ใน สาขา คณิตศาสตร์ของทฤษฎี Lieนั้นพีชคณิต Lie แบบแยกส่วนคือคู่ที่เป็นพีชคณิต Lieและเป็นพีชคณิตย่อย Cartanแบบแยกส่วนโดยที่ "การแยกส่วน" หมายความว่า สำหรับทุก สามารถทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยมได้หากพีชคณิต Lie ยอมรับการแยกส่วน จะเรียกว่าพีชคณิตLie แบบแยกส่วนได้^{[ 1 ]}โปรดทราบว่าสำหรับพีชคณิต Lie แบบลดรูป พีชคณิตย่อย Cartan จำเป็นต้องมีศูนย์กลาง ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}<{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}x}$

บนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตเช่นจำนวนเชิงซ้อนพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายทั้งหมดสามารถแยกได้ (อันที่จริง ไม่เพียงแต่พีชคณิตย่อยคาร์ตันจะทำงานโดยเมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยมได้เท่านั้น แต่ยังทำงานโดยเมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้ด้วย) และการแยกทั้งหมดเป็นการผันกลับแบบคอนจูเกต ดังนั้นพีชคณิตลีแบบแยกจึงมีความน่าสนใจมากที่สุดสำหรับฟิลด์ที่ไม่ปิดเชิงพีชคณิต

พีชคณิตลีแบบแยกส่วนมีความน่าสนใจทั้งในแง่ที่ว่ามันทำให้รูปแบบจริงแบบแยกส่วนของพีชคณิตลีเชิงซ้อนเป็นทางการ และเนื่องจากพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายแบบแยกส่วน (โดยทั่วไปแล้ว พีชคณิตลีแบบลดรูปแบบแยกส่วน) บนฟิลด์ใดๆ ก็ตามมีคุณสมบัติหลายอย่างร่วมกับพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายบนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต – เช่น มีทฤษฎีการแทนแบบเดียวกัน – พีชคณิตย่อยคาร์ตันแบบแยกส่วนทำหน้าที่เหมือนกับที่พีชคณิตย่อยคาร์ตันทำหน้าที่บนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต นี่คือแนวทางที่ใช้ใน ( Bourbaki 2005 ) เป็นต้น

• บนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต พีชคณิตย่อยคาร์ตันทั้งหมดจะเป็นคู่สมกัน บนฟิลด์ที่ไม่ปิดเชิงพีชคณิต พีชคณิตย่อยคาร์ตันทั้งหมดจะไม่เป็นคู่สมกันโดยทั่วไป อย่างไรก็ตาม ในพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายที่สามารถ แยกได้ พีชคณิตคาร์ตัน ที่สามารถแยกได้ ทั้งหมด จะเป็นคู่สมกัน
• บนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต พีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายทั้งหมดสามารถแยกออกได้
• บนฟิลด์ที่ไม่ปิดทางพีชคณิต จะมีพีชคณิต Lie กึ่งง่ายที่ไม่สามารถแยกได้^{[ 2 ]}
• ในพีชคณิต Lie ที่แยกได้อาจมีพีชคณิตย่อย Cartan ที่ไม่สามารถแยกได้^{[ 3 ]}
• ผลรวมโดยตรงของพีชคณิตลีแบบแยกส่วนได้และอุดมคติในพีชคณิตลีแบบแยกส่วนได้นั้นสามารถแยกส่วนได้

สำหรับพีชคณิต Lie จริง การแยกได้จะเทียบเท่ากับเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งต่อไปนี้: ^{[ 4 ]}

• อันดับจริงเท่ากับอันดับเชิงซ้อน
• แผนภาพซาตาเกะไม่มีทั้งจุดยอดสีดำและลูกศร

พีชคณิต Lie กึ่งง่ายที่ซับซ้อนทุกตัวจะมีพีชคณิต Lie จริงแบบแยกส่วนที่ไม่ซ้ำกัน (ขึ้นอยู่กับไอโซมอร์ฟิซึม) ซึ่งก็เป็นกึ่งง่ายเช่นกัน และจะเป็นแบบง่ายก็ต่อเมื่อพีชคณิต Lie ที่ซับซ้อนเป็นแบบง่าย^{[ 5 ]}

สำหรับพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายที่แท้จริง พีชคณิตลีแบบแยกส่วนจะตรงข้ามกับพีชคณิตลีแบบกะทัดรัด กล่าว คือ กลุ่มลีที่สอดคล้องกันนั้น"ห่างไกลที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้" จากการเป็นกลุ่มกะทัดรัด

รูปแบบจริงแยกส่วนสำหรับพีชคณิต Lie กึ่งง่ายเชิงซ้อนมีดังนี้: ^{[ 6 ]}

• ${\displaystyle A_{n},{\mathfrak {sl}__{n+1}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {sl}__{n+1}(\mathbf {R} )}$
• ${\displaystyle B_{n},{\mathfrak {so}__{2n+1}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {so}__{n,n+1}(\mathbf {R} )}$
• ${\displaystyle C_{n},{\mathfrak {sp}__{n}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {sp}__{n}(\mathbf {R} )}$
• ${\displaystyle D_{n},{\mathfrak {so}__{2n}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {so}__{n,n}(\mathbf {R} )}$
• พีชคณิตลีแบบพิเศษ: มีรูปแบบจริงแบบแยกส่วนE I , E V, E VIII, F I, G${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$

นี่คือพีชคณิตลีของกลุ่มจริงแยกส่วนของกลุ่มลีเชิงซ้อน

โปรดทราบว่าสำหรับและรูปแบบจริงคือจุดจริงของ (พีชคณิตลีของ) กลุ่มพีชคณิต เดียวกัน ในขณะที่สำหรับต้องใช้รูปแบบแยก (ที่มีดัชนีไม่แน่นอนสูงสุด) เนื่องจากกลุ่ม SO เป็นกลุ่มกระชับ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}}$${\displaystyle {\mathfrak {ดังนั้น}}}$

• พีชคณิตลีแบบกะทัดรัด
• รูปแบบที่แท้จริง
• จำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วน
• กลุ่มออร์โธโกนอลแยก