ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์กลุ่มเมตาเพล็กติก (metaplectic group)คือกลุ่มที่อธิบายว่าสมมาตรพื้นฐานของกลศาสตร์คลาสสิกทำงานอย่างไรในกลศาสตร์ควอนตัมกล่าวโดยละเอียดกว่านั้นกลุ่มซิมเพล็กติก (symplectic group)ประกอบด้วยการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นของตำแหน่งและโมเมนตัมที่รักษารูปแบบของกลศาสตร์แฮมิลตันไว้หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นกลุ่มของการแปลงเชิงแคนอนิก (canonical transformations)ที่เป็นเชิงเส้นในตำแหน่งและโมเมนตัม เมื่อพยายามทำให้การแปลงเหล่านั้นกระทำกับฟังก์ชันคลื่น (wavefunctions ) เราจะไม่พบกลุ่มซิมเพล็กติกเอง แต่พบกลุ่มที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดซึ่งเป็นการปกคลุมสองเท่า (two-fold cover) เรียกว่ากลุ่มเมตาเพล็กติก สำหรับปริภูมิซิมเพล็กติกที่มีมิติ n มักจะใช้สัญลักษณ์ Mp _{2 n}แทน ${\displaystyle 2n}$

ดังนั้น กลุ่มเมตาเพล็กติกจึงเป็นการปกคลุมสองชั้นของกลุ่มซิมเพล็กติก Sp _{2 n}สามารถกำหนดได้เหนือ จำนวน จริงหรือจำนวนp -adic การสร้างครอบคลุมกรณีทั่วไปของ ฟิลด์ ท้องถิ่นหรือฟิลด์จำกัด ใดๆ และแม้แต่วงแหวนของอะเดล กลุ่มเมตาเพล็กติกมี การแสดงเชิงเส้นมิติอนันต์ที่สำคัญเป็นพิเศษ คือการแสดงของไวล์ [ 1 ^]อองเดร ไวล์ใช้มันเพื่อให้ การตีความ เชิงทฤษฎีการแสดงแทนของฟังก์ชันทีตาและมีความสำคัญในทฤษฎีของรูปแบบมอดูลาร์ของน้ำหนักครึ่งจำนวนเต็มและการสอดคล้องของทีตา

วิธีหนึ่งที่จะเข้าใจกลุ่มเมตาเพล็กติกคือ การมองว่าเป็นกลุ่มที่จำเป็นสำหรับการทำให้การแปลงแคนอนิก เชิงเส้น กระทำ (เชิงเส้น) ต่อฟังก์ชันคลื่น

ในกลศาสตร์คลาสสิก ปริภูมิเฟสของระบบที่มีหนึ่งองศาอิสระมีพิกัดและการแปลงเชิงเส้นที่รักษาโครงสร้างพื้นฐานของกลศาสตร์แฮมิลโทเนียนจะก่อให้เกิดกลุ่มซิมเพล็กติกตัวอย่างเช่น แฮมิลโทเนียนของตัวสั่นฮาร์มอนิกหนึ่งมิติ จะสร้างการหมุนของปริภูมิเฟส: หลังจากการหมุนครบหนึ่งรอบ ที่การแปลงแคนอนิกคลาสสิกนี้คือเอกลักษณ์ ${\displaystyle (q,p)}$$${\displaystyle H(q,p)={\tfrac {1}{2}}(q^{2}+p^{2}),}$$$${\displaystyle (q,p)\mapsto (q\cos t+p\sin t,\,-q\sin t+p\cos t).}$$${\displaystyle t=2\pi }$

