช่วยให้เข้าใจเงื่อนไขทางเทคนิคนี้ได้ง่ายขึ้น แต่แรงจูงใจหลักประการหนึ่งคือ: สำหรับแผนผังและวัตถุชีฟสามารถแสดงแทนได้เป็นปริภูมิพีชคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มรักษาเสถียรภาพสำหรับจุดใดๆ บนสแต็กสามารถแสดงแทนได้เป็นปริภูมิพีชคณิต ความเทียบเท่าที่สำคัญอีกประการหนึ่งของการมีเส้นทแยงมุมที่แสดงแทนได้คือเงื่อนไขทางเทคนิคที่ว่าจุดตัดของปริภูมิพีชคณิตสองปริภูมิใดๆ ในสแต็กพีชคณิตเป็นปริภูมิพีชคณิต ปรับปรุงใหม่โดยใช้ผลคูณไฟเบอร์${\displaystyle {\mathcal {S}}_{F}\to (Sch/S)_{fppf}}$${\displaystyle (Sch/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x,y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {X}}_{U})}$${\displaystyle \operatorname {Isom} (x,y)}$${\displaystyle x:\operatorname {Spec} (k)\to {\mathcal {X}}_{\operatorname {Spec} (k)}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}Y\times _{\mathcal {X}}Z&\to &Y\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\to &{\mathcal {X}}\end{matrix}}}$

ความสามารถในการแสดงแทนของแนวทแยงเทียบเท่ากับความสามารถในการแสดงแทนสำหรับปริภูมิพีชคณิตนี่เป็นเพราะมอร์ฟิซึมที่กำหนดจากปริภูมิพีชคณิตจะขยายไปยังแผนที่จากแผนที่แนวทแยง มีข้อความที่คล้ายกันสำหรับปริภูมิพีชคณิตซึ่งให้ความสามารถในการแสดงแทนของชีฟบนเป็นปริภูมิพีชคณิต^{[ 18 ]}${\displaystyle Y\to {\mathcal {X}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y\to {\mathcal {X}},Z\to {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}}$${\displaystyle (F/S)_{fppf}}$

โปรดทราบว่าเงื่อนไขที่คล้ายคลึงกันของการแสดงแทนของแนวทแยงมุมใช้ได้กับสูตรบางอย่างของสแต็กที่สูงกว่า^{[ 19 ]}โดยที่ผลคูณไฟเบอร์เป็นสแต็ก - สำหรับสแต็ก- ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

การมีอยู่ของโครงร่างและ 1-มอร์ฟิซึมของหมวดหมู่ไฟเบอร์ซึ่งเป็นการส่งแบบทั่วถึงและเรียบขึ้นอยู่กับการกำหนดมอร์ฟิซึมที่เรียบและทั่วถึงของหมวดหมู่ไฟเบอร์ นี่คือสแต็กพีชคณิตจาก ฟังก์ชันตัวแทน บนที่ได้รับการอัปเกรดเป็นหมวดหมู่ไฟเบอร์ในกรุปอยด์ซึ่งหมวดหมู่มีเพียงมอร์ฟิซึมที่ไม่สำคัญเท่านั้น นี่หมายถึงเซต${\displaystyle fppf}$${\displaystyle U\to S}$${\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle h_{U}}$${\displaystyle h_{U}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets}$

${\displaystyle h_{U}(T)={\text{Hom}}_{(Sch/S)_{fppf}}(T,U)}$

ถือเป็นหมวดหมู่หนึ่ง ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ โดยมีวัตถุใน หมวดหมู่นั้น เป็นมอร์ฟิซึม${\displaystyle h_{\mathcal {U}}(T)}$${\displaystyle h_{U}(T)}$${\displaystyle fppf}$

${\displaystyle f:T\to U}$

และมอร์ฟิซึมคือมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ ดังนั้น

${\displaystyle h_{\mathcal {U}}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Groupoids}$

เป็น 2-ฟังก์ชันของกรุปอยด์ การแสดงให้เห็นว่า 2-ฟังก์ชันนี้เป็นชีฟคือเนื้อหาของเลมมา 2-โยเนดะการใช้โครงสร้างโกรเทนดีค จะมีหมวดหมู่ที่เกี่ยวข้องซึ่งมีไฟเบอร์ในกรุปอยด์ซึ่งแสดงด้วย ${\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}$

