ในพีชคณิตเชิงเส้นการแยกตัวประกอบ QRหรือที่รู้จักกันในชื่อการแยกตัวประกอบ QRหรือการแยกตัวประกอบ QUคือการแยกเมทริกซ์Aออกเป็นผลคูณA  =  QRของเมทริกซ์ตั้งฉากปกติQและเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนRการแยกตัวประกอบ QR มักใช้ในการแก้ ปัญหาการ หาค่ากำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้น (LLS) และเป็นพื้นฐานสำหรับอัลกอริทึมค่าลักษณะ เฉพาะอย่างหนึ่ง คืออั ลกอริทึม QR

เมทริกซ์จัตุรัส จริงใดๆAสามารถแยกองค์ประกอบได้ดังนี้

${\displaystyle A=QR,}$

โดยที่Qคือเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก (คอลัมน์ของมันคือเวกเตอร์หน่วยเชิงตั้งฉาก หมายความว่า)และRคือเมทริกซ์สามเหลี่ยม บน (เรียกอีกอย่างว่าเมทริกซ์สามเหลี่ยมมุมฉาก) ถ้าAหา เมทริกซ์ ผกผันได้การแยกตัวประกอบจะมีเพียงหนึ่งเดียว หากเรากำหนดให้องค์ประกอบแนวทแยงของRเป็นค่าบวก ${\displaystyle Q^{\textsf {T}}=Q^{-1}}$

ถ้าหากAเป็นเมทริกซ์จัตุรัสเชิงซ้อน จะมีการแยกตัวประกอบA = QRโดยที่Qเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ (ดังนั้นจึงเป็นการสลับเปลี่ยนเชิงสังยุค)${\displaystyle Q^{\dagger }=Q^{-1}}$

ถ้าAมีคอลัมน์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นn คอลัมน์ คอลัมน์ n แรก ของQจะสร้างฐานเชิงตั้งฉากปกติสำหรับปริภูมิคอลัมน์ของAโดยทั่วไป คอลัมน์ k แรก ของQจะสร้างฐานเชิงตั้งฉากปกติสำหรับปริภูมิ ที่เกิดจากคอลัมน์ kแรกของAสำหรับ1 ≤ k ≤ n ใดๆ ^{[ 1} ] ข้อเท็จจริงที่ว่าคอลัมน์k ใดๆ ของA ขึ้นอยู่กับคอลัมน์ kแรกของQ เท่านั้น สอดคล้องกับรูปแบบ  ^{สามเหลี่ยม}ของR ^{[ 1 ]}

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถแยกตัวประกอบเมทริกซ์ เชิงซ้อนขนาด m × n Aโดยที่m ≥ nได้เป็นผลคูณของเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาดm × m Qและเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนขนาดm × n Rเนื่องจากแถวล่างสุด ( m − n ) ของ เมทริกซ์สามเหลี่ยมบนขนาด m × nประกอบด้วยศูนย์ทั้งหมด จึงมักเป็นประโยชน์ที่จะแบ่งส่วนRหรือทั้งRและQ ดังนี้ :

${\displaystyle A=QR=Q{\begin{bmatrix}R_{1}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Q_{1}&Q_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R_{1}\\0\end{bmatrix}}=Q_{1}R_{1},}$

โดยที่R ₁เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนขนาดn × n , 0 เป็น เมทริกซ์ศูนย์ ขนาด ( m − n )× n , Q ₁เป็น เมทริกซ์ขนาด m × n , Q ₂เป็น เมทริกซ์ขนาด m ×( m − n )และ ทั้ง Q ₁และQ ₂มีคอลัมน์ตั้งฉากกัน

Golub & Van Loan (1996 , §5.2) เรียกQ ₁ R ₁ว่าการแยกตัวประกอบ QR แบบบางของA ; Trefethen และ Bau ​​เรียกสิ่งนี้ ว่า การแยกตัวประกอบ QR แบบลดรูป [ ^{1 ] ถ้า} A มีอันดับเต็มn และเราต้องการให้องค์ประกอบแนวทแยงของR ₁เป็นบวก ดังนั้นR ₁และQ ₁จะมีเอกลักษณ์ แต่โดยทั่วไปQ ₂จะไม่มีเอกลักษณ์R ₁จะเท่ากับตัวประกอบสามเหลี่ยมบนของการแยกตัวประกอบ CholeskyของA * A (=  A ^T Aถ้าAเป็นจำนวนจริง)

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกำหนดการแยกส่วน QL, RQ และ LQ ได้ โดยที่Lคือเมทริกซ์สามเหลี่ยม ล่าง

มีหลายวิธีในการคำนวณการแยกส่วน QR เช่นกระบวนการ Gram–Schmidt การแปลง Householderหรือการหมุน Givensแต่ละวิธีมีข้อดีและข้อเสียหลายประการ

