ในทางคณิตศาสตร์โครงร่างกลุ่ม (group scheme)คือประเภทของวัตถุจากเรขาคณิตเชิงพีชคณิตที่มีกฎการประกอบโครงร่าง กลุ่มเกิดขึ้นตามธรรมชาติในฐานะสมมาตรของโครงร่าง (scheme ) และเป็นการขยายแนวคิดของกลุ่มพีชคณิตในแง่ที่ว่ากลุ่มพีชคณิตทั้งหมดมีโครงสร้างโครงร่างกลุ่ม แต่โครงร่างกลุ่มไม่จำเป็นต้องเชื่อมต่อกันเรียบหรือกำหนดบนฟิลด์ ความทั่วไปเพิ่มเติมนี้ช่วยให้สามารถศึกษาโครงสร้างอนันต์ขนาดเล็กที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น และสิ่งนี้สามารถช่วยให้เข้าใจและตอบคำถามที่มีความสำคัญทางเลขคณิตได้หมวดหมู่ของโครงร่างกลุ่มมีพฤติกรรมที่ดีกว่าหมวดหมู่ของ วาไร ตี้กลุ่ม (group varieties ) เนื่องจากโฮโมมอร์ฟิซึมทั้งหมดมีเคอร์เนล และมี ทฤษฎีการเปลี่ยนรูปที่มีพฤติกรรมที่ดีโครงร่างกลุ่มที่ไม่ใช่กลุ่มพีชคณิตมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตเชิงเลขคณิตและโทโพโลยีเชิงพีชคณิตเนื่องจากปรากฏในบริบทของการแทนแบบกาโลอิสและปัญหาโมดูลัส การพัฒนาทฤษฎีแผนการกลุ่มในระยะเริ่มต้นนั้นเกิดขึ้นจากผลงานของAlexander Grothendieck , Michel RaynaudและMichel Demazureในช่วงต้นทศวรรษ 1960

โครงร่างกลุ่ม (Group scheme) คือวัตถุกลุ่มในหมวดหมู่ของโครงร่างที่มีผลิตภัณฑ์ไฟเบอร์และวัตถุสุดท้ายS บางอย่าง กล่าวคือ เป็นโครง ร่าง S -scheme Gที่ติดตั้งชุดข้อมูลที่เทียบเท่ากันชุดใดชุดหนึ่ง

• กลุ่มของ ฟังก์ชันสามตัวμ: G × _S , G → G , e: S → Gและ ι: G → Gซึ่งสอดคล้องกับคุณสมบัติความเข้ากันได้ตามปกติของกลุ่ม (กล่าวคือ คุณสมบัติการสลับที่ของ μ, เอกลักษณ์ และสัจพจน์ผกผัน)
• ฟังก์ชันจากสกีมเหนือS ไปยังหมวดหมู่ของกลุ่มโดยที่การประกอบกับฟังก์ชันลืมไปยังเซต นั้น เทียบเท่ากับพรีชีฟที่สอดคล้องกับGภายใต้การฝังแบบโยเนดะ (ดูเพิ่มเติม: ฟังก์ชันกลุ่ม )

โฮโมมอร์ฟิซึมของสกีมกลุ่มคือแผนที่ของสกีมที่เคารพการคูณ สามารถอธิบายได้อย่างแม่นยำโดยกล่าวว่าแผนที่fสอดคล้องกับสมการf μ = μ( f × f ) หรือโดยกล่าวว่าfเป็นการแปลงตามธรรมชาติของฟังก์ชันจากสกีมไปยังกลุ่ม (แทนที่จะเป็นเพียงเซต)