ในการกล่าวว่ามอร์ฟิซึมนี้เรียบหรือครอบคลุม เราต้องแนะนำมอร์ฟิซึมที่สามารถแสดงแทนได้^{[ 20 ]}มอร์ฟิซึมของหมวดหมู่ที่มีไฟเบอร์ในกลุ่มย่อยเหนือจะเรียกว่าสามารถแสดงแทนได้หากกำหนดวัตถุในและวัตถุที่เป็นผล คูณ ไฟเบอร์2${\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}$${\displaystyle p:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$${\displaystyle T\to S}$${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$${\displaystyle t\in {\text{Ob}}({\mathcal {Y}}_{T})}$

${\displaystyle (Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}}$

สามารถแสดงได้ด้วยโครงร่าง จากนั้น เราสามารถกล่าวได้ว่ามอร์ฟิซึมของหมวดหมู่ที่มีไฟเบอร์ในกรุปอยด์นั้นเรียบและเป็นการส่งแบบทั่วถึงหากมอร์ฟิซึมที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle p}$

${\displaystyle (Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}\to (Sch/T)_{fppf}}$

ของแผนการนั้นราบเรียบและเป็นฟังก์ชันทั่วถึง

สแต็กเชิงพีชคณิต หรือที่รู้จักกันในชื่อสแต็กอาร์ตินตามคำนิยามแล้วจะมีแอตลาสแบบเรียบและทั่วถึงโดยที่คือสแต็กที่เกี่ยวข้องกับสกีมบางอย่าง ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าแอตลาสเป็นแบบเอทาลแล้วจะเรียกว่าสแต็กเดลิญ-มัมฟอร์ด คลาสย่อยของสแต็กเดลิญ-มัมฟอร์ดมีประโยชน์เพราะให้การตั้งค่าที่ถูกต้องสำหรับสแต็กธรรมชาติหลายอย่างที่พิจารณา เช่นสแต็กโมดูลัสของเส้นโค้งเชิงพีชคณิตนอกจากนี้ สแต็กเหล่านี้ยังมีความเข้มงวดมากพอที่วัตถุที่แสดงโดยจุดในสแต็กเดลิญ-มัมฟอร์ดจะไม่มีออโตมอร์ฟิซึมแบบอนันต์นี่เป็นสิ่งสำคัญมากเพราะออโตมอร์ฟิซึมแบบอนันต์ทำให้การศึกษาทฤษฎีการเปลี่ยนรูปของสแต็กอาร์ตินทำได้ยากมาก ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีการเปลี่ยนรูปของสแต็กอาร์ติน ซึ่งเป็นสแต็กโมดูลัสของเวกเตอร์บันเดิลอันดับ มีออโตมอร์ฟิซึมแบบอนันต์ที่ถูกควบคุมบางส่วนโดยพีชคณิตลีสิ่งนี้ส่งผลให้เกิดลำดับการเปลี่ยนแปลงและการกีดขวางที่ไม่มีที่สิ้นสุดโดยทั่วไป ซึ่งเป็นหนึ่งในแรงจูงใจในการศึกษาโมดูลัสของบันเดิลเสถียรเฉพาะในกรณีพิเศษของทฤษฎีการเปลี่ยนแปลงรูปทรงของบันเดิลเส้นตรงเท่านั้นที่ทฤษฎีการเปลี่ยนแปลงรูปทรงสามารถจัดการได้ เนื่องจากพีชคณิตลีที่เกี่ยวข้องเป็นแบบอาเบเลียน ${\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle U\to S}$${\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle BGL_{n}=[*/GL_{n}]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$${\displaystyle [*/GL_{1}]=[*/\mathbb {G} _{m}]}$

