ในพีชคณิตพีชคณิตลีแบบง่ายคือพีชคณิตลีที่ไม่เป็นอาเบเลียนและไม่มีไอเดียล แท้ที่ไม่เป็นศูนย์ การจำแนกประเภทของพีชคณิตลีแบบง่ายจริงเป็นหนึ่งในความสำเร็จที่สำคัญของวิลเฮล์ม คิลลิงและเอลี คาร์ตัน

บนฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็น 0 ผลรวมโดยตรงของพีชคณิตลีแบบง่ายเรียกว่าพีชคณิตลีแบบกึ่งง่าย

กลุ่มลีแบบง่ายคือกลุ่มลี ที่เชื่อมต่อกัน ซึ่งพีชคณิตลีของกลุ่มนั้นเรียบง่าย

พีชคณิตลีเชิงซ้อนแบบง่ายมิติจำกัดจะสมสัณฐานกับพีชคณิตลีต่อไปนี้: , , ( พีชคณิตลีแบบคลาสสิก ) หรือ พีชคณิตลีพิเศษ 5 แบบใดแบบหนึ่ง^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{n}\mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C} }$

สำหรับ พีชคณิต Lie กึ่งง่าย เชิงซ้อนมิติจำกัดแต่ละตัวจะมีไดอะแกรมที่สอดคล้องกัน (เรียกว่าไดอะแกรม Dynkin ) โดยที่โหนดแสดงถึงรากแบบง่าย โหนดจะเชื่อมต่อกัน (หรือไม่เชื่อมต่อกัน) ด้วยเส้นจำนวนหนึ่งขึ้นอยู่กับมุมระหว่างรากแบบง่าย และลูกศรจะระบุว่ารากยาวหรือสั้นกว่ากัน^{[ 2 ]}ไดอะแกรม Dynkin ของจะเชื่อมต่อกันก็ต่อเมื่อเป็นแบบง่าย ไดอะแกรม Dynkin ที่เชื่อมต่อกันได้ทั้งหมดมีดังต่อไปนี้: ^{[ 3 ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

โดยที่nคือจำนวนโหนด (รากแบบง่าย) ความสัมพันธ์ของไดอะแกรมและพีชคณิต Lie แบบง่ายที่ซับซ้อนมีดังนี้: ^{[ 2 ]}

( _{หนึ่ง} )${\displaystyle \quad {\mathfrak {sl}}_{n+1}\mathbb {C} }$

(บี_เอ็น )${\displaystyle \quad {\mathfrak {so}}_{2n+1}\mathbb {C} }$

(ซี_เอ็น )${\displaystyle \quad {\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C} }$

(D _n )${\displaystyle \quad {\mathfrak {so}}_{2n}\mathbb {C} }$

ส่วนที่เหลือคือพีชคณิตลีที่ยอดเยี่ยม

ถ้าเป็นพีชคณิตลีแบบง่ายจริงที่มีมิติจำกัด การทำให้เป็นเชิงซ้อนของมันจะเป็น (1) แบบง่าย หรือ (2) ผลคูณของพีชคณิตลีเชิงซ้อนแบบง่ายและคู่ควบ ของมัน ตัวอย่างเช่น การทำให้เป็นเชิงซ้อนของที่คิดว่าเป็นพีชคณิตลีจริงคือดังนั้น พีชคณิตลีแบบง่ายจริงสามารถจำแนกได้โดยการจำแนกพีชคณิตลีแบบง่ายเชิงซ้อนและข้อมูลเพิ่มเติมบางอย่าง ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้แผนภาพ Satakeที่ขยายแผนภาพ Dynkin ดู ตารางกลุ่ม Lie#พีชคณิตลีจริงสำหรับรายการบางส่วนของพีชคณิตลีแบบง่ายจริง ด้วย${\displaystyle {\mathfrak {g}__{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} \times {\overline {{\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }}}$

• กลุ่ม Simple Lie
• เครื่องบินโวเกล