ในทฤษฎีหมวดหมู่ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์หมวดหมู่ขององค์ประกอบของพรีชีฟคือหมวดหมู่ที่เกี่ยวข้องกับพรีชีฟนั้น โดยวัตถุของมันคือองค์ประกอบของเซตในพรีชีฟ หมวดหมู่นี้และการวางนัยทั่วไปของมันยังเป็นที่รู้จักกันในชื่อโครงสร้าง Grothendieck (ตั้งชื่อตามAlexander Grothendieck ) โดยเฉพาะในทฤษฎีการสืบเชื้อสายในทฤษฎีสแต็กและในทฤษฎีหมวดหมู่ไฟเบอร์^{[ 1 ]}

โครงสร้างของ Grothendieck เป็นตัวอย่างของการทำให้ตรง (หรืออาจจะเรียกว่าการทำให้ไม่ตรงมากกว่า)

ในตรรกศาสตร์เชิงหมวดหมู่โครงสร้างนี้ใช้เพื่อจำลองความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีประเภทและตรรกศาสตร์เหนือทฤษฎีประเภทนั้น และช่วยให้สามารถแปลแนวคิดจากทฤษฎีหมวดหมู่แบบมีดัชนีไปสู่ทฤษฎีหมวดหมู่แบบมีเส้นใยได้ เช่น แนวคิดเรื่องไฮเปอร์ด็อกท รีนของลอว์เวีย ร์

หมวดหมู่ขององค์ประกอบของเซตเชิงซิมพลิเชียลเป็นพื้นฐานในทฤษฎีโฮโมโทปีเชิงซิมพลิเชียล ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของโทโพโลยีเชิงพีชคณิตโดยทั่วไปแล้ว หมวดหมู่ขององค์ประกอบมีบทบาทสำคัญในการพิสูจน์ว่าโคลิมิตแบบถ่วงน้ำหนัก ทุก ตัวสามารถแสดงได้ในรูปของโคลิมิตธรรมดา ซึ่งจำเป็นสำหรับผลลัพธ์พื้นฐานในทฤษฎีการขยายคานซ้ายแบบจุดต่อจุด และลักษณะเฉพาะของหมวดหมู่พรีชีฟในฐานะโคคอมพลีชันอิสระของหมวดหมู่ ดูเพิ่มเติมที่ทฤษฎีบทความหนาแน่น (ทฤษฎีหมวดหมู่)สำหรับตัวอย่างการใช้งาน

ถ้าเป็นกลุ่มของเซตที่ถูกกำหนดดัชนีโดยเซตอื่น เราสามารถสร้างการรวมกันที่ไม่ซ้ำกันหรือผลคูณร่วมได้ ${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i\in I}}$

${\displaystyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$,

ซึ่งเป็นเซตของคู่ลำดับทั้งหมดที่ทำให้เซตยูเนียนที่ไม่ทับซ้อนกันนั้นมีแผนที่ "การฉายภาพ" ตามธรรมชาติ ${\displaystyle (i,a)}$${\displaystyle a\in A_{i}}$

${\displaystyle \pi :\coprod _{i\in I}A_{i}\to I,\,\pi (i,a)=i.}$

จากการฉายภาพสามารถสร้างเซตตระกูลดั้งเดิมขึ้นใหม่ได้ จนถึงการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งมาตรฐาน เช่นเดียวกับ การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งสำหรับแต่ละ เซต ในบริบทนี้ สำหรับเซตที่มีสมาชิกเดียวเรียกว่า "ไฟเบอร์" ของ เซต เหนือ เซตที่มีสมาชิกเดียว และเซตใดๆที่มีฟังก์ชันให้เลือกเรียกว่าเซตที่มี "ไฟเบอร์" เหนือเซตที่มีสมาชิกเดียว ด้วยวิธีนี้ การสร้างแบบรวมที่ไม่ทับซ้อนกันทำให้สามารถมองเห็นเซตตระกูลใดๆ ที่มีดัชนีเป็นเซตที่มี"ไฟเบอร์" เหนือเซตที่มี สมาชิกเดียว และในทางกลับกัน สำหรับเซตใดๆ ที่มีไฟเบอร์เหนือ เซตที่มีสมาชิกเดียว เราสามารถมองว่ามันเป็นการรวมที่ไม่ทับซ้อนกันของไฟเบอร์ของเซตที่มีสมาชิกเดียวJacobs ได้อ้างถึงมุมมองทั้งสองนี้ว่า "การจัดทำดัชนีแบบแสดงผล" และ "การจัดทำดัชนีแบบจุดต่อจุด" ^{[ 2 ]}${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i\in I}}$${\displaystyle i\in I,A_{i}\cong \pi ^{-1}(\{i\})}$${\displaystyle a\mapsto (i,a)}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle \pi ^{-1}(\{i\})}$${\displaystyle \{i\}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle i}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f:B\to I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f:B\to I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f}$

