ในทางคณิตศาสตร์การขยายกลุ่ม (group extension)คือวิธีการทั่วไปในการอธิบายกลุ่มโดยใช้กลุ่มย่อยปกติ (normal subgroup)และกลุ่มผลหาร (quotient group ) ที่เฉพาะเจาะจง ถ้าและเป็นสองกลุ่ม แล้วจะเป็นการขยายของโดยถ้ามีลำดับที่แน่นอนสั้นๆ (short exact sequence)${\displaystyle Q}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle 1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1.}$

ถ้าเป็นส่วนขยายของโดยแล้วเป็นกลุ่มเป็นกลุ่มย่อยปกติของและกลุ่มผลหารเป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มการขยายกลุ่มเกิดขึ้นในบริบทของปัญหาการขยายโดยที่กลุ่มและเป็นที่รู้จัก และคุณสมบัติของจะต้องถูกกำหนด โปรดทราบว่าวลี " เป็นส่วนขยายของโดย" ก็ถูกใช้โดยบางคนเช่นกัน^{[ 1 ]}${\displaystyle G}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \iota (N)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/\iota (N)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Q}$

เนื่องจากกลุ่มจำกัด ใดๆ ก็ตาม มีกลุ่มย่อยปกติสูงสุดที่มีกลุ่มตัวประกอบแบบง่ายดังนั้นกลุ่มจำกัดทั้งหมดจึงสามารถสร้างขึ้นได้จากอนุกรมของการขยายด้วยกลุ่มแบบง่าย จำกัด ข้อเท็จจริงนี้เป็นแรงจูงใจในการทำให้การจำแนกประเภทของกลุ่มแบบง่ายจำกัดสมบูรณ์ยิ่งขึ้น ${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G/\iota (N)}$

ส่วนขยายจะเรียกว่าส่วนขยายศูนย์กลาง ก็ต่อ เมื่อกลุ่มย่อยนั้นอยู่ตรงกลางของ ส่วนขยาย นั้น ${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

ส่วนขยายหนึ่งที่ เห็นได้ชัดเจนในทันทีคือ ผลคูณโดยตรงหากกำหนดให้และเป็นกลุ่มอาเบเลียนแล้ว เซตของชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของส่วนขยายของโดยกลุ่ม (อาเบเลียน) ที่กำหนดให้ก็คือกลุ่ม ซึ่งมีไอโซมอร์ฟิกกับ ${\displaystyle G}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N);}$

เปรียบเทียบกับฟังก์ชัน Extมีกลุ่มการขยายทั่วไปอื่นๆ อีกหลายประเภท แต่ไม่มีทฤษฎีใดที่สามารถจัดการกับการขยายที่เป็นไปได้ทั้งหมดพร้อมกันได้ การขยายกลุ่มมักถูกอธิบายว่าเป็นปัญหาที่ยาก จึงเรียกว่าปัญหาการขยาย

เพื่อพิจารณาตัวอย่างบางส่วน ถ้าแล้วจะเป็นการขยายของทั้งและโดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นผลคูณกึ่งตรงของและซึ่งเขียนได้เป็นแล้วจะเป็นการขยายของโดยดังนั้นผลคูณเช่นผลคูณแบบพวงหรีดจึงเป็นตัวอย่างเพิ่มเติมของการขยาย ${\displaystyle G=K\times H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G=K\rtimes H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle K}$

คำถามที่ว่ากลุ่มใดบ้างที่เป็นส่วนขยายของโดยเรียกว่าปัญหาการขยาย (extension problem ) และได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางมาตั้งแต่ปลายศตวรรษที่สิบเก้า สำหรับแรงจูงใจในการตั้งคำถามนี้ ลองพิจารณาว่าลำดับการประกอบ (composition series)ของกลุ่มจำกัด คือ ลำดับจำกัดของกลุ่มย่อยโดยที่แต่ละกลุ่มย่อย เป็นส่วนขยายของ กลุ่มจำกัด โดยกลุ่มเชิงเดี่ยว (simple group) บางกลุ่ม การจำแนกกลุ่มเชิงเดี่ยวจำกัดทำให้เราได้รายชื่อกลุ่มเชิงเดี่ยวจำกัดทั้งหมด ดังนั้น การแก้ปัญหาการขยายจะให้ข้อมูลเพียงพอแก่เราในการสร้างและจำแนกกลุ่มจำกัดทั้งหมดโดยทั่วไป ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \{A_{i}\}}$${\displaystyle \{A_{i+1}\}}$${\displaystyle \{A_{i}\}}$

