ในทางคณิตศาสตร์ถ้าGเป็นกลุ่มและρเป็นการแทนเชิงเส้นของกลุ่มนั้นบนปริภูมิเวกเตอร์Vแล้วการแทนคู่ρ*จะถูกกำหนดบนปริภูมิเวกเตอร์คู่V *ดังต่อไปนี้: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

ρ*( g )คือทรานสโพสของρ ( g ⁻¹ )นั่นคือρ*( g ) = ρ( g ⁻¹ ) ^Tสำหรับทุกg ∈ G

การ แสดง ผลแบบคู่ขนานเรียกอีกอย่างว่าการแสดงผลแบบขัดแย้ง

ถ้าgเป็นพีชคณิตลีและπเป็นการแทนของพีชคณิตลีบนปริภูมิเวกเตอร์Vแล้ว การแทนแบบคู่π*จะถูกกำหนดบนปริภูมิเวกเตอร์คู่V *ดังต่อไปนี้: ^{[ 3 ]}

π *( X ) = −π( X ) ^TสำหรับทุกX ∈ g

แรงจูงใจเบื้องหลังคำจำกัดความนี้คือ การแทนพีชคณิตลีที่เกี่ยวข้องกับคู่ของ การแทน กลุ่มลีนั้นคำนวณได้จากสูตรข้างต้น แต่คำจำกัดความของคู่ของการแทนพีชคณิตลีนั้นก็มีความหมายแม้ว่าจะไม่ได้มาจากการแทนกลุ่มลีก็ตาม

ในทั้งสองกรณี การแสดงผลแบบคู่ขนานเป็นการแสดงผลในความหมายปกติ

ถ้าการแสดงแทน (มิติจำกัด) ไม่สามารถลดทอนได้ การแสดงแทนคู่ก็จะไม่สามารถลดทอนได้เช่นกัน^{[ 4 ]} —แต่ไม่จำเป็นต้องสมมาตรกับการแสดงแทนดั้งเดิม ในทางกลับกัน การแสดงแทนคู่ของการแสดงแทนคู่ใดๆ จะสมมาตรกับการแสดงแทนดั้งเดิม

พิจารณาการแสดงแทนแบบเอกภาพของกลุ่มและให้เราทำงานในฐานเชิงตั้งฉากปกติดังนั้น จึงแปลงไปยังกลุ่มของเมทริกซ์เอกภาพ จากนั้นการสลับตำแหน่งแบบนามธรรมในนิยามของการแสดงแทนแบบคู่ขนานอาจถูกระบุว่าเป็นการสลับตำแหน่งของเมทริกซ์ธรรมดา เนื่องจากตัวผกผันของเมทริกซ์ คือค่าสังยุคเชิงซ้อนของการสลับตำแหน่ง ดังนั้นการสลับตำแหน่งจึงเป็นค่าสังยุคของตัวผกผัน ดังนั้นคือค่าสังยุคเชิงซ้อนของตัวผกผันของเมทริกซ์ผกผันของแต่เนื่องจากถือว่าเป็นเอกภาพ ตัวผกผันของเมทริกซ์ผกผันของจึงเป็นเพียง ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho ^{\ast }(g)}$${\displaystyle \rho (g)}$${\displaystyle \rho (g)}$${\displaystyle \rho (g)}$${\displaystyle \rho (g)}$

โดยสรุปจากการอภิปรายนี้ก็คือ เมื่อทำงานกับตัวแทนเอกภาพในฐานออร์โทนอร์มอลจะเป็นเพียงค่าสังยุคเชิงซ้อนของเท่านั้น ${\displaystyle \rho ^{*}(g)}$${\displaystyle \rho (g)}$

ในทฤษฎีการแสดงแทนของ SU(2) คู่ของแต่ละการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้กลับกลายเป็นไอโซมอร์ฟิกกับการแสดงแทน แต่สำหรับการแสดงแทนของ SU(3)คู่ของการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ที่มีป้ายกำกับคือการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ที่มีป้ายกำกับ[ ^{5 ] โดย}เฉพาะอย่างยิ่ง การแสดงแทนสามมิติมาตรฐานของ SU(3) (ที่มีน้ำหนักสูงสุด) ไม่ไอโซมอร์ฟิกกับคู่ของมัน ในทฤษฎีของควาร์กในวรรณกรรมฟิสิกส์ การแสดงแทนมาตรฐานและคู่ของมันเรียกว่า " " และ " " ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$${\displaystyle (m_{2},m_{1})}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle {\bar {3}}}$