การสร้างแบบ Grothendieck ขยายแนวคิดนี้ไปสู่หมวดหมู่ สำหรับแต่ละหมวดหมู่และแต่ละตระกูลของหมวดหมู่ที่จัดทำดัชนีโดยวัตถุในลักษณะฟังก์ชัน การสร้างแบบ Grothendieck จะส่งคืนหมวดหมู่ใหม่ที่มีไฟเบอร์โดยฟังก์ชัน ที่มีไฟเบอร์เป็น หมวด หมู่เหล่านั้น${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \{F(c)\}_{c\in {\mathcal {C}}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \{F(c)\}_{c\in {\mathcal {C}}}}$

ให้F เป็นหมวดหมู่และให้ C เป็น ฟังก์ชันค่าเซตหมวดหมู่el( F ) ของสมาชิกในF (หรือเขียนแทนด้วย∫ _C F ) คือหมวดหมู่ที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle C}$${\displaystyle F:C^{\rm {op}}\to \mathbf {Sets} }$

• วัตถุเป็นคู่ที่และ.${\displaystyle (A,a)}$${\displaystyle A\in \mathop {\rm {Ob}} (C)}$${\displaystyle a\in FA}$
• มอร์ฟิซึม คือลูกศรที่มีลักษณะเช่นนั้น${\displaystyle (A,a)\to (B,b)}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (Ff)b=a}$

นิยามที่เทียบเท่ากันคือ หมวดหมู่ขององค์ประกอบของคือหมวดหมู่คอมมาโดยที่∗คือเซตที่มีสมาชิกเพียงหนึ่งเดียว (เซตที่มีสมาชิกเพียงหนึ่งเดียว) ${\displaystyle F}$${\displaystyle (\ast \downarrow F)^{\rm {op}}}$

โดยธรรมชาติแล้ว หมวดหมู่ขององค์ประกอบFจะมีฟังก์ชันการฉายภาพΠ: ∫ _C F → Cที่ส่งวัตถุ( A , a )ไปยังAและลูกศร( A , a )→( B , b ) ไปยังลูกศร พื้นฐาน ในC

สำหรับC ขนาดเล็ก โครงสร้างนี้สามารถขยายเป็นฟังก์ชัน∫ _CจากĈไปยังCatซึ่งเป็นหมวดหมู่ของหมวดหมู่ขนาดเล็กได้ โดยใช้ทฤษฎีบทโยเนดะเราสามารถแสดงได้ว่า∫ _C P ≅ y ↓ Pโดยที่y : C → Ĉคือการฝังตัวของโยเนดะ ความสมมาตรนี้เป็นธรรมชาติในPดังนั้นฟังก์ชัน∫ _Cจึงสมมาตรกับy ↓–: Ĉ → Catโดย ธรรมชาติ

สำหรับบางแอปพลิเคชัน การขยายโครงสร้างให้ครอบคลุมถึง pseudofunctor แบบ contravariant ด้วยนั้นมีความสำคัญ(กรณี covariant ก็คล้ายกัน) กล่าวคือ เมื่อกำหนดให้กำหนดหมวดหมู่โดยที่ ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C_{F}}$

• วัตถุคือคู่ที่ประกอบด้วยวัตถุในและวัตถุใน${\displaystyle (x,a)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$${\displaystyle a}$${\displaystyle F(x)}$
• มอร์ฟิ ซึมประกอบด้วยin และin${\displaystyle {\overline {f}}:(x,a)\to (y,b)}$${\displaystyle f:x\to y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \varphi :(Ff)b\to a}$${\displaystyle F(x)}$
• องค์ประกอบข้างต้นประกอบด้วยและ; กล่าวคือ${\displaystyle {\overline {f}}}$${\displaystyle {\overline {g}}=(g,\psi ):(y,b)\to (z,c)}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle \varphi \circ (Ff)\psi }$

${\displaystyle F(g\circ f)c\simeq (Ff\circ Fg)c{\overset {(Ff)\psi }{\to }}(Ff)b{\overset {\varphi }{\to }}a.}$^{[ 3 ]}

