ในทฤษฎีหมวด หมู่ ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์วัตถุย่อยโดยคร่าวๆ คือวัตถุที่อยู่ภายในวัตถุอื่นในหมวดหมู่ เดียวกัน แนวคิดนี้เป็นการวางนัยทั่วไปของแนวคิดต่างๆ เช่นเซตย่อยจากทฤษฎีเซตกลุ่มย่อยจากทฤษฎีกลุ่ม^{[ 1 ]}และปริภูมิย่อยจากโทโพโลยี เนื่องจากโครงสร้างโดยละเอียดของวัตถุไม่สำคัญในทฤษฎีหมวดหมู่ นิยามของวัตถุย่อย จึงอาศัยมอร์ฟิซึมที่อธิบายว่าวัตถุหนึ่งอยู่ภายในอีกวัตถุหนึ่งอย่างไร แทนที่จะอาศัยการใช้องค์ประกอบ

แนวคิดคู่ขนานของวัตถุย่อยคือวัตถุผลหารนี่เป็นการขยายแนวคิดต่างๆ เช่นเซตผลหารกลุ่มผลหารปริภูมิผลหารกราฟผลหารเป็นต้น

นิยามเชิงหมวดหมู่ที่เหมาะสมของ "วัตถุย่อย" อาจแตกต่างกันไปตามบริบท ขึ้นอยู่กับเป้าหมาย นิยามที่ใช้กันทั่วไปอย่างหนึ่งมีดังนี้

โดยละเอียด ให้เป็นวัตถุของหมวดหมู่บางประเภท กำหนดให้โมโนมอร์ฟิซึม สองตัว${\displaystyle A}$

${\displaystyle u:S\to A\ {\text{และ}}\ v:T\to A}$

ด้วยโคโดเมน เรากำหนดความสัมพันธ์สมมูลโดย ถ้ามีการสมสัณฐาน กับ${\displaystyle A}$${\displaystyle u\equiv v}$${\displaystyle \phi :S\to T}$${\displaystyle u=v\circ \phi }$

ในทำนองเดียวกัน เราเขียนว่าถ้าตัวประกอบผ่าน —นั่นคือ ถ้ามีอยู่จริงที่ทำให้ความสัมพันธ์ทวิภาคที่กำหนดโดย ${\displaystyle u\leq v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \phi :S\to T}$${\displaystyle u=v\circ \phi }$${\displaystyle \equiv }$

${\displaystyle u\equiv v\iff u\leq v\ {\text{and}}\ v\leq u}$

เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนโมโนมอร์ฟิซึมที่มีโคโดเมนและชั้นสมมูลที่ สอดคล้องกันของโมโนมอร์ฟิ ซึม เหล่านี้คือซับออบเจกต์ของ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

ความสัมพันธ์ ≤ ก่อให้เกิดลำดับบางส่วนบนกลุ่มของวัตถุย่อยของ ${\displaystyle A}$

กลุ่มของวัตถุย่อยของวัตถุหนึ่งอาจเป็นคลาสที่แท้จริงได้ ซึ่งหมายความว่าการอธิบายที่กล่าวมานั้นค่อนข้างไม่เคร่งครัดนัก หากกลุ่มของวัตถุย่อยของทุกวัตถุเป็นเซต หมวดหมู่นั้นจะเรียกว่ามีกำลังดี (well-powered)หรือในบางครั้ง เรียกว่า เล็กในระดับท้องถิ่น (locally small ) (ซึ่งขัดแย้งกับการใช้คำว่าเล็กในระดับท้องถิ่น ในอีกความหมายหนึ่ง กล่าวคือ มีเซตของมอร์ฟิซึมระหว่างวัตถุสองชิ้นใดๆ)

เพื่อให้ได้แนวคิดคู่ขนานของวัตถุผลหารให้แทนที่ "โมโนมอร์ฟิซึม" ด้วย " เอพิโมร์ฟิซึม " ในข้างต้น และกลับทิศทางลูกศร วัตถุผลหารของAก็คือชั้นสมมูลของเอพิโมร์ฟิซึมที่มีโดเมนเป็นA

