ในทางคณิตศาสตร์การทำให้เป็นกลุ่มเชิงซ้อนหรือการทำให้เป็นกลุ่มเชิงซ้อนแบบสากลของกลุ่มลีจริงนั้นกำหนดโดยโฮโมมอร์ฟิซึมต่อเนื่องจากกลุ่มไปยังกลุ่มลีเชิงซ้อนที่มีคุณสมบัติสากลว่า โฮโมมอร์ฟิซึมต่อเนื่องทุกตัวจากกลุ่มเดิมไปยังกลุ่มลีเชิงซ้อนอื่น จะขยายได้เข้ากันได้ไปยัง โฮโมมอร์ฟิซึม เชิงวิเคราะห์เชิงซ้อนระหว่างกลุ่มลีเชิงซ้อนเหล่านั้น การทำให้เป็นกลุ่มเชิงซ้อนซึ่งมีอยู่เสมอ จะมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว พีชคณิตลีของมันเป็นผลหารของการ ทำให้เป็นกลุ่ม เชิงซ้อนของพีชคณิตลีของกลุ่มเดิม พวกมันเป็นไอโซมอร์ฟิกกันหากกลุ่มเดิมมีผลหารโดยกลุ่มย่อยปกติ แบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งเป็นเชิงเส้น

สำหรับกลุ่ม Lie ขนาดกะทัดรัดการทำให้เป็นกลุ่มเชิงซ้อน ซึ่งบางครั้งเรียกว่าการทำให้เป็นกลุ่มเชิงซ้อนแบบ Chevalleyตามชื่อของClaude Chevalleyสามารถนิยามได้ว่าเป็นกลุ่มของอักขระเชิงซ้อนของพีชคณิต Hopfของฟังก์ชันตัวแทน กล่าวคือสัมประสิทธิ์เมทริกซ์ ของ การแทน แบบมิติ จำกัดของกลุ่ม ในการแทนแบบเอกภาพที่ซื่อสัตย์แบบมิติจำกัด ใดๆ ของกลุ่มขนาดกะทัดรัด สามารถทำให้เป็นรูปธรรมได้ในฐานะกลุ่มย่อยปิดของ กลุ่มเชิงเส้นทั่วไป เชิงซ้อน ประกอบด้วยตัวดำเนินการที่มีการแยกส่วนเชิงขั้วg = u • exp iXโดยที่uเป็นตัวดำเนินการเอกภาพในกลุ่มขนาดกะทัดรัด และXเป็นตัวดำเนินการผกผันในพีชคณิต Lie ของกลุ่ม ในกรณีนี้ การทำให้เป็นกลุ่มเชิงซ้อนเป็นกลุ่มพีชคณิตเชิงซ้อนและพีชคณิต Lie ของมันคือการทำให้เป็นกลุ่มเชิงซ้อนของพีชคณิต Lie ของกลุ่ม Lie ขนาดกะทัดรัด

ถ้าGเป็นกลุ่มลี (Lie group) การทำให้เป็นกลุ่มเชิงซ้อนแบบสากล (universal complexification)จะกำหนดโดยกลุ่มลีเชิงซ้อนG _Cและโฮโมมอร์ฟิซึมต่อเนื่องφ : G → G _Cที่มีคุณสมบัติสากลว่า ถ้าf : G → H เป็นโฮโม มอ ร์ฟิซึมต่อเนื่องใดๆ ไปยังกลุ่มลีเชิงซ้อนHแล้วจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงวิเคราะห์เชิงซ้อนF : G _C → H ที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว โดยที่f = F ∘ φ

การทำให้ซับซ้อนแบบสากลนั้นมีอยู่เสมอและมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมเชิงวิเคราะห์ที่ซับซ้อนเพียงหนึ่งเดียว (โดยยังคงรักษาการรวมกลุ่มดั้งเดิมไว้)

ถ้าGเชื่อมต่อกับพีชคณิตลี𝖌แล้วกลุ่มปกคลุมสากลG ของมัน จะเชื่อมต่ออย่างง่าย ให้G _Cเป็นกลุ่มลีเชิงซ้อนที่เชื่อมต่ออย่างง่ายที่มีพีชคณิตลี𝖌 _C = 𝖌 ⊗ Cให้Φ: G → G _Cเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมธรรมชาติ (มอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันซึ่งΦ _* : 𝖌 ↪ 𝖌 ⊗ Cเป็นการรวมแบบแคนอนิก) และสมมติว่าπ : G → Gเป็นแผนที่ปกคลุมสากล ดังนั้นker πคือกลุ่มพื้นฐานของGเรามีการรวมΦ(ker π ) ⊂ Z( G _C )ซึ่งเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเคอร์เนลของการแสดงแทนแบบผกผันของG _Cเท่ากับศูนย์กลางของมัน รวมกับความเท่าเทียมกัน

${\displaystyle (C_{\Phi (k)})_{*}\circ \Phi _{*}=\Phi _{*}\circ (C_{k})_{*}=\Phi _{*}}$

ซึ่งใช้ได้กับk ∈ ker π ใดๆ โดยกำหนดให้Φ(ker π ) ^*เป็นกลุ่มย่อย Lie ปกติแบบปิดที่เล็กที่สุดของG _Cที่มีΦ(ker π ) อยู่ ภายใน เราจึงต้องมีการรวมΦ(ker π ) ^* ⊂ Z( G _C )ด้วย เรากำหนดการสร้างคอมเพล็กซ์แบบสากลของGดังนี้

${\displaystyle G_{\mathbf {C} }={\frac {\mathbf {G} _{\mathbf {C} }}{\Phi (\ker \pi )^{*}}}.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าGเชื่อมต่อกันอย่างง่าย ความซับซ้อนสากลของมันก็คือG C _{เท่านั้น}^{[ 1 ]}

แผนที่φ : G → G _Cได้มาจากการแปลงเป็นฟังก์ชันผลหาร เนื่องจากπเป็นฟังก์ชันส่งผ่านทั่วถึง ความเรียบของแผนที่π _C ∘ Φจึงหมายถึงความเรียบของφด้วย

สำหรับกลุ่ม Lie ที่ไม่เชื่อมต่อกันGที่มีส่วนประกอบเอกลักษณ์Go และ ^{กลุ่ม}ส่วนประกอบΓ = G / Go ^ส่วนขยาย

${\displaystyle \{1\}\rightarrow G^{o}\rightarrow G\rightarrow \Gamma \rightarrow \{1\}}$

กระตุ้นให้เกิดการขยายตัว

${\displaystyle \{1\}\rightarrow (G^{o})_{\mathbf {C} }\rightarrow G_{\mathbf {C} }\rightarrow \Gamma \rightarrow \{1\}}$

