ในพีชคณิตนามธรรมอนุกรมการประกอบ (composition series)เป็นวิธีหนึ่งในการแบ่งโครงสร้างทางพีชคณิตเช่นกลุ่มหรือโมดูลออกเป็นส่วนประกอบที่เรียบง่าย ความจำเป็นในการพิจารณาอนุกรมการประกอบในบริบทของโมดูลเกิดขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าโมดูลที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติจำนวนมากไม่ใช่โมดูลกึ่งเรียบง่าย (semisimple ) ดังนั้นจึงไม่สามารถแยกออกเป็นผลรวมโดยตรงของโมดูลเรียบง่ายได้อนุกรมการประกอบของโมดูลMคือการกรองแบบ เพิ่มขึ้นอย่างจำกัด ของMด้วยโมดูลย่อยโดยที่ผลหารที่ต่อเนื่องกันเป็นโมดูลเรียบง่ายและทำหน้าที่แทนการแยกส่วนM ออกเป็นผลรวมโดยตรง เป็นส่วนประกอบที่เรียบง่าย

อนุกรมการประกอบอาจไม่มีอยู่จริง และเมื่อมีอยู่จริงก็ไม่จำเป็นต้องมีเพียงหนึ่งเดียว อย่างไรก็ตาม กลุ่มผลลัพธ์ที่รู้จักกันในชื่อทั่วไปว่าทฤษฎีบทจอร์แดน-โฮลเดอร์ยืนยันว่า เมื่อใดก็ตามที่อนุกรมการประกอบมีอยู่จริงชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของชิ้นส่วนแบบง่าย (แม้ว่าอาจจะไม่ใช่ตำแหน่ง ของ ชิ้นส่วนเหล่านั้นในอนุกรมการประกอบที่กล่าวถึง) และความหลากหลายของชิ้นส่วนเหล่านั้นจะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน ดังนั้น อนุกรมการประกอบจึงสามารถนำมาใช้เพื่อกำหนดค่าคงที่ของกลุ่มจำกัดและโมดูลอาร์ทิเนียนได้

แนวคิดที่เกี่ยวข้องแต่แตกต่างกันคืออนุกรมหลัก : อนุกรมองค์ประกอบคืออนุกรมย่อยปกติ สูงสุด ในขณะที่อนุกรมหลักคืออนุกรมปกติสูงสุด

ถ้ากลุ่มGมีกลุ่มย่อยปกติNแล้ว กลุ่มปัจจัยG / Nสามารถเกิดขึ้นได้ และบางแง่มุมของการศึกษาโครงสร้างของGอาจถูกแบ่งย่อยออกไปได้โดยการศึกษากลุ่ม "เล็กกว่า" G/NและNถ้าGไม่มีกลุ่มย่อยปกติที่แตกต่างจากGและจากกลุ่มที่ไม่สำคัญแล้วG ก็ เป็นกลุ่มที่เรียบง่ายมิฉะนั้น คำถามที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติก็คือGสามารถลดทอนลงเป็น "ชิ้นส่วน" ที่เรียบง่ายได้หรือไม่ และถ้าได้ จะมีลักษณะเฉพาะใดบ้างในวิธีการนี้

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้นอนุกรมการประกอบของกลุ่มGคืออนุกรมย่อยปกติที่มีความยาวจำกัด

${\displaystyle 1=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{n}=G,}$

โดยมีการรวมอย่างเข้มงวด โดยที่H _i แต่ละกลุ่ม เป็น กลุ่มย่อยปกติที่เหมาะสม ที่สุดของH _{i +1}หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง อนุกรมการประกอบคืออนุกรมย่อยปกติ โดยที่กลุ่มปัจจัยH _{i +1} / H _i แต่ละกลุ่ม เป็นกลุ่มปัจจัยเดี่ยว กลุ่มปัจจัยเหล่านี้เรียกว่าปัจจัยการประกอบ

อนุกรมซับนอร์มัลจะเป็นอนุกรมประกอบได้ก็ต่อเมื่อมีความยาวสูงสุดเท่านั้น กล่าวคือ ไม่มีกลุ่มย่อยเพิ่มเติมใด ๆ ที่สามารถ "แทรก" เข้าไปในอนุกรมประกอบได้ ความยาวnของอนุกรมเรียกว่า ความ ยาว ประกอบ

