ในทางคณิตศาสตร์การแทนแบบแอดจอยต์ (หรือการกระทำแบบแอดจอยต์ ) ของกลุ่มลีGคือวิธีการแทนสมาชิกของกลุ่มในรูปของการแปลงเชิงเส้น ของ พีชคณิตลีของกลุ่มซึ่งถือว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ตัวอย่างเช่น ถ้าGคือกลุ่มลีของเมทริกซ์ผกผันได้ขนาดn x n ที่เป็นจำนวนจริง การแทนแบบแอดจอยต์คือโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มที่ส่งเมทริกซ์ ผกผันได้ขนาด n x nไปยังเอนโดมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์ของการแปลงเชิงเส้นทั้งหมดของซึ่งกำหนดโดย: ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$

สำหรับกลุ่มลีใดๆการแสดงแทน ตามธรรมชาติแบบนี้ ได้มาจากการทำให้เป็นเชิงเส้น (กล่าวคือ การหาอนุพันธ์ของ) การกระทำของGบนตัวมันเองโดยการ สังยุค การแสดงแทนแบบผกผันสามารถกำหนดได้สำหรับกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นเหนือฟิลด์ ใด ๆ

ให้Gเป็นกลุ่ม Lieและให้

${\displaystyle \Psi :G\to \operatorname {Aut} (G)}$

ให้g ↦ Ψ _gเป็นฟังก์ชันที่ Aut( G ) เป็น กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของGและΨ _g : G → Gกำหนดโดยออโตมอร์ฟิซึมภายใน (คอนจูเกชัน)

${\displaystyle \Psi _{g}(h)=ghg^{-1}~.}$

Ψ นี้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม (เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม Lieถ้าเชื่อมต่อกัน^{[ 1 ]} ) ${\displaystyle G}$

สำหรับแต่ละgในGให้กำหนดAd _gเป็นอนุพันธ์ของΨ _gที่จุดกำเนิด:

${\displaystyle \operatorname {โฆษณา} _{g}=(d\Psi _{g})_{e}:T_{e}G\rightarrow T_{e}G}$

โดยที่ dคืออนุพันธ์ และคือปริภูมิสัมผัสที่จุดกำเนิด e ( โดยที่ eคือองค์ประกอบเอกลักษณ์ของกลุ่ม G ) เนื่องจากเป็นออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่ม Lie ดังนั้น Ad _gจึงเป็นออโตมอร์ฟิซึมของพีชคณิต Lie กล่าว คือ เป็นการแปลงเชิงเส้น ผกผัน ของไปยังตัวมันเองที่รักษาวงเล็บ Lie ไว้ ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มดังนั้น ก็เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มเช่นกัน^{[ 2 ]}ดังนั้น แผนที่ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$${\displaystyle \Psi _{g}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle g\mapsto \Psi _{g}}$${\displaystyle g\mapsto \operatorname {Ad} _{g}}$

${\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,g\mapsto \mathrm {Ad} _{g}}$

เป็นการแทนกลุ่มที่ เรียกว่าการแทนแบบผกผันของG

ถ้าGเป็นกลุ่มลีเชิงเส้น (linear Lie group ) แล้วพีชคณิตลี (Lie algebra) จะ ประกอบด้วยเมทริกซ์ และแผนที่เอกซ์โพเนนเชียล (exponential map)คือเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลสำหรับเมทริกซ์Xที่มีบรรทัดฐานตัวดำเนินการขนาดเล็ก เราจะคำนวณอนุพันธ์ของ ที่ t = 0 สำหรับgในGและX ขนาดเล็ก ในเส้นโค้งจะมีอนุพันธ์ที่t = 0 จากนั้นจะได้: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {exp} (X)=e^{X}}$${\displaystyle \Psi _{g}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle t\to \exp(tX)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(X)=(d\Psi _{g})_{e}(X)=(\Psi _{g}\circ \exp(tX))'(0)=(g\exp(tX)g^{-1})'(0)=gXg^{-1}}$

