ในทางคณิตศาสตร์ H -space ^{[ 1 ]}เป็น เวอร์ชัน โฮโมโทปีเชิงทฤษฎีของการวางนัยทั่วไปของแนวคิดกลุ่มโทโพโลยี ซึ่ง ได้ลบ สัจพจน์เกี่ยวกับการเชื่อมโยงและตัวผกผัน ออกไป

H-space ประกอบด้วยปริภูมิเชิงทอพอโลยีXพร้อมด้วยองค์ประกอบeของXและแผนที่ต่อเนื่องμ : X × X → Xโดยที่μ( e , e ) = eและแผนที่x ↦ μ( x , e )และx ↦ μ( e , x )ต่างก็เป็นโฮโมโทปีกับแผนที่เอกลักษณ์ผ่านแผนที่ที่ส่งeไปยังe [ ^{2 ] อาจ}คิดได้ว่านี่คือปริภูมิเชิงทอพอโลยีแบบมีจุดพร้อมกับการคูณแบบต่อเนื่องซึ่งจุดฐานเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์จนถึงโฮโมโทปีแบบรักษาจุดฐาน

กล่าวได้ว่าปริภูมิเชิงทอพอโลยีXเป็นปริภูมิ H หากมีeและμ อยู่จริง โดยที่สามสิ่ง( X , e , μ)เป็นปริภูมิ H ตามคำนิยามข้างต้น^{[ 3 ]}หรืออีกทางหนึ่ง ปริภูมิ H อาจถูกกำหนดโดยไม่จำเป็นต้องใช้โฮโมโทปีเพื่อตรึงจุดฐานeหรือโดยกำหนดให้eเป็นเอกลักษณ์ที่แน่นอน โดยไม่ต้องพิจารณาโฮโมโทปี^{[ 4 ]}ในกรณีของคอมเพล็กซ์ CWคำนิยามทั้งสามนี้ถือว่าเทียบเท่ากัน^{[ 5 ]}

นิยามมาตรฐานของกลุ่มพื้นฐานพร้อมกับข้อเท็จจริงที่ว่ามันเป็นกลุ่ม สามารถกล่าวใหม่ได้ว่าพื้นที่วงวนของพื้นที่โทโพโลยีแบบมีจุดชี้มีโครงสร้างของกลุ่ม H โดยมีการดำเนินการมาตรฐานของการต่อเชื่อมและการผกผัน^{[ 6 ]}ยิ่งไปกว่านั้น แผนที่ต่อเนื่องที่รักษาจุดฐานของพื้นที่โทโพโลยีแบบมีจุดชี้ ทำให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึม H ของพื้นที่วงวนที่สอดคล้องกัน ซึ่งสะท้อนถึงโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มบนกลุ่มพื้นฐานที่เกิดจากแผนที่ต่อเนื่อง^{[ 7 ]}

เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่า เมื่อกำหนดความสมมูลของโฮโมโทปี แบบชี้ จาก H-space ไปยัง topological space แบบชี้ จะมีโครงสร้าง H-space ตามธรรมชาติบน space หลัง^{[ 8 ]}ดังนั้น การมีอยู่ของโครงสร้าง H-space บน space ที่กำหนดจะขึ้นอยู่กับประเภทโฮโมโทปีแบบชี้เท่านั้น

โครงสร้างการคูณของ H-space เพิ่มโครงสร้างให้กับกลุ่มโฮโมโลยีและ โคโฮโมโลยี ตัวอย่างเช่นวงแหวนโคโฮโมโลยีของ H-space ที่เชื่อมต่อเส้นทางด้วยกลุ่มโคโฮโมโลยีที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดและเป็นอิสระคือพีชคณิตฮอปฟ์^{[ 9 ]} นอกจากนี้ ยังสามารถกำหนดผลคูณพอนทรียาจินบนกลุ่มโฮโมโลยีของ H-space ได้ อีกด้วย ^{[ 10 ]}

กลุ่มพื้นฐานของ H-space เป็น กลุ่ม อาเบเลียนเพื่อดูสิ่งนี้ ให้Xเป็น H-space ที่มีเอกลักษณ์eและให้fและgเป็นลูปที่eกำหนดแผนที่F : [0,1] × [0,1] → XโดยF ( a , b ) = f ( a ) g ( b ) แล้วF ( a ,0) = F ( a ,1) = f ( a ) eเป็นโฮโมโทปีกับfและF (0, b ) = F (1, b ) = eg ( b ) เป็นโฮโมโทปีกับgเห็นได้ชัดว่าจะกำหนดโฮโมโทปีจาก [ f ][ g ] ไปยัง [ g ][ f ] ได้อย่างไร

ทฤษฎีบท อินแวเรียนต์หนึ่งของอดัมส์ (Adams' Hopf invariant one theorem) ซึ่งตั้งชื่อตามแฟรงค์ อดัมส์ กล่าวว่า S₀, S₁, S₃ ^{และS₇ เป็น}ทรงกลมเพียงกลุ่มเดียวที่เป็นH - ^spaceแต่ละปริภูมิเหล่านี้ก่อตัวเป็น H-space โดยมองว่าเป็นเซตย่อยของสมาชิกที่มีนอร์มหนึ่งจากจำนวนจริงจำนวนเชิงซ้อนควอ^เทอร์เนียนและอ็อกโทเนียนตามลำดับ และใช้การดำเนินการคูณจากพีชคณิตเหล่านี้ ในความเป็นจริงS₀ ^, S₁และ^S₃เป็นกลุ่ม ( กลุ่มลี ) ที่มีการคูณเหล่านี้ แต่S₇ ไม่ใช่กลุ่มในลักษณะนี้ เพราะการคูณอ็อกโท เนียน ไม่มี ^{คุณสมบัติ}การสลับที่ และไม่สามารถกำหนดการคูณต่อเนื่องอื่นใดที่ทำให้มันเป็นกลุ่มได้

• กลุ่มทอพอโลยี
• โคฮอโมโลยีของเช็ก
• พีชคณิตฮอปฟ์
• โมโนอิดเชิงทอพอโลยี
• วัตถุ H