ใน ทฤษฎี ทางคณิตศาสตร์ของกลุ่มลีแบบกะทัดรัด กลุ่มย่อยทอรัส โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มย่อย ทอรัสสูงสุดมีบทบาทพิเศษ

โทรัสในกลุ่มลี แบบกระชับ Gคือกลุ่มย่อยลีแบบอาเบเลียนที่กระชับและเชื่อมต่อกันของG (และด้วยเหตุนี้จึงสมมาตรกับ^{[ 1 ]}โทรัสมาตรฐานT ⁿ ) โทรัสสูงสุดคือโทรัสที่สูงสุดในบรรดากลุ่มย่อยดังกล่าว นั่นคือTเป็นโทรัสสูงสุดหากสำหรับโทรัสT ′ ใดๆ ที่มีTเรามีT = T ′ โทรัสทุกตัวมีอยู่ในโทรัสสูงสุดโดย พิจารณาจาก มิติกลุ่มลีที่ไม่กระชับไม่จำเป็นต้องมีโทรัสที่ไม่เป็นศูนย์ (เช่นR ⁿ )

มิติของทอรัสสูงสุดในGเรียกว่าอันดับของGอันดับนี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างดีเนื่องจากทอรัสสูงสุดทั้งหมดล้วนเป็นทอรัสคู่ควบสำหรับ กลุ่ม กึ่งง่ายอันดับจะเท่ากับจำนวนโหนดในแผนภาพไดน์กินที่ เกี่ยวข้อง

กลุ่มเอกภาพ U( n ) มีทอรัสสูงสุดเป็นกลุ่มย่อยของเมทริกซ์แนวทแยง ทั้งหมด นั่นคือ

${\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right):\forall j,\theta _{j}\in \mathbb {R} \right\}.}$

Tมีโครงสร้างสมมาตรกับผลคูณของ วงกลม n วงอย่างชัดเจน ดังนั้นกลุ่มเอกภาพ U( n ) จึงมีอันดับnทอรัสสูงสุดในกลุ่มเอกภาพพิเศษ SU( n ) ⊂ U( n ) คือจุดตัดของTและ SU( n ) ซึ่งเป็นทอรัสที่มีมิติ  n  − 1

ทอรัสสูงสุดในกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษ SO(2 n ) กำหนดโดยเซตของการหมุน พร้อมกันทั้งหมด ใน ระนาบออร์โธโกนอลแบบคู่ n ระนาบใดๆ ที่เลือกไว้ (เช่น ปริภูมิเวกเตอร์สองมิติ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทอรัสสูงสุดหนึ่งอันประกอบด้วยเมทริก ซ์บล็อกแนวทแยงทั้งหมดที่มี บล็อกแนวทแยง โดยที่แต่ละบล็อกแนวทแยงเป็นเมทริกซ์การหมุน นี่ก็เป็นทอรัสสูงสุดในกลุ่ม SO(2 n +1) เช่นกัน โดยที่การกระทำจะกำหนดทิศทางที่เหลือ ดังนั้นทั้ง SO(2 n ) และ SO(2 n +1) จึงมีอันดับnตัวอย่างเช่น ในกลุ่มการหมุน SO(3)ทอรัสสูงสุดจะกำหนดโดยการหมุนรอบแกนคงที่ ${\displaystyle 2\times 2}$

กลุ่ม ซิ ม เพล็กติก Sp( n ) มีอันดับnทอรัสสูงสุดกำหนดโดยเซตของเมทริกซ์แนวทแยงทั้งหมดซึ่งสมาชิกทั้งหมดอยู่ในพีชคณิตย่อยเชิงซ้อนที่กำหนดไว้ของH

ให้Gเป็นกลุ่ม Lie ที่กระชับและเชื่อมต่อกัน และให้เป็นพีชคณิต LieของGผลลัพธ์หลักข้อแรกคือทฤษฎีบททอรัส ซึ่งสามารถกำหนดได้ดังนี้: ^{[ 2 ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ทฤษฎีบททอรัส : ถ้าTเป็นทอรัสสูงสุดที่กำหนดไว้ในGแล้ว สมาชิกทุกตัวในG จะ เป็นคู่สมกับสมาชิกของT