โดยที่ด้านขวาคือผลคูณของเมทริกซ์ ถ้าG เป็นกลุ่มย่อยปิด (นั่นคือGเป็นกลุ่ม Lie ของเมทริกซ์) สูตรนี้จะใช้ได้กับg ทุกตัว ในGและX ทุกตัว ใน${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

กล่าวโดยสรุป การแทนแบบแอดจอยต์คือการแทนแบบไอโซโทร ปี ที่เกี่ยวข้องกับการกระทำแบบคอนจูเกชันของG รอบองค์ประกอบเอกลักษณ์ของG

เราสามารถเปลี่ยนจากตัวแทนของกลุ่มลีGไปเป็นตัวแทนของพีชคณิตลีของกลุ่มลีนั้น ได้เสมอ โดยการหาอนุพันธ์ที่เอกลักษณ์

การหาอนุพันธ์ของแผนที่ผกผัน

${\displaystyle \mathrm {โฆษณา} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$

ที่องค์ประกอบเอกลักษณ์จะให้การแสดงแทนแบบผกผันของพีชคณิตลีของG : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ad} :&\,{\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})\\&\,x\mapsto \operatorname {ad} _{x}=d(\operatorname {Ad} )_{e}(x)\end{aligned}}}$

โดยที่พีชคณิตลีของซึ่งสามารถระบุได้ว่าเป็นพีชคณิตอนุพันธ์ของสามารถแสดงได้ว่า ${\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})=\ชื่อผู้ดำเนินการ {Lie} (\ชื่อผู้ดำเนินการ {Aut} ({\mathfrak {g}}))}$${\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,}$

สำหรับทุก ๆโดยที่ด้านขวามือกำหนด (เหนี่ยวนำ) โดยวงเล็บ Lie ของฟิลด์เวกเตอร์อันที่จริง^{[ 3 ]}โปรดจำไว้ว่า เมื่อมองว่าเป็นพีชคณิต Lie ของฟิลด์เวกเตอร์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงทางซ้ายบนGวงเล็บบนจะกำหนดเป็น: ^{[ 4 ]}สำหรับฟิลด์เวกเตอร์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงทางซ้ายX , Y , ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(d\varphi _{-t}(Y)-Y)}$

โดยที่แสดงถึงการไหลที่เกิดจากXปรากฏว่าโดยประมาณ เนื่องจากทั้งสองข้างเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเดียวกันที่กำหนดการไหล นั่นคือโดยที่แสดงถึงการคูณทางขวาด้วย ในทางกลับกัน เนื่องจากโดยกฎ ลูกโซ่${\displaystyle \varphi _{t}:G\to G}$${\displaystyle \varphi _{t}(g)=g\varphi _{t}(e)}$${\displaystyle \varphi _{t}=R_{\varphi _{t}(e)}}$${\displaystyle R_{h}}$${\displaystyle h\in G}$${\displaystyle \Psi _{g}=R_{g^{-1}}\circ L_{g}}$

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(Y)=d(R_{g^{-1}}\circ L_{g})(Y)=dR_{g^{-1}}(dL_{g}(Y))=dR_{g^{-1}}(Y)}$

เนื่องจากYเป็นค่าคงที่ทางซ้าย ดังนั้น

${\displaystyle [X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(\operatorname {Ad} _{\varphi _{t}(e)}(Y)-Y)}$,

ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องแสดงให้เห็น

ดังนั้น จึงสอดคล้องกับสิ่งเดียวกันที่กำหนดไว้ใน§ การแสดงแทนแบบผกผันของพีชคณิตลีด้านล่าง Ad และ ad มีความสัมพันธ์กันผ่านแผนที่เลขชี้กำลัง : โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Ad _{exp( x )} = exp(ad _x ) สำหรับทุกxในพีชคณิตลี^{[ 5 ]}เป็นผลสืบเนื่องมาจากผลลัพธ์ทั่วไปที่เชื่อมโยงโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มลีและพีชคณิตลีผ่านแผนที่เลขชี้กำลัง^{[ 6 ]}${\displaystyle \mathrm {โฆษณา} _{x}}$