การแก้ปัญหาเรื่องส่วนขยายนั้นเทียบเท่ากับการจำแนกส่วนขยายทั้งหมดของโดยหรือในทางปฏิบัติมากกว่านั้นคือ การแสดงส่วนขยายทั้งหมดเหล่านั้นในรูปของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เข้าใจและคำนวณได้ง่ายกว่า โดยทั่วไปแล้ว ปัญหานี้เป็นปัญหาที่ยากมาก และผลลัพธ์ที่มีประโยชน์ที่สุดทั้งหมดจะจำแนกส่วนขยายที่ตรงตามเงื่อนไขเพิ่มเติมบางประการ ${\displaystyle H}$${\displaystyle K}$

สิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่าส่วนขยายสองส่วนนั้นเท่ากันหรือสอดคล้องกันเมื่อใด เรากล่าวว่าส่วนขยายเหล่านั้น...

${\displaystyle 1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1}$

และ

${\displaystyle 1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1}$

สมมูลกัน (หรือสอดคล้องกัน) หากมีไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มที่ทำให้แผนภาพด้านล่างเป็นแบบสลับที่ได้ ในความเป็นจริง การมีโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มก็เพียงพอแล้ว เนื่องจากสมมติฐานเรื่องแบบสลับที่ได้ของแผนภาพ แผนที่จึงถูกบังคับให้เป็นไอโซมอร์ฟิซึมโดยทฤษฎีบทห้าข้อสั้น ${\displaystyle T:G\to G'}$${\displaystyle T}$

อาจเกิดขึ้นได้ว่าส่วนขยาย^{และไม่เท่ากัน แต่และเป็นกลุ่มที่สมมาตรกัน ตัวอย่างเช่น มีส่วนขยายที่ไม่เท่ากันของกลุ่มสี่ไคลน์โดย [ 2} ] แต่มีเพียงกลุ่มสี่กลุ่มที่^{มีอันดับ}ซึ่งประกอบด้วยกลุ่มย่อยปกติที่มีอันดับ โดยมีกลุ่มผลหารที่สมมาตรกับกลุ่มสี่ไคลน์ ${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$${\displaystyle 1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle 8}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle 8}$${\displaystyle 2}$

ส่วนขยายที่ไม่สำคัญคือส่วนขยาย

${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$

ซึ่งเทียบเท่ากับส่วนขยาย

${\displaystyle 1\to K\to K\times H\to H\to 1}$

โดย ที่ ลูกศรซ้ายและขวาแสดงถึงการรวมและการฉายภาพของแต่ละปัจจัยตามลำดับ${\displaystyle K\times H}$

ส่วนขยายแบบแยกส่วนคือส่วนขยาย

${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$

โดยมีโฮโมมอร์ฟิซึม ที่ทำให้การเปลี่ยนจากไปโดยและกลับมาที่โดย แผนที่ผลหารของลำดับที่แน่นอนสั้นจะเหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่เอกลักษณ์บนกล่าวคือในสถานการณ์นี้ มักกล่าวกันว่าแยกลำดับที่แน่นอนข้างต้นออก ${\displaystyle s\colon H\to G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle s}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \pi \circ s=\mathrm {id} _{H}}$${\displaystyle s}$

ส่วนขยายแบบแยกส่วนนั้นจำแนกได้ง่ายมาก เพราะส่วนขยายจะเป็นแบบแยกส่วนก็ต่อเมื่อกลุ่มนั้นเป็นผลคูณกึ่งตรงของและผลคูณกึ่งตรงเองก็จำแนกได้ง่ายเช่นกัน เพราะมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับโฮโมมอร์ฟิซึมจากโดยที่คือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม ของ สำหรับการอธิบายอย่างละเอียดว่าทำไมจึงเป็นเช่นนั้น โปรด ดูที่ ผลคูณกึ่งตรง${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H\to \operatorname {Aut} (K)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (K)}$${\displaystyle K}$