และกลุ่ม Lie ที่ซับซ้อน^G C _{เป็นการ}ทำให้ซับซ้อนของG [ ^{2 ]}

แผนที่φ : G → G _Cมีคุณสมบัติสากลซึ่งปรากฏในคำจำกัดความของการสร้างจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น การพิสูจน์ข้อความนี้เป็นไปตามธรรมชาติจากการพิจารณาแผนภาพที่แสดงให้เห็นต่อไปนี้

ในที่นี้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมเรียบใดๆ ของกลุ่มลี โดยมีกลุ่มลีเชิงซ้อนเป็นโคโดเมน ${\displaystyle f\colon G\rightarrow H}$

คุณสมบัติสากลบ่งชี้ว่า การทำให้เป็นเชิงซ้อนแบบสากลนั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมเชิงวิเคราะห์เชิงซ้อน

ถ้ากลุ่มดั้งเดิมเป็นเชิงเส้น การทำให้ซับซ้อนแบบสากลก็จะเป็นเชิงเส้นเช่นกัน และโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างทั้งสองจะเป็นการรวม^{[ 3 ]} Onishchik & Vinberg (1994)ยกตัวอย่างกลุ่ม Lie จริงที่เชื่อมต่อกันซึ่งโฮโมมอร์ฟิซึมไม่เป็นแบบฉีดแม้ในระดับพีชคณิต Lie: พวกเขานำผลคูณของTโดยกลุ่มปกคลุมสากลของSL(2, R )และผลหารออกโดยกลุ่มย่อยวัฏจักรแบบไม่ต่อเนื่องที่สร้างขึ้นโดยการหมุนที่ไม่เป็นเหตุเป็นผลในปัจจัยแรกและตัวสร้างศูนย์กลางในปัจจัยที่สอง

ไอโซมอร์ฟิซึมต่อไปนี้ของการสร้างเชิงซ้อนของกลุ่มลีกับกลุ่มลีที่ทราบแล้ว สามารถสร้างได้โดยตรงจากการสร้างเชิงซ้อนทั่วไป

• การทำให้ซับซ้อนขึ้นของกลุ่มเอกภาพพิเศษของเมทริกซ์ 2x2 คือ

${\displaystyle \mathrm {SU} (2)_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$.

สิ่งนี้เป็นผลมาจากการสมมาตรของพีชคณิตลี

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$,

ควบคู่ไปกับข้อเท็จจริงที่ว่ามันเชื่อมโยงกันอย่างง่ายๆ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$

• การทำให้ซับซ้อนขึ้นของกลุ่มเชิงเส้นพิเศษของเมทริกซ์ 2x2 คือ

${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$.

สิ่งนี้เป็นผลมาจากการสมมาตรของพีชคณิตลี

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$,

ควบคู่ไปกับข้อเท็จจริงที่ว่ามันเชื่อมโยงกันอย่างง่ายๆ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$

• การทำให้กลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษของเมทริกซ์ 3x3 มีความซับซ้อนมากขึ้นคือ

${\displaystyle \mathrm {SO} (3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}\cong \mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$,

โดยที่ หมายถึง กลุ่มลอเรนซ์ออร์โธโครนัสที่เหมาะสมซึ่งเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าคือการปกคลุมสากล (สองชั้น) ของดังนั้น: ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$.

เรายังใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นฝาครอบสากล (สองชั้น) ของ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$

• ความซับซ้อนของกลุ่ม Lorentz ออร์โธโครนัสที่เหมาะสมคือ

${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(1,3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}}$.

สิ่งนี้เป็นผลมาจากการสมมาตรของพีชคณิตลีแบบเดียวกันกับในตัวอย่างที่สอง โดยใช้การปกคลุมสากล (คู่) ของกลุ่มลอเรนซ์ออร์โธโครนัสที่เหมาะสมอีกครั้ง

• การทำให้กลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษของเมทริกซ์ 4x4 มีความซับซ้อนมากขึ้นคือ

${\displaystyle \mathrm {SO} (4)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}}$.

สิ่งนี้เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าคือการปกคลุมสากล (สองชั้น) ของดังนั้นและด้วยเหตุนี้${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {SU} (2)}$${\displaystyle \mathrm {SO} (4)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$

ตัวอย่างสองข้อสุดท้ายแสดงให้เห็นว่ากลุ่ม Lie ที่มีการสร้างคอมเพล็กซ์แบบไอโซมอร์ฟิกอาจไม่ไอโซมอร์ฟิกกัน นอกจากนี้ การสร้างคอมเพล็กซ์ของกลุ่ม Lie และแสดงให้เห็นว่าการสร้างคอมเพล็กซ์ไม่ใช่การดำเนินการแบบเอกลักษณ์(ซึ่งแสดงให้เห็นได้จากการสร้างคอมเพล็กซ์ของและ เช่นกัน ) ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$${\displaystyle (G_{\mathbf {C} })_{\mathbf {C} }\not \cong G_{\mathbf {C} }}$${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$

ถ้าGเป็นกลุ่ม Lie กระชับ *-พีชคณิตAของสัมประสิทธิ์เมทริกซ์ของการแสดงแทนเอกภาพมิติจำกัดจะเป็น *-พีชคณิตย่อยที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอของC ( G )ซึ่งเป็น *-พีชคณิตของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าเชิงซ้อนบนGโดยธรรมชาติแล้วมันคือพีชคณิต Hopfที่มีการคูณร่วมที่กำหนดโดย

${\displaystyle \displaystyle {\Delta f(g,h)=f(gh).}}$

อักขระของAคือ *-โฮโมมอร์ฟิซึมของAไปยังCพวกมันสามารถระบุได้ด้วยการประเมินจุดf ↦ f ( g )สำหรับgในGและการคูณร่วมช่วยให้สามารถกู้คืนโครงสร้างกลุ่มบนGได้ โฮโมมอร์ฟิซึมของAไปยังCยังก่อตัวเป็นกลุ่มอีกด้วย มันเป็นกลุ่ม Lie ที่ซับซ้อนและสามารถระบุได้ด้วยการทำให้ซับซ้อนG _CของGพีชคณิต *-A ถูกสร้างขึ้นโดยสัมประสิทธิ์เมทริกซ์ของการแสดงแทนที่ถูกต้องσ ใดๆ ของGซึ่งส่งผลให้σกำหนดการแสดงแทนเชิงวิเคราะห์ที่ซับซ้อนที่ถูกต้อง^ของ G _C [ ^{4 ]}

