ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตตัวแปร ฮอปฟ์ (Hopf invariant)คือ ตัวแปร โฮโมโทปี (homotopy invariant) ของแผนที่บางอย่างระหว่างทรงกลมnมิติ

ในปี ค.ศ. 1931 ไฮนซ์ ฮอฟฟ์ใช้เส้นขนานของคลิฟฟอร์ดในการสร้างแผนที่ฮอฟฟ์

${\displaystyle \eta \colon S^{3}\to S^{2},}$

และพิสูจน์แล้วว่าเป็นสิ่งจำเป็น กล่าวคือ ไม่สมมูลกับแผนที่คงที่ โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนการเชื่อมโยงของวงกลม ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta ^{-1}(x),\eta ^{-1}(y)\เซตย่อย S^{3}}$

มีค่าเท่ากับ 1 สำหรับทุกค่า ${\displaystyle x\neq y\in S^{2}}$

ต่อมามีการแสดงให้เห็นว่ากลุ่มโฮโมโทปี เป็นกลุ่มวัฏจักร อนันต์ ที่สร้างขึ้นโดยในปี พ.ศ. 2494 ฌอง-ปิแอร์ แซร์ได้พิสูจน์ว่า กลุ่มโฮโมโทปีเชิงตรรกะ^{[ 1 ]}${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})}$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \pi _{i}(S^{n})\otimes \mathbb {Q} }$

สำหรับทรงกลมที่มีมิติเป็นเลขคี่ ( จำนวนคี่) ค่าจะเป็นศูนย์ เว้นแต่ว่า จะเท่ากับ 0 หรือnอย่างไรก็ตาม สำหรับทรงกลมที่มีมิติเป็นเลขคู่ ( จำนวนคู่ n ) จะมีบิตโฮโมโทปีแบบวัฏจักรอนันต์เพิ่มอีกหนึ่งบิตในระดับn ${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle 2n-1}$

ให้เป็นแผนที่ต่อเนื่อง (สมมติว่า) จากนั้นเราสามารถสร้างคอมเพล็กซ์เซลล์ ได้${\displaystyle \varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}}$${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle C_{\varphi }=S^{n}\cup _{\varphi }D^{2n},}$

โดยที่ดิสก์มิติ n ติดอยู่ผ่านทางกลุ่มโซ่เซลลูลาร์ถูกสร้างขึ้นอย่างอิสระบนเซลล์ n ในระดับ n ดังนั้นจึงอยู่ในระดับ 0 และn เป็นศูนย์ทุกที่อื่น โฮโมโลยีเซลลูลาร์ (โค-) คือโฮโมโลยี (โค-) ของคอมเพล็กซ์โซ่ นี้ และเนื่องจากโฮโมมอร์ฟิซึมขอบเขตทั้งหมดต้องเป็นศูนย์ (จำได้ว่า) โคโฮโมโลยีคือ ${\displaystyle D^{2n}}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle C_{\mathrm {cell} }^{*}(C_{\varphi })}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle H_{\mathrm {cell} }^{i}(C_{\varphi })={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=0,n,2n,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

ให้ แทนตัวสร้างของกลุ่มโคฮอโมโลยีด้วย

${\displaystyle H^{n}(C_{\varphi })=\langle \alpha \rangle }$และ${\displaystyle H^{2n}(C_{\varphi })=\langle \beta \rangle .}$

ด้วยเหตุผลเชิงมิติ ผลคูณคัพทั้งหมดระหว่างคลาสเหล่านั้นจะต้องเป็นจำนวนที่ไม่สำคัญ ยกเว้นดังนั้น ในฐานะริงโคฮอโมโลยีคือ ${\displaystyle \alpha \smile \alpha }$

${\displaystyle H^{*}(C_{\varphi })=\mathbb {Z} [\alpha ,\beta ]/\langle \beta \smile \beta =\alpha \smile \beta =0,\alpha \smile \alpha =h(\varphi )\beta \rangle .}$

จำนวนเต็มดัง กล่าว คือค่า คงที่ฮอปฟ์ของแผนที่${\displaystyle h(\varphi )}$${\displaystyle \varphi }$

ทฤษฎีบท : แผนที่นี้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึม ถ้าเป็นจำนวนคี่จะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมแบบไม่สำคัญ (เนื่องจากเป็นทอร์ชั่น) ถ้าเป็นจำนวนคู่ ภาพของจะประกอบด้วยยิ่งไปกว่านั้น ภาพของผลคูณไวท์เฮดของแผนที่เอกลักษณ์เท่ากับ 2 นั่นคือโดยที่คือแผนที่เอกลักษณ์ และคือผลคูณไวท์เฮด ${\displaystyle h\colon \pi _{2n-1}(S^{n})\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \pi _{2n-1}(S^{n})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle h}$${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$${\displaystyle h([i_{n},i_{n}])=2}$${\displaystyle i_{n}\colon S^{n}\to S^{n}}$${\displaystyle [\,\cdot \,,\,\cdot \,]}$