โดยทั่วไปในทางคณิตศาสตร์ การขยายโครงสร้างมักถูกมองว่าเป็นโครงสร้างที่โครงสร้างนั้นเป็นโครงสร้างย่อย ดูตัวอย่างเช่นการขยายฟิลด์อย่างไรก็ตาม ในทฤษฎีกลุ่ม คำศัพท์ตรงกันข้ามได้แทรกซึมเข้ามา ส่วนหนึ่งเป็นเพราะสัญลักษณ์ซึ่งอ่านง่ายว่าเป็นการขยายของโดยและจุดสนใจอยู่ที่กลุ่ม ${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \operatorname {Ext} (Q,N)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Q}$

บทความของRonald Brownและ Timothy Porter เกี่ยวกับทฤษฎีการขยายแบบไม่เชิงอะเบเลียนของOtto Schreier ใช้คำศัพท์ที่ว่าการขยาย จะให้โครงสร้างที่ใหญ่กว่า^{[ 3 ]}${\displaystyle K}$

ส่วนขยายหลักของกลุ่มคือลำดับที่แน่นอน สั้นๆ ของกลุ่มต่างๆ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle 1\to A\to E\to G\to 1}$

โดยที่รวมอยู่ในศูนย์กลางของกลุ่มเซตของชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของส่วนขยายศูนย์กลางของโดยมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับกลุ่มโคฮอโมโลยี ${\displaystyle A}$${\displaystyle Z(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle H^{2}(G,A)}$

ตัวอย่างของการขยายส่วนกลางสามารถสร้างขึ้นได้โดยการนำกลุ่มใดๆและกลุ่มอาเบเลียน ใดๆ มา แล้วกำหนดให้เป็น ตัวอย่าง การแยกส่วนแบบนี้สอดคล้องกับองค์ประกอบ 0 ในภายใต้การจับคู่ข้างต้น ตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านั้นพบได้ในทฤษฎีการแทนแบบโปรเจคทีฟในกรณีที่การแทนแบบโปรเจคทีฟไม่สามารถยกขึ้นเป็นการแทนเชิงเส้น ธรรมดา ได้ ${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A\times G}$${\displaystyle H^{2}(G,A)}$

ในกรณีของกลุ่มสมบูรณ์ จำกัด จะมี ส่วนขยายศูนย์กลาง สมบูรณ์ สากล

ในทำนองเดียวกัน ส่วนขยายส่วนกลางของพีชคณิตลี คือลำดับที่แน่นอน ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}$

โดยที่อยู่ตรงกลางของ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$

มีทฤษฎีทั่วไปของการขยายศูนย์กลางใน วาไร ตี้Maltsev ^{[ 4 ]}

มีการจำแนกประเภทที่คล้ายกันของส่วนขยายทั้งหมดของโดยในแง่ของโฮโมมอร์ฟิซึมจากซึ่งเป็นเงื่อนไขการมีอยู่ของที่ยุ่งยากแต่ตรวจสอบได้อย่างชัดเจนซึ่งเกี่ยวข้องกับและกลุ่มโคโฮโมโลยี^{[ 5 ]}${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G\to \operatorname {Out} (A)}$${\displaystyle H^{3}(G,Z(A))}$${\displaystyle H^{2}(G,Z(A))}$

ในทฤษฎีกลุ่มลี (Lie group theory) การขยายแบบศูนย์กลาง (central extensions) เกิดขึ้นจากการเชื่อมโยงกับ โทโพโลยีเชิงพีชคณิตโดยคร่าวๆ แล้ว การขยายแบบศูนย์กลางของกลุ่มลีโดยกลุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง (discrete groups) นั้นเหมือนกับกลุ่มปกคลุม (covering groups)กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือปริภูมิปกคลุมที่เชื่อมต่อกันG ^*ของกลุ่มลีที่เชื่อมต่อกันGนั้นเป็นการขยายแบบศูนย์กลางของG โดยธรรมชาติ ในลักษณะที่การฉายภาพ (projection)

