ในทางคณิตศาสตร์บันเดิลเชิงโปรเจกทีฟคือบันเดิลไฟเบอร์ที่มีไฟเบอร์เป็นปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ

ตามคำจำกัดความแผนผังXบนแผนผัง Noetherian Sเป็นP ⁿ -bundle ถ้ามันเป็นปริภูมิเชิงโปรเจ กที ฟ n ในระดับท้องถิ่น กล่าวคือและออโตมอร์ฟิซึมการเปลี่ยนผ่านเป็นเชิงเส้น บนแผนผังปกติSเช่นวาไรตี้เรียบ บันเดิลเชิงโปรเจกทีฟทุกอันจะมีรูปแบบสำหรับบันเดิลเวกเตอร์บางตัว ( ชีฟอิสระในระดับท้องถิ่น ) E ^{[ 1 ]}${\displaystyle X\times _{S}U\simeq \mathbb {P} _{U}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$

ทุกเวกเตอร์บันเดิลบนวาไรตี้Xจะให้บันเดิลเชิงโปรเจกทีฟโดยการใช้ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟของไฟเบอร์ แต่ไม่ใช่ว่าทุกบันเดิลเชิงโปรเจกทีฟจะเกิดขึ้นในลักษณะนี้: มีอุปสรรคในกลุ่มโคฮอโมโลยีH ² ( X ,O*) เพื่อให้เข้าใจว่าทำไม โปรดจำไว้ว่าบันเดิลเชิงโปรเจกทีฟมาพร้อมกับฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านบนจุดตัดสองชั้นของฝาครอบเปิดที่เหมาะสม บนจุดทับซ้อนสามชั้น การยกขึ้นของฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านเหล่านี้จะสอดคล้องกับเงื่อนไขโคไซเคิลจนถึงฟังก์ชันผกผันได้ การรวบรวมฟังก์ชันเหล่านี้ก่อให้เกิด 2-โคไซเคิลซึ่งจะหายไปในH ² ( X ,O*) ก็ต่อเมื่อบันเดิลเชิงโปรเจกทีฟเป็นการทำให้เป็นเชิงโปรเจกทีฟของเวกเตอร์บันเดิล โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าX เป็น พื้นผิวรีมันน์แบบกระชับแล้วH ² ( X ,O*)=0 ดังนั้นอุปสรรคนี้จึงหายไป

บันเดิลเชิงโปรเจกทีฟของบันเดิลเวกเตอร์E นั้นเหมือนกับบันเดิลกราสส์มันน์ ของระนาบ 1 มิติในE${\displaystyle G_{1}(E)}$

บันเดิลเชิงโปรเจกทีฟP ( E ) ของบันเดิลเวกเตอร์Eมีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติสากลที่กล่าวว่า: ^{[ 2 ]}

เมื่อ กำหนดมอร์ฟิซึมf : T → Xแล้ว การแยกตัวประกอบfผ่านแผนที่การฉายภาพp : P ( E ) → Xคือการระบุซับบันเดิลเส้นของf ^* E

ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดให้fเป็นpจะได้ซับบันเดิลเส้นO (-1) ของp ^* Eซึ่งเรียกว่าบันเดิลเส้นสัจนิรันดร์บนP ( E ) ยิ่งไปกว่านั้นO (-1) นี้เป็นบันเดิลสากลในแง่ที่ว่า เมื่อบันเดิลเส้นLให้การแยกตัวประกอบf = p ∘ gแล้วLจะเป็นการดึงกลับของO (-1) ตามgดูCone# O (1)สำหรับการสร้างO (-1) ที่ชัดเจนยิ่งขึ้นด้วย

บนP ( E ) มีลำดับที่แน่นอน ตามธรรมชาติ (เรียกว่าลำดับที่แน่นอนเชิงสัจพจน์):

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} (E)}(-1)\to p^{*}E\to Q\to 0}$

โดยที่Qเรียกว่ากลุ่มผลหารเชิงสัจพจน์

ให้E ⊂ Fเป็นเวกเตอร์บันเดิล (ชีฟอิสระเฉพาะที่ที่มีอันดับจำกัด) บนXและG = F / Eให้q : P ( F ) → Xเป็นการฉายภาพ แล้วแผนที่ธรรมชาติO (-1) → q ^* F → q ^* Gเป็นส่วนตัดทั่วโลกของชีฟ hom Hom( O (-1), q ^* G) = q ^* G ⊗ O (1)ยิ่งไปกว่านั้น แผนที่ธรรมชาตินี้จะหายไปที่จุดหนึ่งก็ต่อเมื่อจุดนั้นเป็นเส้นตรงในEกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ตำแหน่งศูนย์ของส่วนตัดนี้คือP ( E )

ตัวอย่างที่มีประโยชน์อย่างยิ่งของการสร้างนี้คือ เมื่อFเป็นผลรวมโดยตรงE ⊕ 1 ของEและบันเดิลเส้นตรงที่ไม่สำคัญ (เช่น ชีฟโครงสร้าง) ในกรณีนั้นP ( E ) จะเป็นไฮเปอร์เพลนในP ( E ⊕ 1) ซึ่งเรียกว่าไฮเปอร์เพลนที่อนันต์ และส่วนเติมเต็มของP ( E ) สามารถระบุได้ว่าเป็นEด้วยวิธีนี้P ( E ⊕ 1) จึงถูกเรียกว่าการเติมเต็มเชิงโปรเจกทีฟ (หรือ "การทำให้กระชับ") ของ E