ถ้าGเป็นกลุ่ม Lie เชิงเส้น การคำนวณข้างต้นจะง่ายขึ้น ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้และด้วยเหตุนี้ ${\displaystyle \operatorname {โฆษณา} _{g}(Y)=gYg^{-1}}$${\displaystyle g=e^{tX}}$

${\displaystyle \operatorname {โฆษณา} _{e^{tX}}(Y)=e^{tX}ใช่^{-tX}}$.

เมื่อหาอนุพันธ์ของสมการนี้ที่จุดเราจะได้: ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}Y=XY-YX}$.

กรณีทั่วไปสามารถอนุมานได้จากกรณีเชิงเส้นเช่นกัน กล่าวคือ ให้ G เป็นกลุ่ม Lie เชิงเส้นที่มีพีชคณิต Lie เดียวกันกับของGแล้วอนุพันธ์ของ Ad ที่องค์ประกอบเอกลักษณ์ของGและอนุพันธ์ของ Ad ที่G 'จะตรงกัน ดังนั้นโดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เราสามารถถือว่า GคือG 'ได้ ${\displaystyle G'}$

การใช้ตัวพิมพ์ใหญ่/ตัวพิมพ์เล็กเป็นสัญลักษณ์นั้นมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในเอกสารทางวิชาการ ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์x ในพีชคณิตจะสร้างฟิลด์เวกเตอร์X ในกลุ่ม Gในทำนองเดียวกัน แผนที่ผกผันad _x y = [ x , y ]ของเวกเตอร์ใน นั้นสมมูลกับอนุพันธ์ลีL _X Y = [ X , Y ]ของฟิลด์เวกเตอร์บนกลุ่ม Gที่ถือว่าเป็นแมนิโฟลด์ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ดูข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการหาอนุพันธ์ของแผนที่เลขชี้กำลังได้ที่นี่

ให้เป็นพีชคณิตลีเหนือฟิลด์บางฟิลด์ เมื่อกำหนดสมาชิกxของพีชคณิตลีเราจะนิยามการกระทำร่วมของxบนเป็นแผนที่ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\qquad {\text{with}}\qquad \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]}$

สำหรับทุกyในเรียกว่าเอนโดมอร์ฟิซึมผกผันหรือแอคชั่นผกผัน ( มักใช้สัญลักษณ์ แทนด้วย) เนื่องจากวงเล็บเป็นแบบทวิเชิงเส้น จึงกำหนดการแมปเชิงเส้นได้${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}$${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$

${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})=(\operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),[\;,\;])}$

กำหนดโดยx ↦ ad _xภายใน End วงเล็บจะถูกกำหนดโดยตัวสลับของตัวดำเนินการทั้งสองตามคำนิยาม: ${\displaystyle ({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle [T,S]=T\circ SS\circ T}$

โดยที่หมายถึงการประกอบกันของแผนที่เชิงเส้น โดยใช้คำจำกัดความของวงเล็บข้างต้นเอกลักษณ์ของจาโคบี${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$

มีรูปแบบ

${\displaystyle \left([\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]\right)(z)=\left(\operatorname {ad} _{[x,y]}\right)(z)}$

โดยที่x , yและzเป็นองค์ประกอบใดๆของ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

เอกลักษณ์สุดท้ายนี้กล่าวว่า ad เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตลี กล่าวคือ การแมปเชิงเส้นที่แปลงวงเล็บเป็นวงเล็บ ดังนั้น ad จึงเป็นการแทนพีชคณิตลีและเรียกว่าการแทนแบบแอดจอยต์ของพีชคณิตในภาษาเชิงทฤษฎีโมดูลมากขึ้น การสร้างนี้กล่าวว่าเป็นโมดูลเหนือตัวมันเอง ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