การกระทำทางซ้ายของกลุ่มสกีมGบนสกีมXคือมอร์ฟิซึมG × _S X → Xที่เหนี่ยวนำให้เกิดการกระทำ ทางซ้าย ของกลุ่มG ( T ) บนเซตX ( T ) สำหรับสกีมS ใดๆ Tการกระทำทางขวาถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน กลุ่มสกีมใดๆ ยอมรับการกระทำทางซ้ายและขวาตามธรรมชาติบนสกีมพื้นฐานโดยการคูณและการผัน การผันเป็นการกระทำโดยออโตมอร์ฟิซึม กล่าวคือ มันสลับที่ได้กับโครงสร้างของกลุ่ม และสิ่งนี้เหนี่ยวนำให้เกิดการกระทำเชิงเส้นบนวัตถุที่ได้มาตามธรรมชาติ เช่นพีชคณิตลีและพีชคณิตของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงทางซ้าย

แผนผังกลุ่มS Gเป็นแบบสลับที่ได้ ถ้ากลุ่มG ( T ) เป็นกลุ่มอาเบเลียนสำหรับแผนผังกลุ่มS T ทั้งหมด นอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันอีกหลายประการ เช่น การผันแปรที่ทำให้เกิดการกระทำที่ไม่สำคัญ หรือแผนที่ผกผัน ι เป็นออโตมอร์ฟิซึมของแผนผังกลุ่ม

• เมื่อกำหนดกลุ่มGแล้ว เราสามารถสร้างโครงร่างกลุ่มคงที่ G _Sได้ ในฐานะโครงร่าง มันคือการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของสำเนาของSและโดยการเลือกการระบุสำเนาเหล่านี้กับองค์ประกอบของGเราสามารถกำหนดแผนที่การคูณ แผนที่หน่วย และแผนที่ผกผันโดยการขนส่งโครงสร้างได้ ในฐานะฟังก์ชัน มันจะแปลงโครงร่าง S ใดๆ T ไปเป็นผลคูณของสำเนาของกลุ่ม G โดยที่จำนวนสำเนาเท่ากับจำนวนส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของ T G S เป็นแบบแอฟฟินเหนือ S ก็ต่อเมื่อ G เป็นกลุ่ม_{จำกัด}อย่างไรก็ตามเราสามารถใช้ลิมิตเชิงโปรเจกทีฟของโครงร่างกลุ่มคงที่จำกัดเพื่อให้ได้โครงร่างกลุ่มโปรไฟไนต์ ซึ่งปรากฏในการศึกษาของกลุ่มพื้นฐานและการแสดงแทนกาโลอิส หรือในทฤษฎีของโครงร่างกลุ่มพื้นฐานและสิ่งเหล่านี้เป็นแบบแอฟฟินประเภทอนันต์ โดยทั่วไปแล้ว โดยการใช้ชีฟคงที่เฉพาะที่ของกลุ่มบนSเราจะได้โครงร่างกลุ่มคงที่เฉพาะที่ ซึ่งโมโนโดรมีบนฐานสามารถเหนี่ยวนำออโตมอร์ฟิซึมที่ไม่ธรรมดาบนไฟเบอร์ได้