แนวทางดั้งเดิมของChevalley (1946)ในการทำให้กลุ่ม Lie กระชับกลายเป็นกลุ่มเชิงซ้อน สามารถกล่าวได้อย่างกระชับด้วยภาษาของทฤษฎีตัวแปร คงที่แบบคลาสสิก ซึ่งอธิบายไว้ในWeyl (1946)ให้Gเป็นกลุ่มย่อยปิดของกลุ่มเอกภาพU ( V )โดยที่Vเป็นปริภูมิผลคูณภายในเชิงซ้อนที่มีมิติจำกัด พีชคณิต Lie ของ G ประกอบด้วยตัวดำเนินการผกผันแบบเฉียงทั้งหมดXซึ่งexp tXอยู่ในGสำหรับจำนวนจริงt ทั้งหมด กำหนดให้W = V ⊕ Cโดยมีการกระทำแบบไม่สำคัญของGบนพจน์ที่สอง กลุ่มGกระทำบนW ^{⊗ N}โดยมีองค์ประกอบuกระทำในฐานะu ^{⊗ N}คอมมิวแทนต์ (หรือพีชคณิตศูนย์กลาง) ถูกกำหนดโดยA _N = End _G W ^{⊗ N} มันถูก สร้างขึ้นเป็นพีชคณิต * โดยตัวดำเนินการเอกภาพ และคอมมิวแทนต์ของมันคือพีชคณิต * ที่สร้างขึ้นโดยตัวดำเนินการu ^{⊗ N}การทำให้ซับซ้อนG _CของGประกอบด้วยตัวดำเนินการg ทั้งหมด ในGL( V )โดยที่g ^{⊗ N}สลับที่ได้กับA _Nและgกระทำอย่างไม่สำคัญต่อพจน์ที่สองในCตามคำนิยาม มันเป็นกลุ่มย่อยปิดของGL( V )ความสัมพันธ์ที่กำหนด (ในฐานะตัวสลับ) แสดงให้เห็นว่าGเป็นกลุ่มย่อยพีชคณิต จุดตัดของมันกับU ( V )ตรงกับG เนื่องจาก โดยหลักการแล้วมันเป็นกลุ่มกระชับที่ใหญ่กว่า ซึ่งการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ยังคงลดทอนไม่ได้และไม่เท่ากันเมื่อจำกัดอยู่ในGเนื่องจากA _Nถูกสร้างขึ้นโดยตัวดำเนินการเอกภาพ ตัวดำเนินการผกผันgอยู่ในG _Cถ้าตัวดำเนินการเอกภาพuและตัวดำเนินการบวกpในการแยกส่วนเชิงขั้วg = u ⋅ pต่างก็อยู่ในG _Cดังนั้นuจึงอยู่ในGและตัวดำเนินการpสามารถเขียนได้อย่างเฉพาะเจาะจงเป็นp = exp Tโดยที่T เป็น ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองโดยแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันสำหรับฟังก์ชันพหุนาม จะได้ว่าh ^{⊗ N}อยู่ในคอมมิวแทนต์ของA _Nถ้าh = exp z Tโดยที่zอยู่ในCโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อพิจารณาz เป็นจำนวน จินตนาการล้วนๆTจะต้องมีรูปแบบiXโดยที่X อยู่ ในพีชคณิตลีของGเนื่องจากการแสดงแทนมิติจำกัดทุกแบบของGเกิดขึ้นเป็นผลรวมโดยตรงของW ^{⊗ N}จึงไม่เปลี่ยนแปลงโดยG _Cและดังนั้นการแสดงแทนมิติจำกัดทุกแบบของGจึงขยายไปยังG _C ได้อย่างเฉพาะ เจาะจง การขยายนี้เข้ากันได้กับการแยกส่วนเชิงขั้ว สุดท้าย การแยกส่วนเชิงขั้วบ่งชี้ว่าGเป็นกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดของG _Cเนื่องจากกลุ่มย่อยกระชับที่ใหญ่กว่าอย่างเคร่งครัดจะประกอบด้วยกำลังจำนวนเต็มทั้งหมดของตัวดำเนินการบวกpซึ่งเป็นกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องอนันต์แบบปิด^{[ 5 ]}

การสลายตัวที่ได้มาจากการสลายตัวแบบโพลาร์

${\displaystyle \displaystyle {G_{\mathbf {C} }=G\cdot P=G\cdot \exp i{\mathfrak {g}},}}$

โดยที่𝖌คือพีชคณิตลีของGเรียกว่าการแยกส่วนคาร์ตันของG _Cตัวประกอบเลขชี้กำลังPไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การผันโดยGแต่ไม่ใช่กลุ่มย่อย การทำให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การใช้ตัวผกผัน เนื่องจากGประกอบด้วยตัวดำเนินการเอกภาพ และPประกอบด้วยตัวดำเนินการบวก

การแยกตัวประกอบแบบเกาส์เป็นการวางนัยทั่วไปของการแยกตัวประกอบแบบ LUสำหรับกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป และเป็นการเฉพาะของการแยกตัวประกอบแบบบรูฮัตสำหรับGL( V )นั้นระบุว่า เมื่อเทียบกับฐานเชิงตั้งฉากe₁ _, ..., eₙ ที่_{กำหนดให้}สมาชิกgของGL( V )สามารถแยกตัวประกอบได้ในรูปแบบ

${\displaystyle \displaystyle {g=XDY}}$

โดยที่X เป็น เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างYเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน และDเป็นเมทริกซ์ทแยงมุม ก็ต่อเมื่อไมเนอร์หลัก ทั้งหมด ของgไม่เป็นศูนย์ ในกรณีนี้X , YและDจะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน

ในความเป็นจริง การกำจัดแบบเกาส์เซียนแสดงให้เห็นว่ามีX ที่ไม่ซ้ำกันเพียงตัวเดียว ที่ทำให้X ⁻¹ gเป็นสามเหลี่ยมบน^{[ 6 ]}

เมทริกซ์สามเหลี่ยมเอกบนและล่างN ₊และN ₋เป็นกลุ่มย่อยแบบปิดที่มีศักยภาพเดียวของ GL( V ) พีชคณิตลีของพวกมันประกอบด้วยเมทริกซ์สามเหลี่ยมที่เข้มงวดบนและล่าง การแมปแบบเอกซ์โพเนนเชียลเป็นการแมปพหุนามจากพีชคณิตลีไปยังกลุ่มย่อยที่สอดคล้องกันโดยศักยภาพศูนย์ ส่วนกลับกำหนดโดยการแมปแบบลอการิทึมซึ่งโดยศักยภาพเดียวก็เป็นการแมปพหุนามเช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีความสอดคล้องกันระหว่างกลุ่มย่อยที่เชื่อมต่อแบบปิดของN _±และพีชคณิตย่อยของพีชคณิตลีของพวกมัน การแมปแบบเอกซ์โพเนนเชียลเป็นแบบทั่วถึงในแต่ละกรณี เนื่องจากฟังก์ชันพหุนาม log ( e ^A e ^B )อยู่ในพีชคณิตย่อยลีที่กำหนด ถ้าAและBอยู่ในนั้นและมีขนาดเล็กพอ^{[ 7 ]}

การแยกส่วนแบบเกาส์สามารถขยายไปสู่การสร้างความซับซ้อนของกลุ่มย่อยที่เชื่อมต่อแบบปิดอื่นๆGของU( V )โดยใช้การแยกส่วนรากเพื่อเขียนพีชคณิตลีที่ซับซ้อนเป็น^{[ 8 ]}

