ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกของกลุ่ม G คือผลหารAut( G ) / Inn( G )โดยที่Aut( G )คือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของGและInn( G ) คือกลุ่มย่อยที่ประกอบด้วยออโตมอร์ฟิซึมภายในกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกมักใช้สัญลักษณ์Out( G )ถ้าOut( G )เป็นกลุ่มที่ไม่มีสมาชิกอื่น และGมีศูนย์กลาง ที่ไม่มีสมาชิกอื่น แล้วGจะเรียกว่าเป็นกลุ่ม สมบูรณ์

ออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่มที่ไม่ใช่ออโตมอร์ฟิซึมภายในเรียกว่า ออโตมอร์ฟิ ซึมภายนอก^{[ 1 ]}โคเซตของInn( G )ที่เกี่ยวข้องกับออโตมอร์ฟิซึมภายนอกจะเป็นองค์ประกอบของOut( G )นี่เป็นตัวอย่างของข้อเท็จจริงที่ว่าผลหารของกลุ่มโดยทั่วไปจะไม่ (สมมาตรกับ) กลุ่มย่อย หากกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายในเป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญ (เมื่อกลุ่มเป็นอาเบล) กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมและกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกจะถูกระบุโดยธรรมชาติ นั่นคือ กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกจะกระทำต่อกลุ่ม

ตัวอย่างเช่น สำหรับกลุ่มสลับA _nกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกมักจะเป็นกลุ่มอันดับ 2 โดยมีข้อยกเว้นดังที่กล่าวไว้ด้านล่าง เมื่อพิจารณาA _nเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มสมมาตรS _nการผันแปรโดยการเรียงสับเปลี่ยนคี่ ใดๆ ก็ตาม จะเป็นออโตมอร์ฟิซึมภายนอกของA _nหรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ "แสดงถึงคลาสของออโตมอร์ฟิซึมภายนอก (ที่ไม่ใช่คลาสว่าง) ของA _n " แต่ออโตมอร์ฟิซึมภายนอกนั้นไม่สอดคล้องกับการผันแปรโดยสมาชิกคี่ใดๆโดยเฉพาะและการผันแปรโดยสมาชิกคี่ทั้งหมดจะเทียบเท่ากับการผันแปรโดยสมาชิกคู่

ข้อสันนิษฐาน ของSchreierกล่าวว่าOut( G )เป็นกลุ่มที่แก้ได้ เสมอ เมื่อGเป็นกลุ่มเชิงเดี่ยว จำกัด ผลลัพธ์นี้เป็นที่ทราบกันดีว่าเป็นจริงในฐานะผลลัพธ์สืบเนื่องมาจากการจำแนกประเภทของกลุ่มเชิงเดี่ยวจำกัดแม้ว่าจะยังไม่มีการพิสูจน์ที่ง่ายกว่านี้ก็ตาม

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกเป็นคู่กันกับศูนย์กลางในความหมายดังต่อไปนี้: การผันแปรโดยสมาชิกของ G เป็นออโตมอร์ฟิซึม ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นแผนที่ σ : G → Aut( G ) เคอร์เนลของแผนที่การผันแปรคือ  ศูนย์กลางในขณะที่โคเคอร์เนลคือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก (และภาพคือ กลุ่ม ออโตมอร์ฟิซึมภายใน ) สิ่งนี้สามารถสรุปได้ด้วยลำดับที่แน่นอน

$${\displaystyle Z(G)\hookrightarrow G\,{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}\,\mathrm {Aut} (G)\twoheadrightarrow \mathrm {ออก} (G)}$$

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกของกลุ่มจะกระทำต่อชั้นสมมูลและด้วยเหตุนี้จึงกระทำต่อตารางอักขระดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ ตารางอักขระ: ออโตมอร์ฟิ ซึม ภายนอก