อย่างไรก็ตาม ในกลศาสตร์ควอนตัม วิวัฒนาการตามเวลาที่สอดคล้องกันจะกระทำต่อฟังก์ชันคลื่นโดยตัวดำเนินการเอกภาพ สำหรับออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกที่มีแฮมิลโทเนียน วิวัฒนาการจะเป็น ถ้าเป็นฟังก์ชันคลื่นสถานะพื้นฐาน แล้ว เพราะสำหรับโดยเฉพาะอย่างยิ่ง $${\displaystyle {\hat {H}}={\tfrac {1}{2}}(P^{2}+Q^{2}),}$$$${\displaystyle U(t)=e^{-it{\hat {H}}}.}$$${\displaystyle \psi _{0}(x)=\pi ^{-1/4}e^{-x^{2}/2}}$$${\displaystyle U(t)\psi _{0}=e^{-it/2}\psi _{0},}$$${\displaystyle 2i\partial _{t}\psi -\partial _{x}^{2}\psi +x^{2}\psi =0}$${\displaystyle \psi =e^{-x^{2}/2-it/2}}$$${\displaystyle U(2\pi )\psi _{0}=-\psi _{0}.}$$

ดังนั้นการหมุนเต็มรอบของปริภูมิเฟสแบบคลาสสิก ซึ่งเป็นเรื่องง่ายในฐานะการแปลงแบบแคนอนิก จะกระทำอย่างไม่ธรรมดาต่อฟังก์ชันคลื่น: มันสร้างเครื่องหมายลบ เฉพาะหลังจากการหมุนผ่านเท่านั้นจึงจะสามารถกู้คืนตัวดำเนินการเอกลักษณ์บนฟังก์ชันคลื่นได้ นี่แสดงให้เห็นว่าวัตถุทางกลศาสตร์ควอนตัมตามธรรมชาติไม่ใช่กลุ่มซิมเพล็กติกเอง แต่เป็นการปกคลุมสองชั้นของกลุ่มนั้น การปกคลุมสองชั้นนั้นคือกลุ่มเมตาเพล็กติก ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 4\pi }$

ปรากฏการณ์นี้มีความคล้ายคลึงอย่างมากกับบทบาทของกลุ่มสปินในฐานะที่เป็นคู่ปกคลุมของกลุ่มการหมุน: ในแต่ละกรณี สมมาตรที่ในทางคลาสสิกนั้นไม่สำคัญหลังจากการหมุนครบหนึ่งรอบ อาจยังคงส่งผลต่อสถานะควอนตัมในลักษณะที่ไม่ไม่สำคัญได้ กลุ่มเมตาเพล็กติกเป็นรูปแบบของแนวคิดนี้ที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติกและการแปลงเชิงแคนอนิก มากกว่าการหมุนแบบยุคลิด

กลุ่มพื้นฐานของกลุ่ม Lie แบบซิมเพล็กติก Sp _2n ( R ) เป็นกลุ่มวัฏจักรอนันต์ดังนั้นจึงมีกลุ่มปกคลุมคู่ที่เชื่อมต่อกันเพียงหนึ่งเดียว ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ Mp _{2 n} ( R ) และเรียกว่า กลุ่มเม ตา เพล็กติก

กลุ่มเมตาเพล็กติก Mp _{2 n} ( R ) ไม่ใช่กลุ่มเมทริกซ์ : มันไม่มีการแสดงแทนแบบมิติจำกัดที่ซื่อสัตย์ดังนั้น คำถามเกี่ยวกับการสร้างแบบชัดแจ้งของมันจึงไม่ใช่เรื่องง่าย มันมีการแสดงแทนแบบมิติอนันต์ที่ไม่สามารถลดทอนได้และซื่อสัตย์ เช่น การแสดงแทนของ Weil ที่อธิบายไว้ด้านล่าง

