ในเรขาคณิตเชิงฉายและพีชคณิตเชิงเส้นกลุ่มออร์โธโกนอลเชิงฉาย PO คือการกระทำ ที่เหนี่ยวนำ ของกลุ่มออร์โธโกนอลของปริภูมิกำลังสองV = ( V , Q ) ^{[หมายเหตุ 1 ]}บนปริภูมิเชิงฉาย P( V ) ที่เกี่ยวข้อง กล่าวคือ กลุ่มออร์โธโกนอลเชิงฉายคือกลุ่มผลหาร

PO( V ) = O( V )/ZO( V ) = O( V )/{± ฉัน }

โดยที่ O( V ) คือกลุ่มออร์โธโกนอลของ ( V ) และ ZO( V ) = {± I } คือกลุ่มย่อยของการแปลงสเกลาร์ ออร์โธโกนอลทั้งหมด ของVซึ่งประกอบด้วยเอกลักษณ์และการสะท้อนผ่านจุดกำเนิดสเกลาร์เหล่านี้ถูกแยกออกเนื่องจากพวกมันกระทำอย่างไม่สำคัญบนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟและพวกมันก่อตัวเป็นแกนกลางของการกระทำ และสัญลักษณ์ "Z" นั้นเป็นเพราะการแปลงสเกลาร์เป็นศูนย์กลางของกลุ่มออร์โธโกนอล

กลุ่มออร์โทโกนอลพิเศษเชิงโปรเจคทีฟ (PSO) ถูกนิยามในทำนองเดียวกัน โดยเป็นการกระทำเหนี่ยวนำของกลุ่มออร์โทโกนอลพิเศษบนปริภูมิเชิงโปรเจคทีฟที่เกี่ยวข้อง กล่าวคือ:

PSO( V ) = SO( V )/ZSO( V )

โดยที่ SO( V ) คือกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษเหนือVและ ZSO( V ) คือกลุ่มย่อยของการแปลงสเกลาร์ออร์โธโกนอลที่มี ดี เทอร์มิแนนต์ เท่ากับหนึ่ง ในที่นี้ ZSO เป็นศูนย์กลางของ SO และเป็นกลุ่มที่ไม่มีสมาชิกในมิติคี่ ในขณะที่มันเท่ากับ {±1} ในมิติคู่ – ความแตกต่างระหว่างมิติคี่และคู่เกิดขึ้นตลอดโครงสร้างของกลุ่มออร์โธโกนอล โดยเปรียบเทียบกับ GL/SL และ GO/SO กลุ่มออร์โธโกนอลเชิงโปรเจกทีฟบางครั้งก็เรียกว่ากลุ่มออร์โธโกนอลทั่วไปเชิง โปรเจกทีฟ และใช้สัญลักษณ์ PGO

เช่นเดียวกับกลุ่มออร์โธโกนอล กลุ่มออร์โธโกนอลเชิงโปรเจคทีฟสามารถกำหนดได้บนฟิลด์ใดๆ และมีรูปแบบกำลังสองที่หลากหลาย แม้ว่าเช่นเดียวกับกลุ่มออร์โธโกนอลทั่วไป จุดเน้นหลักจะอยู่ที่ กลุ่มออร์โธโกนอลเชิงโปรเจคทีฟ บวกแน่นอนที่เป็นจำนวนจริง ฟิลด์อื่นๆ จะได้รับการอธิบายเพิ่มเติมในการวางนัยทั่วไปด้านล่าง ยกเว้นเมื่อระบุไว้เป็นอย่างอื่น ในส่วนต่อไปนี้ PO และ PSO จะหมายถึงกลุ่มบวกแน่นอนที่เป็นจำนวนจริง

เช่นเดียวกับกลุ่มสปินและกลุ่มพินซึ่งเป็นกลุ่มปกคลุมมากกว่ากลุ่มผลหารของกลุ่มออร์โธโกนอล (พิเศษ) กลุ่มออร์โธโกนอลเชิงโปรเจกทีฟ (พิเศษ) ก็มีความน่าสนใจสำหรับกลุ่มอนาล็อกทางเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟของเรขาคณิตแบบยุคลิด เช่นเดียวกับกลุ่มลี ที่เกี่ยวข้อง และในทฤษฎี การแทน