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกมีความสำคัญในทางโทโพโลยีของพื้นผิวเนื่องจากมีความเชื่อมโยงที่ได้จากทฤษฎีบทเดห์น-นีลเซน กล่าวคือ กลุ่มการแมปแบบขยาย ของพื้นผิวคือกลุ่ม ออ โตมอร์ฟิซึมภายนอกของกลุ่มพื้นฐาน ของพื้นผิวนั้น

สำหรับกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกของกลุ่มง่ายจำกัดทั้งหมด โปรดดูรายการกลุ่มง่ายจำกัดกลุ่มง่ายแบบสปอราดิกและกลุ่มสลับ (นอกเหนือจากกลุ่มสลับA ₆ดูด้านล่าง) ทั้งหมดมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกที่มีอันดับ 1 หรือ 2 กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกของกลุ่มง่ายจำกัดประเภท Lieเป็นส่วนขยายของกลุ่ม "ออโตมอร์ฟิซึมแนวทแยง" (เป็นวัฏจักรยกเว้นD _n ( q )ซึ่งมีอันดับ 4) กลุ่ม "ออโตมอร์ฟิซึมฟิลด์" (เป็นวัฏจักรเสมอ) และกลุ่ม "ออโตมอร์ฟิซึมกราฟ" (มีอันดับ 1 หรือ 2 ยกเว้นD ₄ ( q )ซึ่งเป็นกลุ่มสมมาตรบน 3 จุด) ส่วนขยายเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องเป็นผลคูณกึ่งตรง เสมอไป ดังที่กรณีของกลุ่มสลับA ₆แสดงให้เห็น เกณฑ์ที่แม่นยำสำหรับสิ่งนี้เกิดขึ้นได้รับการกำหนดไว้ในปี 2003 ^{[ 2 ]}

กลุ่ม	พารามิเตอร์	ออก( G )	| ออก( G ) |
ซ		ซี2	2 : เอกลักษณ์และออโตมอร์ฟิซึมภายนอกx ↦ − x
ซีเอ็น	n > 2	(ℤ/ n ℤ) ×	φ ( n ) =; หนึ่งที่สอดคล้องกับการคูณด้วยองค์ประกอบที่ผกผันได้ในริงℤ/ n ℤ. ${\displaystyle n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$
Z p n	pจำนวนเฉพาะ, n > 1	GL n ( p )	( p n − 1)( p n − p )( p n − p 2 )...( p n − p n −1 )
สน	n ≠ 6	ซี1	1
เอส6		C 2 (ดูด้านล่าง)	2
หนึ่ง​	n ≠ 6	ซี2	2
เอ6		C 2 × C 2 (ดูด้านล่าง)	4
PSL 2 ( หน้า )	p > 3ไพรม์	ซี2	2
PSL 2 (2 n )	n > 1	ซีเอ็น	n
PSL 3 (4) = M 21		ดิห์6	12
ม.น.​	n ∈ {11, 23, 24}	ซี1	1
ม.น.​	n ∈ {12, 22}	ซี2	2
คอน​	n ∈ {1, 2, 3}	ซี1	1

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกของกลุ่มง่ายจำกัดในตระกูลอนันต์ของกลุ่มง่ายจำกัดนั้น แทบจะสามารถกำหนดได้ด้วยสูตรสม่ำเสมอที่ใช้ได้กับสมาชิกทั้งหมดของตระกูลนั้น มีเพียงข้อยกเว้นเดียวเท่านั้น: ^{[ 3 ]}กลุ่มสลับA ₆มีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกอันดับ 4 แทนที่จะเป็น 2 เหมือนกับกลุ่มสลับง่ายอื่นๆ (กำหนดโดยการผันแปรแบบคี่)หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ กลุ่มสมมาตรS ₆เป็นกลุ่มสมมาตรเพียงกลุ่มเดียวที่มีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกที่ไม่เป็นศูนย์