บางทีการคิดว่า เป็นการดึงกลับตาม(เช่น) แล้วจึงเป็นการดึงกลับของตาม อาจเป็นประโยชน์ในเชิงจิตวิทยา${\displaystyle Ff}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Ff=f^{*}}$${\displaystyle (Ff)b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f}$

โปรดสังเกตว่า คุณสมบัติการสลับที่ของการประกอบนั้นเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ไอโซมอร์ฟิซึมมีความสอดคล้องกัน ${\displaystyle F(g\circ f)\simeq Ff\circ Fg}$

ถ้าเป็นกลุ่มก็สามารถมองได้ว่าเป็นหมวดหมู่ที่มีวัตถุหนึ่งเดียวและมอร์ฟิซึม ทั้งหมด สามารถ ผกผัน ได้ ให้ เป็นฟังก์ชันที่มีค่า ณ วัตถุเดียวของคือหมวดหมู่ ซึ่งเป็นหมวดหมู่ที่แสดงถึงกลุ่มในลักษณะเดียวกัน ข้อกำหนดที่ว่า ต้องเป็นฟังก์ชันนั้นเทียบเท่ากับการระบุโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มโดยที่แทนกลุ่มของออโตมอร์ฟิซึมของ สุดท้าย การสร้างแบบ Grothendieck ส่งผลให้ได้หมวดหมู่ที่มีวัตถุหนึ่งเดียว ซึ่งสามารถมองได้อีกครั้งว่าเป็นกลุ่ม และในกรณีนี้ กลุ่มที่ได้จะเป็น ( สมสัณฐานกับ) ผลคูณกึ่งตรง${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{G},}$${\displaystyle F:{\mathcal {C}}_{G}\to \mathbf {Cat} }$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{G}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{H},}$${\displaystyle H}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (H),}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (H)}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle F\rtimes {\mathcal {C}}_{G},}$${\displaystyle H\rtimes _{\varphi }G.}$

เมื่อกำหนดหมวดหมู่Cและวัตถุคงที่*ในนั้น ให้ใช้ ฟังก์ชัน คอนทราแวเรียนต์ที่แสดงโดย*จากนั้นหมวดหมู่ที่เกี่ยวข้องกับมันโดยการสร้าง Grothendieck ก็คือหมวดหมู่คอมมา [ ^{4 ] อัน}ที่จริง ถ้าเป็นวัตถุในแล้วถ้าเป็นมอร์ฟิซึมในแล้วแต่ถือว่าเป็นมอร์ฟิซึมในซึ่ง เป็นเซตโฮม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเซต ดังนั้น จึงเป็นเอกลักษณ์และดังนั้น กล่าวคือเป็นแผนที่เหนือ*${\displaystyle F=\operatorname {Hom} (-,*)}$${\displaystyle C_{F}}$${\displaystyle C\downarrow *}$${\displaystyle (x,a)}$${\displaystyle C_{F}}$${\displaystyle a:x\to *}$${\displaystyle (f,\varphi ):(x,a)\to (y,b)}$${\displaystyle C_{F}}$${\displaystyle \varphi :b\circ f\to a}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle b\circ f=a}$${\displaystyle f}$

เมื่อกำหนดหมวดหมู่C แล้ว ให้ถือว่าเป็นฟังก์ชันโฮม${\displaystyle F}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} :C^{op}\times C\to {\textbf {Set}},}$

โดยที่หมายถึงผลคูณของหมวดหมู่จากนั้นหมวดหมู่ขององค์ประกอบสำหรับเรียกว่าหมวดหมู่ของลูกศรบิดในC [ ^{5 ] สิ่ง} ที่ตรงกันข้ามกับ หมวด หมู่ นี้เรียกว่าแนวทแยงบิดของC${\displaystyle \times }$${\displaystyle F}$

ให้เป็นฟังก์ชัน (โดยมองว่าเป็นแผนภาพ) และเป็นหมวดหมู่ขององค์ประกอบสำหรับ. เส้นประสาทของเป็นเซตเชิงซิมพลิเชียลที่สม isomorphic กับhomotopy colimitของโดยทฤษฎีบท homotopy colimit ของ Thomason : ${\displaystyle X:I\to {\textbf {Set}}}$${\displaystyle EX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle EX}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {hocolim} X\simeq N(EX).}$