โดยแก่นแท้แล้ว กลุ่มเชิงตั้งฉากแบบโปรเจคทีฟ (ที่เป็นบวกแน่นอน) PO สามารถนิยามได้ว่าเป็นไอโซเมตรีของปริภูมิวงรี (ในความหมายของเรขาคณิตวงรี ) ในขณะที่ PSO สามารถนิยามได้ว่าเป็นไอโซเมตรีที่รักษาทิศทางของปริภูมิวงรี (เมื่อปริภูมิสามารถกำหนดทิศทางได้ มิฉะนั้น PSO = PO)

โครงสร้างของ PO แตกต่างกันอย่างมากระหว่างมิติคี่และมิติคู่ โดยพื้นฐานแล้วเป็นเพราะในมิติคู่การสะท้อนผ่านจุดกำเนิดจะรักษาทิศทางไว้ ในขณะที่ในมิติคี่ การสะท้อนผ่านจุดกำเนิดจะกลับทิศทาง ( แต่) สิ่งนี้เห็นได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟจริงมิติคี่แต่ละปริภูมิสามารถกำหนดทิศทางได้ ในขณะที่ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟจริงมิติคู่ที่มีมิติเป็นบวกแต่ละปริภูมิไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ ในระดับนามธรรมที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นพีชคณิตลีของกลุ่มเชิงโปรเจกทีฟเชิงตั้งฉากมิติคี่และมิติคู่ก่อตัวเป็นสองตระกูลที่แตกต่างกัน:${\displaystyle -I\in \operatorname {SO} (2k)}$${\displaystyle -I\not \in \operatorname {SO} (2k+1)}$${\displaystyle B_{k}={\mathfrak {so}}_{2k+1},D_{k}={\mathfrak {so}}_{2k}.}$

ดังนั้น O(2 k +1) = SO(2 k +1) × {± I }, ^{[หมายเหตุ 2 ]} ในขณะที่ และ เป็น ส่วนขยายกลางที่ไม่ธรรมดาของ PO(2 k ) ${\displaystyle \operatorname {O} (2k)\neq \operatorname {SO} (2k)\times \{\pm I\}}$

โปรดระวังว่า PO(2 k +1) เป็นไอโซเมตรีของR P ^{2 k} = P( R ^{2 k +1} ) ในขณะที่ PO(2 k ) เป็นไอโซเมตรีของR P ^{2 k −1} = P( R ^{2 k} ) – กลุ่มเวกเตอร์มิติคี่เป็นไอโซเมตรีของปริภูมิเชิงฉายมิติคู่ ในขณะที่กลุ่มเวกเตอร์มิติคู่เป็นไอโซเมตรีของปริภูมิเชิงฉายมิติคี่

ในมิติคี่^{[หมายเหตุ 3 ]}ดังนั้นกลุ่มของไอโซเมตรีเชิงโปรเจกทีฟจึงสามารถระบุได้กับกลุ่มของไอโซเมตรีเชิงการหมุน ${\displaystyle \operatorname {SO} (2k+1)\cong \operatorname {PSO} (2k+1)=\operatorname {PO} (2k+1),}$

ในมิติคู่ SO(2 k ) → PSO(2 k ) และ O(2 k ) → PO(2 k ) ต่างก็เป็นกลุ่มปกคลุมแบบ 2 ต่อ 1 และ PSO(2 k ) < PO(2 k ) เป็น กลุ่มย่อย ดัชนี 2

PSO และ PO เป็นกลุ่มไร้ศูนย์กลางเช่นเดียวกับ PSL และ PGL ทั้งนี้เพราะเมทริกซ์สเกลาร์ไม่เพียงแต่เป็นศูนย์กลางของ SO และ O เท่านั้น แต่ยังเป็นไฮเปอร์เซ็นเตอร์ ด้วย (การหารด้วยศูนย์กลางไม่ได้ทำให้ได้กลุ่มไร้ศูนย์กลางเสมอไป)

PSO เป็นกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดในกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟ PSL ในขณะที่ PO เป็นกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดในกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเชิงโปรเจกทีฟ PGL ซึ่งคล้ายคลึงกับกรณีที่ SO เป็นกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดใน SL และ O เป็นกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดใน GL