${\displaystyle {\begin{aligned}n\neq 6:\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{n})&=\mathrm {C} _{1}\\n\geq 3,\ n\neq 6:\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{n})&=\mathrm {C} _{2}\\\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{6})&=\mathrm {C} _{2}\\\ชื่อผู้ดำเนินการ {Out} (\mathrm {A} _{6})&=\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\end{aligned}}}$

โปรดทราบว่า ในกรณีของG = A ₆ = PSL(2, 9)ลำดับ1 ⟶ G ⟶ Aut( G ) ⟶ Out( G ) ⟶ 1ไม่สามารถแยกได้ ผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับPSL(2, q ² ) ใดๆ ก็ตาม โดย ที่ qเป็นจำนวนคี่

ให้Gเป็นกลุ่มรีดักทีฟ ที่เชื่อมต่อกัน เหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต แล้ว กลุ่มย่อยบอเรลสองกลุ่มใดๆจะเป็นคู่สมกันโดยออโตมอร์ฟิซึมภายใน ดังนั้นในการศึกษาออโตมอร์ฟิซึมภายนอก จึงเพียงพอที่จะพิจารณาออโตมอร์ฟิซึมที่ตรึงกลุ่มย่อยบอเรลที่กำหนดให้ กลุ่มย่อยบอเรลนั้นเกี่ยวข้องกับเซตของรากเชิงเดี่ยวและออโตมอร์ฟิซึมภายนอกอาจสลับตำแหน่งของรากเหล่านั้น ในขณะที่ยังคงรักษาโครงสร้างของไดอะแกรมไดน์กิน ที่เกี่ยวข้องไว้ ด้วยวิธีนี้ เราสามารถระบุกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของไดอะแกรมไดน์กินของGกับกลุ่มย่อยของOut( G )ได้

D ₄มีไดอะแกรม Dynkin ที่สมมาตรมาก ซึ่งให้กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกขนาดใหญ่ของSpin(8)นั่นคือOut(Spin(8)) = S ₃ซึ่งเรียกว่าไตรภาวะ

การตีความออโตมอร์ฟิซึมภายนอกในฐานะสมมาตรของไดคินไดอะแกรมที่กล่าวมาข้างต้นนั้น มาจากข้อเท็จจริงทั่วไปที่ว่า สำหรับพีชคณิตลีแบบง่ายเชิงซ้อนหรือเชิงจริง𝔤กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมAut( 𝔤 )เป็นผลคูณกึ่งตรงของInn( 𝔤 )และOut( 𝔤 )กล่าวคือลำดับที่แน่นอนแบบสั้น

1 ⟶ โรงแรม( 𝔤 ) ⟶ อัตโนมัติ( 𝔤 ) ⟶ ออก( 𝔤 ) ⟶ 1

แยกออก ในกรณีที่ซับซ้อนและเรียบง่าย นี่เป็นผลลัพธ์แบบคลาสสิก^{[ 4 ]}ในขณะที่สำหรับพีชคณิต Lie ที่เรียบง่ายจริง ข้อเท็จจริงนี้ได้รับการพิสูจน์เมื่อเร็ว ๆ นี้ในปี 2010 ^{[ 5 ]}

คำว่าouter automorphism นั้น สามารถนำมาเล่นคำได้ กล่าวคือ บางครั้งคำว่าoutermorphismก็ถูกใช้แทนouter automorphismและเรขาคณิต เฉพาะ ที่Out( F _n )กระทำอยู่นั้นเรียกว่าouter space

• กลุ่มคลาสการแมป
• ออก( F _n )
• อวกาศ

• ATLAS of Finite Group Representations-V3ประกอบด้วยข้อมูลมากมายเกี่ยวกับกลุ่มจำกัดประเภทต่างๆ (โดยเฉพาะกลุ่มง่ายแบบสปอราดิก) รวมถึงลำดับของOut( G )สำหรับแต่ละกลุ่มที่ระบุไว้