${\displaystyle \pi \colon G^{*}\to G}$

เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มและเป็นการส่งแบบทั่วถึง (โครงสร้างกลุ่มบนG ^∗ขึ้นอยู่กับการเลือกองค์ประกอบเอกลักษณ์ที่แมปไปยังเอกลักษณ์ในG ) ตัวอย่างเช่น เมื่อG ^∗เป็นกลุ่มปกคลุมสากลของGเคอร์เนลของπคือกลุ่มพื้นฐานของGซึ่งเป็นที่ทราบกันว่าเป็นกลุ่มอาเบเลียน (ดูH-space ) ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดกลุ่มลีGและกลุ่มย่อยศูนย์กลางแบบไม่ต่อเนื่องZผลหารG / Zคือกลุ่มลี และGคือปริภูมิปกคลุมของมัน

โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกลุ่มA , EและGที่ปรากฏในส่วนขยายศูนย์กลางเป็นกลุ่มลี และแผนที่ระหว่างกลุ่มเหล่านั้นเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มลีแล้ว ถ้าพีชคณิตลีของGคือg , ของAคือaและของEคือeแล้วeจะเป็นส่วนขยายพีชคณิตลีศูนย์กลางของgโดยaในศัพท์เฉพาะของฟิสิกส์เชิงทฤษฎีตัวสร้างของaเรียกว่าประจุศูนย์กลางตัวสร้างเหล่านี้อยู่ตรงกลางของeตามทฤษฎีบทของ Noether ตัว สร้าง ของกลุ่มสมมาตรจะสอดคล้องกับปริมาณอนุรักษ์ ซึ่งเรียกว่าประจุ

ตัวอย่างพื้นฐานของส่วนขยายส่วนกลางในฐานะกลุ่มครอบคลุม ได้แก่:

• กลุ่มสปินซึ่งครอบคลุมกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษ สองเท่า ซึ่ง (ในมิติคู่) ครอบคลุมกลุ่มออร์โธโกนอลเชิงโปรเจกทีฟสอง เท่า
• กลุ่มเมตาเพล็กติกซึ่งครอบคลุมกลุ่มซิมเพล็กติกสอง ชั้น

กรณีของSL ₂ ( R )เกี่ยวข้องกับกลุ่มพื้นฐานที่เป็นวัฏจักรอนันต์ส่วนขยายกลางที่เกี่ยวข้องนั้นเป็นที่รู้จักกันดีใน ทฤษฎี รูปแบบโมดูลาร์ในกรณีของรูปแบบที่มีน้ำหนัก½การแสดงแทนเชิงโปรเจคทีฟที่สอดคล้องกันคือการแสดงแทนของ Weilซึ่งสร้างขึ้นจากการแปลงฟูริเยร์ในกรณีนี้บนเส้นจำนวนจริงกลุ่มเมตาเพล็กติกยังเกิดขึ้นในกลศาสตร์ควอนตัมด้วย

• ส่วนขยายพีชคณิต
• การขยายพีชคณิตลี
• พีชคณิตวิราโซโร
• ส่วนขยาย HNN
• การหดตัวของกลุ่ม
• การขยายกลุ่มโทโพโลยี

• Mac Lane, Saunders (1975), Homology , Classics in Mathematics, Springer Verlag , ISBN 3-540-58662-8
• Taylor, RL (1954), "กลุ่มปกคลุมของกลุ่มโทโพโลยีที่ไม่เชื่อมต่อกัน", Proceedings of the American Mathematical Society , 5 (5): 753– 768, doi : 10.1090/S0002-9939-1954-0087028-0
• Brown, R.; Mucuk, O. (1994), "การทบทวนกลุ่มปกคลุมของกลุ่มโทโพโลยีที่ไม่เชื่อมต่อ", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 115 (1): 97– 110, doi : 10.1017/S0305004100071942