สามารถพิสูจน์ ได้ ว่า ถ้าFเป็นฟิลด์เฉพาะที่ใดๆ ที่ไม่ใช่Cแล้ว กลุ่มซิมเพล็กติก Sp _{2 n} ( F ) จะมีส่วนขยายกลางที่สมบูรณ์แบบ เพียงหนึ่งเดียว ที่มีเคอร์เนลZ /2 Z ซึ่งเป็น กลุ่มวัฏจักรอันดับ 2 ซึ่งเรียกว่ากลุ่มเมตาเพล็กติกเหนือFมันทำหน้าที่เป็นตัวแทนเชิงพีชคณิตของ แนวคิด เชิงโทโพโลยีของ การปกคลุม 2 เท่าที่ใช้เมื่อF = R แนวทางผ่านแนวคิดของส่วนขยายกลางมีประโยชน์แม้ในกรณีของกลุ่มเมตาเพล็กติกจริง เพราะมันช่วยให้สามารถอธิบายการดำเนินการของกลุ่มผ่านโค ไซ เคิลบางอย่างได้

ในกรณีที่n = 1กลุ่มซิมเพล็กติกจะตรงกับกลุ่มเชิงเส้นพิเศษSL ₂ ( R )กลุ่มนี้กระทำการแบบไบโฮโลมอร์ฟิกบนระนาบครึ่งบน เชิงซ้อน โดยการแปลงเชิงเส้นเศษส่วน เช่นการแปลงโมเบียส

${\displaystyle g\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {R} )}$

เป็นเมทริกซ์จริงขนาด 2x2 ที่มีดีเทอร์มิแนน ต์เท่ากับ 1 และzอยู่ในระนาบครึ่งบน และการกระทำนี้สามารถใช้เพื่อสร้างการปกคลุมเมตาเพล็กติกของ SL ₂ ( R ) ได้อย่างชัดเจน

องค์ประกอบของกลุ่มเมตาเพล็กติก Mp ₂ ( R ) คือคู่ ( g , ε ) โดยที่และεเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนระนาบครึ่งบนซึ่งกฎการคูณถูกกำหนดโดย: ${\displaystyle g\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle \epsilon (z)^{2}=cz+d=j(g,z)}$

${\displaystyle (g_{1},\epsilon _{1})\cdot (g_{2},\epsilon _{2})=(g_{1}g_{2},\epsilon ),}$ ที่ไหน${\displaystyle \epsilon (z)=\epsilon _{1}(g_{2}\cdot z)\epsilon _{2}(z).}$

การที่ผลิตภัณฑ์นี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างดีนั้นเป็นผลมาจากความสัมพันธ์โคไซเคิลแผนที่ ${\displaystyle j(g_{1}g_{2},z)=j(g_{1},g_{2}\cdot z)j(g_{2},z)}$

${\displaystyle (g,\epsilon )\mapsto g}$

เป็นการส่งแบบทั่วถึงจาก Mp ₂ ( R ) ไปยัง SL ₂ ( R ) ซึ่งไม่ยอมรับส่วนต่อเนื่อง ดังนั้น เราจึงได้สร้างการปกคลุม 2 เท่าที่ไม่ธรรมดาของกลุ่มหลัง

การมีอยู่ของการแสดงแทนแบบ Weil สามารถพิสูจน์ได้ในเชิงนามธรรม ดังนี้กลุ่ม Heisenbergมีการแสดงแทนแบบเอกภาพ ที่ลดทอนไม่ได้ บนปริภูมิฮิลเบิร์ต นั่นคือ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \rho :\mathbb {H} (V)\longrightarrow U({\mathcal {H}})}$

โดยที่จุดศูนย์กลางทำหน้าที่เป็นการคูณด้วยค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ที่กำหนดให้ทฤษฎีบทสโตน-ฟอน นอยมันน์กล่าวว่าการแสดงแทนนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวโดยพื้นฐาน: ถ้าเป็นการแสดงแทนแบบอื่น ก็จะมีออโตมอร์ฟิซึมอยู่ ${\displaystyle \rho '}$

${\displaystyle \psi \in U({\mathcal {H}})}$โดยที่.${\displaystyle \rho '=\operatorname {Ad} _{\psi }(\rho )}$