ถ้ากลุ่มG มีอนุกรมการประกอบ (composition series) อยู่ แล้ว อนุกรมย่อยปกติ (subnormal series) ใดๆ ของGก็สามารถปรับให้เป็นอนุกรมการประกอบได้ โดยการแทรกกลุ่มย่อยเข้าไปในอนุกรมจนถึงค่าสูงสุด (maximality) กลุ่มจำกัด ทุกกลุ่ม มีอนุกรมการประกอบ แต่กลุ่มอนันต์ ทุกกลุ่มไม่ได้ มีอนุกรมการประกอบ ตัวอย่างเช่นไม่มีอนุกรมการประกอบ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

กลุ่มหนึ่งอาจมีอนุกรมการประกอบมากกว่าหนึ่งชุด อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทจอร์แดน-โฮลเดอร์ (ตั้งชื่อตามคามิลล์ จอร์แดนและออตโต โฮลเดอร์ ) กล่าวว่า อนุกรมการประกอบสองชุดใดๆ ของกลุ่มที่กำหนดให้จะเทียบเท่ากัน กล่าวคือ มีความยาวการประกอบและตัวประกอบการประกอบเหมือนกันโดยพิจารณาถึงการเรียงสับเปลี่ยนและไอโซมอร์ฟิซึมทฤษฎีบทนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ทฤษฎีบทการปรับปรุงของชไรเออร์ทฤษฎีบทจอร์แดน-โฮลเดอร์ยังเป็นจริงสำหรับ อนุกรมการประกอบ แบบเพิ่มขึ้นที่เป็นอนันต์ แต่ไม่เป็นจริงสำหรับ อนุกรมการประกอบแบบ ลดลงที่ เป็น อนันต์ ( Birkhoff 1934 ) Baumslag (2006)ให้การพิสูจน์สั้นๆ ของทฤษฎีบทจอร์แดน-โฮลเดอร์โดยการหาจุดตัดของพจน์ในอนุกรมย่อยปกติชุดหนึ่งกับพจน์ในอนุกรมอีกชุดหนึ่ง

สำหรับกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับnอนุกรมการประกอบจะสอดคล้องกับการแยกตัวประกอบเฉพาะแบบเรียงลำดับของnและในความเป็นจริงแล้วยังให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตอีกด้วย

ตัวอย่างเช่น กลุ่มวัฏจักรมีและเป็นชุดองค์ประกอบที่แตกต่างกันสามชุด ลำดับของปัจจัยองค์ประกอบที่ได้ในแต่ละกรณีคือและ${\displaystyle C_{12}}$${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12},\ \,C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{4}\triangleleft C_{12},}$${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{3}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}}$${\displaystyle C_{2},C_{3},C_{2},\ \,C_{2},C_{2},C_{3},}$${\displaystyle C_{3},C_{2},C_{2}.}$

นิยามของอนุกรมการประกอบสำหรับโมดูลจำกัดความสนใจไว้เฉพาะโมดูลย่อย โดยไม่สนใจกลุ่มย่อยแบบบวกทั้งหมดที่ไม่ใช่โมดูลย่อย เมื่อกำหนดริงRและโมดูลR Mแล้ว อนุกรมการประกอบสำหรับMคืออนุกรมของโมดูลย่อย

${\displaystyle \{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}=M}$

โดยที่การรวมทั้งหมดเป็นแบบเข้มงวด และJ _kเป็นซับโมดูลสูงสุดของJ _{k +1}สำหรับแต่ละkส่วนในกรณีของกลุ่ม ถ้าMมีอนุกรมการประกอบแล้ว อนุกรมย่อยที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดแบบจำกัดใดๆ ของMอาจถูกปรับปรุงให้เป็นอนุกรมการประกอบ และอนุกรมการประกอบสองชุดใดๆ สำหรับMจะเทียบเท่ากัน ในกรณีนั้น โมดูลผลหาร (แบบง่าย) J _{k +1} / J _kเรียกว่าตัวประกอบการประกอบของM และทฤษฎีบทจอร์แดน-โฮลเดอร์จะเป็นจริง ซึ่งรับประกันว่าจำนวนครั้งของการเกิดขึ้นของแต่ละประเภทไอโซมอร์ฟิซึมของโมดูล Rแบบง่ายในฐานะตัวประกอบการประกอบจะไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกอนุกรมการประกอบ

