ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มย่อยกระชับสูงสุดKของกลุ่มทางทอพอโลยีGคือกลุ่มย่อยKที่เป็นปริภูมิกระชับในทอพอโลยีของปริภูมิย่อยและ เป็นกลุ่มย่อย ที่ใหญ่ที่สุดในบรรดากลุ่มย่อยดังกล่าว

กลุ่มย่อยกระชับสูงสุดมีบทบาทสำคัญในการจำแนกกลุ่มลีโดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มลีแบบกึ่งง่าย กลุ่มย่อยกระชับสูงสุดของกลุ่มลีโดยทั่วไปแล้วจะไม่เป็นเอกลักษณ์ แต่จะเป็นเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงการผันแปร – กล่าวคือ เป็น เอกลักษณ์เฉพาะตัว โดย พื้นฐาน

ตัวอย่างหนึ่งคือกลุ่มย่อย O(2) ซึ่งเป็นกลุ่มเชิงตั้งฉากภายในกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป GL(2, R ) ตัวอย่างที่เกี่ยวข้องคือกลุ่มวงกลม SO(2) ภายในSL(2, R )เห็นได้ชัดว่า SO(2) ภายใน GL(2, R ) เป็นกลุ่มกระชับและไม่ใช่กลุ่มสูงสุด ความไม่เป็นเอกลักษณ์ของตัวอย่างเหล่านี้สามารถมองได้ว่าผลคูณภายใน ใดๆ ก็ มีกลุ่มเชิงตั้งฉากที่เกี่ยวข้อง และความเป็นเอกลักษณ์ที่สำคัญสอดคล้องกับความเป็นเอกลักษณ์ที่สำคัญของผลคูณภายใน

กลุ่มย่อยกระชับสูงสุด (maximal compact subgroup ) คือกลุ่มย่อยสูงสุดในบรรดากลุ่มย่อยกระชับ – เป็นกลุ่มย่อยกระชับสูงสุด – ไม่ใช่กลุ่มย่อยสูงสุดที่บังเอิญเป็นกลุ่มย่อยกระชับ (ซึ่งอาจตีความได้อีกแบบหนึ่ง) ซึ่งอาจเรียกว่ากลุ่มย่อยกระชับสูงสุด (compact maximal subgroup)แต่ไม่ว่าในกรณีใดก็ไม่ใช่ความหมายที่ต้องการ (และในความเป็นจริง กลุ่มย่อยกระชับสูงสุดที่แท้จริงโดยทั่วไปแล้วไม่ใช่กลุ่มย่อยกระชับ)

ทฤษฎีบทคาร์ตัน-อิวาซาวา-มัลเซฟกล่าวว่า กลุ่มลีที่เชื่อมต่อกันทุกกลุ่ม (และกลุ่มกระชับเฉพาะที่ที่เชื่อมต่อกัน ทุกกลุ่ม ) ยอมรับกลุ่มย่อยกระชับสูงสุด และกลุ่มย่อยเหล่านั้นทั้งหมดเป็นคู่สมซึ่งกันและกัน สำหรับกลุ่มลีแบบกึ่งง่ายความเป็นเอกลักษณ์เป็นผลมาจากทฤษฎีบทจุดตรึงของคาร์ตันซึ่งกล่าวว่า ถ้ากลุ่มกระชับกระทำโดยไอโซเมตรีบนแมนิโฟลด์รีมันน์ ที่สมบูรณ์ เชื่อมต่อกันอย่างง่าย และโค้งไม่เป็นบวก แล้ว กลุ่มนั้นจะมีจุดตรึง

กลุ่มย่อยกระชับสูงสุดของกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันมักจะไม่ซ้ำกัน แต่จะซ้ำกันจนถึงการผันแปร หมายความว่าเมื่อกำหนดกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดสองกลุ่มKและLแล้ว จะมีสมาชิกg ∈ Gเช่นนั้น^{[ 1 ]} gKg ⁻¹ = Lดังนั้นกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดจึงซ้ำกันโดยพื้นฐานและผู้คนมักพูดถึงกลุ่มย่อยกระชับสูงสุด "กลุ่มนั้น"

สำหรับตัวอย่างของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป GL( n , R ) นี้ สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าผลคูณภายในใดๆ บนR ⁿจะกำหนดกลุ่มเชิงตั้งฉาก (กระชับ) (กลุ่มไอโซเมตรีของมัน) – และยอมรับฐานเชิงตั้งฉากปกติ: การเปลี่ยนฐานจะกำหนดองค์ประกอบการผันแปรที่ผันแปรกลุ่มไอโซเมตรีกับกลุ่มเชิงตั้งฉากแบบคลาสสิก O( n , R )

สำหรับกลุ่ม Lie กึ่งง่ายจริง การพิสูจน์การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดโดย Cartan สามารถพบได้ในBorel (1950)และHelgason (1978) Cartier (1955)และHochschild (1965)กล่าวถึงการขยายไปสู่กลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันและกลุ่มกระชับเฉพาะที่ที่เชื่อมต่อกัน