โปรดทราบว่าสแต็กจำนวนมากไม่สามารถแสดงได้อย่างเป็นธรรมชาติในรูปของสแต็ก Deligne-Mumford เนื่องจากสแต็กดังกล่าวอนุญาตเฉพาะการปกคลุมแบบจำกัด หรือสแต็กเชิงพีชคณิตที่มีการปกคลุมแบบจำกัดเท่านั้น โปรดทราบว่าเนื่องจากการปกคลุม Etale ทุกแบบเป็นแบบแบนและมีการนำเสนอแบบจำกัดในระดับท้องถิ่น สแต็กเชิงพีชคณิตที่กำหนดด้วยโทโพโลยี fppf จึงครอบคลุมทฤษฎีนี้ แต่ทฤษฎีนี้ก็ยังคงมีประโยชน์เนื่องจากสแต็กจำนวนมากที่พบในธรรมชาติมีรูปแบบนี้ เช่นโมดูลัสของเส้นโค้ง นอกจากนี้ อนาล็อกเชิงเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของสแต็กดังกล่าวเรียกว่าออร์บิโฟลด์เงื่อนไข Etale บ่งบอกถึง 2-ฟังก์ชันเตอร์${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

${\displaystyle B\mu _{n}:(\mathrm {Sch} /S)^{\text{op}}\to {\text{Cat}}}$

การส่งแบบแผนไปยังกรุปอยด์ของ-torsorsนั้นสามารถแสดงได้ในรูปของสแต็กเหนือโทโพโลยี Etale แต่สแต็ก Picard ของ-torsors (เทียบเท่ากับหมวดหมู่ของมัดเส้น) นั้นไม่สามารถแสดงได้ สแต็กในรูปแบบนี้สามารถแสดงได้ในรูปของสแต็กเหนือโทโพโลยี fppf อีกเหตุผลหนึ่งที่ควรพิจารณาโทโพโลยี fppf เทียบกับโทโพโลยี Etale คือลักษณะเฉพาะ ของ ลำดับKummer${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle 0\to \mu _{p}\to \mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}\to 0}$

มีความแม่นยำเฉพาะในฐานะลำดับของชีฟ fppf เท่านั้น แต่ไม่ใช่ในฐานะลำดับของชีฟ etale

การใช้โทโพโลยี Grothendieck อื่นๆทำให้เกิดทฤษฎีทางเลือกของสแต็กพีชคณิต ซึ่งอาจไม่ทั่วไปเพียงพอ หรือไม่ทำงานได้ดีในแง่ของการแลกเปลี่ยนคุณสมบัติจากฐานของคลุมไปยังปริภูมิทั้งหมดของคลุม เป็นประโยชน์ที่จะระลึกว่ามีลำดับชั้นของการวางนัยทั่วไปดังต่อไปนี้${\displaystyle (F/S)}$

${\displaystyle {\text{fpqc}}\supset {\text{fppf}}\supset {\text{smooth}}\supset {\text{etale}}\supset {\text{Zariski}}}$

ของโทโพโลยีขนาดใหญ่บน. ${\displaystyle (F/S)}$

ชีฟโครงสร้างของสแต็กพีชคณิตคือวัตถุที่ดึงกลับจากชีฟโครงสร้างสากลบนไซต์^[ 21 ^]ชีฟโครงสร้างสากล^นี้ [ ^{22 ] ถูก}กำหนดเป็น${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Rings,{\text{ where }}U/X\mapsto \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})}$

และโครงสร้างที่เกี่ยวข้องบนหมวดหมู่ที่เชื่อมโยงกันในกลุ่มย่อย

${\displaystyle p:{\mathcal {X}}\to (Sch/S)_{fppf}}$

ถูกกำหนดให้เป็น

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}:=p^{-1}{\mathcal {O}}}$

โดยที่มาจากแผนที่ของโทโพโลยี Grothendieck โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายความว่าถ้าอยู่เหนือดังนั้นแล้วเพื่อตรวจสอบความถูกต้อง ควรเปรียบเทียบสิ่งนี้กับหมวดหมู่ที่มีไฟเบอร์ในกลุ่มย่อยที่มาจาก-scheme สำหรับโทโพโลยีต่างๆ^{[ 23 ]}ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle p^{-1}}$${\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {X}})}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p(x)=U}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(x)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{Zar},{\mathcal {O}}_{\mathcal {X}})=((Sch/X)_{Zar},{\mathcal {O}}_{X})}$