พิจารณากระบวนการ Gram–Schmidtที่ใช้กับคอลัมน์ของเมทริกซ์ที่มีอันดับคอลัมน์เต็มโดยมีผลคูณภายใน (หรือสำหรับกรณีเชิงซ้อน) ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {w} }$${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\mathbf {v} ^{\dagger }\mathbf {w} }$

กำหนดการฉายภาพ :

${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {u} }\mathbf {a} ={\frac {\left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {a} \right\rangle }{\left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \right\rangle }}{\mathbf {u} }}$

แล้ว:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&=\mathbf {a} _{1},&\mathbf {e} _{1}&={\frac {\mathbf {u} _{1}}{\|\mathbf {u} _{1}\|}}\\\mathbf {u} _{2}&=\mathbf {a} _{2}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\mathbf {a} _{2},&\mathbf {e} _{2}&={\frac {\mathbf {u} _{2}}{\|\mathbf {u} _{2}\|}}\\\mathbf {u} _{3}&=\mathbf {a} _{3}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\mathbf {a} _{3}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\mathbf {a} _{3},&\mathbf {e} _{3}&={\frac {\mathbf {u} _{3}}{\|\mathbf {u} _{3}\|}}\\&\;\;\vdots &&\;\;\vdots \\\mathbf {u} _{k}&=\mathbf {a} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{j}}\mathbf {a} _{k},&\mathbf {e} _{k}&={\frac {\mathbf {u} _{k}}{\|\mathbf {u} _{k}\|}}\end{aligned}}}$

ตอนนี้เราสามารถแสดงค่าs บนฐานออร์โทนอร์มอลที่คำนวณขึ้นใหม่ได้แล้ว: ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} _{1}&=\left\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {a} _{1}\right\rangle \mathbf {e} _{1}\\\mathbf {a} _{2}&=\left\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {a} _{2}\right\rangle \mathbf {e} _{1}+\left\langle \mathbf {e} _{2},\mathbf {a} _{2}\right\rangle \mathbf {e} _{2}\\\mathbf {a} _{3}&=\left\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {a} _{3}\right\rangle \mathbf {e} _{1}+\left\langle \mathbf {e} _{2},\mathbf {a} _{3}\right\rangle \mathbf {e} _{2}+\left\langle \mathbf {e} _{3},\mathbf {a} _{3}\right\rangle \mathbf {e} _{3}\\&\;\;\vdots \\\mathbf {a} _{k}&=\sum _{j=1}^{k}\left\langle \mathbf {e} _{j},\mathbf {a} _{k}\right\rangle \mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$

โดยที่.สามารถเขียนในรูปแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้: ${\displaystyle \left\langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {a} _{i}\right\rangle =\left\|\mathbf {u} _{i}\right\|}$

${\displaystyle A=QR}$

ที่ไหน:

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}}$

และ

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {a} _{1}\rangle &\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {a} _{2}\rangle &\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {a} _{3}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {a} _{n}\rangle \\0&\langle \mathbf {e} _{2},\mathbf {a} _{2}\rangle &\langle \mathbf {e} _{2},\mathbf {a} _{3}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {e} _{2},\mathbf {a} _{n}\rangle \\0&0&\langle \mathbf {e} _{3},\mathbf {a} _{3}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {e} _{3},\mathbf {a} _{n}\rangle \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\langle \mathbf {e} _{n},\mathbf {a} _{n}\rangle \\\end{bmatrix}}.}$

พิจารณาการแยกส่วนประกอบของ

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}12&-51&4\\6&167&-68\\-4&24&-41\end{bmatrix}}.}$

โปรดจำไว้ว่าเมทริกซ์ออร์โทนอร์มอลมีคุณสมบัติดังนี้${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q^{\textsf {T}}Q=I}$

จากนั้น เราสามารถคำนวณโดยใช้วิธีของแกรม-ชมิดท์ได้ดังนี้: ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U={\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}&\mathbf {u} _{2}&\mathbf {u} _{3}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}12&-69&-58/5\\6&158&6/5\\-4&30&-33\end{bmatrix}};\\Q={\begin{bmatrix}{\frac {\mathbf {u} _{1}}{\|\mathbf {u} _{1}\|}}&{\frac {\mathbf {u} _{2}}{\|\mathbf {u} _{2}\|}}&{\frac {\mathbf {u} _{3}}{\|\mathbf {u} _{3}\|}}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}6/7&-69/175&-58/175\\3/7&158/175&6/175\\-2/7&6/35&-33/35\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

ดังนั้น เราจึงมี

${\displaystyle {\begin{aligned}Q^{\textsf {T}}A&=Q^{\textsf {T}}Q\,R=R;\\R&=Q^{\textsf {T}}A={\begin{bmatrix}14&21&-14\\0&175&-70\\0&0&35\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

การแยกตัวประกอบแบบ RQ แปลงเมทริกซ์Aให้เป็นผลคูณของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนR (หรือที่เรียกว่าเมทริกซ์สามเหลี่ยมมุมฉาก) และเมทริกซ์เชิงตั้งฉากQความแตกต่างเพียงอย่างเดียวจากการแยกตัวประกอบแบบ QR คือลำดับของเมทริกซ์เหล่านี้