• การมีอยู่ของผลคูณไฟเบอร์ของสกีมช่วยให้สามารถสร้างโครงสร้างได้หลายอย่าง ผลคูณโดยตรงแบบจำกัดของสกีมกลุ่มมีโครงสร้างสกีมกลุ่มแบบมาตรฐาน เมื่อกำหนดการกระทำของสกีมกลุ่มหนึ่งต่ออีกสกีมหนึ่งโดยออโตมอร์ฟิซึม เราสามารถสร้างผลคูณกึ่งโดยตรงได้โดยทำตามการสร้างเชิงเซตตามปกติ เคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมของสกีมกลุ่มเป็นสกีมกลุ่ม โดยการหาผลคูณไฟเบอร์เหนือแผนที่เอกลักษณ์จากฐาน การเปลี่ยนฐานจะส่งสกีมกลุ่มไปยังสกีมกลุ่ม
• สามารถสร้างโครงร่างกลุ่มจากโครงร่างกลุ่มที่เล็กกว่าได้โดยการจำกัดค่าสเกลาร์โดยสัมพันธ์กับมอร์ฟิซึมบางอย่างของโครงร่างฐาน แม้ว่าจะต้องมีเงื่อนไขความจำกัดเพื่อให้มั่นใจได้ว่าฟังก์ชันที่ได้นั้นสามารถแสดงแทนกันได้ เมื่อมอร์ฟิซึมนี้อยู่บน ส่วนขยายจำกัดของฟิลด์ จะเรียกว่า การจำกัด แบบWeil
• สำหรับกลุ่มอาเบเลียนA ใดๆ เราสามารถสร้างกลุ่มที่สามารถทำให้เป็นแนวทแยง ได้ที่สอดคล้องกัน D ( A ) ซึ่งกำหนดเป็นฟังก์ชันโดยการกำหนดให้D ( A )( T ) เป็นเซตของโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มอาเบเลียนจากAไปยังส่วนตัดทั่วโลกที่ผกผันได้ของO( _T)สำหรับแต่ละS -scheme Tถ้าSเป็นแอฟฟินD ( A ) สามารถสร้างขึ้นได้เป็นสเปกตรัมของวงแหวนกลุ่มโดยทั่วไปแล้ว เราสามารถสร้างกลุ่มประเภททวีคูณได้โดยให้Aเป็นชีฟที่ไม่คงที่ของกลุ่มอาเบเลียนบนS
• สำหรับโครงร่างกลุ่มย่อยHของโครงร่างกลุ่มGฟังก์ชันที่แปลงโครงร่างS Tเป็นG ( T )/ H ( T ) โดยทั่วไปจะไม่ใช่ชีฟ และแม้แต่การแปลงเป็นชีฟก็โดยทั่วไปไม่สามารถแสดงเป็นโครงร่างได้ อย่างไรก็ตาม หากHเป็นกลุ่มจำกัดแบนราบและปิดในGผลหารจะสามารถแสดงได้ และยอมรับ การกระทำ G ด้านซ้ายแบบแคนอนิก โดยการแปล หากการจำกัดการกระทำนี้ไปยังHเป็นแบบไม่สำคัญHจะถูกเรียกว่าปกติ และโครงร่างผลหารยอมรับกฎกลุ่มธรรมชาติ ความสามารถในการแสดงมีอยู่ในกรณีอื่นๆ อีกมากมาย เช่น เมื่อHปิดในGและทั้งคู่เป็นแบบแอฟฟิน^{[ 1 ]}

