ใน สาขา คณิตศาสตร์ของทฤษฎีลีมี คำจำกัดความ ของพีชคณิตลีแบบกระชับอยู่สองแบบในทางภายนอกและทางโทโพโลยี พีชคณิตลีแบบกระชับคือพีชคณิตลีของกลุ่มลีแบบกระชับ^{[ 1 ]}คำจำกัดความนี้รวมถึงทอรัส ในทางภายในและทางพีชคณิต พีชคณิตลีแบบกระชับคือพีชคณิตลีจริงที่มีรูปแบบคิลลิงเป็นลบแน่นอนคำจำกัดความนี้เข้มงวดกว่าและไม่รวมทอรัส^{[ 2 ]}พีชคณิตลีแบบกระชับสามารถมองได้ว่าเป็นรูปแบบจริง ที่เล็กที่สุด ของพีชคณิตลีเชิงซ้อนที่สอดคล้องกัน นั่นคือการทำให้เป็นเชิงซ้อน

ในทางรูปแบบ เราสามารถกำหนดพีชคณิตลีแบบกระชับได้สองแบบ คือ พีชคณิตลีของกลุ่มลี แบบกระชับ หรือ พีชคณิตลีจริงที่มีรูปแบบ Killing เป็นลบแน่นอน คำจำกัดความเหล่านี้ไม่ตรงกันเสียทีเดียว: ^{[ 2 ]}

• รูปแบบ Killing บนพีชคณิต Lie ของกลุ่ม Lie กระชับ เป็น แบบ กึ่งลบแน่นอนไม่ใช่แบบลบแน่นอนโดยทั่วไป
• ถ้าฟอร์ม Killing ของพีชคณิต Lie เป็นลบแน่นอน พีชคณิต Lie นั้นจะเป็นพีชคณิต Lie ของกลุ่ม Lie กึ่งง่ายแบบ กระชับ

โดยทั่วไป พีชคณิตลีของกลุ่มลีแบบกระชับจะแยกออกเป็นผลรวมโดยตรงของพีชคณิตลีของส่วนประกอบสลับที่ได้ (ซึ่งกลุ่มย่อยที่สอดคล้องกันคือทอรัส) และส่วนประกอบที่ฟอร์มคิลลิงเป็นค่าลบแน่นอน

บทกลับของผลลัพธ์แรกข้างต้นเป็นเท็จ: แม้ว่าฟอร์มคิลลิงของพีชคณิตลีจะเป็นลบกึ่งกำหนด (negative semidefinite) ก็ไม่ได้หมายความว่าพีชคณิตลีนั้นเป็นพีชคณิตลีของกลุ่มกระชับ (compact group) บางกลุ่ม ตัวอย่างเช่น ฟอร์มคิลลิงบนพีชคณิตลีของกลุ่มไฮเซนเบิร์กเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ ดังนั้นจึงเป็นลบกึ่งกำหนด แต่พีชคณิตลีนี้ไม่ใช่พีชคณิตลีของกลุ่มกระชับใดๆ

• พีชคณิต Lie ขนาดกะทัดรัดเป็นแบบลดรูป^{[ 3 ]}โปรดทราบว่าผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้เป็นจริงสำหรับกลุ่มขนาดกะทัดรัดโดยทั่วไป
• พีชคณิตลีสำหรับกลุ่มลีแบบกระชับG ยอมรับ ผลคูณภายใน ที่ไม่เปลี่ยนแปลง ภาย ใต้ Ad( G ) ^{[ 4 ]}ในทางกลับกัน หากยอมรับผลคูณภายในที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ Ad แล้ว ก็คือพีชคณิตลีของกลุ่มกระชับบางกลุ่ม^{[ 5 ]}หากเป็นแบบกึ่งง่าย ผลคูณภายในนี้สามารถถือได้ว่าเป็นค่าลบของฟอร์มคิลลิง ดังนั้นเมื่อเทียบกับผลคูณภายในนี้ Ad( G ) จะทำงานโดยการแปลงเชิงตั้งฉาก ( ) และทำงานโดยเมทริกซ์สมมาตรเฉียง ( ) ^{[ 4 ]}เป็นไปได้ที่จะพัฒนาทฤษฎีของพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายเชิงซ้อนโดยมองว่าพวกมันเป็นการทำให้ซับซ้อนของพีชคณิตลีของกลุ่มกระชับ^{[ 6 ]}การมีอยู่ของผลคูณภายในที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ Ad บนฟอร์มจริงแบบกระชับช่วยลดความซับซ้อนของการพัฒนาอย่างมาก ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {SO} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \operatorname {ad} \ {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}({\mathfrak {g}})}$

  สิ่งนี้สามารถมองได้ว่าเป็นอนาล็อกที่กระชับของทฤษฎีบทของ Adoเกี่ยวกับความสามารถในการแทนของพีชคณิต Lie: เช่นเดียวกับที่พีชคณิต Lie มิติจำกัดทุกตัวในลักษณะเฉพาะ 0 ฝังตัวอยู่ในพีชคณิต Lie กระชับทุกตัวที่ฝังตัวอยู่ใน${\displaystyle {\mathfrak {gl}},}$${\displaystyle {\mathfrak {ดังนั้น}}.}$