การแยกส่วน QR คือการทำให้คอลัมน์ของเมทริกซ์A เป็นแบบตั้งฉากกันตามวิธี Gram–Schmidt โดยเริ่มจากคอลัมน์แรก

การแยกส่วน RQ คือการทำให้แถวของเมทริกซ์A เป็นเมทริกซ์ตั้งฉากแบบแกรม-ชมิดต์ โดยเริ่มจากแถวสุดท้าย

กระบวนการแกรม-ชมิดท์มีความไม่เสถียรทางตัวเลขโดยเนื้อแท้ แม้ว่าการประยุกต์ใช้การฉายภาพจะมีลักษณะคล้ายคลึงทางเรขาคณิตที่น่าสนใจกับการทำให้เป็นมุมฉาก แต่การทำให้เป็นมุมฉากนั้นเองก็มีแนวโน้มที่จะเกิดข้อผิดพลาดทางตัวเลขข้อดีที่สำคัญคือความง่ายในการนำไปใช้งาน

การสะท้อนแบบ Householder (หรือการแปลง Householder ) คือการแปลงที่นำเวกเตอร์มาสะท้อนเกี่ยวกับระนาบหรือไฮเปอร์เพลน บางระนาบ เราสามารถใช้การดำเนินการนี้ในการคำนวณ การแยกตัวประกอบ QRของเมทริกซ์ขนาดm x nโดยที่m ≥ nได้ ${\displaystyle A}$

สามารถใช้ Qในการสะท้อนเวกเตอร์ในลักษณะที่ทำให้พิกัดทั้งหมดหายไป ยกเว้นพิกัดเดียว

ให้ A เป็นเวกเตอร์คอลัมน์มิติmที่เป็นจำนวนจริงใดๆ โดย ที่สำหรับค่าสเกลาร์α ค่า αควรมีเครื่องหมายเดียวกับพิกัดที่ i ของAโดยที่i คือพิกัดหลักที่ทำให้ค่าทั้งหมดในเมทริกซ์A ในรูปแบบสามเหลี่ยมบนสุดท้ายเป็น 0 หากอัลกอริทึมนี้ใช้การคำนวณเลขทศนิยมαควรมีเครื่องหมายตรงข้ามเพื่อหลีกเลี่ยงการสูญเสียความสำคัญ (ตัวอย่างเช่น เมื่อa เกือบจะอยู่ในแนวเดียวกันกับa ค่า α จะ "เล็ก" และไม่เสถียรทางตัวเลข กรณีสุดขั้วคือ a = 0 ซึ่งทำให้การหารก่อนหน้านี้ได้ผลลัพธ์เป็นNaN ) ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|=|\alpha |}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$${\displaystyle \|\mathbf {u} \|}$${\displaystyle \mathbf {u} /\|\mathbf {u} \|}$${\displaystyle \|\mathbf {u} \|=0}$

ในกรณีที่ซับซ้อน ให้ตั้งค่า^{[ 2 ]}

${\displaystyle \alpha =-e^{i\arg x_{k}}\|\mathbf {x} \|}$

และแทนที่การสลับตำแหน่งด้วยการสลับตำแหน่งแบบคอนจูเกตในการสร้างQด้านล่าง

จากนั้น เวกเตอร์[1 0 ⋯ 0] ^T อยู่ ที่ไหน|| · ||คือนอร์มยุคลิดและคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาดm × mกำหนดให้ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=\mathbf {x} -\alpha \mathbf {e} _{1},\\\mathbf {v} &={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}},\\Q&=I-2\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}.\end{aligned}}}$

หรือถ้ามันซับซ้อน ${\displaystyle A}$

${\displaystyle Q=I-2\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\dagger }.}$

${\displaystyle Q}$เป็น เมทริกซ์ Householder ขนาด m x mซึ่งเป็นทั้งเมทริกซ์สมมาตรและเมทริกซ์ตั้งฉาก (เมทริกซ์เฮอร์มิเชียนและเมทริกซ์เอกภาพในกรณีจำนวนเชิงซ้อน) และ

${\displaystyle Q\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\alpha \\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}.}$

วิธีนี้สามารถใช้เพื่อแปลงเมทริกซ์Aขนาดm x n ให้เป็น รูปแบบสามเหลี่ยมบน ได้ทีละขั้นตอน ขั้นแรก เราคูณ Aกับเมทริกซ์ Householder Q ₁ที่เราได้เมื่อเลือกคอลัมน์แรกของเมทริกซ์สำหรับxผลลัพธ์ที่ได้คือเมทริกซ์Q ₁ Aที่มีค่าเป็นศูนย์ในคอลัมน์ซ้ายสุด (ยกเว้นแถวแรก)

${\displaystyle Q_{1}A={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\star &\cdots &\star \\0&&&\\\vdots &&A'&\\0&&&\end{bmatrix}}}$