• กลุ่มการคูณG _mมีเส้นแอฟฟินแบบเจาะรูเป็นโครงร่างพื้นฐาน และในฐานะฟังก์ชัน มันจะส่งโครงร่างS Tไปยังกลุ่มการคูณของส่วนทั่วโลกที่ผกผันได้ของชีฟโครงสร้าง มันสามารถอธิบายได้ว่าเป็นกลุ่มที่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้D ( Z ) ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็ม บนฐานแอฟฟินเช่น Spec AมันคือสเปกตรัมของวงแหวนA [ x , y ]/( xy  − 1) ซึ่งเขียนได้อีกแบบว่าA [ x , x ⁻¹ ] แผนที่เอกลักษณ์กำหนดโดยการส่งxไปยังหนึ่ง การคูณกำหนดโดยการส่งxไปยังx ⊗ xและผกผันกำหนดโดยการส่งxไปยังx ⁻¹ โทริเชิงพีชคณิตก่อตัวเป็นกลุ่มโครงร่างกลุ่มสลับที่สำคัญ ซึ่งกำหนดโดยคุณสมบัติของการเป็นผลคูณของสำเนาของG _mใน ระดับท้องถิ่นบน Sหรือเป็นกลุ่มประเภทการคูณที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่ สร้างขึ้นอย่างจำกัด
• กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปGL _nเป็นวาไรตี้พีชคณิตเชิงเส้นที่สามารถมองได้ว่าเป็นกลุ่มการคูณของวา ไรตี้วงแหวนเมทริกซ์ ขนาดn x nในฐานะฟังก์ชัน มันส่งS -scheme Tไปยังกลุ่มของเมทริกซ์ผกผันขนาดn x nที่มีสมาชิกเป็นส่วนตัดทั่วโลกของTบนฐานเชิงเส้น เราสามารถสร้างมันขึ้นมาได้โดยใช้ผลหารของวงแหวนพหุนามใน ตัวแปร n ² + 1 โดยใช้ไอเดียลที่เข้ารหัสความสามารถในการผกผันของดีเทอร์มิแนนต์ หรืออีกทางหนึ่ง มันสามารถสร้างได้โดยใช้ตัวแปร 2 n ²โดยมีความสัมพันธ์ที่อธิบายคู่ลำดับของเมทริกซ์ผกผันซึ่งกันและกัน
• สำหรับจำนวนเต็มบวกn ใด _ๆกลุ่ม μn _ของราก ที่ nของเอกภาพคือเคอร์เนลของการแมปกำลังที่n จาก Gmไปยังตัวมันเอง ในฐานะฟังก์ชัน มันจะส่งS -scheme T ใดๆ ไปยังกลุ่มของส่วนตัดทั่วโลกfของTโดยที่fn ⁼ 1 บนฐานเชิงเส้นตรง เช่น SpecA มันคือสเปกตรัมของA [x]/( xn ⁻ 1) ถ้าnไม่สามารถผกผันได้ในฐาน scheme นี้จะไม่เรียบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง บนฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะp μp _จะไม่เรียบ
• กลุ่มบวกG _aมีเส้นแอฟฟินA ¹เป็นโครงร่างพื้นฐาน ในฐานะฟังก์ชัน มันจะส่งโครงร่างS ใดๆ Tไปยังกลุ่มบวกพื้นฐานของส่วนทั่วโลกของชีฟโครงสร้าง เหนือฐานแอฟฟินเช่น Spec AมันคือสเปกตรัมของวงแหวนพหุนามA [ x ] แผนที่เอกลักษณ์กำหนดโดยการส่งx ไปที่ศูนย์ การคูณกำหนดโดยการส่งxไปที่ 1 ⊗  x  +  x  ⊗ 1 และตัวผกผันกำหนดโดยการส่งxไปที่ − x
• ถ้าp = 0 ในSสำหรับจำนวนเฉพาะp บาง ตัว การยกกำลังpจะเหนี่ยวนำให้เกิดเอนโดมอร์ฟิซึมของG _aและเคอร์เนลคือโครงร่างกลุ่ม α _pบนฐานแอฟฟิน เช่น Spec AมันคือสเปกตรัมของA [x]/( x ^p )
• กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของเส้นตรงเชิงเส้นตรง (เทียบกับกลุ่มเชิงเส้นตรง ) มีความสัมพันธ์แบบไอโซมอร์ฟิกกับผลคูณกึ่งตรงของG _aโดยG _m โดยที่กลุ่มการบวกกระทำโดยการเลื่อน และกลุ่มการคูณกระทำโดยการขยาย กลุ่มย่อยที่ตรึงจุดฐานที่เลือกไว้จะมีความสัมพันธ์แบบไอ โซมอร์ฟิกกับกลุ่มการคูณ และการเลือกจุดฐานเป็นเอกลักษณ์ของโครงสร้างกลุ่มการบวกจะทำให้G _m ตรง กับกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของG _a
• เส้นโค้ง เรียบ ที่มี จีนัสหนึ่งและมีจุดที่กำหนดไว้ (เช่นเส้นโค้งวงรี ) มีโครงสร้างแผนผังกลุ่มที่ไม่ซ้ำกัน โดยมีจุดนั้นเป็นเอกลักษณ์ แตกต่างจากตัวอย่างมิติบวกก่อนหน้านี้ เส้นโค้งวงรีเป็นเส้นโค้งเชิงโปร เจกทีฟ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เชิงโปร เจกทีฟแท้ )