แก่นของโฆษณาคือศูนย์กลางของ(นั่นเป็นเพียงการเรียบเรียงนิยามใหม่) ในทางกลับกัน สำหรับแต่ละองค์ประกอบzในการแมปเชิงเส้นจะเป็นไปตามกฎของไลบ์นิซ : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \delta =\operatorname {ad} _{z}}$

${\displaystyle \delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]}$

สำหรับxและy ทั้งหมด ในพีชคณิต (การกล่าวซ้ำของเอกลักษณ์ของจาโคบี) กล่าวคือ ad _zเป็นอนุพันธ์และภาพของภายใต้ ad เป็นพีชคณิตย่อยของ Der ซึ่งเป็นปริภูมิของอนุพันธ์ทั้งหมดของ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

เมื่อใดที่ พีชคณิตลีของกลุ่มลีG , ad คืออนุพันธ์ของ Adที่องค์ประกอบเอกลักษณ์ของG${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$

มีสูตรต่อไปนี้ที่คล้ายกับสูตรของไลบ์นิซ : สำหรับสเกลาร์และองค์ประกอบของพีชคณิตลี ${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle (\operatorname {ad} _{x}-\alpha -\beta )^{n}[y,z]=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\left[(\operatorname {ad} _{x}-\alpha )^{i}y,(\operatorname {ad} _{x}-\beta )^{n-i}z\right].}$

องค์ประกอบเมทริกซ์ที่ชัดเจนของการแสดงแทนแบบผกผันนั้นกำหนดโดยค่าคงที่โครงสร้างของพีชคณิต นั่นคือ ให้ {e ⁱ } เป็นเซตของเวกเตอร์ฐานสำหรับพีชคณิต โดยที่

${\displaystyle [e^{i},e^{j}]=\sum _{k}{c^{ij}}_{k}e^{k}.}$

จากนั้นองค์ประกอบเมทริกซ์สำหรับ ad _{e ⁱ} จะได้รับโดย

${\displaystyle {\left[\operatorname {ad} _{e^{i}}\right]_{k}}^{j}={c^{ij}}_{k}~.}$

ดังนั้น ตัวอย่างเช่น การแสดงแทนแบบผกผันของsu(2)คือการแสดงแทนแบบกำหนดของso(3 )

• ถ้าGเป็นกลุ่มอาเบเลียนที่มีมิติnการแสดงแทนแบบแอดจอยต์ของGคือการแสดงแทนแบบนิรนัย ที่มีมิติ n
• ถ้าGเป็นกลุ่ม Lie เมทริกซ์ (กล่าวคือเป็นกลุ่มย่อยปิดของ) แล้วพีชคณิต Lie ของ G จะเป็นพีชคณิตของเมทริก ซ์ n × nที่มีคอมมิวเทเตอร์สำหรับวงเล็บ Lie (กล่าวคือเป็นพีชคณิตย่อยของ) ในกรณีนี้ แผนที่แอดจอยต์จะกำหนดโดย Ad _g ( x ) = gxg ⁻¹${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}$
• ถ้าGคือSL(2, R ) (เมทริกซ์จริง 2×2 ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ 1) พีชคณิตลีของGจะประกอบด้วยเมทริกซ์จริง 2×2 ที่มีร่องรอย 0 การแสดงผลนี้เทียบเท่ากับการแสดงผลที่ได้จากการกระทำของG โดยการแทนที่เชิงเส้นบนปริภูมิของ รูปแบบกำลังสองแบบไบนารี (เช่น 2 ตัวแปร)