สามารถทำซ้ำขั้นตอนนี้ได้สำหรับA ′ (ได้จากQ ₁ Aโดยการลบแถวแรกและคอลัมน์แรก) ส่งผลให้ได้เมทริกซ์ Householder Q ′ ₂โปรดสังเกตว่าQ ′ ₂มีขนาดเล็กกว่าQ ₁เนื่องจากเราต้องการให้มันทำงานกับQ ₁ Aแทนที่จะเป็นA ′ เราจึงต้องขยายมันไปทางด้านบนซ้าย โดยเติม 1 หรือโดยทั่วไปคือ:

${\displaystyle Q_{k}={\begin{bmatrix}I_{k-1}&0\\0&Q_{k}'\end{bmatrix}}.}$

หลังจากทำซ้ำกระบวนการนี้ไปหลายรอบแล้ว${\displaystyle t}$${\displaystyle t=\min(m-1,n)}$

${\displaystyle R=Q_{t}\cdots Q_{2}Q_{1}A}$

เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน ดังนั้น ด้วย

${\displaystyle {\begin{aligned}Q^{\textsf {T}}&=Q_{t}\cdots Q_{2}Q_{1},\\Q&=Q_{1}^{\textsf {T}}Q_{2}^{\textsf {T}}\cdots Q_{t}^{\textsf {T}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle A=QR}$เป็นการแยกส่วน QR ของ ${\displaystyle A}$

วิธีนี้มีความเสถียรเชิงตัวเลขมากกว่าวิธี Gram–Schmidt ที่กล่าวมาข้างต้น

ในการทดสอบเชิงตัวเลข ปัจจัยที่คำนวณได้และเป็นไป ตามความแม่นยำของเครื่องจักร นอกจากนี้ ความเป็นตั้งฉากยังคงอยู่: อย่างไรก็ตาม ความแม่นยำของและลดลงตามค่าสภาพ: ${\displaystyle Q_{c}}$${\displaystyle R_{c}}$${\displaystyle {\frac {\|QR-Q_{c}R_{c}\|_{\infty }}{\|A\|_{\infty }}}=O(\varepsilon )}$${\displaystyle \|Q_{c}^{\mathsf {T}}Q_{c}-I\|_{\infty }=O(\varepsilon )}$${\displaystyle Q_{c}}$${\displaystyle R_{c}}$${\displaystyle \|Q-Q_{c}\|_{\infty }=O(\varepsilon \,\kappa _{\infty }(A)),\quad {\frac {\|R-R_{c}\|_{\infty }}{\|R\|_{\infty }}}=O(\varepsilon \,\kappa _{\infty }(A)).}$

สำหรับตัวอย่างที่มีเงื่อนไขดี ( , ): ${\displaystyle n=4000}$${\displaystyle \kappa _{\infty }(A)\approx 3\times 10^{3}}$${\displaystyle {\frac {\|QR-Q_{c}R_{c}\|_{\infty }}{\|A\|_{\infty }}}\approx 1.6\times 10^{-15},}$${\displaystyle \|Q-Q_{c}\|_{\infty }\approx 1.6\times 10^{-15},}$${\displaystyle {\frac {\|R-R_{c}\|_{\infty }}{\|R\|_{\infty }}}\approx 4.3\times 10^{-14},}$${\displaystyle \|Q_{c}^{\mathsf {T}}Q_{c}-I\|_{\infty }\approx 1.1\times 10^{-13}.}$

ในการทดสอบที่ไม่เหมาะสม ( , ): ^{[ 3 ]}${\displaystyle n=4000}$${\displaystyle \kappa _{\infty }(A)\approx 4\times 10^{18}}$${\displaystyle {\frac {\|QR-Q_{c}R_{c}\|_{\infty }}{\|A\|_{\infty }}}\approx 1.3\times 10^{-15},}$${\displaystyle \|Q-Q_{c}\|_{\infty }\approx 5.2\times 10^{-4},}$${\displaystyle {\frac {\|R-R_{c}\|_{\infty }}{\|R\|_{\infty }}}\approx 1.2\times 10^{-4},}$${\displaystyle \|Q_{c}^{\mathsf {T}}Q_{c}-I\|_{\infty }\approx 1.1\times 10^{-13}.}$

ตารางต่อไปนี้แสดงจำนวนการดำเนินการใน ขั้นตอนที่ kของการแยกส่วน QR โดยการแปลง Householder โดยสมมติว่าเมทริกซ์จัตุรัสมีขนาด n

การดำเนินการ	จำนวนการดำเนินการในขั้นตอนที่ k
การคูณ	${\displaystyle 2(n-k+1)^{2}}$
ส่วนเพิ่มเติม	${\displaystyle (n-k+1)^{2}+(n-k+1)(n-k)+2}$
แผนก	${\displaystyle 1}$
รากที่สอง	${\displaystyle 1}$