บางครั้งสิ่งนี้ถือเป็นคำจำกัดความของโคลิมิตโฮโมโทปี^{[ 6 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นแผนภาพเชิงซิมพลิเชียลการหาโคลิมิตข้างต้นสำหรับแต่ละจะทำให้ได้โคลิมิตโฮโมโทปีของXด้วยเช่นกัน ${\displaystyle X:I\to {\textbf {sSet}}}$${\displaystyle X_{n}}$

ให้เป็นฟังก์ชันลืมและ เป็นหมวดหมู่ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเทียมแบบคอนทราแวเรียนต์บนโดยการสร้างของ Grothendieck คุณสมบัติสำคัญคือเป็นไฟเบอร์แบบคาร์ทีเซียน (หรือเป็นหมวดหมู่ที่มีไฟเบอร์เหนือ) หมายความว่าแต่ละมอร์ฟิซึมในที่มีเป้าหมายยกขึ้นเป็นมอร์ฟิซึมแบบคาร์ทีเซียนที่มีเป้าหมาย^{[ 3 ]}อันที่จริง เราเพียงแค่ให้และคุณสมบัติการยกขึ้นที่ต้องการจึงเป็นจริงโดยปริยาย ${\displaystyle \pi :C_{F}\to C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle C_{F}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f:x\to y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle y=\pi ((y,b))}$${\displaystyle {\overline {f}}}$${\displaystyle {\overline {y}}=(y,b)}$${\displaystyle {\overline {x}}=(x,a),\,a=(Ff)(b)}$${\displaystyle {\overline {f}}=(f,\operatorname {id} _{a}).}$

ต่อไป ถ้าเป็นการแปลงธรรมชาติ (ระหว่างฟังก์ชันเทียมแบบคอนทราแวเรียนต์) แล้วจะเหนี่ยวนำให้เกิดฟังก์ชัน ${\displaystyle \mu :F\to G}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu :C_{F}\to C_{G}}$

ที่ส่งมอร์ฟิซึมแบบคาร์ทีเซียนไปยังมอร์ฟิซึมแบบคาร์ทีเซียน อันที่จริง สำหรับออบเจกต์ เราให้ผ่าน ส่วนสำหรับมอร์ฟิซึมเราให้โดยที่ทีนี้ ถ้าเป็นมอร์ฟิซึมแบบคาร์ทีเซียนใดๆ แล้ว เนื่องจากเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน เราจึงเห็นว่าสามารถผกผันได้ และดังนั้น ก็สามารถผกผันได้เช่นกัน จึงสรุปได้ว่ามีคุณสมบัติการยกที่จำเป็นในการเป็นมอร์ฟิซึมแบบคาร์ทีเซียน ซึ่งเป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์ข้อกล่าวอ้าง ${\displaystyle \mu ((x,a))=(x,\mu (a))}$${\displaystyle \mu :F(x)\to G(x)}$${\displaystyle {\overline {f}}=(f,(Ff)b\,{\overset {\varphi }{\to }}\,a):{\overline {x}}\to {\overline {y}}}$${\displaystyle \mu ({\overline {f}})=(f,\mu (\varphi ))}$${\displaystyle \mu (\varphi ):\mu (Ff)b=(Gf)\mu (b)\to \mu (a)}$${\displaystyle f':x'\to {\overline {y}}}$${\displaystyle x',{\overline {x}}}$${\displaystyle \varphi _{f'}}$${\displaystyle \mu (\varphi _{f'})}$${\displaystyle \mu (f')}$

โดยใช้ภาษาของ∞-categoriesการสร้างของ Grothendieck สามารถกล่าวได้อย่างกระชับดังนี้ กล่าวคือ มันบอกว่ามีความสมมูลกันของ ∞-categories:

${\displaystyle {\textrm {Fct}}(C^{op},{\textrm {Cat}})\to {\textrm {Cart}}(C)}$

ระหว่างหมวดหมู่ฟังก์ชันและหมวดหมู่ (2, 1)ของไฟเบอร์คาร์ทีเซียน (หรือหมวดหมู่ไฟเบอร์) เหนือ[ ^{7 ] ยิ่ง}ไปกว่านั้น ความเท่าเทียมกันจะได้รับโดยการส่งฟังก์ชันเทียมไปยังหมวดหมู่ของคู่สำหรับ(ดูด้านบน) และทิศทางตรงกันข้ามโดยการใช้ไฟเบอร์ กล่าวคือจะถูกแมปไปยังฟังก์ชันเทียม ${\displaystyle C}$${\displaystyle F:C^{op}\to {\textrm {Cat}}}$${\displaystyle C_{F}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle X\mapsto \pi ^{-1}(X)}$