โดยทั่วไปแล้ว ในทฤษฎีการแทนของพีชคณิตลีแบบกึ่งง่าย (หรือทฤษฎีการแทนที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดของกลุ่มลีแบบกะทัดรัด ) น้ำหนักของการแทนแบบคู่จะเป็นค่าลบของน้ำหนักของการแทนแบบดั้งเดิม^{[ 6 ]} (ดูรูป) ตอนนี้ สำหรับพีชคณิตลีที่กำหนด หากตัวดำเนินการเป็นสมาชิกของกลุ่ม Weylน้ำหนักของการแทนทุกตัวจะไม่เปลี่ยนแปลงโดยอัตโนมัติภายใต้แผนที่สำหรับพีชคณิตลีดังกล่าว การแทนแบบลดทอนไม่ได้ ทุกตัวจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับการแทนแบบคู่ (นี่คือสถานการณ์สำหรับ SU(2) ซึ่งกลุ่ม Weyl คือ) พีชคณิตลีที่มีคุณสมบัตินี้รวมถึงพีชคณิตลีเชิงตั้งฉากคี่(ประเภท) และพีชคณิตลีเชิงซิมเพล็กติก (ประเภท) ${\displaystyle -I}$${\displaystyle \mu \mapsto -\mu }$${\displaystyle \{I,-I\}}$${\displaystyle \operatorname {so} (2n+1;\mathbb {C} )}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle \operatorname {sp} (n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle C_{n}}$

ถ้าสำหรับพีชคณิต Lie ที่กำหนดไม่อยู่ในกลุ่ม Weyl แล้วคู่ของการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้โดยทั่วไปจะไม่สมมาตรกับการแสดงแทนดั้งเดิม เพื่อทำความเข้าใจว่าสิ่งนี้ทำงานอย่างไร เราสังเกตว่ามีองค์ประกอบกลุ่ม Weyl ที่ไม่ซ้ำกัน เสมอ ที่แมปค่าลบของห้อง Weyl พื้นฐานไปยังห้อง Weyl พื้นฐาน จากนั้นถ้าเรามีการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ที่มีน้ำหนักสูงสุดน้ำหนักต่ำสุดของการแสดงแทนแบบคู่จะเป็นดังนั้นจึงสรุปได้ว่าน้ำหนักสูงสุดของ การแสดงแทนแบบคู่จะ เป็น^{[ 7 ]}เนื่องจากเราสมมติว่าไม่อยู่ในกลุ่ม Weyl ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นซึ่งหมายความว่าแผนที่ไม่ใช่เอกลักษณ์ แน่นอน อาจยังคงเกิดขึ้นได้ว่าสำหรับตัวเลือกพิเศษบางอย่างของเราอาจมีการแสดงแทนแบบผกผันเช่น จะสมมาตรกับคู่ของมันเสมอ ${\displaystyle -I}$${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle -\mu }$${\displaystyle w_{0}\cdot (-\mu )\,}$${\displaystyle -I}$${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle -I}$${\displaystyle \mu \mapsto w_{0}\cdot (-\mu )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu =w_{0}\cdot (-\mu )}$

ในกรณีของ SU(3) (หรือพีชคณิต Lie ที่ซับซ้อนของมัน) เราอาจเลือกฐานที่ประกอบด้วยรากสองรากที่ทำมุม 120 องศา เพื่อให้รากบวกที่สามคือในกรณีนี้ องค์ประกอบคือการสะท้อนเกี่ยวกับเส้นที่ตั้งฉากกับ จากนั้นแผนที่คือการสะท้อนเกี่ยวกับเส้นที่ผ่าน^{[ 8 ]}การแสดงแทนแบบคู่ตัวเองจะเป็นการแสดงแทนที่อยู่ตามเส้นที่ผ่านเหล่านี้คือการแสดงแทนที่มีป้ายกำกับในรูปแบบซึ่งเป็นการแสดงแทนที่มีแผนภาพน้ำหนักเป็นรูปหกเหลี่ยม ปกติ${\displaystyle \operatorname {sl} (3;\mathbb {C} )}$${\displaystyle \{\alpha _{1},\alpha _{2}\}}$${\displaystyle \alpha _{3}=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle \alpha _{3}}$${\displaystyle \mu \mapsto w_{0}\cdot (-\mu )}$${\displaystyle \alpha _{3}}$${\displaystyle \alpha _{3}}$${\displaystyle (m,m)}$