เมื่อรวมตัวเลขเหล่านี้ตลอดn − 1ขั้นตอน (สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสขนาดn ) ความซับซ้อนของอัลกอริทึม (ในแง่ของการคูณเลขทศนิยม) จะได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {2}{3}}n^{3}+n^{2}+{\frac {1}{3}}n-2=O\left(n^{3}\right).}$

เรามาคำนวณการแยกส่วนประกอบของ

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}12&-51&4\\6&167&-68\\-4&24&-41\end{bmatrix}}.}$

ขั้นแรก เราต้องหาการสะท้อนที่แปลงคอลัมน์แรกของเมทริกซ์A ซึ่ง ก็คือเวกเตอร์ไปเป็น${\displaystyle \mathbf {a} _{1}={\begin{bmatrix}12&6&-4\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} _{1}\right\|\mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}\alpha &0&0\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

ตอนนี้,

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {x} -\alpha \mathbf {e} _{1},}$

และ

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}.}$

ที่นี่,

${\displaystyle \alpha =14}$และ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} _{1}={\begin{bmatrix}12&6&-4\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

ดังนั้น

${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}-2&6&-4\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}=2{\begin{bmatrix}-1&3&-2\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$และและจากนั้น${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{\sqrt {14}}}{\begin{bmatrix}-1&3&-2\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}={}&I-{\frac {2}{{\sqrt {14}}{\sqrt {14}}}}{\begin{bmatrix}-1\\3\\-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&3&-2\end{bmatrix}}\\={}&I-{\frac {1}{7}}{\begin{bmatrix}1&-3&2\\-3&9&-6\\2&-6&4\end{bmatrix}}\\={}&{\begin{bmatrix}6/7&3/7&-2/7\\3/7&-2/7&6/7\\-2/7&6/7&3/7\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

โปรดสังเกตดังนี้:

${\displaystyle Q_{1}A={\begin{bmatrix}14&21&-14\\0&-49&-14\\0&168&-77\end{bmatrix}},}$

ดังนั้นเราจึงได้เมทริกซ์ที่เกือบจะเป็นรูปสามเหลี่ยมแล้ว เราแค่ต้องกำหนดค่าศูนย์ให้กับตำแหน่ง (3, 2) เท่านั้น

นำ ไมเนอร์ (1, 1) มาใช้ แล้วจึงนำกระบวนการดังกล่าวไปใช้อีกครั้งกับ

${\displaystyle A'=M_{11}={\begin{bmatrix}-49&-14\\168&-77\end{bmatrix}}.}$

โดยใช้วิธีเดียวกันกับข้างต้น เราจะได้เมทริกซ์ของการแปลงเฮาส์โฮลเดอร์

${\displaystyle Q_{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-7/25&24/25\\0&24/25&7/25\end{bmatrix}}}$

หลังจากทำการบวกโดยตรงกับ 1 เพื่อให้แน่ใจว่าขั้นตอนต่อไปในกระบวนการทำงานได้อย่างถูกต้อง

ตอนนี้เราพบว่า

${\displaystyle Q=Q_{1}^{\textsf {T}}Q_{2}^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}6/7&-69/175&58/175\\3/7&158/175&-6/175\\-2/7&6/35&33/35\end{bmatrix}}.}$

หรือปัดเศษเป็นทศนิยมสี่ตำแหน่ง

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=Q_{1}^{\textsf {T}}Q_{2}^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}0.8571&-0.3943&0.3314\\0.4286&0.9029&-0.0343\\-0.2857&0.1714&0.9429\end{bmatrix}}\\R&=Q_{2}Q_{1}A=Q^{\textsf {T}}A={\begin{bmatrix}14&21&-14\\0&175&-70\\0&0&-35\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

เมทริกซ์Qเป็นเมทริกซ์ตั้งฉาก และRเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน ดังนั้นA = QRจึงเป็นการแยกส่วน QR ที่ต้องการ

การใช้การแปลง Householder เป็นวิธีการแยกส่วน QR ที่เสถียรทางตัวเลขที่ง่ายที่สุดโดยเนื้อแท้ เนื่องจากใช้การสะท้อนเป็นกลไกในการสร้างศูนย์ใน เมทริกซ์ R อย่างไรก็ตาม อัลกอริทึมการสะท้อน Householder นั้นใช้แบนด์วิดท์สูงและยากต่อการประมวลผลแบบขนาน เนื่องจากทุกการสะท้อนที่สร้างองค์ประกอบศูนย์ใหม่จะเปลี่ยน เมทริกซ์ QและRทั้งหมด

วิธีการ Householder QR สามารถนำไปใช้แบบขนานกับอัลกอริธึม เช่น อัลกอริธึม TSQR (ซึ่งย่อมาจากTall Skinny QR ) อัลกอริธึมนี้สามารถนำไปใช้ได้ในกรณีที่เมทริกซ์Aมีm >> n [ ^{4 ] อั} ลกอริธึมนี้ใช้ต้นไม้ลดรูปไบนารีเพื่อคำนวณการแยกส่วน Householder QR ในระดับท้องถิ่นที่แต่ละโหนดในการส่งผ่านไปข้างหน้า และสร้างเมทริกซ์ Q ขึ้นใหม่ในการส่งผ่านย้อนกลับ โครงสร้าง ต้นไม้ไบนารีมีจุดมุ่งหมายเพื่อลดปริมาณการสื่อสารระหว่างโปรเซสเซอร์เพื่อเพิ่มประสิทธิภาพ