• แผนภาพ Satakeของพีชคณิต Lie แบบกะทัดรัด คือแผนภาพ Dynkinของพีชคณิต Lie เชิงซ้อน โดยที่ จุดยอด ทั้งหมดถูกระบายสีดำ
• พีชคณิตลีแบบกะทัดรัดนั้นตรงกันข้ามกับพีชคณิตลีจริงแบบแยกส่วนในกลุ่มรูปแบบจริงโดยพีชคณิตลีแบบแยกส่วนนั้น "อยู่ห่างไกลที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้" จากความกะทัดรัด

พีชคณิตลีแบบกระชับ (Compact Lie algebras) ถูกจำแนกและตั้งชื่อตามรูปแบบจริงแบบกระชับ (Compact real forms)ของพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายเชิงซ้อน (Complex semisimple Lie algebras)ดังนี้:

• ${\displaystyle A_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak {su}__{n+1},}$ซึ่งสอดคล้องกับกลุ่มเอกภาพพิเศษ (โดยที่ถูกต้อง รูปแบบกระชับคือ PSU ซึ่งเป็นกลุ่มเอกภาพพิเศษเชิงโปรเจกทีฟ )
• ${\displaystyle B_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak {so}__{2n+1},}$สอดคล้องกับกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษ (หรือสอดคล้องกับกลุ่มออร์โธโกนอล )${\displaystyle {\mathfrak {o}__{2n+1},}$
• ${\displaystyle C_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{n},}$สอดคล้องกับกลุ่มซิมเพล็กติกขนาดกะทัดรัดบางครั้งเขียนว่า;${\displaystyle {\mathfrak {usp}__{n},}$
• ${\displaystyle D_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak {ดังนั้น}__{2n},}$ซึ่งสอดคล้องกับกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษ (หรือสอดคล้องกับกลุ่มออร์โธโกนอล ) (โดยที่ถูกต้อง รูปแบบกระชับคือ PSO ซึ่งเป็นกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษเชิงโปรเจคทีฟ )${\displaystyle {\mathfrak {o}__{2n},}$
• รูปแบบจริงแบบกระชับของพีชคณิตลีพิเศษ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}.}$

การจัดประเภทจะไม่ซ้ำซ้อนหากเราใช้สำหรับสำหรับสำหรับและสำหรับหากเราใช้หรือ แทน เราจะได้ ไอโซมอ ร์ ฟิซึมพิเศษ บางอย่าง${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle A_{n},}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle B_{n},}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle C_{n},}$${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle D_{n}.}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle n\geq 1}$

For คือแผนภาพที่ไม่สำคัญ ซึ่งสอดคล้องกับกลุ่มที่ไม่สำคัญ${\displaystyle n=0,}$${\displaystyle A_{0}\cong B_{0}\cong C_{0}\cong D_{0}}$${\displaystyle \operatorname {SU} (1)\cong \operatorname {SO} (1)\cong \operatorname {Sp} (0)\cong \operatorname {SO} (0).}$

เนื่องจากไอโซมอร์ฟิซึมนี้สอดคล้องกับไอโซมอร์ฟิซึมของไดอะแกรมและไอโซมอร์ฟิซึมที่สอดคล้องกันของกลุ่มลี(ทรงกลม 3 มิติหรือควอเทอร์เนียนหน่วย ) ${\displaystyle n=1,}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\cong {\mathfrak {sp}}_{1}}$${\displaystyle A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)}$

เนื่องจากไอโซมอร์ฟิซึมสอดคล้องกับไอโซมอร์ฟิซึมของไดอะแกรมและไอโซมอร์ฟิซึมที่สอดคล้องกันของกลุ่มลี${\displaystyle n=2,}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{5}\cong {\mathfrak {sp}}_{2}}$${\displaystyle B_{2}\cong C_{2},}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2)\cong \operatorname {Spin} (5).}$

เนื่องจากไอโซมอร์ฟิซึมสอดคล้องกับไอโซมอร์ฟิซึมของไดอะแกรมและไอโซมอร์ฟิซึมที่สอดคล้องกันของกลุ่มลี${\displaystyle n=3,}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{6}}$${\displaystyle A_{3}\cong D_{3},}$${\displaystyle \operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {Spin} (6).}$

หากพิจารณาและเป็นแผนภาพ แผนภาพเหล่านี้จะสม isomorphic กับและตามลำดับ โดยมี isomorphism ที่สอดคล้องกันของพีชคณิต Lie ${\displaystyle E_{4}}$${\displaystyle E_{5}}$${\displaystyle A_{4}}$${\displaystyle D_{5},}$

• รูปแบบที่แท้จริง
• พีชคณิตลีแบบแยกส่วน

• กลุ่มลีแบบกระชับในสารานุกรมคณิตศาสตร์