อย่างไรก็ตาม ในบางบริบท คำจำกัดความเหล่านี้ไม่เพียงพอ เนื่องจากไม่สอดคล้องกับแนวคิดที่ได้รับการยอมรับอย่างดีเกี่ยวกับวัตถุย่อยหรือวัตถุผลหาร ในหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยี โมโนมอร์ฟิซึมคือฟังก์ชันต่อเนื่องแบบฉีดอย่างแม่นยำ แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่องแบบฉีดทั้งหมดที่เป็นการฝังตัวในปริภูมิย่อย ในหมวดหมู่ของวงแหวน การรวมเป็นเอพิโมฟิซึม แต่ไม่ใช่ผลหารของโดยอุดมคติสองด้าน เพื่อให้ได้แผนที่ที่มีพฤติกรรมเหมือนการฝังตัวหรือผลหารของวัตถุย่อยอย่างแท้จริง แทนที่จะเป็นฟังก์ชันฉีดตามอำเภอใจหรือแผนที่ที่มีภาพหนาแน่น เราต้องจำกัดเฉพาะโมโนมอร์ฟิซึมและเอพิโมฟิซึมที่ตรงตามสมมติฐานเพิ่มเติม ดังนั้น เราอาจนิยาม "วัตถุย่อย" ให้เป็นชั้นสมมูลของสิ่งที่เรียกว่า "โมโนมอร์ฟิซึมปกติ" (โมโนมอร์ฟิซึมที่สามารถแสดงได้ในรูปตัวปรับสมดุลของมอร์ฟิซึมสองตัว) และ "วัตถุผลหาร" ให้เป็นชั้นสมมูลใดๆ ของ "เอพิมอร์ฟิซึมปกติ" (มอร์ฟิซึมที่สามารถแสดงได้ในรูปตัวปรับสมดุลร่วมของมอร์ฟิซึมสองตัว) ${\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

นิยามนี้สอดคล้องกับความเข้าใจทั่วไปของวัตถุย่อยนอกทฤษฎีหมวดหมู่ เมื่อวัตถุของหมวดหมู่เป็นเซต (อาจมีโครงสร้างเพิ่มเติม เช่น โครงสร้างกลุ่ม) และมอร์ฟิซึมเป็นฟังก์ชันเซต (ซึ่งรักษาโครงสร้างเพิ่มเติมนั้นไว้) เราจะนึกถึงโมโนมอร์ฟิซึมในแง่ของภาพของมัน ชั้นสมมูลของโมโนมอร์ฟิซึมถูกกำหนดโดยภาพของโมโนมอร์ฟิซึมแต่ละตัวในชั้นนั้น กล่าวคือ โมโนมอร์ฟิซึมสองตัวfและgที่ส่งไปยังวัตถุTจะสมมูลกันก็ต่อเมื่อภาพของพวกมันเป็นเซตย่อยเดียวกัน (ดังนั้นจึงเป็นวัตถุย่อย) ของTในกรณีนั้นจะมีไอโซมอร์ฟิซึมของโดเมนของพวกมัน ซึ่งองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของโดเมนจะถูกแมปโดยfและgตามลำดับ ไปยังองค์ประกอบเดียวกันของTนี่คือคำอธิบายของนิยามของความสมมูล ${\displaystyle g^{-1}\circ f}$

ในSet ซึ่งเป็น หมวดหมู่ของเซตออบเจ็กต์ย่อยของAสอดคล้องกับเซตย่อยBของAหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ การรวบรวมแผนที่ทั้งหมดจากเซตที่มีศักยภาพ เท่ากัน กับBโดย มี ภาพ เป็น Bพอดีลำดับบางส่วนของออบเจ็กต์ย่อยของเซตในSet ก็คือ แลตทิซของ เซตย่อยนั้นเอง

ในGrpซึ่งเป็น หมวดหมู่ของกลุ่มวัตถุย่อยของAจะสอดคล้องกับกลุ่มย่อยของA

เมื่อกำหนดคลาสที่มีลำดับบางส่วนP = ( P , ≤ ) เราสามารถสร้างหมวดหมู่ที่มีสมาชิกของPเป็นวัตถุ และมีลูกศรเพียงลูกเดียวจากpไปยังqก็ต่อเมื่อp ≤ qเท่านั้น ถ้าPมีสมาชิกที่ใหญ่ที่สุด ลำดับบางส่วนของวัตถุย่อยของสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดนี้จะเป็นPเอง ทั้งนี้ส่วนหนึ่งเป็นเพราะลูกศรทั้งหมดในหมวดหมู่ดังกล่าวจะเป็นโมโนมอร์ฟิซึม

อ็อบเจ็กต์ย่อยของอ็อบเจ็กต์ปลายทางเรียกว่าอ็อบเจ็กต์ ย่อยปลายทาง

• ตัวจำแนกวัตถุย่อย
• ซับโควตเมนต์