ในทฤษฎีหมวด หมู่ ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์วัตถุกรุปอยด์เป็นทั้งการวางนัยทั่วไปของกรุปอยด์ที่สร้างขึ้นบนโครงสร้างที่ซับซ้อนกว่าเซต และเป็นการวางนัยทั่วไปของวัตถุกลุ่มเมื่อการคูณถูกกำหนดไว้เพียงบางส่วนเท่านั้น

วัตถุกรุปอยด์ในหมวดหมู่C ที่ยอมรับ ผลคูณไฟเบอร์จำกัด ประกอบด้วย วัตถุ สองชิ้นพร้อมกับมอร์ฟิซึม ห้าตัว${\displaystyle R,U}$

${\displaystyle s,t:R\to U,\ e:U\to R,\ m:R\times _{U,t,s}R\to R,\ i:R\to R}$

โดยสอดคล้องกับสัจพจน์ของกรุปอยด์ต่อไปนี้

1. ${\displaystyle s\circ e=t\circ e=1_{U},\,s\circ m=s\circ p_{1},t\circ m=t\circ p_{2}}$โดยที่ ภาพฉายทั้งสองภาพนั้นอยู่ที่ไหน${\displaystyle p_{i}:R\times _{U,t,s}R\to R}$
2. (ความสัมพันธ์เชิงสมาคม)${\displaystyle m\circ (1_{R}\times m)=m\circ (m\times 1_{R}),}$
3. (หน่วย)${\displaystyle m\circ (e\circ s,1_{R})=m\circ (1_{R},e\circ t)=1_{R},}$
4. (ผกผัน) , , . ^{[ 1 ]}${\displaystyle i\circ i=1_{R}}$${\displaystyle s\circ i=t,\,t\circ i=s}$${\displaystyle m\circ (1_{R},i)=e\circ s,\,m\circ (i,1_{R})=e\circ t}$

กลุ่มออบเจกต์เป็นกรณีพิเศษของกลุ่มออบเจกต์กรุปอยด์ โดยที่และดังนั้นจึงสามารถกู้คืนกลุ่มทางทอพอโลยี ได้ โดยการใช้หมวดหมู่ของปริภูมิทางทอพอโลยีหรือกลุ่มลีได้โดยการใช้หมวดหมู่ของแมนิโฟลด์เป็นต้น ${\displaystyle R=U}$${\displaystyle s=t}$

วัตถุกรุปอยด์ในหมวดหมู่ของเซตนั้นก็คือกรุปอยด์ในความหมายปกติ: หมวดหมู่ที่มอร์ฟิซึมทุกตัวเป็นไอโซมอร์ฟิซึมที่จริงแล้ว เมื่อกำหนดหมวดหมู่C ดังกล่าวแล้ว ให้Uเป็นเซตของวัตถุทั้งหมดในCและRเป็นเซตของมอร์ฟิซึมทั้งหมดในCซึ่งก็คือมอร์ฟิซึมทั้งห้าที่กำหนดโดย, , และเมื่อคำว่า "กรุปอยด์" สามารถอ้างถึงวัตถุกรุปอยด์ในหมวดหมู่ใดหมวดหมู่หนึ่งโดยเฉพาะได้ คำว่า " เซตกรุปอยด์ " จะถูกใช้เพื่ออ้างถึงวัตถุกรุปอยด์ในหมวดหมู่ของเซต ${\displaystyle s(x\to y)=x,\,t(x\to y)=y}$${\displaystyle m(f,g)=g\circ f}$${\displaystyle e(x)=1_{x}}$${\displaystyle i(f)=f^{-1}}$

อย่างไรก็ตาม แตกต่างจากตัวอย่างก่อนหน้านี้เกี่ยวกับกลุ่มลี (Lie groups) วัตถุกรุปอยด์ในหมวดหมู่ของแมนิโฟลด์ (manifolds) ไม่จำเป็นต้องเป็นกรุปอยด์ลี เสมอไป เนื่องจากแผนที่sและtไม่ตรงตามข้อกำหนดเพิ่มเติม (พวกมันไม่จำเป็นต้องเป็นการแทรกซึม )

แผนผังS - groupoidคือวัตถุ groupoid ในหมวดหมู่ของแผนผังเหนือแผนผังฐานS ที่กำหนดไว้ หากแล้วแผนผัง groupoid (โดยที่จำเป็นต้องเป็นแผนที่โครงสร้าง) จะเหมือนกับแผนผังกลุ่มแผนผัง groupoid ยังเรียกว่าgroupoid พีชคณิต^{[ 2 ]}เพื่อสื่อถึงแนวคิดที่เป็นการวางนัยทั่วไปของกลุ่มพีชคณิตและการกระทำของกลุ่มเหล่านั้น ${\displaystyle U=S}$${\displaystyle s=t}$

ตัวอย่างเช่น สมมติว่ากลุ่มพีชคณิตG กระทำการจากทางขวาบนสกีมUจากนั้นให้sเป็นการฉายภาพ และtเป็นการกระทำที่กำหนด ซึ่งจะกำหนดสกีมกรุปอยด์ ${\displaystyle R=U\times G}$

เมื่อกำหนดวัตถุกรุปอยด์ ( R , U ) แล้วตัวปรับสมดุลของถ้ามี ก็คือวัตถุกลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มความเฉื่อยของกรุปอยด์นั้นส่วนตัวร่วมปรับสมดุลของไดอะแกรมเดียวกัน ถ้ามี ก็คือผลหารของกรุปอยด์นั้น ${\displaystyle R\,{\overset {s}{\underset {t}{\rightarrows }}}\,U}$

แต่ละออบเจ็กต์กรุปอยด์ในหมวดหมู่C (ถ้ามี) อาจมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันคอนทราแวเรียนต์จากCไปยังหมวดหมู่ของกรุปอยด์ ด้วยวิธีนี้ แต่ละออบเจ็กต์กรุปอยด์จะกำหนดพรีสแต็กในกรุปอยด์ พรีสแต็กนี้ไม่ใช่สแต็กแต่สามารถแปลงเป็นสแต็กได้เพื่อให้ได้สแต็ก

การใช้งานหลักของแนวคิดนี้คือการให้แผนที่สำหรับสแต็ก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้เป็นหมวดหมู่ของ-torsorsแล้วมันจะเป็นหมวดหมู่ที่มีไฟเบอร์ในกรุปอยด์อันที่จริง (ในกรณีที่ดี) มันคือ สแต็ก Deligne–Mumfordในทางกลับกัน สแต็ก DM ใดๆ ก็มีรูปแบบนี้เช่นกัน ${\displaystyle [R\rightarrows U]}$${\displaystyle (R\rightarrows U)}$

• โครงร่างเชิงซิมพลิเชียล