สมมติว่าGเป็นกลุ่มสกีมประเภทจำกัดเหนือฟิลด์kให้G ⁰เป็นส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของเอกลักษณ์ กล่าวคือ สกีมกลุ่มย่อยที่เชื่อมต่อกันสูงสุด แล้วGเป็นส่วนขยายของกลุ่มสกีมเอทาลจำกัดโดยG ⁰ Gมีสกีมกลุ่มย่อยลดรูปสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันG _redและถ้าkเป็น เพอร์เฟกต์ แล้วG _{red เป็น} วาไรตี้กลุ่มเรียบที่เป็นสกีมกลุ่มย่อยของG สกีมผลหารคือสเปกตรัมของวงแหวนเฉพาะที่อันดับจำกัด

โครงร่างกลุ่มแอฟฟินใดๆ ก็ตาม คือสเปกตรัมของพีชคณิตฮอปฟ์ แบบสลับที่ได้ (บนฐานSซึ่งกำหนดโดยสเปกตรัมสัมพัทธ์ของ พีชคณิต O _S ) แผนที่การคูณ หน่วย และผกผันของโครงร่างกลุ่มนั้นกำหนดโดยโครงสร้างการคูณร่วม หน่วยร่วม และแอนติโพดในพีชคณิตฮอปฟ์ โครงสร้างหน่วยและการคูณในพีชคณิตฮอปฟ์นั้นเป็นคุณสมบัติเฉพาะของโครงร่างพื้นฐาน สำหรับโครงร่างกลุ่มGใดๆ วงแหวนของส่วนตัดทั่วโลกก็มีโครงสร้างพีชคณิตฮอปฟ์แบบสลับที่เช่นกัน และโดยการหาสเปกตรัมของมัน จะได้กลุ่มผลหารแอฟฟินสูงสุด วาไรตี้กลุ่มแอฟฟินเรียกว่ากลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นเนื่องจากสามารถฝังเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปได้

แผนผังกลุ่มที่เชื่อมต่อกันอย่างสมบูรณ์นั้น ในแง่หนึ่งตรงกันข้ามกับแผนผังกลุ่มเชิงเส้นตรง เนื่องจากความสมบูรณ์หมายความว่าส่วนตัดทั่วโลกทั้งหมดคือส่วนที่ดึงกลับมาจากฐาน และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง แผนผังกลุ่มเหล่านี้ไม่มีแผนที่ที่ไม่ใช่แผนที่พื้นฐานไปยังแผนผัง กลุ่มเชิงเส้นตรง วาไรตี้กลุ่ม ที่สมบูรณ์ ใดๆ (วาไรตี้ในที่นี้หมายถึง แผนผังแยกส่วนที่ลดรูปและไม่สามารถลด รูป ทางเรขาคณิต ได้ ซึ่งมีประเภทจำกัดเหนือฟิลด์) จะสลับที่ได้โดยอัตโนมัติ โดยใช้เหตุผลที่เกี่ยวข้องกับการกระทำของการผันแปรบนปริภูมิเจ็ทของเอกลักษณ์ วาไรตี้กลุ่มที่สมบูรณ์เรียกว่าวาไรตี้อาเบเลียนแนวคิดนี้ขยายไปสู่แนวคิดของแผนผังอาเบเลียน แผนผังกลุ่มGเหนือฐานSเป็นอาเบเลียนหากมอร์ฟิซึมเชิงโครงสร้างจากGไปยังSเป็นแบบเหมาะสมและเรียบ โดยมีไฟเบอร์ที่เชื่อมต่อกันทางเรขาคณิต แผนผังกลุ่มเหล่านี้เป็นแบบโปรเจคทีฟโดยอัตโนมัติ และมีการประยุกต์ใช้มากมาย เช่น ในทฤษฎีฟิลด์ชั้น เรขาคณิต และในเรขาคณิตพีชคณิต อย่างไรก็ตาม แผนผังกลุ่มที่สมบูรณ์เหนือฟิลด์ไม่จำเป็นต้องสลับที่ได้ ตัวอย่างเช่น แผนผังกลุ่มจำกัดใดๆ ก็สมบูรณ์