PO มีความสำคัญพื้นฐานในทฤษฎีการแทน: โฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มG  → PGL เรียกว่าการแทนเชิงโปรเจกทีฟของGเช่นเดียวกับที่แผนที่G  → GL เรียกว่าการแทนเชิงเส้นของGและเช่นเดียวกับที่การแทนเชิงเส้นใดๆ สามารถลดรูปเป็นแผนที่G  → O ได้ (โดยการหาผลคูณภายในที่ไม่เปลี่ยนแปลง) การแทนเชิงโปรเจกทีฟใดๆ ก็สามารถลดรูปเป็นแผนที่G  → PO ได้เช่นกัน

ดูหัวข้อ กลุ่มเชิงเส้นเชิงฉาย: ทฤษฎีการแทนสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

กลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงตั้งฉากแบบโปรเจคทีฟสอดคล้องกับกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงตั้งฉากที่มี − I (ซึ่งมีสมมาตรศูนย์กลาง ) เช่นเดียวกับแผนที่ผลหารเสมอ (ตามทฤษฎีบทแลตติส ) จะมีการเชื่อมต่อแบบกาโลอิสระหว่างกลุ่มย่อยของ O และ PO โดยที่การผนวกบน O (กำหนดโดยการนำภาพใน PO แล้วนำภาพต้นฉบับใน O) จะเพิ่ม − I เข้าไป หากไม่มีอยู่

สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งสามารถเกิดขึ้นได้ในรูปสมมาตรของ โพลี โทปเชิงโปรเจกทีฟ – ซึ่งสอดคล้องกับกลุ่มจุด (แบบไม่ต่อเนื่อง) ที่รวมถึงสมมาตรศูนย์กลาง เปรียบเทียบกับกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของกลุ่มสปินโดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณี 3 มิติของ กลุ่มโพลีเฮดรั ล แบบไบนารี

ตัวอย่างเช่น ใน 3 มิติรูปทรงเรขาคณิตเพลโต 4 ใน 5 รูป มีสมมาตรแบบศูนย์กลาง (ลูกบาศก์/ทรงแปดเหลี่ยม, ทรงสิบสองเหลี่ยม/ทรงยี่สิบเหลี่ยม) ในขณะที่ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าไม่มีสมมาตรแบบศูนย์กลาง อย่างไรก็ตามทรงแปดเหลี่ยมแบบมีดาวมีสมมาตรแบบศูนย์กลาง แม้ว่ากลุ่มสมมาตรที่ได้จะเหมือนกับของลูกบาศก์/ทรงแปดเหลี่ยมก็ตาม

PO และ PSO ซึ่งเป็นกลุ่มโทโพโลยีที่ไม่มีศูนย์กลาง จะอยู่ด้านล่างสุดของลำดับกลุ่มปกคลุมโดยที่ด้านบนสุดคือกลุ่ม Pin ( ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ) หรือกลุ่ม Spinตามลำดับ:

พิน_± ( n ) → O( n ) → PO( n )

Spin( n ) → SO( n ) → PSO( n )

กลุ่มเหล่านี้ล้วนเป็นรูปแบบจริงแบบกระชับของพีชคณิตลีเดียวกัน

ทั้งหมดนี้เป็นการจับคู่แบบ 2 ต่อ 1 ยกเว้น SO(2 k +1) → PSO(2 k +1) ซึ่งเป็นการจับคู่แบบ 1 ต่อ 1 (ไอโซมอร์ฟิซึม)

กลุ่มโฮโมโทปีข้างต้นไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การปกคลุม ดังนั้นจึงสอดคล้องกับกลุ่มออร์โธโกนอล กลุ่มโฮโมโทปีที่ต่ำกว่ามีดังต่อไปนี้ ${\displaystyle \pi _{1}}$

${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {PSO} )\cong 1}$

${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {PO} (2k))\cong \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ,\pi _{0}(\operatorname {PO} (2k+1))\cong 1.}$

กลุ่มพื้นฐานของ PSO( n ) (ไร้ศูนย์กลาง) เท่ากับศูนย์กลางของ Spin( n ) (เชื่อมต่ออย่างง่าย) ซึ่งเป็นจริงเสมอสำหรับกลุ่มปกคลุม:

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {PSO} (n))=\pi _{1}(\operatorname {PO} (n))=\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n)).}$

เมื่อใช้ตารางศูนย์กลางของกลุ่มสปินจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ (สำหรับ): ${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {PSO} (4k))=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ,}$

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {PSO} (4k+2))=\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} ,}$