ทฤษฎีบทนี้ส่งผลให้เกิดผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

• ทอรัสสูงสุดทั้งหมดในGนั้นเป็นคู่กัน^{[ 3 ]}
• ทอรัสสูงสุดทั้งหมดมีมิติเดียวกัน ซึ่งเรียกว่าอันดับของG
• โทรัสสูงสุดในGเป็นกลุ่มย่อยอาเบเลียนสูงสุด แต่ในทางกลับกันไม่จำเป็นต้องเป็นจริง^{[ 4 ]}
• ทอรัสสูงสุดในGคือกลุ่มย่อย Lie ที่สอดคล้องกับพีชคณิตย่อยอาเบเลียนสูงสุดของ^{[ 5 ]} (เทียบกับพีชคณิตย่อย Cartan )${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• องค์ประกอบทุกตัวของGอยู่ในทอรัสสูงสุดบางตัว ดังนั้นแผนที่เอกซ์โพเนนเชียลสำหรับGจึงเป็นการส่งแบบทั่วถึง
• ถ้าGมีมิติnและอันดับrแล้วn − rจะเป็นจำนวนคู่

ถ้าTเป็นทอรัสสูงสุดในกลุ่มลีกระชับGเราสามารถกำหนดระบบรากได้ดังนี้ รากเหล่านี้คือค่าน้ำหนักสำหรับการกระทำผกผันของTบนพีชคณิตลีเชิงซ้อนของGเพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ให้แทนพีชคณิตลีของTให้แทนพีชคณิตลีของและให้แทนการทำให้เป็นเชิงซ้อนของแล้วเรากล่าวว่าสมาชิกเป็นรากสำหรับGสัมพันธ์กับTถ้าและมีค่าที่ไม่เป็นศูนย์อยู่ค่าหนึ่งเช่นนั้น ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }:={\mathfrak {g}}\oplus i{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle \alpha \neq 0}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{e^{H}}(X)=e^{i\langle \alpha ,H\rangle }X}$

สำหรับทั้งหมดนี่คือผลคูณภายในคงที่บนซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำผกผันของกลุ่ม Lie ขนาดกะทัดรัดที่เชื่อมต่อกัน ${\displaystyle H\in {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ระบบราก ซึ่งเป็นเซตย่อยของพีชคณิตลีของTมีคุณสมบัติปกติทั้งหมดของระบบราก ยกเว้นว่ารากอาจไม่ครอบคลุม[ ^{6 ] ระบบ}รากเป็นเครื่องมือสำคัญในการทำความเข้าใจทฤษฎีการจำแนกและ การแสดง แทน ของG${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

เมื่อกำหนดทอรัสT (ไม่จำเป็นต้องเป็นทอรัสสูงสุด) กลุ่มเวล์ของGที่เกี่ยวข้องกับTสามารถนิยามได้ว่าเป็นตัวทำให้เป็นมาตรฐานของTโดยหารด้วยตัวทำให้เป็นศูนย์กลางของTนั่นคือ

${\displaystyle W(T,G):=N_{G}(T)/C_{G}(T).}$

กำหนดทอรัสสูงสุดในGจากนั้นกลุ่ม Weyl ที่สอดคล้องกันจะเรียกว่ากลุ่ม Weyl ของG (ซึ่งขึ้นอยู่กับการเลือกT ในระดับไอโซมอร์ฟิซึม ) ${\displaystyle T=T_{0}}$

ผลการวิจัยหลักสองประการแรกเกี่ยวกับกลุ่มวิจัย Weyl มีดังต่อไปนี้

• ตัวกลางของTในGเท่ากับT ดังนั้นกลุ่ม ^Weylจึงเท่ากับN ( T )/ T ^{[ 7} ]
• กลุ่ม Weyl ถูกสร้างขึ้นโดยการสะท้อนเกี่ยวกับรากของพีชคณิต Lie ที่เกี่ยวข้อง^{[ 8 ]}ดังนั้น กลุ่ม Weyl ของTจึงมีลักษณะสมมาตรกับกลุ่ม Weylของระบบรากของพีชคณิต Lie ของG