และออโตมอร์ฟิซึมที่ผันแปรนั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ยกเว้นการคูณด้วยค่าคงที่ที่มีโมดูลัส 1 ดังนั้น ออโตมอร์ฟิซึมใดๆ ของกลุ่มไฮเซนเบิร์กที่เหนี่ยวนำให้เกิดเอกลักษณ์บนจุดศูนย์กลาง จะกระทำต่อการแสดงแทนนี้—กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น การกระทำนั้นจะถูกกำหนดไว้อย่างดี ยกเว้นการคูณด้วยค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

ออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่มไฮเซนเบิร์ก (โดยตรึงศูนย์กลางไว้) ก่อให้เกิดกลุ่มซิมเพล็กติกดังนั้นการกระทำของออโตมอร์ฟิซึมเหล่านี้จึงเทียบเท่ากับการกระทำของกลุ่มซิมเพล็กติก แต่การกระทำข้างต้นนั้นถูกกำหนดไว้เพียงแค่การคูณด้วยค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์เท่านั้น ดังนั้นออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่มจึงถูกแมปไปยังชั้นสมมูลของพหุคูณ ของ นี่คือการแสดงแทนเชิงโปรเจกทีฟ ซึ่งเป็น โฮโมมอร์ฟิซึมจากกลุ่มซิมเพล็กติกไปยังกลุ่มเอกภาพเชิงโปรเจ กทีฟของ ทฤษฎีทั่วไปของการแสดงแทนเชิงโปรเจกทีฟให้การกระทำของ ส่วนขยายศูนย์กลางบางส่วนของกลุ่มซิมเพล็กติกบนส่วนขยายศูนย์กลางนี้สามารถถือได้ว่าเป็นกลุ่มปกคลุมสองชั้น ซึ่งก็คือกลุ่มเมตาเพล็กติก ${\displaystyle [\psi ]\in \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

กล่าวโดยเฉพาะเจาะจง ในกรณีของ Mp ₂ ( R ) ปริภูมิฮิลเบิร์ตคือในแบบจำลองชโรดิงเกอร์ กลุ่มไฮเซนเบิร์กกระทำโดยการเลื่อนและการคูณด้วยอักขระ การแสดงแทนไวล์ที่สอดคล้องกันของกลุ่มเมตาเพล็กติกถูกสร้างขึ้นโดยการแปลงฟูริเยร์ ตัวดำเนินการขยาย และการคูณด้วยตัวประกอบเฟสกำลังสอง ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} )}$

ไวล์ได้แสดงให้เห็นถึงวิธีการขยายทฤษฎีข้างต้นโดยการแทนที่ด้วยกลุ่มอาเบเลียนแบบกระชับเฉพาะที่G ใดๆ ก็ได้ ซึ่ง^{กลุ่ม}คู่ของพอนทรียาจิน (กลุ่มของอักขระ) นั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกับGปริภูมิฮิลเบิร์ตHจึงเป็นปริภูมิของ ฟังก์ชัน L² ทั้งหมด บนGกลุ่มไฮเซนเบิร์ก (ซึ่งเป็นอนาล็อกของกลุ่มไฮเซนเบิร์ก) ถูกสร้างขึ้นโดยการเลื่อนด้วยองค์ประกอบของGและการคูณด้วยองค์ประกอบของกลุ่มคู่ (ซึ่งถือว่าเป็นฟังก์ชันจากGไปยังวงกลมหน่วย) นอกจากนี้ยังมีอนาล็อกของกลุ่มซิมเพล็กติกที่กระทำต่อกลุ่มไฮเซนเบิร์ก และการกระทำนี้จะยกขึ้นเป็นการแสดงแทนเชิงโปรเจกทีฟบนHส่วนขยายส่วนกลางที่สอดคล้องกันของกลุ่มซิมเพล็กติกเรียกว่ากลุ่มเมตาเพล็กติก ${\displaystyle \mathbb {R} }$