ค่า คงที่ฮอปฟ์ (Hopf invariant) ใช้สำหรับแผนที่ฮอปฟ์ (Hopf maps ) โดยที่สอดคล้องกับพีชคณิตการหารจริง (real division algebras ) และ ตามลำดับ และการจัดเรียงแบบไฟเบอร์ (fibration) ที่ส่งทิศทางบนทรงกลมไปยังปริภูมิย่อยที่มันครอบคลุม เป็นทฤษฎีบทที่พิสูจน์ครั้งแรกโดยแฟรงค์ อดัมส์และต่อมาโดยอดัมส์และไมเคิล อะติยาห์ด้วยวิธีการของทฤษฎี K ทางทอพอโลยี ว่าแผนที่เหล่านี้เป็นแผนที่เดียวที่มีค่าคงที่ฮอปฟ์เท่ากับ 1 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle n=1,2,4,8}$${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} }$${\displaystyle S(\mathbb {A} ^{2})\to \mathbb {PA} ^{1}}$

JHC Whiteheadได้เสนอสูตรปริพันธ์ต่อไปนี้สำหรับค่าคงที่ Hopf ^{[ 2 ] [ 3 ] : ข้อเสนอ 17.22} เมื่อกำหนดแผนที่เราพิจารณารูปแบบปริมาตรบนเช่นนั้นเนื่องจากการดึงกลับเป็นรูปแบบเชิงอนุพันธ์แบบปิด : โดยทฤษฎีบทของ Poincaréมันเป็นรูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่แน่นอน : มีรูปแบบบนเช่นนั้นค่าคงที่ Hopf จะกำหนดโดย ${\displaystyle \varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}}$${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \int _{S^{n}}\omega _{n}=1}$${\displaystyle d\omega _{n}=0}$${\displaystyle \varphi ^{*}\omega _{n}}$${\displaystyle d(\varphi ^{*}\omega _{n})=\varphi ^{*}(d\omega _{n})=\varphi ^{*}0=0}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle S^{2n-1}}$${\displaystyle d\eta =\varphi ^{*}\omega _{n}}$

${\displaystyle \int _{S^{2n-1}}\eta \wedge d\eta .}$

สามารถกำหนดแนวคิดทั่วไปของค่าคงที่ฮอปฟ์ได้ แต่ต้องอาศัยพื้นฐานทางทฤษฎีโฮโมโทปีในระดับหนึ่ง:

ให้แทนปริมาณเวกเตอร์และ แทนการทำให้เป็นปริภูมิกระชับจุดเดียว ของปริมาณเวกเตอร์ นั้นนั่นคือและ ${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{\infty }}$${\displaystyle V\cong \mathbb {R} ^{k}}$

${\displaystyle V^{\infty }\cong S^{k}}$สำหรับบางคน${\displaystyle k}$

ถ้าเป็นปริภูมิจุดใดๆ (ดังที่ได้กล่าวไว้โดยปริยายในส่วนก่อนหน้า) และถ้าเรากำหนดให้จุดที่อนันต์เป็นจุดฐานของแล้วเราสามารถสร้างผลคูณลิ่มได้ ${\displaystyle (X,x_{0})}$${\displaystyle V^{\infty }}$

${\displaystyle V^{\infty }\wedge X.}$

เอาล่ะ ปล่อยให้

${\displaystyle F\colon V^{\infty }\wedge X\to V^{\infty }\wedge Y}$

เป็นแผนที่เสถียร กล่าวคือ เสถียรภายใต้ฟังก์ชันแขวนลอยที่ลดลงตัวแปรฮอปฟ์เชิงเรขาคณิต (เสถียร)ของคือ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle h(F)\in \{X,Y\wedge Y\}_{\mathbb {Z} _{2}},}$

องค์ประกอบหนึ่งของกลุ่มโฮโมโทปีแบบคงที่และสมมาตรของแผนที่จากไปยังโดยที่ "คงที่" หมายถึง "คงที่ภายใต้การแขวนลอย" กล่าวคือ ลิมิตโดยตรงเหนือ(หรือถ้าคุณต้องการ) ของกลุ่มโฮโมโทปีแบบสมมาตรทั่วไป และการกระทำของ คือการกระทำที่ไม่สำคัญบนและการพลิกกลับของปัจจัยสองตัวบนถ้าเราให้ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\wedge Y}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\wedge Y}$

${\displaystyle \Delta _{X}\colon X\to X\wedge X}$

โดยกำหนดให้แผนที่แนวทแยงมาตรฐานและเอกลักษณ์แทนค่าคงที่ฮอปฟ์ จากนั้นค่าคงที่ฮอปฟ์จะถูกกำหนดโดยสิ่งต่อไปนี้: ${\displaystyle I}$

${\displaystyle h(F):=(F\wedge F)(I\wedge \Delta _{X})-(I\wedge \Delta _{Y})(I\wedge F).}$

แผนที่นี้เดิมทีเป็นแผนที่จาก

${\displaystyle V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge X}$ถึง${\displaystyle V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge Y\wedge Y,}$

แต่ภายใต้ขีดจำกัดโดยตรง มันจะกลายเป็นองค์ประกอบที่โฆษณาของกลุ่มแผนที่โฮโมโทปีที่เสถียรและสมมาตร นอกจากนี้ยังมีเวอร์ชันที่ไม่เสถียรของตัวแปรฮอปฟ์ซึ่งจำเป็นต้องติดตามปริมาณเวกเตอร์ด้วย ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle h_{V}(F)}$${\displaystyle V}$