ต่อไปนี้เราจะกล่าวถึงผลที่ตามมาบางประการจากผลลัพธ์หลักเหล่านี้

• องค์ประกอบสองตัวในTจะเป็นคู่กันก็ต่อเมื่อเป็นคู่กันโดยองค์ประกอบของWเท่านั้น นั่นคือ แต่ละชั้นคู่กันของGจะตัดกับT ในวงโคจร Weyl เพียงวงเดียวเท่านั้น ^{[ 9 ]}ในความเป็นจริง พื้นที่ของชั้นคู่กันในGมีลักษณะทางสัณฐานวิทยาเหมือนกับพื้นที่วงโคจรT / W
• กลุ่ม Weyl กระทำการโดยออโตมอร์ฟิซึม ( ภายนอก ) บนT (และพีชคณิต Lie ของมัน)
• ส่วนประกอบเอกลักษณ์ของตัวทำให้ปกติของTก็เท่ากับT เช่นกัน ดังนั้นกลุ่ม Weyl จึงเท่ากับกลุ่มส่วนประกอบของN ( T )
• กลุ่ม Weyl เป็นกลุ่มจำกัด

ทฤษฎีการแทนของG นั้น ถูกกำหนดโดยพื้นฐานจาก TและW

ยกตัวอย่างเช่น พิจารณากรณีที่เป็นกลุ่มย่อยแนวทแยงของแล้วเป็นสมาชิกของก็ต่อเมื่อแมปแต่ละองค์ประกอบฐานมาตรฐานไปยังพหุคูณขององค์ประกอบฐานมาตรฐานอื่นนั่นคือ ก็ต่อเมื่อสลับตำแหน่งองค์ประกอบฐานมาตรฐาน โดยคูณด้วยค่าคงที่บางค่า ในกรณีนี้ กลุ่มเวล์ (Weyl group) คือกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนบนองค์ประกอบ ${\displaystyle G=SU(n)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle N(T)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle e_{j}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$

สมมติว่าfเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนGแล้วปริพันธ์ของf บน Gเทียบกับมาตรวัด Haar ที่เป็นมาตรฐานdgสามารถคำนวณได้ดังนี้:

${\displaystyle \displaystyle {\int _{G}f(g)\,dg=|W|^{-1}\int _{T}|\Delta (t)|^{2}\int _{G/T}f\left(yty^{-1}\right)\,d[y]\,dt,}}$

โดยที่คือการวัดปริมาตรปกติบนแมนิโฟลด์ผลหารและคือการวัด Haar ปกติบน^{T [ 10 ]}ใน^ที่นี้^Δกำหนดโดยสูตรตัวหาร Weylและคือลำดับของกลุ่ม Weyl กรณีพิเศษที่สำคัญของผลลัพธ์นี้เกิดขึ้นเมื่อfเป็นฟังก์ชันคลาสนั่นคือฟังก์ชันที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การผันกลับ ในกรณีนั้น เรามี ${\displaystyle d[y]}$${\displaystyle G/T}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle |W|}$

${\displaystyle \displaystyle {\int _{G}f(g)\,dg=|W|^{-1}\int _{T}f(t)|\Delta (t)|^{2}\,dt.}}$

พิจารณากรณีตัวอย่างโดยที่เป็นกลุ่มย่อยแนวทแยง จากนั้นสูตรอินทิกรัล Weyl สำหรับฟังก์ชันคลาสจะมีรูปแบบที่ชัดเจนดังต่อไปนี้: ^{[ 11 ]}${\displaystyle G=SU(2)}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \displaystyle {\int _{SU(2)}f(g)\,dg={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }f\left(\mathrm {diag} \left(e^{i\theta },e^{-i\theta }\right)\right)\,4\,\mathrm {sin} ^{2}(\theta )\,{\frac {d\theta }{2\pi }}.}}$

ในที่นี้ค่าการวัด Haar ที่เป็นมาตรฐานบนคือและแทนเมทริกซ์แนวทแยงที่มีสมาชิกแนวทแยงคือ และ${\displaystyle |W|=2}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\frac {d\theta }{2\pi }}}$${\displaystyle \mathrm {diag} \left(e^{i\theta },e^{-i\theta }\right)}$${\displaystyle e^{i\theta }}$${\displaystyle e^{-i\theta }}$

• ทอรัสพีชคณิต
• กลุ่มขนาดกะทัดรัด
• กลุ่มย่อยคาร์ตัน
• พีชคณิตย่อยคาร์ตัน
• พีชคณิตลีทอรัล
• การสลายตัวของบรูฮัต
• สูตรตัวละครของ Weyl
• ทฤษฎีการแทนของกลุ่ม Lie กระชับที่เชื่อมต่อกัน