พีชคณิตลีเชิงซ้อน

Q: พีชคณิตลีเชิงซ้อนของกลุ่มลีเชิงซ้อน

ให้เป็นพีชคณิตลีเชิงซ้อนกึ่งง่าย ซึ่งเป็นพีชคณิตลีของ กลุ่มลีเชิงซ้อน ให้เป็น พีชคณิตย่อยคาร์ตัน ของและเป็นกลุ่มย่อยลีที่สอดคล้องกับ; กลุ่มย่อยคู่ควบของเรียกว่า กลุ่มย่อยคาร์ ตัน จี {\displaystyle {\mathfrak {g}}} จี {\displaystyle G} ชม.

Q: หมายเหตุ

อรรถ เป็น ข แนปป์ 2545 ช. ที่ 6 มาตรา 9 อรรถ เป็น ข Serre 2001 ช. II, § 8, ทฤษฎีบท 9 ↑ Serre 2001 , ช. VIII, § 4, ทฤษฎีบท 6 (a) ↑ Serre 2001 , ช. VIII, § 4, ทฤษฎีบท 6 (b)

ในทางคณิตศาสตร์พีชคณิตลีเชิงซ้อนคือพีชคณิต ลีเหนือจำนวนเชิงซ้อน

เมื่อกำหนดพีชคณิตลีเชิงซ้อน พีชคณิต ลีเชิงซ้อน คู่ควบของมันคือพีชคณิตลีเชิงซ้อนที่มีปริภูมิเวกเตอร์จริง พื้นฐานเดียวกัน แต่ทำหน้าที่แทน^[¹^]ในฐานะพีชคณิตลีจริง พีชคณิตลีเชิงซ้อน จะ สมมูล กับคู่ควบของมัน อย่างเห็นได้ชัดพีชคณิตลีเชิงซ้อนจะสมมูลกับคู่ควบของมันก็ต่อเมื่อมันยอมรับรูปแบบจริง (และกล่าวได้ว่าถูกกำหนดไว้เหนือจำนวนจริง) ${\mathfrak {g}}$ ${\overline {\mathfrak {g}}}$ $i={\sqrt {-1}}$ $-i$ ${\mathfrak {g}}$

รูปแบบที่แท้จริง

เมื่อกำหนดพีชคณิตลีเชิงซ้อนแล้วพีชคณิตลีจริงจะเรียกว่าเป็นรูปแบบจริงของ พีชคณิตลีเชิงซ้อนนั้น ถ้าการทำให้เป็นเชิงซ้อนนั้นสมมูลกับ พีชคณิตลีเชิงซ้อน นั้น ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}__{0}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ ${\mathfrak {g}}$

รูปแบบจริงจะเป็นแบบอาเบล (หรือแบบนิลโพเทนต์ แบบแก้ได้ แบบกึ่งง่าย) ก็ต่อเมื่อเป็นแบบอาเบล (หรือแบบนิลโพเทนต์ แบบแก้ได้ แบบกึ่งง่าย) ^[²^]ในทางกลับกัน รูปแบบจริงจะเป็นแบบง่ายก็ต่อเมื่อเป็นแบบง่ายหรืออยู่ในรูปแบบที่เป็นแบบง่าย และ เป็นคู่สังยุคของกันและกัน^[²^] ${\mathfrak {g}__{0}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}__{0}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {s}}\times {\overline {\mathfrak {s}}}$ ${\mathfrak {s}},{\overline {\mathfrak {s}}}$

การมีอยู่ของรูปแบบจริงในพีชคณิตลีเชิงซ้อนบ่งชี้ว่ามีความสมมาตรกับคอนจูเกตของมัน^[¹^]แท้จริงแล้ว ถ้าแล้วให้แทนไอโซมอร์ฟิซึมเชิงเส้นที่เกิดจากคอนจูเกตเชิงซ้อน แล้ว ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} ={\mathfrak {g}}_{0}\oplus i{\mathfrak {g}}_{0}$ $\tau :{\mathfrak {g}}\to {\overline {\mathfrak {g}}}$ $\mathbb {R}$

\tau (i(x+iy))=\tau (ix-y)=-ix-y=-i\tau (x+iy)

,

ซึ่งก็คือ ไอ โซมอร์ฟิซึมเชิงเส้น นั่นเอง $\tau$ $\mathbb {C}$

ในทางกลับกัน สมมติว่ามีไอโซมอร์ฟิซึมเชิงเส้น; โดยไม่เสียความเป็นทั่วไปเราสามารถสมมติว่ามันเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์บนปริภูมิเวกเตอร์จริงพื้นฐาน จากนั้นกำหนดซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นพีชคณิตลีจริง แต่ละองค์ประกอบในสามารถเขียนได้อย่างไม่ซ้ำกันเป็น โดยที่และในทำนองเดียวกัน ก็ตรึงดังนั้น; กล่าวคือ เป็นรูปแบบจริง $\mathbb {C}$ $\tau :{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}{\overline {\mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}__{0}=\{z\in {\mathfrak {g}}|\tau (z)=z\}$ $z$ ${\mathfrak {g}}$ $z=2^{-1}(z+\tau (z))+i2^{-1}(i\tau (z)-iz)$ $\tau (i\tau (z)-iz)=-iz+i\tau (z)$ $\tau$ $z+\tau (z)$ ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus i{\mathfrak {g}}_{0}$ ${\mathfrak {g}__{0}$

พีชคณิตลีเชิงซ้อนของกลุ่มลีเชิงซ้อน

ให้เป็นพีชคณิตลีเชิงซ้อนกึ่งง่าย ซึ่งเป็นพีชคณิตลีของกลุ่มลีเชิงซ้อนให้เป็นพีชคณิตย่อยคาร์ตันของและเป็นกลุ่มย่อยลีที่สอดคล้องกับ; กลุ่มย่อยคู่ควบของเรียกว่ากลุ่มย่อยคาร์ตัน ${\mathfrak {g}}$ $G$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {g}}$ $H$ ${\mathfrak {h}}$ $H$

สมมติว่ามีการแยกส่วนที่กำหนดโดยการเลือกรากบวก จากนั้นแผนที่เอกซ์โพเนนเชียลจะกำหนดไอโซมอร์ฟิซึมจากไปยังกลุ่มย่อยปิด[ ³^]^{กลุ่ม}ย่อย Lie ที่สอดคล้องกับพีชคณิตย่อย Borelเป็นกลุ่มปิดและเป็นผลคูณกึ่งตรงของและ; ^[⁴^]กลุ่มย่อยสังยุคของเรียกว่า กลุ่ม ย่อย Borel ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {n}}^{-}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}$ ${\mathfrak {n}}^{+}$ $U\subset G$ $B\subset G$ ${\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}$ $H$ $U$ $B$