แผนผังกลุ่มGบนแผนผังโนเธอร์เรียนSจะมีค่าจำกัดและแบนราบก็ต่อเมื่อO _Gเป็นโมดูลO _S ที่เป็นอิสระเฉพาะที่ และมีอันดับจำกัด อันดับนี้เป็นฟังก์ชันคงที่เฉพาะที่บนSและเรียกว่าอันดับของ  Gอันดับของแผนผังกลุ่มคงที่นั้นเท่ากับอันดับของกลุ่มที่สอดคล้องกัน และโดยทั่วไป อันดับจะมีพฤติกรรมที่ดีเมื่อเทียบกับการเปลี่ยนฐานและการจำกัดแบบแบนราบจำกัดของสเกลาร์

ในบรรดาโครงร่างกลุ่มแบนจำกัด ค่าคงที่ (ดูตัวอย่างข้างต้น) ก่อตัวเป็นกลุ่มพิเศษ และเหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ หมวดหมู่ของกลุ่มจำกัดจะเทียบเท่ากับหมวดหมู่ของโครงร่างกลุ่มจำกัดคงที่ เหนือฐานที่มีลักษณะเฉพาะเป็นบวกหรือโครงสร้างเชิงเลขคณิตที่มากกว่านั้น จะมีประเภทไอโซมอร์ฟิซึมเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น ถ้า 2 สามารถผกผันได้เหนือฐาน โครงร่างกลุ่มทั้งหมดที่มีอันดับ 2 จะเป็นค่าคงที่ แต่เหนือจำนวนเต็ม 2-adicนั้น μ ₂จะไม่เป็นค่าคงที่ เพราะไฟเบอร์พิเศษไม่เรียบ มีลำดับของวงแหวน 2-adic ที่แตกแขนงสูงซึ่งจำนวนประเภทไอโซมอร์ฟิซึมของโครงร่างกลุ่มที่มีอันดับ 2 จะเพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัด การวิเคราะห์โดยละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับโครงร่างกลุ่มแบนจำกัดแบบสลับที่ได้เหนือ วงแหวน p -adic สามารถพบได้ในงานของ Raynaud เกี่ยวกับการขยาย

แผนผังกลุ่มแบนจำกัดแบบสลับที่ได้มักเกิดขึ้นในธรรมชาติในรูปของแผนผังกลุ่มย่อยของวาไรตี้อาเบเลียนและเซมิอาเบเลียน และในลักษณะเฉพาะที่เป็นบวกหรือผสม แผนผังเหล่านี้สามารถเก็บข้อมูลจำนวนมากเกี่ยวกับวาไรตี้โดยรอบได้ ตัวอย่างเช่น^p _- torsionของเส้นโค้งวงรีในลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์นั้นมีความสมมาตรเฉพาะที่กับแผนผังกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานคงที่อันดับp²แต่เหนือFpมันคือแผนผังกลุ่มแบนจำกัดอันดับp²ที่มี ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน p ^ส่วน (ถ้าเส้นโค้งเป็นเส้นโค้งธรรมดา) หรือส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน 1 ส่วน (ถ้าเส้นโค้งเป็นเส้น โค้ง เอกฐานยิ่งยวด ) ถ้าเราพิจารณาตระกูลของเส้นโค้งวงรีp -torsion จะสร้างแผนผังกลุ่มแบนจำกัดเหนือปริภูมิพารามิเตอร์ และตำแหน่งเส้นโค้งเอกฐานยิ่งยวดคือบริเวณที่เส้นใยเชื่อมต่อกัน การรวมส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันนี้สามารถศึกษาได้อย่างละเอียดโดยการเปลี่ยนจากแผนผังแบบโมดูลาร์ไปเป็นปริภูมิวิเคราะห์แบบแข็งซึ่งจุดเส้นโค้งเอกฐานยิ่งยวดจะถูกแทนที่ด้วยวงกลมที่มีรัศมีเป็นบวก