บันเดิลเชิงโปรเจกทีฟP ( E ) มีเสถียรภาพภายใต้การบิดEด้วยบันเดิลเส้นตรง กล่าวคือ เมื่อกำหนดบันเดิลเส้นตรงLแล้ว จะมีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ:

${\displaystyle g:\mathbf {P} (E){\overset {\sim }{\to }}\mathbf {P} (E\otimes L)}$

โดยที่^{[ 3 ]} (ในความเป็นจริง จะได้gโดยใช้คุณสมบัติสากลที่ใช้กับมัดเส้นทางด้านขวา) ${\displaystyle g^{*}({\mathcal {O}}(-1))\simeq {\mathcal {O}}(-1)\otimes p^{*}L.}$

ตัวอย่างมากมายของบันเดิลเชิงโปรเจคทีฟที่ไม่ธรรมดา สามารถพบได้โดยใช้ไฟเบรชันเหนือเช่นไฟเบรชันของเลฟเชตซ์ตัวอย่างเช่นพื้นผิว K3 วงรี คือพื้นผิว K3 ที่มีไฟเบรชัน${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi :X\to \mathbb {P} ^{1}}$

โดยที่เส้นใยสำหรับโดยทั่วไปจะเป็นเส้นโค้งวงรี เนื่องจากเส้นโค้งวงรีทุกเส้นเป็นเส้นโค้งจีนัส 1 ที่มีจุดที่โดดเด่น จึงมีส่วนตัดทั่วโลกของไฟเบอร์อยู่ เนื่องจากส่วนตัดทั่วโลกนี้ จึงมีแบบจำลองของการให้มอร์ฟิซึมแก่บันเดิลเชิงโปรเจกทีฟ^{[ ​​4 ]}${\displaystyle E_{p}}$${\displaystyle p\in \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\to \mathbb {P} ({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4)\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(6)\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}})}$

กำหนดโดยสมการไวเออร์สตรัส

${\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}}$

โดยที่แทนพิกัดท้องถิ่นของตามลำดับ และสัมประสิทธิ์${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(6),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}}$

${\displaystyle a_{i}\in H^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(2i))}$

เป็นส่วนต่างๆ ของชีฟบน. โปรดทราบว่าสมการนี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างดี เนื่องจากแต่ละพจน์ในสมการไวเออร์สตรัสมีดีกรีรวม(หมายถึงดีกรีของสัมประสิทธิ์บวกดีกรีของเอกนาม ตัวอย่างเช่น) ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle 12}$${\displaystyle {\text{deg}}(a_{1}xyz)=2+(4+6+0)=12}$

บันเดิลสัมผัสและโดยทั่วไปแล้วบันเดิลกราสส์มันน์เป็นบันเดิลเชิงโปรเจกทีฟบันเดิลสัมผัสหน่วยของแมนิโฟลด์รีมันน์คือการปกคลุมสองชั้นของบันเดิลสัมผัส เชิงโปรเจกที ฟ ของมัน

ให้Xเป็นวาไรตี้เชิงซ้อนเรียบแบบโปรเจคทีฟและEเป็นบันเดิลเวกเตอร์เชิงซ้อนที่มีอันดับrบน X ให้p : P ( E ) → Xเป็นบันเดิลโปรเจคทีฟของEแล้ววงแหวนโคฮอโมโลยี H ^* ( P ( E )) เป็นพีชคณิตเหนือ H ^* ( X ) ผ่านการดึงกลับp ^{* แล้ว} ชั้นเชอร์นแรกζ = c ₁ ( O (1)) สร้าง H ^* ( P ( E )) ด้วยความสัมพันธ์

${\displaystyle \zeta ^{r}+c_{1}(E)\zeta ^{r-1}+\cdots +c_{r}(E)=0}$

โดยที่c _i ( E ) คือ ชั้นเชิร์นที่ iของEลักษณะที่น่าสนใจอย่างหนึ่งของคำอธิบายนี้คือ เราสามารถกำหนดชั้นเชิร์นเป็นสัมประสิทธิ์ในความสัมพันธ์ได้ ซึ่งเป็นแนวทางที่ Grothendieck ใช้

สำหรับฟิลด์อื่นๆ นอกเหนือจากฟิลด์เชิงซ้อน คำอธิบายเดียวกันนี้ยังคงเป็นจริง โดยใช้Chow ringแทน cohomology ring (โดยยังคงสมมติว่าXเป็นฟิลด์เรียบ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ Chow group จะมีการแยกส่วนผลรวมโดยตรง

${\displaystyle A_{k}(\mathbf {P} (E))=\bigoplus _{i=0}^{r-1}\zeta ^{i}A_{k-r+1+i}(X)}$

ปรากฏว่าการแยกส่วนนี้ยังคงใช้ได้แม้ว่าXจะไม่เรียบหรือเป็นเชิงโปรเจกทีฟก็ตาม^{[ 5 ]}ในทางตรงกันข้ามA _k ( E ) = A _{k - r} ( X ) ผ่านโฮโมมอร์ฟิซึมของ Gysinด้วยเหตุผลที่ว่าไฟเบอร์ของEซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์นั้นสามารถหดตัวได้

• โครงการก่อสร้าง
• กรวย (เรขาคณิตเชิงพีชคณิต)
• พื้นผิวแบบเส้นตรง (ตัวอย่างหนึ่งของบันเดิลเชิงโปรเจกทีฟ)
• พันธุ์เซเวรี-บราวเออร์
• พื้นผิว Hirzebruch