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }={\mathfrak {n}}_{-}\oplus {\mathfrak {t}}_{\mathbf {C} }\oplus {\mathfrak {n}}_{+},}}$

โดยที่𝖙คือพีชคณิตลีของทอรัสสูงสุดTของGและ𝖓 _±คือผลรวมโดยตรงของปริภูมิรากบวกและลบที่สอดคล้องกัน ในการแยกส่วนปริภูมิน้ำหนักของVเป็นปริภูมิไอเกนของTนั้น 𝖙ทำหน้าที่เป็นตัวดำเนินการแนวทแยง𝖓 ₊ทำหน้าที่เป็นตัวดำเนินการลดระดับ และ𝖓 ₋ ทำ หน้าที่เป็นตัวดำเนินการเพิ่มระดับ𝖓 _±คือพีชคณิตลีแบบนิลโพเทนต์ที่ทำหน้าที่เป็นตัวดำเนินการนิลโพเทนต์ พวกมันเป็นตัวผกผันซึ่งกันและกันบนVโดยเฉพาะอย่างยิ่งTทำหน้าที่โดยการผันแปรของ𝖓 ₊ดังนั้น𝖙 _C ⊕ 𝖓 ₊จึงเป็นผลคูณกึ่งโดยตรงของพีชคณิตลีแบบนิลโพเทนต์กับพีชคณิตลีแบบอาเบเลียน

ตามทฤษฎีบทของเองเกลถ้า𝖆 ⊕ 𝖓เป็นผลคูณกึ่งตรง โดยที่𝖆 เป็นกลุ่ม อาเบเลียนและ𝖓เป็นกลุ่มนิลโพเทนต์ กระทำบนปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดWโดยที่ตัวดำเนินการใน𝖆 สามารถทำให้ เป็นแนวทแยงได้ และตัวดำเนินการใน𝖓เป็นกลุ่มนิลโพเทนต์ จะมีเวกเตอร์wที่เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสำหรับ𝖆และถูกทำลายโดย𝖓อันที่จริงแล้ว เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่ามีเวกเตอร์ที่ถูกทำลายโดย𝖓ซึ่งได้มาจากการอุปมานบนมิติ 𝖓เนื่องจากพีชคณิตอนุพันธ์𝖓'ทำลายปริภูมิย่อยของเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่ง𝖓 / 𝖓'และ𝖆กระทำด้วยสมมติฐานเดียวกัน

การนำข้อโต้แย้งนี้ไปใช้ซ้ำๆ กับ𝖙 _C ⊕ 𝖓 ₊แสดงให้เห็นว่ามีฐานเชิงตั้งฉากปกติe ₁ , ..., e _n ของVซึ่งประกอบด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ𝖙 _Cโดยที่𝖓 ₊ทำหน้าที่เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนที่มีศูนย์บนแนวทแยง

ถ้าN _±และT _Cเป็นกลุ่ม Lie เชิงซ้อนที่สอดคล้องกับ𝖓 ₊และ𝖙 _Cแล้วการแยกส่วนแบบเกาส์ระบุว่าเซตย่อย

${\displaystyle \displaystyle {N_{-}T_{\mathbf {C} }N_{+}}}$

เป็นผลคูณโดยตรงและประกอบด้วยองค์ประกอบในG _Cซึ่งไมเนอร์หลักไม่เป็นศูนย์ เป็นเซตเปิดและหนาแน่น ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าTแทนทอรัสสูงสุดในU ( V )

${\displaystyle \displaystyle {N_{\pm }=\mathbf {N} _{\pm }\cap G_{\mathbf {C} },\,\,\,T_{\mathbf {C} }=\mathbf {T} _{\mathbf {C} }\cap G_{\mathbf {C} }.}}$

ผลลัพธ์เหล่านี้เป็นผลโดยตรงจากผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันสำหรับGL ( V ) ^{[ 9 ]}

ถ้าW = N _G ( T ) / Tแทนกลุ่ม WeylของTและBแทนกลุ่มย่อย Borel T _C N ₊การแยกส่วนแบบ Gauss ก็เป็นผลลัพธ์ของการแยกส่วนแบบ Bruhat ที่แม่นยำกว่าเช่นกัน

${\displaystyle \displaystyle {G_{\mathbf {C} }=\bigcup _{\sigma \in W}B\sigma B,}}$

แยกG _Cออกเป็นผลรวมที่ไม่ทับซ้อนกันของโคเซตคู่ของBมิติเชิงซ้อนของโคเซตคู่BσBถูกกำหนดโดยความยาวของσในฐานะองค์ประกอบของWมิติจะมีค่าสูงสุดที่องค์ประกอบ Coxeterและให้โคเซตคู่แบบเปิดหนาแน่นที่ไม่ซ้ำกัน ส่วนผกผันของโคเซตคู่นี้จะจับคู่Bเข้ากับกลุ่มย่อย Borel ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างในG _C ^{[ 10 ]}

การแยกส่วน Bruhat นั้นพิสูจน์ได้ง่ายสำหรับSL( n , C ) [ ^{11 ]}ให้Bเป็นกลุ่มย่อย Borel ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน และ^T C _เป็นกลุ่มย่อยของเมทริกซ์แนวทแยง ดังนั้นN( T _C ) / T _C = S _nสำหรับgในSL( n , C )ให้เลือกbในBเพื่อให้bgมีจำนวนศูนย์ที่ปรากฏที่จุดเริ่มต้นของแถวมากที่สุด เนื่องจากผลคูณของแถวหนึ่งสามารถบวกกับอีกแถวหนึ่งได้ ดังนั้นแต่ละแถวจึงมีจำนวนศูนย์ที่แตกต่างกัน การคูณด้วยเมทริกซ์wในN( T _C )จะได้ว่าwbgอยู่ในBสำหรับความไม่ซ้ำกัน ถ้าw ₁ b w ₂ = b ₀แล้วรายการของw ₁ w ₂จะหายไปใต้แนวทแยง ดังนั้นผลคูณจึงอยู่ในT _Cซึ่งพิสูจน์ความไม่ซ้ำกัน

เชอวัลเลย์ (1955)แสดงให้เห็นว่าการแสดงออกขององค์ประกอบgในรูปg = b ₁ σb ₂จะมีเพียงหนึ่งเดียว หากb ₁ถูกจำกัดให้อยู่ในกลุ่มย่อยสามเหลี่ยมเอกภาคบนN _σ = N ₊ ∩ σ N ₋ σ ⁻¹ในความเป็นจริง หากM _σ = N ₊ ∩ σ N ₊ σ ⁻¹สิ่งนี้จะสืบเนื่องมาจากเอกลักษณ์