การแยกส่วน QR สามารถคำนวณได้โดยใช้การหมุนของ Givens หลายครั้ง การหมุนแต่ละครั้งจะทำให้องค์ประกอบในแนวทแยงมุมย่อยของเมทริกซ์เป็นศูนย์ ทำให้เกิด เมทริกซ์ Rขึ้น การนำการหมุนของ Givens ทั้งหมดมาต่อกันจะสร้างเมทริกซ์ ตั้งฉาก Q ขึ้น

ในทางปฏิบัติ การหมุนแบบ Givens ไม่ได้ทำโดยการสร้างเมทริกซ์ทั้งหมดแล้วทำการคูณเมทริกซ์ แต่จะใช้วิธีการหมุนแบบ Givens แทน ซึ่งทำในสิ่งที่เทียบเท่ากับการคูณเมทริกซ์ Givens แบบเบาบาง โดยไม่ต้องจัดการกับองค์ประกอบแบบเบาบางเพิ่มเติม วิธีการหมุนแบบ Givens มีประโยชน์ในสถานการณ์ที่ต้องการกำหนดค่าศูนย์ให้กับองค์ประกอบนอกแนวทแยงเพียงไม่กี่ตัว และสามารถประมวลผลแบบขนานได้ง่ายกว่าการ แปลง Householder

เรามาคำนวณการแยกส่วนประกอบของ

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}12&-51&4\\6&167&-68\\-4&24&-41\end{bmatrix}}.}$

ขั้นแรก เราต้องสร้างเมทริกซ์การหมุนที่จะทำให้องค์ประกอบซ้ายสุดล่างสุดเป็นศูนย์เรา สร้างเมทริกซ์นี้โดยใช้วิธีการหมุนของ Givens และเรียกเมทริกซ์ นี้ว่า เราจะหมุนเวกเตอร์ ให้ชี้ไปตามแกน X ก่อนเวกเตอร์นี้มีมุม เราสร้างเมทริกซ์การหมุนแบบตั้งฉากของ Givens ดังนี้ : ${\displaystyle a_{31}=-4}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}12&-4\end{bmatrix}}}$${\textstyle \theta =\arctan \left({\frac {-(-4)}{12}}\right)}$${\displaystyle G_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{1}&={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&0&-\sin(\theta )\\0&1&0\\\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmatrix}}\\&\approx {\begin{bmatrix}0.94868&0&-0.31622\\0&1&0\\0.31622&0&0.94868\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

และผลลัพธ์ในตอนนี้มีค่าเป็นศูนย์ในองค์ประกอบ นั้น${\displaystyle G_{1}A}$${\displaystyle a_{31}}$

${\displaystyle G_{1}A\approx {\begin{bmatrix}12.64911&-55.97231&16.76007\\6&167&-68\\0&6.64078&-37.6311\end{bmatrix}}}$

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถสร้างเมทริกซ์ Givens และซึ่งจะทำให้องค์ประกอบย่อยแนวทแยงมุมและเป็น ศูนย์ ทำให้เกิดเมทริกซ์สามเหลี่ยม เมทริกซ์เชิงตั้งฉากถูกสร้างขึ้นจากผลคูณของเมทริกซ์ Givens ทั้งหมดดังนั้น เราจึงมีและการแยก ส่วน QRคือ${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{3}}$${\displaystyle a_{21}}$${\displaystyle a_{32}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle Q^{\textsf {T}}}$${\displaystyle Q^{\textsf {T}}=G_{3}G_{2}G_{1}}$${\displaystyle G_{3}G_{2}G_{1}A=Q^{\textsf {T}}A=R}$${\displaystyle A=QR}$

การแยกส่วน QR โดยใช้การหมุนของ Givens เป็นวิธีที่ซับซ้อนที่สุดในการนำไปใช้ เนื่องจากลำดับของแถวที่จำเป็นต่อการใช้ประโยชน์จากอัลกอริธึมอย่างเต็มที่นั้นไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะกำหนด อย่างไรก็ตาม วิธีนี้มีข้อได้เปรียบที่สำคัญคือ องค์ประกอบศูนย์ใหม่แต่ละตัวจะส่งผลกระทบเฉพาะแถวที่มีองค์ประกอบที่จะถูกทำให้เป็นศูนย์ ( i ) และแถวด้านบน ( j ) เท่านั้น ทำให้การหมุนของ Givens มีประสิทธิภาพด้านแบนด์วิดท์และสามารถประมวลผลแบบขนานได้ดีกว่าเทคนิคการสะท้อนของ Householder ${\displaystyle a_{ij}}$