โดยรายละเอียดเพิ่มเติม เมื่อกำหนดไฟเบอร์คาร์ทีเซียนแล้วให้กำหนดฟังก์ชันเทียมคอนทราแวเรียนต์ดังต่อไปนี้^{[ 8 ]}สำหรับวัตถุต่อไป เนื่องจากเป็นไฟเบอร์คาร์ทีเซียน สำหรับแต่ละมอร์ฟิซึมและแต่ละวัตถุในจะมีวัตถุในเช่นเดียวกับมอร์ฟิซึมคาร์ทีเซียนในโดยสัจพจน์ของการเลือกสำหรับแต่ละเราจึงเลือกในเช่นเดียวกับมอร์ฟิซึมคาร์ทีเซียนเพื่อให้ง่ายต่อการเขียน เราจะให้ตอนนี้เราจะสร้าง ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F(x)=\pi ^{-1}(x)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle f:x\to y}$${\displaystyle {\overline {y}}}$${\displaystyle \pi ^{-1}(y)}$${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$${\displaystyle {\overline {f}}:{\overline {x}}\to {\overline {y}}}$${\displaystyle \pi ^{-1}(f)}$${\displaystyle {\overline {y}}}$${\displaystyle (Ff){\overline {y}}}$${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$${\displaystyle {\overline {f}}_{\overline {y}}:(Ff){\overline {y}}\to {\overline {y}}}$${\displaystyle f^{*}=Ff}$

${\displaystyle f^{*}:\pi ^{-1}(y)\to \pi ^{-1}(x)}$

ฟังก์ชัน (functor) คือฟังก์ชันที่ส่งมอร์ฟิซึม (morphism) ด้วยเช่นกัน ถ้า เป็นมอร์ฟิซึมในเนื่องจากเป็นระบบพิกัดคาร์ทีเซียน จึงมีมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวซึ่งเราจะใช้สัญลักษณ์ แทน โดยที่ โดยความไม่ซ้ำกันของตัวเลือก เราจะได้ดังนั้น จึงเป็นฟังก์ชัน ดังนั้น จึงถูกกำหนดขึ้น สุดท้าย เราจะแสดงให้เห็นว่า เป็นฟังก์ชันเทียมแบบคอนทราแวเรียนต์ (contravariant pseudofunctor) โดยคร่าวๆ แล้วเป็นเพราะถึงแม้เราจะเลือกโดยใช้สัจพจน์ของการเลือก แต่ตัวเลือกที่แตกต่างกันจะแตกต่างกันด้วยไอโซมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกัน ดังนั้น ไอโซมอร์ฟิซึมจึงจะมีความสอดคล้องกัน (coherent ) ${\displaystyle \alpha :{\overline {y}}_{1}\to {\overline {y}}_{2}}$${\displaystyle \pi ^{-1}(y)}$${\displaystyle {\overline {f}}:f^{*}{\overline {y}}_{2}\to {\overline {y}}_{2}}$${\displaystyle f^{*}{\overline {y}}_{1}\to f^{*}{\overline {y}}_{2}}$${\displaystyle f^{*}\alpha }$${\displaystyle \alpha \circ {\overline {f}}_{{\overline {y}}_{1}}={\overline {f}}_{{\overline {y}}_{2}}\circ f^{*}\alpha }$${\displaystyle f^{*}(\alpha \circ \beta )=f^{*}\alpha \circ f^{*}\beta }$${\displaystyle Ff=f^{*}}$${\displaystyle F:C^{op}\to {\textbf {Cat}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F(g\circ f)\simeq (Fg)(Ff)}$

• หมวดหมู่ขององค์ประกอบที่ห้องปฏิบัติการn
• บริษัท Grothendieck Constructionที่n Lab
• https://mathoverflow.net/questions/322763/why-is-the-straightening-functor-the-analogue-of-the-grothendieck-construction
• ได ทามากิ. โครงสร้าง Grothendieck และการจัดระดับสำหรับหมวดหมู่ที่เสริม. arXiv: 0907.0061.
• http://pantodon.jp/index.rb?body=Grothendieck_construction#cite.0_0907.0061ในภาษาญี่ปุ่น
• https://mathoverflow.net/questions/153941/thomason-s-homotopy-colimit-theorem-for-pseudo-functor