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {PSO} (2k+1))=\pi _{1}(\operatorname {SO} (2k+1))=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ,}$

ในขนาดเล็ก:

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {PSO} (1))=1,}$เนื่องจากกลุ่มนั้นไม่มีนัยสำคัญ

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {PSO} (2))=\mathbf {Z} ,}$เนื่องจากเป็นวงกลมในเชิงโทโพโลยี แม้ว่าโปรดทราบว่าภาพก่อนหน้าของเอกลักษณ์ใน Spin(2) นั้นเป็นเช่นเดียวกับกรณีอื่นๆ${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} ,}$${\displaystyle 4k+2.}$

เช่นเดียวกับที่กลุ่มออร์โทโกนอลเป็นกลุ่มโครงสร้างของมัดเวกเตอร์กลุ่มออร์โทโกนอลเชิงโปรเจคทีฟก็เป็นกลุ่มโครงสร้างของมัดเชิงโปรเจคทีฟและปริภูมิจำแนก ประเภทที่สอดคล้องกัน จะใช้สัญลักษณ์ BPO

เช่นเดียวกับกลุ่มออร์โธโกนอล กลุ่มออร์โธโกนอลเชิงโปรเจกทีฟสามารถขยายได้สองวิธีหลัก คือ การเปลี่ยนฟิลด์หรือการเปลี่ยนรูปแบบกำลังสอง นอกเหนือจากจำนวนจริงแล้ว ความสนใจหลักอยู่ที่จำนวนเชิงซ้อนหรือฟิลด์จำกัดในขณะที่รูปแบบกำลังสอง (เหนือจำนวนจริง) ยังสามารถเป็นรูปแบบไม่แน่นอนได้และแสดงด้วยสัญลักษณ์ PO( p , q )

กลุ่มเชิงตั้งฉากเชิงซ้อน PO( n , C ) ไม่ควรสับสนกับกลุ่มเอกภาพเชิงซ้อน PU( n ): PO รักษาฟอร์มสมมาตร ในขณะที่ PU รักษาฟอร์มเฮอร์มิเชียน – PU คือสมมาตรของปริภูมิเชิงซ้อนเชิงซ้อน (ซึ่งรักษาเมตริกฟูบินี-สตูดี )

ในฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะ 2 จะมีความซับซ้อนเพิ่มเติม: รูปแบบกำลังสองและรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรจะไม่เทียบเท่ากันอีกต่อไปI = − Iและตัวกำหนดจะต้องถูกแทนที่ด้วย ตัวแปรคงที่ ของ ดิกสัน

กลุ่มเชิงตั้งฉากโปรเจกทีฟเหนือฟิลด์จำกัดถูกใช้ในการสร้างตระกูลของกลุ่มง่ายจำกัดประเภทLie ซึ่งก็คือกลุ่ม Chevalleyประเภท D _nกลุ่มเชิงตั้งฉากเหนือฟิลด์จำกัด O( n , q ) ไม่ใช่กลุ่มง่าย เนื่องจากมี SO เป็นกลุ่มย่อยและศูนย์กลางที่ไม่เป็นศูนย์ ({± I }) (ดังนั้น PO เป็นผลหาร) ทั้งสองอย่างนี้ถูกกำหนดโดยการเปลี่ยนไปใช้ PSO แต่ PSO เองโดยทั่วไปไม่ใช่กลุ่มง่าย และต้องใช้กลุ่มย่อย (ซึ่งอาจมีดัชนี 1 หรือ 2) ที่กำหนดโดยบรรทัดฐานสปินเนอร์ (ในลักษณะคี่) หรือควาซิเดเทอร์มิแนนต์ (ในลักษณะคู่) ^{[ 1 ]}ควาซิเดเทอร์มิแนนต์สามารถกำหนดได้เป็น (−1) ^Dโดยที่Dคือตัวแปรดิกสัน (มันคือดีเทอร์มิแนนต์ที่กำหนดโดยตัวแปรดิกสัน) หรือในแง่ของมิติของพื้นที่คงที่

• กลุ่มเชิงเส้นเชิงฉาย
• กลุ่มเอกภาพเชิงฉาย
• กลุ่มสปิน

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "กลุ่มออร์โธโกนอลทั่วไปเชิงโปรเจคทีฟ" . MathWorld .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "กลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษเชิงโปรเจคทีฟ" . MathWorld .