ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตบันเดิลระนาบกราสส์มันน์dของบันเดิลเวกเตอร์EบนแผนผังเชิงพีชคณิตXคือแผนผังเหนือX :

${\displaystyle p:G_{d}(E)\to X}$

โดยที่ไฟเบอร์คือกราสส์มันน์ของปริภูมิย่อยเวกเตอร์d มิติของ ตัวอย่างเช่นคือบันเดิลเชิงโปรเจกทีฟของE ในทางกลับกัน บันเดิลกราสส์มันน์เป็นกรณีพิเศษของ บันเดิลแฟล็ก (บางส่วน) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง บันเดิลกราสส์มันน์สามารถสร้างขึ้นได้เป็นแผนผังควอต ${\displaystyle p^{-1}(x)=G_{d}(E_{x})}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle G_{1}(E)=\mathbb {P} (E)}$

บันเดิลกราสส์มันน์ของบันเดิลสัมผัสคือบันเดิลคอนแทค

เช่นเดียวกับกลุ่มกราสส์มันน์ทั่วไป กลุ่มกราสส์มันน์มีกลุ่มเวกเตอร์ตามธรรมชาติอยู่บนนั้น กล่าวคือ มีกลุ่มย่อยสากลหรือกลุ่มย่อยที่เป็นจริงSและกลุ่มผลหารสากลQที่เข้ากันได้กับ

${\displaystyle 0\to S\to p^{*}E\to Q\to 0}$.

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าVอยู่ในไฟเบอร์p ⁻¹ ( x ) แล้วไฟเบอร์ของSเหนือV ก็ คือVเอง ดังนั้นS จึง มีอันดับr = d = dim( V ) และเป็นมัดเส้นดีเทอร์มิแนนต์ ทีนี้ ด้วยคุณสมบัติสากลของมัดเชิงโปรเจกทีฟ การฉีดจะสอดคล้องกับมอร์ฟิซึมเหนือX : ${\displaystyle \wedge ^{d}S}$${\displaystyle \wedge ^{r}S\to p^{*}(\wedge ^{r}E)}$

${\displaystyle G_{d}(E)\to \mathbb {P} (\wedge ^{r}E)}$,

ซึ่งก็คือตระกูลของPlücker embeddingsนั่นเอง

บันเดิลสัมผัสสัมพัทธ์T _{G ​​d ( E )/ X}ของG _d ( E ) กำหนดโดย^{[ 1 ]}

${\displaystyle T_{G_{d}(E)/X}=\operatorname {Hom} (S,Q)=S^{\vee }\otimes Q,}$

ซึ่งในทางศีลธรรมนั้นกำหนดโดยรูปแบบพื้นฐานที่สองในกรณีที่d = 1 จะกำหนดดังนี้: ถ้าVเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด แล้วสำหรับแต่ละเส้นตรงในVที่ผ่านจุดกำเนิด (จุดของ) จะมีการระบุตามธรรมชาติ (ดูตัวอย่างได้ใน Chern class#Complex projective space ):${\displaystyle l}$${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (l,V/l)=T_{l}\mathbb {P} (V)}$

และข้างต้นคือรูปแบบการระบุตัวตนในระดับครอบครัว (การดูแลทั่วไปเป็นการสรุปโดยทั่วไปจากสิ่งนี้)

ในกรณีที่d = 1 ลำดับที่แน่นอนในช่วงต้นที่เทนเซอร์ด้วยคู่ของS = O (-1) จะได้:

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}\to p^{*}E\otimes {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}(1)\to T_{\mathbb {P} (E)/X}\to 0}$,

ซึ่งเป็นลำดับเชิงสัมพัทธ์ของลำดับออยเลอร์