${\displaystyle \displaystyle {N_{+}=N_{\sigma }\cdot M_{\sigma }.}}$

กลุ่มN ₊มีการกรองตามธรรมชาติโดยกลุ่มย่อยปกติN ₊ ( k )ที่มีศูนย์ในซูเปอร์ไดอะโกนัลk − 1 แรก และผลหารที่ต่อเนื่องกันเป็นแบบอาเบเลียน กำหนดให้ N _σ ( k )และM _σ ( k )เป็นจุดตัดกับN ₊ ( k )จะได้จากการเหนี่ยวนำแบบลดลงบนkว่าN ₊ ( k ) = N _σ ( k ) ⋅ M _σ ( k )อันที่จริงN _σ ( k ) N ₊ ( k + 1)และM _σ ( k ) N ₊ ( k + 1)ถูกกำหนดในN ₊ ( k )โดยการหายไปของรายการเสริม( i , j )บน ซูเปอร์ไดอะโกนัลที่ kตามว่าσรักษาลำดับi < jหรือไม่^{[ 12 ]}

การแยกส่วน Bruhat สำหรับกลุ่มง่ายคลาสสิกอื่นๆ สามารถอนุมานได้จากการแยกส่วนข้างต้นโดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าพวกมันเป็นกลุ่มย่อยจุดคงที่ของออโตมอร์ฟิซึมการพับของSL( n , C ) ^{[ 13 ]}สำหรับSp( n , C )ให้Jเป็น เมทริก ซ์n × nที่มี1บนแนวทแยงมุมตรงข้ามและ0ที่อื่น และกำหนด

${\displaystyle \displaystyle {A={\begin{pmatrix}0&J\\-J&0\end{pmatrix}}.}}$

จากนั้นSp( n , C )คือกลุ่มย่อยจุดตรึงของการผกผันθ ( g ) = A ( g ^t ) ⁻¹ A ⁻¹ของ SL(2 n , C )มันทำให้กลุ่มย่อยN _± , T _CและBไม่เปลี่ยนแปลง ถ้าองค์ประกอบพื้นฐานถูกกำหนดดัชนีโดยn , n −1, ..., 1, −1, ..., − nแล้ว กลุ่ม Weyl ของSp( n , C )ประกอบด้วยσที่สอดคล้อง กับ σ ( j ) = − jกล่าวคือ สลับที่ได้กับθอนาล็อกของB , T _CและN _±ถูกกำหนดโดยการตัดกับSp( n , C ) กล่าวคือ เป็น จุดตรึงของθความเป็นเอกลักษณ์ของการแยกส่วนg = nσb = θ ( n ) θ ( σ ) θ ( b ) บ่ง ชี้ ถึงการแยกส่วน Bruhat สำหรับSp( n , C )

เหตุผลเดียวกันนี้ใช้ได้กับSO( n , C )เช่นกัน สามารถทำให้เป็นจริงได้ในรูปของจุดตรึงของψ ( g ) = B ( g ^t ) ⁻¹ B ⁻¹ในSL( n , C )โดย ที่B = J

การสลายตัวของ อิวาซาวะ

${\displaystyle \displaystyle {G_{\mathbf {C} }=G\cdot A\cdot N}}$

ให้การแยกส่วนสำหรับG _Cซึ่งแตกต่างจากการแยกส่วนของคาร์ตันตรงที่ปัจจัยโดยตรงA ⋅ Nเป็นกลุ่มย่อยปิด แต่จะไม่คงที่ภายใต้การผันโดยGอีก ต่อไป มันคือผลคูณกึ่งโดยตรงของกลุ่มย่อยนิลโพเทนต์Nโดยกลุ่มย่อยอาเบเลียนA

สำหรับU( V )และความซับซ้อนGL( V )การแยกส่วนนี้สามารถหาได้จากการกำหนดใหม่ของ กระบวนการตั้งฉากปกติ ของGram–Schmidt ^{[ 14 ]}

ในความเป็นจริง ให้e ₁ , ..., e _nเป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของVและให้gเป็นสมาชิกในGL( V )เมื่อใช้กระบวนการ Gram–Schmidt กับge ₁ , ..., ge _nจะได้ฐานเชิงตั้งฉากปกติf ₁ , ..., f _nที่ไม่ซ้ำกัน และค่าคงที่บวกa _iที่ทำให้

${\displaystyle \displaystyle {f_{i}=a_{i}ge_{i}+\sum _{j<i}n_{ji}ge_{j}.}}$

ถ้าkเป็นเอกภาพที่นำ( e _i )ไปยัง( f _i )แสดงว่าg ⁻¹ kอยู่ในกลุ่มย่อยANโดยที่Aเป็นกลุ่มย่อยของเมทริกซ์แนวทแยงบวกเมื่อเทียบกับ ( e _i )และNเป็นกลุ่มย่อยของเมทริกซ์สามเหลี่ยมเอกภาพ บน ^{[ 15 ]}

โดยใช้สัญลักษณ์สำหรับการแยกส่วนแบบเกาส์ กลุ่มย่อยในการแยกส่วนแบบอิวาซาวะสำหรับG _Cจะถูกกำหนดโดย ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \displaystyle {A=\exp i{\mathfrak {t}}=\mathbf {A} \cap G_{\mathbf {C} },\,\,\,N=\exp {\mathfrak {n}}_{+}=\mathbf {N} \cap G_{\mathbf {C} }.}}$

เนื่องจากการแยกส่วนเป็นแบบตรงสำหรับGL( V )จึงเพียงพอที่จะตรวจสอบว่าG _C = GANจากคุณสมบัติของการแยกส่วน Iwasawa สำหรับGL( V )แผนที่G × A × Nเป็นดิฟเฟโอโมฟิซึมไปยังภาพในG _Cซึ่งเป็นแบบปิด ในทางกลับกัน มิติของภาพเท่ากับมิติของG _Cดังนั้นจึงเป็นแบบเปิดเช่นกัน ดังนั้นG _C = GANเพราะG _Cเป็นแบบเชื่อมต่อ^{[ 17 ]}

Zhelobenko (1973)เสนอวิธีการคำนวณองค์ประกอบในการแยกส่วนอย่างชัดเจน^{[ 18 ]}สำหรับgในG _Cกำหนดh = g * gนี่คือตัวดำเนินการสมมาตรบวก ดังนั้นไมเนอร์หลักของมันจะไม่เป็นศูนย์ โดยการแยกส่วนของเกาส์ จึงสามารถเขียนได้อย่างไม่ซ้ำกันในรูปแบบ h = XDYโดยที่Xอยู่ในN ₋ , D อยู่ในT _CและYอยู่ในN ₊เนื่องจากhสมมาตร ความไม่ซ้ำกันจึงบังคับให้Y = X *เนื่องจากเป็นบวกเช่นกันDจะต้องอยู่ในAและมีรูปแบบD = exp iTสำหรับT ที่ไม่ซ้ำกันบางตัว ใน𝖙ให้a = exp iT /2เป็นรากที่สองที่ไม่ซ้ำกันในAกำหนดn = Yและk = g n ⁻¹ a ⁻¹จากนั้นkเป็นยูนิแทรี ดังนั้นอยู่ใน Gและg = kan