ในทฤษฎีการแทนค่า เวกเตอร์ในVและฟังก์ชันเชิงเส้นในV * ต่าง ก็ถูกพิจารณาว่าเป็นเวกเตอร์คอลัมน์เพื่อให้การแทนค่าสามารถกระทำได้ (โดยการคูณเมทริกซ์) จากทางซ้ายเมื่อกำหนดฐานสำหรับVและฐานคู่สำหรับV *แล้ว การกระทำของฟังก์ชันเชิงเส้นφบนv , φ(v)สามารถแสดงได้โดยการคูณเมทริกซ์

${\displaystyle \langle \varphi ,v\rangle \equiv \varphi (v)=\varphi ^{T}v}$,

โดยที่ตัวยกTคือการสลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ ความสอดคล้องต้องอาศัยสิ่งนี้

${\displaystyle \langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\rangle =\langle \varphi ,v\rangle .}$^{[ 9 ]}

จากนิยามที่ให้มา

${\displaystyle \langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\rangle =\langle \rho (g^{-1})^{T}\varphi ,\rho (g)v\rangle =(\rho (g^{-1})^{T}\varphi )^{T}\rho (g)v=\varphi ^{T}\rho (g^{-1})\rho (g)v=\varphi ^{T}v=\langle \varphi ,v\rangle .}$

สำหรับการแสดงแทนพีชคณิตลีนั้น จะเลือกความสอดคล้องกับการแสดงแทนกลุ่มที่เป็นไปได้ โดยทั่วไป ถ้าΠเป็นการแสดงแทนของกลุ่มลีแล้วπจะกำหนดโดย

${\displaystyle \pi (X)={\frac {d}{dt}}\Pi (e^{tX})|_{t=0}.}$

เป็นการแทนพีชคณิตลีของมัน ถ้าΠ*เป็นคู่กันกับΠแล้ว การแทนพีชคณิตลีที่สอดคล้องกันπ*จะกำหนดโดย

${\displaystyle \pi ^{*}(X)={\frac {d}{dt}}\Pi ^{*}(e^{tX})|_{t=0}={\frac {d}{dt}}\Pi (e^{-tX})^{T}|_{t=0}=-\pi (X)^{T}.}$   ^{[ 10 ]}

พิจารณากลุ่มของจำนวนเชิงซ้อนที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1 การแสดงผลแบบลดทอนไม่ได้ทั้งหมดมีมิติเดียว ซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบทของชูร์การแสดงผลแบบลดทอนไม่ได้เหล่านี้ถูกกำหนดพารามิเตอร์ด้วยจำนวนเต็มและระบุไว้อย่างชัดเจนดังนี้ ${\displaystyle G=U(1)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \rho _{n}(e^{i\theta })=[e^{in\theta }].}$

การแสดงผลแบบคู่ขนานของเมทริกซ์นี้คือเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์สลับตำแหน่งของเมทริกซ์ขนาด 1x1 นี้ นั่นคือ ${\displaystyle \rho _{n}}$

${\displaystyle \rho _{n}^{*}(e^{i\theta })=[e^{-in\theta }]=\rho _{-n}(e^{i\theta })}$

กล่าวคือ ปริภูมิคู่ของปริภูมิแทนนั้นคือ. ${\displaystyle \rho _{n}}$${\displaystyle \rho _{-n}}$

โมดูลวงแหวนทั่วไปไม่ยอมรับการแสดงแทนแบบคู่ขนานอย่างไรก็ตาม โมดูลของ พีชคณิตฮอปฟ์ ยอมรับการแสดงแทนแบบคู่ขนานได้

• การแสดงผลคู่ควบเชิงซ้อน
• ผลคูณเทนเซอร์ของการแสดงแทน
• สูตรตัวละครคิริลลอฟ