ตารางต่อไปนี้สรุปคุณสมบัติของแผนที่ต่างๆ ที่กล่าวถึงในคำนิยาม

${\displaystyle \Psi \colon G\to \operatorname {Aut} (G)\,}$	${\displaystyle \Psi _{g}\colon G\to G\,}$
โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มลี: ${\displaystyle \Psi _{gh}=\Psi _{g}\Psi _{h}}$ ${\displaystyle (\Psi _{g})^{-1}=\Psi _{g^{-1}}}$	ออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่มลี: ${\displaystyle \Psi _{g}(ab)=\Psi _{g}(a)\Psi _{g}(b)}$
${\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})}$	${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$
โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มลี: ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{gh}=\operatorname {Ad} _{g}\operatorname {Ad} _{h}}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {Ad} _{g}\right)^{-1}=\operatorname {Ad} _{g^{-1}}}$	ออโตมอร์ฟิซึมของพีชคณิตลี: ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}$เป็นเชิงเส้น ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}[x,y]=[\operatorname {Ad} _{g}x,\operatorname {Ad} _{g}y]}$
${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}$	${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$
โฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตลี: ${\displaystyle \operatorname {ad} }$เป็นเชิงเส้น ${\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]}$	การพิสูจน์พีชคณิตลี: ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}$เป็นเชิงเส้น ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}[y,z]=[\operatorname {ad} _{x}y,z]+[y,\operatorname {ad} _{x}z]}$

ภาพของGภายใต้การแสดงแทนแบบแอดจอยต์จะถูกแทนด้วย Ad( G )ถ้าGเป็นกลุ่มเชื่อมต่อเคอร์เนลของการแสดงแทนแบบแอดจอยต์จะตรงกับเคอร์เนลของ Ψ ซึ่งก็คือศูนย์กลางของGดังนั้น การแสดงแทนแบบแอดจอยต์ของกลุ่มลีเชื่อมต่อGจะซื่อสัตย์ก็ต่อเมื่อGไม่มีศูนย์กลาง โดยทั่วไปแล้ว ถ้าGไม่เชื่อมต่อ เคอร์เนลของแผนที่แอดจอยต์จะเป็นตัวทำให้เป็นศูนย์กลางของส่วนประกอบเอกลักษณ์G₀ของGจาก ทฤษฎีบทไอโซมอ _ร์ฟิซึมข้อแรกเรามี

${\displaystyle \mathrm {Ad} (G)\cong G/Z_{G}(G_{0}).}$

กำหนดให้พีชคณิตลีจริงมิติจำกัดตามทฤษฎีบทที่สามของลีจะมีกลุ่มลีที่เชื่อมต่อกัน ซึ่งพีชคณิตลีของ กลุ่ม นั้นคือภาพของการแสดงแทนแบบผกผันของ(นั่นคือ) กลุ่มนี้เรียกว่ากลุ่มผกผันของ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {Lie} (\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ถ้าเป็นพีชคณิตลีของกลุ่มลีที่เชื่อมต่อกันGแล้วคือภาพของการแสดงแทนแบบผกผันของG : . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Ad} (G)}$

ถ้าGเป็นเซมิซิมเพิลน้ำหนัก ที่ไม่เป็น ศูนย์ของการแสดงแทนแบบแอดจอยต์จะก่อให้เกิดระบบราก^{[ 7 ]} (โดยทั่วไป จำเป็นต้องผ่านไปยังการทำให้ซับซ้อนของพีชคณิตลี ก่อนที่จะดำเนินการต่อ) เพื่อดูว่าสิ่งนี้ทำงานอย่างไร ให้พิจารณากรณีG = SL( n , R ) เราสามารถใช้กลุ่มของเมทริกซ์แนวทแยง diag( t ₁ , ...,  t _n ) เป็นทอรัสสูงสุดT ของเรา การผันแปรโดยองค์ประกอบของTส่ง

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.}$

ดังนั้นT จึง กระทำอย่างไม่สำคัญต่อส่วนแนวทแยงของพีชคณิตลีของGและมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ t _i t _j ⁻¹บนรายการนอกแนวทแยงต่างๆ รากของGคือน้ำหนัก diag( t ₁ , ..., t _n ) → t _i t _j ⁻¹ซึ่งอธิบายคำอธิบายมาตรฐานของระบบรากของG  = SL _n ( R ) ว่าเป็นเซตของเวก เตอร์ ในรูปแบบe _i − e _j