การแยกส่วนแบบอิวาซาวะสามารถใช้เพื่ออธิบายโครงสร้างที่ซับซ้อนบนวงโคจร G ในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่ซับซ้อนของเวกเตอร์น้ำหนักสูงสุด ของ การแสดงแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ในมิติจำกัดของGโดยเฉพาะอย่างยิ่ง การระบุระหว่างG / TและGC / Bสามารถใช้เพื่อกำหนดทฤษฎีบทโบเรล-ไวล์ได้_ซึ่งระบุว่าการแสดงแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้แต่ละรายการของGสามารถได้มาจากการเหนี่ยวนำเชิงโฮโลมอร์ฟิกจากลักษณะเฉพาะของTหรือเทียบเท่ากับการที่มันเกิดขึ้นในปริภูมิของส่วนตัดของ บัน เดิ ล เส้นเชิงโฮโลมอร์ฟิกบนG / T

กลุ่มย่อยที่เชื่อมต่อกันแบบปิดของGที่ประกอบด้วยTนั้น อธิบายได้ด้วยทฤษฎีของ Borel–de Siebenthal กลุ่ม ย่อยเหล่านี้ก็คือcentralizerของ toru S ⊆ Tนั่นเอง เนื่องจาก toru ทุกอันถูกสร้างขึ้นทางโทโพโลยีโดยองค์ประกอบx เพียงตัวเดียว ดังนั้นกลุ่มย่อยเหล่านี้จึงเหมือนกับ centralizer C _G ( X )ขององค์ประกอบXใน𝖙จากผลลัพธ์ของ Hopf C _G ( x )นั้นเชื่อมต่อกันเสมอ เพราะองค์ประกอบy ใดๆ ก็ตาม จะถูกบรรจุอยู่ร่วมกับSใน toru สูงสุดบางตัว ซึ่งจำเป็นต้องถูกบรรจุอยู่ในC _G ( x )ด้วย

กำหนดให้มีการแสดงแทนแบบจำกัดมิติที่ไม่สามารถลดทอนได้V _λที่มีเวกเตอร์น้ำหนักสูงสุดvที่มีน้ำหนักλตัวรักษาเสถียรภาพของC vในGคือกลุ่มย่อยปิดHเนื่องจากvเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของTดังนั้นHจึงประกอบด้วยTการทำให้เป็นเชิงซ้อนG _CยังกระทำกับVและตัวรักษาเสถียรภาพคือกลุ่มย่อยเชิงซ้อนปิดPที่ประกอบด้วยT _Cเนื่องจากvถูกทำลายโดยตัวดำเนินการยกกำลังทุกตัวที่สอดคล้องกับรากบวกαดังนั้นP จึง ประกอบด้วยกลุ่มย่อยบอเรลBเวกเตอร์vยังเป็นเวกเตอร์น้ำหนักสูงสุดสำหรับสำเนาของsl ₂ที่สอดคล้องกับαดังนั้นจึงถูกทำลายโดยตัวดำเนินการลดกำลังที่สร้าง𝖌 _{− α}ถ้า( λ , α ) = 0พีชคณิตลีpของPคือผลรวมโดยตรงของ𝖙 _Cและเวกเตอร์ปริภูมิรากที่ทำลายvดังนั้น

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {p}}={\mathfrak {b}}\oplus \bigoplus _{(\alpha ,\lambda )=0}{\mathfrak {g}}_{-\alpha }.}}$

พีชคณิตลีของH = P ∩ Gกำหนดโดยp ∩ 𝖌โดยการแยกส่วนแบบอิวาซาวะG _C = GANเนื่องจากANตรึงC vไว้ วงโคจร Gของvในปริภูมิเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟของV _λจึงตรงกับ วงโคจร G _Cและ

${\displaystyle \displaystyle {G/H=G_{\mathbf {C} }/P.}}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

${\displaystyle \displaystyle {G/T=G_{\mathbf {C} }/B.}}$

โดยใช้การระบุพีชคณิต Lie ของTกับคู่ของมันHเท่ากับตัวทำให้เป็นศูนย์กลางของλในGและด้วยเหตุนี้จึงเชื่อมต่อกัน กลุ่มPก็เชื่อมต่อกันเช่นกัน ในความเป็นจริง ปริภูมิG / H เชื่อมต่อกันอย่างง่าย เนื่องจากสามารถ ^{เขียน}เป็นผลหารของกลุ่มปกคลุมสากล (กระชับ) ของกลุ่มกึ่งง่ายกระชับG / Zโดยกลุ่มย่อยที่เชื่อมต่อกัน โดยที่Zเป็นศูนย์กลางของG [ ^{19 ]}ถ้าP ^oเป็นส่วนประกอบเอกลักษณ์ของP G C / PจะมีG _C / P ^oเป็นปริภูมิปกคลุม ดังนั้นP = P ^oปริภูมิเอกพันธุ์G _C / Pมีโครงสร้างเชิงซ้อน เนื่องจากP เป็นกลุ่มย่อยเชิงซ้อน วงโคจรในปริภูมิเชิงโปรเจ _กที ฟ เชิงซ้อนปิดในโทโพโลยี Zariski โดยทฤษฎีบทของ Chowดังนั้นจึงเป็นวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบ ทฤษฎีบท Borel–Weil และการขยายความทั่วไปของทฤษฎีบทนี้ได้รับการกล่าวถึงในบริบทนี้ในSerre (1954) , Helgason (1994) , Duistermaat & Kolk (2000)และSepanski (2007 )

กลุ่มย่อยพาราโบลิกPสามารถเขียนได้ในรูปของการรวมกันของโคเซตคู่ของB

${\displaystyle \displaystyle {P=\bigcup _{\sigma \in W_{\lambda }}B\sigma B,}}$

โดยที่W _λเป็นตัวรักษาเสถียรภาพของλในกลุ่ม Weyl Wมันถูกสร้างขึ้นโดยการสะท้อนที่สอดคล้องกับรากง่ายที่ตั้งฉากกับλ ^{[ 20 ]}

มีกลุ่มย่อยปิดอื่นๆ ของการทำให้ซับซ้อนของกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อแบบกระชับ^Gซึ่งมีพีชคณิต Lie ที่ซับซ้อนเหมือนกัน เหล่านี้คือรูปแบบจริง อื่นๆ ของG _C [ ^{21 ]}

ถ้าGเป็นกลุ่ม Lie ขนาดกะทัดรัดที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย และ σ เป็นออโตมอร์ฟิซึมอันดับ 2 แล้วกลุ่มย่อยจุดตรึงK = G ^σจะเชื่อมต่อกันโดยอัตโนมัติ (อันที่จริงสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับออโตมอร์ฟิซึมใดๆ ของGดังที่แสดงสำหรับออโตมอร์ฟิซึมภายในโดยSteinbergและโดยทั่วไปโดยBorel ) ^{[ 22 ]}