เป็นหมวดหมู่ที่มีเส้นใยในกรุปอยด์เหนือโครงสร้างชีฟสำหรับสับสกีมแบบเปิดให้${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$${\displaystyle U\to X}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)={\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$

ดังนั้นคำจำกัดความนี้จึงคืนค่าชีฟโครงสร้างแบบคลาสสิกบนสกีม ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับสแต็กผลหาร ชีฟโครงสร้างนี้จะให้เฉพาะส่วนที่ไม่เปลี่ยนแปลง เท่านั้น${\displaystyle {\mathcal {X}}=[X/G]}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)=\Gamma (U,u^{*}{\mathcal {O}}_{X})^{G}}$

สำหรับใน. ^{[ 24 ] [ 25 ]}${\displaystyle u:U\to X}$${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$

สแต็กจำแนกประเภทจำนวนมากสำหรับกลุ่มพีชคณิตเป็นสแต็กพีชคณิต ในความเป็นจริง สำหรับปริภูมิกลุ่มพีชคณิตเหนือสกีมซึ่งแบนราบของการนำเสนอแบบจำกัด สแต็กจะเป็นพีชคณิต^{[ 4 ]ทฤษฎีบท} 6.1 ${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle BG}$

• เกอร์เบ
• กลุ่มอาหารของกอง
• โคฮอโมโลยีของสแต็ก
• กองผลหาร
• ชีฟบนสแต็กพีชคณิต
• เรียงซ้อนแบบทอริก
• เกณฑ์ของอาร์ติน
• การไล่เรียงชั้น
• เรขาคณิตพีชคณิตอนุพันธ์

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - ดูที่หัวข้อ "สัจพจน์" และ "สแต็กพีชคณิต"
• การแปลงเป็นพีชคณิตของอาร์ตินและสแต็กผลหาร - จาร็อด อัลเปอร์

• Alper, Jarod (2009). "คู่มือเอกสารเกี่ยวกับสแต็กพีชคณิต" (PDF) . S2CID  51803452.เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2020-02-13.
• Hall, Jack; Rydh, David (2014). "The Hilbert stack" . Advances in Mathematics . 253 : 194– 233. arXiv : 1011.5484 . doi : 10.1016/j.aim.2013.12.002 . S2CID  55936583 .
• Behrend, Kai A. (2003). "Derived ℓ-Adic Categories for Algebraic Stacks" (PDF) . Memoirs of the American Mathematical Society . 163 (774): 1– 93. doi : 10.1090/memo/0774 . ISBN 978-1-4704-0372-0.

• Lafforgue, Vincent (2014). "บทนำสู่ chtoucas สำหรับกลุ่มลดรูปและการกำหนดพารามิเตอร์ Langlands ทั่วโลก" arXiv : 1404.6416 [ math.AG ]
• ดีลีญ, พี. ; Rapoport, M. (1973) "เลส์ เชมาส เดอ โมดุลส์ เดอ กูร์บส์ เอลลิปติกส์" ฟังก์ชันโมดูลาร์ของหนึ่งตัวแปร II หมายเหตุการบรรยายทางคณิตศาสตร์ ฉบับที่ 349. หน้า  143– 316. ดอย : 10.1007/978-3-540-37855-6_4 . ไอเอสบีเอ็น 978-3-540-06558-6.
• Knudsen, Finn F. (1983). "ความเป็นโปรเจคทีฟของปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้งเสถียร, II: สแต็ก"${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$ . Mathematica Scandinavica . 52 : 161. doi : 10.7146/math.scand.a-12001 .
• Jiang, Yunfeng (2019). "เกี่ยวกับการสร้างโมดูลัสสแต็กของบันเดิลฮิกส์เชิงโปรเจกทีฟเหนือพื้นผิว". arXiv : 1911.00250 [ math.AG ].

• ตัวอย่างของสแต็ก
• หมายเหตุเกี่ยวกับโทโพโลยีของ Grothendieck หมวดหมู่แบบไฟเบอร์ และทฤษฎีการสืบเชื้อสาย
• หมายเหตุเกี่ยวกับสแต็กพีชคณิต