สำหรับกลุ่มกึ่งง่าย การมีอยู่เป็นผลมาจากการมีอยู่ของรูปแบบจริงแบบ กระชับ ของกลุ่ม Lie กึ่งง่ายที่ไม่กระชับ และการแยกส่วนของ Cartan ที่สอดคล้องกัน การพิสูจน์ความไม่ซ้ำกันอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิสมมาตรแบบ Riemannian ที่สอดคล้องกัน G / K มีความโค้งเป็นลบและทฤษฎีบทจุดตรึงของ Cartan Mostow (1955)แสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์ของแผนที่เอกซ์โพเนนเชียลที่จุดใด ๆ ของG / Kสอดคล้องกับ |d exp X | ≥ |X| ซึ่งหมายความว่าG / Kเป็นปริภูมิ Hadamard กล่าวคือปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ที่สอดคล้องกับรูปแบบที่อ่อนลงของกฎสี่เหลี่ยมด้านขนานในปริภูมิยุคลิด จากนั้นสามารถอนุมานความไม่ซ้ำกันได้จากทฤษฎีบทจุดตรึงของ Bruhat-Titsอันที่จริง เซตปิดที่มีขอบเขตใด ๆ ในปริภูมิ Hadamard จะบรรจุอยู่ในลูกบอลปิดที่เล็กที่สุดที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งจุดศูนย์กลางเรียกว่าจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มกระชับที่กระทำโดยไอโซเมตรีจะต้องตรึงจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบของวงโคจรแต่ละวง

Mostow (1955)ยังเชื่อมโยงปัญหาทั่วไปสำหรับกลุ่มกึ่งง่ายเข้ากับกรณีของ GL( n , R ) ด้วย ปริภูมิสมมาตรที่สอดคล้องกันคือปริภูมิของเมทริกซ์สมมาตรบวก การพิสูจน์โดยตรงถึงความเป็นเอกลักษณ์โดยอาศัยคุณสมบัติพื้นฐานของปริภูมินี้มีอยู่ในHilgert & Neeb (2012 )

ให้ σ เป็นพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายจริงที่มีการผกผันแบบคาร์ตันดังนั้นกลุ่มย่อยจุดตรึงของ σ คือกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดKและมีการแบ่งส่วนปริภูมิไอเกน ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}},}}$

โดยที่ ซึ่งเป็นพีชคณิตลีของKคือปริภูมิไอเกน +1 การแยกส่วนแบบคาร์ตันให้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

${\displaystyle \displaystyle {G=K\cdot \exp {\mathfrak {p}}=K\cdot P=P\cdot K.}}$

ถ้าBคือรูปแบบ Killingที่กำหนดโดยB ( X , Y ) = Tr (ad X)(ad Y) แล้ว ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \displaystyle {(X,Y)_{\sigma }=-B(X,\sigma (Y))}}$

เป็นผลคูณภายในที่แท้จริงบน ภายใต้การแสดงแทนแบบผกผันKคือกลุ่มย่อยของGที่รักษาผลคูณภายในนี้ไว้ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ถ้าHเป็นกลุ่มย่อยกระชับอีกกลุ่มหนึ่งของGการหาค่าเฉลี่ยของผลคูณภายในเหนือHโดยสัมพันธ์กับมาตรวัดฮาร์จะให้ผลคูณภายในที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้Hตัวดำเนินการ Ad pโดยที่p อยู่ ในPเป็นตัวดำเนินการสมมาตรบวก ผลคูณภายในใหม่นี้สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle (S\cdot X,Y)_{\sigma },}$

โดยที่Sเป็นตัวดำเนินการสมมาตรบวกบนซึ่ง Ad( h ) ^t S Ad h = SสำหรับhในH (โดยที่ทรานสโพสคำนวณโดยสัมพันธ์กับผลคูณภายใน) ยิ่งไปกว่านั้นสำหรับ xในG${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {Ad} \,\sigma (x)=(\mathrm {Ad} \,(x)^{-1})^{t}.}}$

ดังนั้นสำหรับhในH ,

${\displaystyle \displaystyle {S\circ \mathrm {Ad} (\sigma (h))=\mathrm {Ad} (h)\circ S.}}$

สำหรับXในการกำหนด ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \displaystyle {f(e^{X})=\mathrm {Tr} \,\mathrm {Ad} (e^{X})S.}}$

ถ้าe _iเป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสำหรับSโดยที่Se _i = λ _i e _iแล้ว

${\displaystyle \displaystyle {f(e^{X})=\sum \lambda _{i}(\mathrm {Ad} (e^{X})e_{i},e_{i})_{\sigma }\geq (\min \lambda _{i})\cdot \mathrm {Tr} \,e^{\mathrm {ad} \,X},}}$