สิ่งนี้สามารถเห็นได้โดยตรงที่สุดเมื่อการผกผัน σ สอดคล้องกับปริภูมิสมมาตรเฮอร์มิเชียนในกรณีนั้น σ เป็นแบบภายในและถูกนำไปใช้โดยองค์ประกอบในกลุ่มย่อยหนึ่งพารามิเตอร์ exp tTที่อยู่ในศูนย์กลางของG ^σความเป็นภายในของ σ บ่งชี้ว่าKมีทอรัสสูงสุดของGดังนั้นจึงมีอันดับสูงสุด ในทางกลับกัน ตัวกลางของกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดยทอรัสSขององค์ประกอบ exp tTนั้นเชื่อมต่อกัน เนื่องจากถ้าxเป็นองค์ประกอบใด ๆ ในKจะมีทอรัสสูงสุดที่ประกอบด้วยxและSซึ่งอยู่ในตัวกลาง ในทางกลับกัน มันประกอบด้วยKเนื่องจากSเป็นศูนย์กลางในKและอยู่ในKเนื่องจากzอยู่ในSดังนั้นK จึง เป็นตัวกลางของSและเชื่อมต่อกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งKประกอบด้วยศูนย์กลางของG ^{[ 23 ]}

สำหรับการผกผันทั่วไป σ ความเชื่อมโยงของG ^σสามารถมองเห็นได้ดังต่อไปนี้^{[ 24 ]}

จุดเริ่มต้นคือผลลัพธ์ในรูปแบบอาเบเลียน: ถ้าTเป็นทอรัสสูงสุดของกลุ่มที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายGและ σ เป็นการผกผันที่ทำให้T ไม่เปลี่ยนแปลง และมีการเลือกรากบวก (หรือเทียบเท่ากับห้องเวล์ ) แล้วกลุ่มย่อยจุดตรึงT ^σจะเชื่อมต่อกัน ในความเป็นจริง เคอร์เนลของการแมปเอกซ์โพเนนเชียลจากไปยังTคือแลตทิซ Λ ที่มี ฐาน Zที่จัดทำดัชนีโดยรากอย่างง่าย ซึ่ง σ ทำการสลับตำแหน่ง การแยกออกตามวงโคจรTสามารถเขียนได้เป็นผลคูณของเทอมTที่ σ กระทำอย่างไม่สำคัญ หรือเทอมT ²ที่ σ สลับตัวประกอบ กลุ่มย่อยจุดตรึงสอดคล้องกับการเลือกกลุ่มย่อยแนวทแยงในกรณีที่สอง ดังนั้นจึงเชื่อมต่อกัน ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

ให้xเป็นองค์ประกอบใดๆ ที่ถูกกำหนดโดย σ ให้Sเป็นทอรัสสูงสุดใน C _G ( x ) ^σและให้Tเป็นส่วนประกอบเอกลักษณ์ของ C _G ( x , S ) แล้วTเป็นทอรัสสูงสุดในGที่บรรจุxและSมันไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ σ และส่วนประกอบเอกลักษณ์ของT ^σคือSอันที่จริง เนื่องจากxและSสลับที่กันได้ พวกมันจึงบรรจุอยู่ในทอรัสสูงสุด ซึ่งเนื่องจากมันเชื่อมต่อกัน จึงต้องอยู่ในTโดยการสร้างTไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ σ ส่วนประกอบเอกลักษณ์ของT ^σบรรจุ Sอยู่ใน C _G ( x ) ^σและทำให้S เป็นศูนย์กลาง ดังนั้นมันจึงเท่ากับSแต่Sเป็นศูนย์กลางในTดังนั้นTต้องเป็นแบบอาเบเลียน และด้วยเหตุนี้จึงเป็นทอรัสสูงสุด เนื่องจาก σ ทำหน้าที่เหมือนการคูณด้วย −1 บนพีชคณิตลีดังนั้นมันและจึงเป็นแบบอาเบเลียน ด้วย${\displaystyle {\mathfrak {t}}\ominus {\mathfrak {s}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์โดยการแสดงให้เห็นว่า σ รักษาห้องเวล์ที่เกี่ยวข้องกับTไว้ ดังนั้นT ^σจึงเชื่อมต่อกัน ดังนั้นต้องเท่ากับSดังนั้นxจึงอยู่ในSเนื่องจากxเป็นค่าใดๆ ก็ได้ ดังนั้น G ^σจึงต้องเชื่อมต่อกันด้วย

ในการสร้างห้อง Weyl ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ σ โปรดทราบว่าไม่มีปริภูมิรากใดที่ทั้งxและSกระทำอย่างไม่สำคัญ เนื่องจากสิ่งนี้จะขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่า C _G ( x , S ) มีพีชคณิต Lie เดียวกันกับTดังนั้นจึงต้องมีองค์ประกอบsในSที่t = xsกระทำอย่างไม่สำคัญในแต่ละปริภูมิราก ในกรณีนี้tเป็นองค์ประกอบปกติของT —ส่วนประกอบเอกลักษณ์ของตัวทำให้เป็นศูนย์กลางในGเท่ากับTมีซอก Weyl A ที่ไม่ซ้ำกัน ในที่ซึ่งtอยู่ใน exp Aและ 0 อยู่ในส่วนปิดของAเนื่องจากtถูกกำหนดโดย σ ซอกจึงไม่เปลี่ยนแปลงโดย σ และด้วยเหตุนี้ห้อง Weyl Cที่บรรจุซอกนั้น จึงไม่เปลี่ยนแปลงเช่นกัน${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

ให้Gเป็นกลุ่ม Lie กระชับที่เชื่อมต่ออย่างง่ายที่มีการทำให้เป็นเชิงซ้อนG _Cแผนที่c ( g ) = ( g *) ⁻¹กำหนดออโตมอร์ฟิซึมของG _Cเป็นกลุ่ม Lie จริงโดยมีGเป็นกลุ่มย่อยจุดตรึง มันเป็นเชิงเส้นคู่ควบบนและสอดคล้องกับc ² = id ออโตมอร์ฟิซึมดังกล่าวของG _Cหรือ เรียกว่าการผันเนื่องจากG _Cก็เชื่อมต่ออย่างง่ายเช่นกัน การผันc ₁ ใดๆ บน จึงสอดคล้องกับออโตมอร์ฟิซึมc ₁ที่ ไม่ซ้ำกัน ของG _C${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$

การจำแนกประเภทของคอนจูเกชันc ₀ลดลงเหลือเพียงการจำแนกประเภทของอินโวลูชัน σ ของGเพราะเมื่อกำหนดc ₁ แล้ว จะมีออโตมอร์ฟิซึม φ ของกลุ่มเชิงซ้อนG _Cเช่นนั้น