เป็นที่ทราบกันดี^{[ 1 ]}ว่าโมดูลจะมีชุดองค์ประกอบจำกัดก็ต่อเมื่อเป็นทั้งโมดูลอาร์ทิเนียนและโมดูลโนเธอร์เรียนถ้าRเป็นวงแหวนอาร์ทิเนียน โมดูล Rที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทุกโมดูลจะเป็นอาร์ทิเนียนและโนเธอร์เรียน ดังนั้นจึงมีชุดองค์ประกอบจำกัด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับฟิลด์K ใดๆ โมดูลมิติจำกัดใดๆ สำหรับพีชคณิตมิติจำกัดเหนือKจะมีชุดองค์ประกอบที่ไม่ซ้ำกันจนถึงความสมมูล

กลุ่มที่มีเซตของตัวดำเนินการจะขยายความหมายของการกระทำของกลุ่มและการกระทำของวงแหวนบนกลุ่ม แนวทางที่เป็นเอกภาพสำหรับทั้งกลุ่มและโมดูลสามารถปฏิบัติตามได้ดังใน ( Bourbaki 1974 , บทที่ 1) หรือ ( Isaacs 1994 , บทที่ 10) ซึ่งทำให้การอธิบายบางส่วนง่ายขึ้น กลุ่มGถูกมองว่าถูกกระทำโดยองค์ประกอบ (ตัวดำเนินการ) จากเซต Ω ความสนใจจะจำกัดอยู่เฉพาะกลุ่มย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำขององค์ประกอบจาก Ω ซึ่งเรียกว่ากลุ่มย่อย Ω ดังนั้นอนุกรมการประกอบ Ω จะต้องใช้เฉพาะกลุ่มย่อย Ω เท่านั้น และตัวประกอบการประกอบ Ω จำเป็นต้องเป็น Ω-simple เท่านั้น ผลลัพธ์มาตรฐานข้างต้น เช่น ทฤษฎีบทจอร์แดน-โฮลเดอร์ ได้รับการพิสูจน์ด้วยวิธีการพิสูจน์ที่เกือบจะเหมือนกัน

กรณีพิเศษที่พบได้แก่ เมื่อ Ω = Gซึ่งหมายความว่าGกระทำต่อตัวเอง ตัวอย่างที่สำคัญคือ เมื่อองค์ประกอบของGกระทำโดยการผันแปร ซึ่งทำให้เซตของตัวดำเนินการประกอบด้วยออโตมอร์ฟิซึมภายใน อนุกรมการประกอบภายใต้การกระทำนี้คืออนุกรมหลักโครงสร้างโมดูลเป็นกรณีหนึ่งของการกระทำของ Ω โดยที่ Ω เป็นวงแหวนและมีสัจพจน์เพิ่มเติมบางประการที่ตรงตามเงื่อนไข

ลำดับองค์ประกอบของวัตถุAในหมวดหมู่อาเบเลียนคือลำดับของวัตถุย่อย

${\displaystyle A=X_{0}\supsetneq X_{1}\supsetneq \dots \supsetneq X_{n}=0}$

โดยที่วัตถุผลหารX _i  / X _{i  + 1} แต่ละตัว เป็นแบบง่าย (สำหรับ0 ≤ i < n ) ถ้าAมีอนุกรมการประกอบจำนวนเต็มnจะขึ้นอยู่กับA เท่านั้น และเรียกว่าความยาวของA ^{[ 2 ]}

• ทฤษฎีโครห์น-โรดส์อนาล็อกของเซมิกรุป
• ทฤษฎีบทการปรับปรุงของ Schreierระบุว่า อนุกรมย่อยปกติสองอนุกรม ใดๆ จะมีการปรับปรุงอนุกรมองค์ประกอบที่เทียบเท่ากัน
• บทพิสูจน์ของ Zassenhausที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทการปรับปรุงของ Schreier