เมื่อคำนวณระบบรากสำหรับกรณีที่ง่ายที่สุดกรณีหนึ่งของกลุ่มลี กลุ่ม SL(2, R ) ของเมทริกซ์สองมิติที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 ประกอบด้วยเซตของเมทริกซ์ในรูปแบบ:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}}$

โดยที่a , b , c , dเป็นจำนวนจริง และad  −  bc  = 1

กลุ่มย่อย Lie แบบอาเบเลียนที่เชื่อมต่อกันและกะทัดรัดที่สุด หรือทอรัสT ที่ใหญ่ที่สุด จะถูกกำหนดโดยเซตย่อยของเมทริกซ์ทั้งหมดที่มีรูปแบบ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&t_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\exp(\theta )&0\\0&\exp(-\theta )\\\end{bmatrix}}}$

โดยที่. พีชคณิตลีของทอรัสสูงสุดคือพีชคณิตย่อยคาร์ตันซึ่งประกอบด้วยเมทริกซ์ ${\displaystyle t_{1}t_{2}=1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\theta &0\\0&-\theta \\\end{bmatrix}}=\theta {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}-\theta {\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}=\theta (e_{1}-e_{2}).}$

ถ้าเราจับคู่องค์ประกอบของ SL(2, R ) กับองค์ประกอบของทอรัสสูงสุด เราจะได้

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}at_{1}&bt_{1}\\c/t_{1}&d/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&bt_{1}^{2}\\ct_{1}^{-2}&d\\\end{bmatrix}}}$

เมทริกซ์

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\end{bmatrix}}}$

จากนั้นจะเป็น 'เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ' ของการดำเนินการคอนจูเกชันที่มีค่าลักษณะเฉพาะฟังก์ชัน Λ ซึ่งให้ค่าเป็นอักขระการคูณ หรือโฮโมมอร์ฟิซึมจากทอรัสของกลุ่มไปยังฟิลด์พื้นฐาน R ฟังก์ชัน λ ที่ให้ค่า θ เป็นน้ำหนักของพีชคณิตลีที่มีปริภูมิของน้ำหนักที่กำหนดโดยช่วงของเมทริกซ์ ${\displaystyle 1,1,t_{1}^{2},t_{1}^{-2}}$${\displaystyle t_{1}^{2}}$

การแสดงให้เห็นถึงความสามารถในการคูณของลักษณะเฉพาะและความเป็นเชิงเส้นของน้ำหนักนั้นเป็นเรื่องที่น่าพอใจ นอกจากนี้ยังสามารถพิสูจน์ได้ว่าอนุพันธ์ของ Λ สามารถนำมาใช้สร้างน้ำหนักได้ และการพิจารณากรณีของ SL(3, R ) ก็เป็นประโยชน์เช่นกัน

การแสดงแทนแบบผกผันสามารถกำหนดได้สำหรับกลุ่มพีชคณิตเหนือฟิลด์ใดๆ ก็ได้

การแทนแบบโคแอดจอยต์คือการแทนแบบคอนทราเกรเดียนต์ของการแทนแบบแอดจอยต์ อ เล็กซานเดอร์ คิริลลอฟสังเกตว่าวงโคจรของเวกเตอร์ใดๆ ในการแทนแบบโคแอดจอยต์คือแมนิโฟล ด์เชิงซิมเพล็กติก ตามปรัชญาในทฤษฎีการแทนที่เรียกว่าวิธีวงโคจร (ดูสูตรอักขระของคิริลลอฟ ด้วย ) การแทนแบบลดทอนไม่ได้ของกลุ่มลีGควรได้รับการจัดทำดัชนีในบางวิธีโดยวงโคจรโคแอดจอยต์ ความสัมพันธ์นี้ใกล้เคียงที่สุดในกรณีของกลุ่มลีแบบนิลโพเทนต์

• มัดแอดจอยต์