${\displaystyle \displaystyle {c_{0}=\varphi \circ c_{1}\circ \varphi ^{-1}}}$

สลับตำแหน่งกับcการผันแปรc ₀จะทำให้Gไม่เปลี่ยนแปลงและจำกัดให้เป็นออโตมอร์ฟิซึมผกผัน σ ด้วยการเชื่อมต่ออย่างง่าย สิ่งเดียวกันนี้ก็เป็นจริงในระดับของพีชคณิตลี ในระดับพีชคณิตลีc ₀สามารถกู้คืนได้จาก σ โดยใช้สูตร

${\displaystyle \displaystyle {c_{0}(X+iY)=\sigma (X)-i\sigma (Y)}}$

สำหรับX , Yใน. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

เพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของ φ ให้ ψ = c ₁ cเป็นออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่มเชิงซ้อนG _Cในระดับพีชคณิตลี มันกำหนดตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองสำหรับผลคูณภายในเชิงซ้อน

${\displaystyle \displaystyle {(X,Y)=-B(X,c(Y)),}}$

โดยที่Bคือฟอร์ม Killingบนดังนั้น ψ ²จึงเป็นตัวดำเนินการบวกและเป็นออโตมอร์ฟิซึมพร้อมกับกำลังจริงทั้งหมดของมัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้พิจารณา ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$

${\displaystyle \displaystyle {\varphi =(\psi ^{2})^{1/4}}}$

มันน่าพอใจ

${\displaystyle \displaystyle {c_{0}c=\varphi c_{1}\varphi ^{-1}c=\varphi cc_{1}\varphi =(\psi ^{2})^{1/2}\psi ^{-1}=\varphi ^{-1}cc_{1}\varphi ^{-1}=c\varphi c_{1}\varphi ^{-1}=cc_{0}.}}$

สำหรับการสร้างความซับซ้อนG _Cนั้นการแยกส่วนแบบคาร์ตันได้อธิบายไว้ข้างต้นแล้ว ซึ่งได้มาจากการแยกส่วนแบบโพลาร์ในกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป ที่ซับซ้อน ทำให้ได้การแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียล

${\displaystyle \displaystyle {G_{\mathbf {C} }=G\cdot \exp i{\mathfrak {g}}=G\cdot P=P\cdot G.}}$

บนG _Cมีตัวดำเนินการคอนจูเกชันcที่สอดคล้องกับGเช่นเดียวกับตัวผกผัน σ ที่สลับตำแหน่งกับcให้c ₀ = c σ และให้G ₀เป็นกลุ่มย่อยจุดตรึงของc G 0 ปิดในกลุ่มเมทริกซ์G _Cและดังนั้นจึงเป็นกลุ่มลี ตัวผกผัน σ กระทำบนทั้งGและG ₀สำหรับพีชคณิตลีของGมีการแยกส่วน

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}}$

ลงในปริภูมิไอเกน +1 และ −1 ของ σ กลุ่มย่อยจุดตรึงKของ σ ในGนั้นเชื่อมต่อกัน เนื่องจากGนั้นเชื่อมต่อกันอย่างง่าย พีชคณิตลีของมันคือปริภูมิไอเกน +1 พีชคณิตลีของG ₀กำหนดโดย ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}}$

และกลุ่มย่อยจุดตรึงของ σ ก็คือK อีกครั้ง ดังนั้นG ∩ G ₀ = KในG ₀มีการแยกส่วนแบบคาร์ตัน

${\displaystyle \displaystyle {G_{0}=K\cdot \exp i{\mathfrak {p}}=K\cdot P_{0}=P_{0}\cdot K}}$

ซึ่งเป็นการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลไปยังโดยตรงอีกครั้ง และสอดคล้องกับการแยกส่วนเชิงขั้วของเมทริกซ์ เป็นการจำกัดการแยกส่วนบนG _Cผลคูณให้การแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลไปยังเซตย่อยปิดของG ₀เพื่อตรวจสอบว่าเป็นการส่งแบบทั่วถึง สำหรับgในG ₀ให้เขียนg = u ⋅ pโดยที่uอยู่ในGและpอยู่ในPเนื่องจากc ₀ g = gความเป็นเอกลักษณ์หมายความว่า σ u = uและ σ p = p ⁻¹ดังนั้นuอยู่ในKและpอยู่ ในP ₀

การแยกส่วนแบบคาร์ตันในG ₀แสดงให้เห็นว่าG ₀เชื่อมต่อ เชื่อมต่อแบบง่าย และไม่กระชับ เนื่องจากมีปัจจัยโดยตรงP ₀ดังนั้นG ₀ จึง เป็นกลุ่ม Lie กึ่งง่ายจริงที่ไม่กระชับ^{[ 25 ]}

นอกจากนี้ เมื่อกำหนดพีชคณิตย่อยอาเบเลียนสูงสุดในA = exp เป็นกลุ่มย่อยทอรัลที่ σ( a ) = a ⁻¹บนAและ สองตัวใดๆ ดังกล่าวจะสมมูลกันโดยองค์ประกอบของKคุณสมบัติของAสามารถแสดงได้โดยตรง AปิดเพราะการปิดของAเป็นกลุ่มย่อยทอรัลที่สอดคล้องกับ σ( a ) = a ⁻¹ดังนั้นพีชคณิตลีของมันจึงอยู่ในและด้วยเหตุนี้จึงเท่ากับโดยความสูงสุดAสามารถสร้างขึ้นทางโทโพโลยีโดยองค์ประกอบเดียว exp Xดังนั้น จึง เป็นตัวกลางของXในในวง โคจร Kขององค์ประกอบใดๆ ของจะมีองค์ประกอบYที่ (X, Ad k Y) มีค่าต่ำสุดที่k = 1 การกำหนดk = exp tTโดย ที่ Tอยู่ในจะได้ว่า ( X , [ T , Y ]) = 0 และด้วยเหตุนี้ [ X , Y ] = 0 ดังนั้นYต้องอยู่ใน ดังนั้นการรวมกันของคอนจูเกตของ. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คอนจูเกตบางส่วนของXอยู่ในตัวเลือกอื่นใดของซึ่งทำให้คอนจูเกตนั้นเป็นศูนย์กลาง ดังนั้นโดยความสูงสุด ความเป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือคอนจูเกตของ . ^{[ 26 ]}${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

ข้อความที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับการกระทำของKบนin ด้วยเช่นกัน ยิ่งไปกว่านั้น จากการแยกส่วนของคาร์ตันสำหรับG ₀ถ้าA ₀ = exp แล้ว ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}=i{\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$

${\displaystyle \displaystyle {G_{0}=KA_{0}K.}}$

• รูปแบบที่แท้จริง (ทฤษฎีการโกหก)