ดังนั้นf จึง เป็นค่าบวกอย่างเคร่งครัดและมีแนวโน้มเข้าสู่ ∞ เมื่อ | X | มีแนวโน้มเข้าสู่ ∞ อันที่จริงแล้ว นอร์มนี้เทียบเท่ากับนอร์มของตัวดำเนินการบนตัวดำเนินการสมมาตร ad Xและค่าไอเกนที่ไม่เป็นศูนย์แต่ละค่าจะปรากฏพร้อมกับค่าลบของมัน เนื่องจาก i ad Xเป็นตัวดำเนินการผกผันแบบเฉียงบนรูปแบบจริงแบบกระชับ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {p}}}$

ดังนั้น ฟังก์ชัน fจึงมีค่าต่ำสุดทั่วโลกที่Yสมมติ ค่าต่ำสุดนี้มีเพียงค่าเดียว เพราะถ้าZเป็นค่าอื่นแล้ว

${\displaystyle \displaystyle {e^{Z}=e^{Y/2}e^{X}e^{Y/2},}}$

โดยที่Xถูกกำหนดโดยการแยกส่วนแบบคาร์ตัน ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \displaystyle {e^{Z/2}e^{-Y/2}=k\cdot e^{X/2}.}}$

ถ้าf _iเป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ ad Xที่มีค่าลักษณะเฉพาะจริง μ _i ที่สอดคล้อง กันแล้ว

${\displaystyle \displaystyle {g(t)=f(e^{Y/2}e^{tX}e^{Y/2})=\sum e^{\mu _{i}t}\|Ad(e^{Y/2})f_{i}\|_{\sigma }^{2}.}}$

เนื่องจากด้านขวามือเป็นผลรวมบวกของเลขชี้กำลัง ฟังก์ชันค่าจริงgจึงเป็นฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัดหากX ≠ 0 ดังนั้นจึงมีค่าต่ำสุดเพียงค่าเดียว ในทางกลับกัน ฟังก์ชันนี้มีค่าต่ำสุดเฉพาะที่ที่t = 0 และt = 1 ดังนั้นX = 0 และp = exp Yจึงมีค่าต่ำสุดทั่วโลกเพียงค่าเดียว จากการสร้าง f ( x ) = f (σ( h ) xh ⁻¹ ) สำหรับhในHดังนั้นp = σ( h ) ph ⁻¹สำหรับhในHดังนั้น σ( h ) = php ⁻¹ผลที่ตามมาคือ ถ้าg = exp Y /2 ค่า gHg ⁻¹จะถูกกำหนดโดย σ และดังนั้นจึงอยู่ในK

กลุ่มย่อยกระชับสูงสุดมีบทบาทพื้นฐานในทฤษฎีการแทนเมื่อGไม่ใช่กลุ่มกระชับ ในกรณีนั้น กลุ่มย่อยกระชับสูงสุดKคือกลุ่มลีกระชับ (เนื่องจากกลุ่มย่อยปิดของกลุ่มลีก็คือกลุ่มลี) ซึ่งทำให้ทฤษฎีง่ายขึ้น

การดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีการแทนของGและKคือการจำกัดการแทนจากGไปยังKและการเหนี่ยวนำการแทนจากKไปยังGซึ่งเป็นสิ่งที่เข้าใจได้ค่อนข้างดี ทฤษฎีเหล่านี้รวมถึงทฤษฎีของฟังก์ชันทรงกลมด้วย

โทโพโลยีเชิงพีชคณิตของกลุ่มลีส่วนใหญ่ยังถูกกำหนดโดยกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดKด้วย กล่าวคือ กลุ่มลีที่เชื่อมต่อกันเป็นผลคูณเชิงโทโพโลยี (แม้จะไม่ใช่ผลคูณเชิงทฤษฎีกลุ่ม) ของกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดKและปริภูมิยุคลิด – G = K × R ^d – ดังนั้นKจึงเป็นการหดตัวของการเปลี่ยนรูปของGและมีความสมมูลเชิงโฮโมโทปีดังนั้นจึงมีกลุ่มโฮโมโทปี เดียวกัน อันที่จริง การรวมและการหดตัวของการเปลี่ยนรูปมีความสมมูลเชิงโฮโมโทปี ${\displaystyle K\hookrightarrow G}$${\displaystyle G\twoheadrightarrow K}$

สำหรับกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป การแยกส่วนนี้คือการแยกส่วน QRและการหดตัวของการเปลี่ยนรูปคือกระบวนการ Gram-Schmidtสำหรับกลุ่ม Lie กึ่งง่ายทั่วไป การแยกส่วนคือการแยกส่วน IwasawaของGเป็นG = KANโดยที่Kปรากฏ ในผลคูณกับกลุ่มย่อยที่หดตัวได้AN

• กลุ่มย่อยพิเศษขั้นสูง
• กลุ่มโกหกที่ซับซ้อน