ตัวอย่างที่สำคัญของการสร้างโครงสร้างแบบนี้ ได้แก่:

• Gคือปริภูมิเวกเตอร์เหนือจำนวนจริงที่มีมิติnซึ่งให้กลุ่มเมตาเพล็กติกที่เป็นกลุ่มปกคลุมสองชั้นของกลุ่มซิมเพล็กติก Sp _{2 n} ( R )
• โดยทั่วไปGสามารถเป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือฟิลด์เฉพาะที่F ใดๆ ที่มีมิติn (ยกเว้นกรณี) ซึ่งจะให้กลุ่มเมตาเพล็กติกที่เป็นกลุ่มปกคลุมสองชั้นของกลุ่มซิมเพล็กติก Sp _{2 n} ( F )${\displaystyle F=\mathbf {C} }$
• Gคือปริภูมิเวกเตอร์เหนืออะเดลของฟิลด์จำนวน (หรือฟิลด์ทั่วโลก ) กรณีนี้ใช้ในแนวทางการแทนเชิงทฤษฎีสำหรับ รูป แบบอัตโนมัติ
• Gเป็นกลุ่มอาเบเลียนจำกัด ดังนั้นกลุ่มเมตาเพล็กติกที่สอดคล้องกันจึงเป็นกลุ่มจำกัดเช่นกัน กรณีนี้เกิดขึ้นในทฤษฎีของฟังก์ชันทีตาที่ยึดติดกับแลตทิซโดยที่Gโดยทั่วไปคือกลุ่มดิสคริมิแนนต์ของแลตทิซคู่ ซึ่งมีรูปแบบกำลังสองตามธรรมชาติของมัน
• มุมมองสมัยใหม่เกี่ยวกับการมีอยู่ของ การแสดงแทน Weil เชิงเส้น (ไม่ใช่เชิงโปรเจกทีฟ) บนฟิลด์จำกัด กล่าวคือ ยอมรับการรับรู้พื้นที่ฮิลเบิร์ตแบบแคนอนิก ได้รับการเสนอโดยDavid Kazhdanโดยใช้แนวคิดของตัวดำเนินการเชื่อมโยงแบบแคนอนิกที่เสนอโดยJoseph Bernsteinการรับรู้ดังกล่าวจึงถูกสร้างขึ้นโดย Gurevich-Hadani ^{[ 2 ]}

เมื่อดำเนินการตามนั้นการยกมาตรฐานของตัวสร้างกลุ่มซิมเพล็กติก คือ ตามลำดับ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$$${\displaystyle F={\begin{bmatrix}0&-I\\I&0\end{bmatrix}},\quad T_{a}={\begin{bmatrix}I&a\\0&I\end{bmatrix}}(a=a^{T}),\quad A_{a}={\begin{bmatrix}a&0\\0&a^{-T}\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle {\mathcal {F}}f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi ix.y}f(y)\,dy,\quad {\mathcal {T}}_{a}f(x)=e^{\pi ix^{T}ax}f(x),\quad {\mathcal {A}}_{a}f(x)=|a|^{n/2}f(ax).}$

• การแปลงโบโกลิอูบอฟ (Bogoliubov transformation ) คือ การกระทำของการแปลงเชิงซิมเพล็กติก (symplectic transforms) บนตัวดำเนินการบันได (ladder operators)
• กลุ่มไฮเซนเบิร์ก
• โครงสร้างเมตาเพล็กติก
• การแสดงผลออสซิลเลเตอร์
• คู่ลดทอนคู่
• กลุ่มสปินซึ่งเป็นฝาครอบคู่ของกลุ่มการหมุน
• กลุ่มซิมเพล็กติก
• ฟังก์ชันธีตา

• Weissman, Martin H. (พฤษภาคม 2023). "กลุ่ม Metaplectic คืออะไร?" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 70 (5): 806– 811. doi : 10.1090/noti2687 .