ทฤษฎีทวิภาวะของคาร์เทียร์เป็นอนาล็อกเชิงทฤษฎีของทฤษฎีทวิภาวะของปอนทรียาจินซึ่งแปลงแผนผังกลุ่มสลับที่จำกัดไปเป็นแผนผังกลุ่มสลับที่จำกัด

สามารถศึกษาโครงร่างกลุ่มสลับที่แบบระนาบจำกัดเหนือฟิลด์สมบูรณ์kที่มีลักษณะเฉพาะp ที่เป็นบวกได้โดยการถ่ายทอดโครงสร้างทางเรขาคณิตไปยังการตั้งค่าพีชคณิตเชิงเส้น (กึ่ง) วัตถุพื้นฐานคือ วงแหวน Dieudonné D = W ( k ){ F , V }/( FV  −  p ) ซึ่งเป็นผลหารของวงแหวนของพหุนามไม่สลับที่ โดยมีสัมประสิทธิ์ในเวก เตอร์ Wittของk FและVคือตัวดำเนินการ Frobenius และVerschiebungและอาจกระทำอย่างไม่ธรรมดาต่อเวกเตอร์ Witt Dieudonne และ Cartier ได้สร้างความไม่สมดุลของหมวดหมู่ระหว่างโครงร่างกลุ่มสลับที่แบบจำกัดเหนือkที่มีอันดับเป็นกำลังของ "p" และโมดูลเหนือDที่มี ความยาว W ( k ) จำกัด ฟังก์ชันโมดูล Dieudonné ในทิศทางหนึ่งกำหนดโดยโฮโมมอร์ฟิซึมไปยังชีฟอาเบเลียนCWของเวกเตอร์ร่วม Witt ชีฟนี้เป็นคู่ขนานกับชีฟของเวกเตอร์วิทท์ (ซึ่งสามารถแทนได้ด้วยโครงร่างกลุ่ม) โดยประมาณ เนื่องจากสร้างขึ้นโดยการหาลิมิตโดยตรงของเวกเตอร์วิทท์ที่มีความยาวจำกัดภายใต้แผนที่ Verschiebung V : W _n → W _n+1 ที่ต่อเนื่องกัน แล้วจึงเติมเต็ม คุณสมบัติหลายอย่างของโครงร่างกลุ่มสลับที่ได้สามารถเห็นได้จากการตรวจสอบโมดูล Dieudonné ที่สอดคล้องกัน เช่น โครงร่างกลุ่ม p ที่เชื่อมต่อกัน สอดคล้องกับ โมดูล Dซึ่งFเป็นนิลโพเทนต์ และโครงร่างกลุ่มเอทาลสอดคล้องกับโมดูลซึ่งFเป็นไอโซมอร์ฟิซึม

ทฤษฎี Dieudonné มีอยู่ในบริบทที่กว้างกว่ากลุ่มแบนจำกัดเหนือฟิลด์เล็กน้อย วิทยานิพนธ์ของ Oda ในปี 1967 ได้เชื่อมโยงโมดูล Dieudonné กับโคฮอโมโลยี de Rham ตัวแรก ของวาไรตี้อาเบเลียน และในเวลาเดียวกัน Grothendieck ได้เสนอแนะว่าควรมีทฤษฎีเวอร์ชันผลึกที่สามารถใช้วิเคราะห์ กลุ่ม p -divisible ได้ การกระทำของ Galois บนโครงร่างกลุ่มถ่ายโอนผ่านความเท่าเทียมกันของหมวดหมู่ และทฤษฎีการเปลี่ยนรูปที่เกี่ยวข้องของการแสดงแทน Galois ถูกนำมาใช้ในงานของWiles เกี่ยวกับ ข้อสันนิษฐาน Shimura– Taniyama

• แผนผังกลุ่มพื้นฐาน
• ทฤษฎีความไม่แปรเปลี่ยนทางเรขาคณิต
• ดัชนี GIT
• แผนผังกลุ่ม
• การดำเนินการตามแผนกลุ่ม
• กลุ่มซ้อน
• ทฤษฎีไม่เปลี่ยนแปลง
• กองผลหาร