สามารถคำนวณการแยกส่วน QR ได้อย่างรวดเร็วโดยใช้อัลกอริธึมการคูณเมทริกซ์ที่^{รวดเร็ว}ในเวลา^{[ 5 ]} [ ^{6 ]}${\displaystyle O({n^{\omega }})}$${\displaystyle ~2.37\leq \omega <3}$

เราสามารถใช้การแยกตัวประกอบ QR เพื่อหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัส สมมติว่าเมทริกซ์ถูกแยกตัวประกอบเป็นแล้วเราจะได้ ${\displaystyle A=QR}$$${\displaystyle \det A=\det Q\det R.}$$

${\displaystyle Q}$สามารถเลือกได้เพื่อให้ดังนั้น ${\displaystyle \det Q=1}$$${\displaystyle \det A=\det R=\prod _{i}r_{ii}}$$

โดยที่คือค่าที่อยู่บนแนวทแยงของนอกจากนี้ เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับผลคูณของค่าไอเกน เราจึงได้ว่า ${\displaystyle r_{ii}}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle \prod _{i}r_{ii}=\prod _{i}\lambda _{i}}$$

โดยที่คือค่าลักษณะเฉพาะของ ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle A}$

เราสามารถขยายคุณสมบัติข้างต้นไปยังเมทริกซ์เชิงซ้อนที่ไม่ใช่เมทริกซ์จัตุรัสได้โดยการนำนิยามของการแยกส่วน QR สำหรับเมทริกซ์เชิงซ้อนที่ไม่ใช่เมทริกซ์จัตุรัสมาใช้ และแทนที่ค่าลักษณะเฉพาะด้วยค่าเอกฐาน ${\displaystyle A}$

เริ่มต้นด้วยการแยกตัวประกอบ QR สำหรับเมทริกซ์ Aที่ไม่ใช่เมทริกซ์จัตุรัส:

${\displaystyle A=Q{\begin{bmatrix}R\\0\end{bmatrix}},\qquad Q^{\dagger }Q=I}$

โดยที่หมายถึงเมทริกซ์ศูนย์ และคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ ${\displaystyle 0}$${\displaystyle Q}$

จากคุณสมบัติของการแยกส่วนค่าเอกลักษณ์ (SVD) และดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ เราจะได้ว่า

${\displaystyle {\Big |}\prod _{i}r_{ii}{\Big |}=\prod _{i}\sigma _{i},}$

โดยที่คือค่าเอกลักษณ์ของ${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle A}$

โปรดทราบว่าค่าเอกลักษณ์ของและนั้นเหมือนกัน แม้ว่าค่าไอเกนเชิงซ้อนของพวกมันอาจแตกต่างกันก็ตาม อย่างไรก็ตาม ถ้าAเป็นเมทริกซ์จัตุรัสแล้ว ${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\prod _{i}\sigma _{i}}={\Big |}\prod _{i}\lambda _{i}{\Big |}.}$

ดังนั้น การแยกส่วน QR จึงสามารถนำมาใช้คำนวณผลคูณของค่าลักษณะเฉพาะหรือค่าเอกลักษณ์ของเมทริกซ์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ

QR แบบหมุนแตกต่างจาก Gram-Schmidt ทั่วไปตรงที่ใช้คอลัมน์ที่เหลือที่ใหญ่ที่สุด ณ จุดเริ่มต้นของแต่ละขั้นตอนใหม่—การหมุนคอลัมน์— ^{[ 7 ]}และด้วยเหตุนี้จึงแนะนำเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนP :

${\displaystyle AP=QR\quad \iff \quad A=QRP^{\textsf {T}}}$

การสลับคอลัมน์มีประโยชน์เมื่อ เมทริกซ์ A มีอันดับต่ำกว่าเกณฑ์ (หรือเกือบต่ำกว่าเกณฑ์) หรือสงสัยว่ามีอันดับต่ำกว่าเกณฑ์ นอกจากนี้ยังสามารถปรับปรุงความแม่นยำเชิงตัวเลขได้ โดยปกติแล้วจะเลือกค่า Pเพื่อให้องค์ประกอบในแนวทแยงของเมทริกซ์Rมีค่าไม่เพิ่มขึ้น: ซึ่งสามารถใช้เพื่อหาอันดับ (เชิงตัวเลข) ของเมทริกซ์Aได้ด้วยต้นทุนการคำนวณที่ต่ำกว่าการแยกส่วน ค่าเอกลักษณ์ (singular value decomposition ) ซึ่งเป็นพื้นฐานของอัลกอริทึม QR ที่เรียกว่าอัลกอริทึมการเปิดเผยอันดับ (rank-revealing QR algorithms ) ${\displaystyle \left|r_{11}\right|\geq \left|r_{22}\right|\geq \cdots \geq \left|r_{nn}\right|}$

เมื่อเปรียบเทียบกับเมทริกซ์ผกผันโดยตรง โซลูชันผกผันที่ใช้การแยกส่วน QR มีเสถียรภาพเชิงตัวเลขมากกว่า ดังที่เห็นได้จาก^ค่าสภาพ ที่ลดลง [ ^{8 ]}

เพื่อแก้ปัญหาเชิงเส้น ที่ไม่สมบูรณ์ ( underdetermined )${\displaystyle m<n}$โดยที่เมทริกซ์มีมิติและอันดับขั้นแรกให้หาการแยกตัวประกอบ QR ของเมทริกซ์ทรานสโพสของ: โดยที่Qเป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก (เช่น)และRมีรูปแบบพิเศษ: โดยที่เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมมุมฉากจัตุรัส และเมทริกซ์ศูนย์มีมิติหลังจากทำพีชคณิตแล้ว สามารถแสดงได้ว่าคำตอบของปัญหาผกผันสามารถแสดงได้ดังนี้: โดยที่สามารถหาได้โดยการกำจัดแบบเกาส์เซียนหรือคำนวณโดยตรงโดยการแทนค่าไปข้างหน้าเทคนิคหลังนี้มีความแม่นยำเชิงตัวเลขมากกว่าและใช้การคำนวณน้อยกว่า ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\textsf {T}}=QR}$${\displaystyle Q^{\textsf {T}}=Q^{-1}}$${\displaystyle R=\left[{\begin{smallmatrix}R_{1}\\0\end{smallmatrix}}\right]}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle m\times m}$${\displaystyle (n-m)\times m}$${\displaystyle \mathbf {x} =Q\left[{\begin{smallmatrix}\left(R_{1}^{\textsf {T}}\right)^{-1}\mathbf {b} \\0\end{smallmatrix}}\right]}$${\displaystyle R_{1}^{-1}}$${\displaystyle \left(R_{1}^{\textsf {T}}\right)^{-1}\mathbf {b} }$

เพื่อหาคำตอบของปัญหา ที่มีตัวแปรเกิน ( overdetermined problem )ซึ่งทำให้ค่าบรรทัดฐานต่ำสุดก่อนอื่นให้หาการแยกตัวประกอบ QR ของ:คำตอบสามารถแสดงได้เป็น โดยที่คือเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์แรกของฐานออร์โทนอร์มอลทั้งหมดและ โดยที่ก็เหมือนเดิม เทียบเท่ากับกรณีที่มีตัวแปรน้อยกว่า (underdetermined case) สามารถใช้การแทน ค่าแบบย้อนกลับ ( back substitution) เพื่อหาคำตอบนี้ได้อย่างรวดเร็วและแม่นยำ โดยไม่ต้องทำการผกผันอย่างชัดเจน(และมักจะมีให้ในไลบรารีเชิงตัวเลขเป็นการแยกตัวประกอบ QR ที่ "ประหยัด") ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$${\displaystyle m\geq n}$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$${\displaystyle \left\|A{\hat {\mathbf {x} }}-\mathbf {b} \right\|}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A=QR}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=R_{1}^{-1}\left(Q_{1}^{\textsf {T}}\mathbf {b} \right)}$${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle R_{1}}$

การแยกส่วนแบบ Iwasawaเป็นการขยายการแยกส่วนแบบ QR ไปสู่กลุ่ม Lie กึ่งง่าย

• การสลายตัวแบบโพลาร์
• การแยกองค์ประกอบค่าลักษณะเฉพาะ (การแยกองค์ประกอบสเปกตรัม)
• การแยกส่วนประกอบ LU
• การแยกส่วนค่าเอกลักษณ์

• Golub, Gene H. ; Van Loan, Charles F. (1996), การคำนวณเมทริกซ์ (ฉบับที่ 3), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9.
• ฮอร์น, โรเจอร์ เอ. ; จอห์นสัน, ชาร์ลส์ อาร์. (1985), การวิเคราะห์เมทริกซ์ , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ส่วนที่ 2.8, ISBN 0-521-38632-2
• Press, William H. ; Teukolsky, Saul A. ; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), "ส่วนที่ 2.10 การแยกส่วน QR" , สูตรเชิงตัวเลข : ศิลปะแห่งการคำนวณทางวิทยาศาสตร์ (ฉบับที่ 3), นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 978-0-521-88068-8

• เครื่องคำนวณเมทริกซ์ออนไลน์ทำการแยกตัวประกอบ QR ของเมทริกซ์
• คู่มือผู้ใช้ LAPACKให้รายละเอียดเกี่ยวกับซับรูทีนในการคำนวณการแยกส่วน QR
• คู่มือผู้ใช้ Mathematicaให้รายละเอียดและตัวอย่างของรูทีนในการคำนวณการแยกตัวประกอบ QR
• ALGLIBประกอบด้วยการพอร์ตบางส่วนของ LAPACK ไปยัง C++, C#, Delphi และอื่นๆ
• Eigen::QRประกอบด้วยการใช้งานการแยกส่วนประกอบ QR ด้วยภาษา C++