ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มลูปในความหมายทั่วไปของทฤษฎีลี คือกลุ่มLG = C ^∞ ( S ¹ , G )ของแผนที่เรียบจากวงกลมS ¹ไปยังกลุ่มลีGโดยมีการคูณที่กำหนดไว้ที่จุดต่อจุด [ ^{1 ] เมื่อ} G เป็นกลุ่มลีแบบกระชับLGเป็นตัวอย่างพื้นฐานของกลุ่มลีมิติอนันต์โดยมีพีชคณิตลีL 𝔤 = C ^∞ ( S ¹ , 𝔤) ^{[ 2 ] [ 3 ]}

กลุ่มย่อยΩ Gของลูปฐานเป็นพื้นฐานในทฤษฎีโฮโมโทปีในขณะที่ส่วนขยายกลางของกลุ่มลูปและการแสดงแทนเชิงโปรเจกทีฟมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับพีชคณิต Kac–Moody เชิงเส้นตรงทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอ ล และสูตร Verlinde ^{[ 1 ] [ 4 ]}ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ยังมีการศึกษากลุ่มลูปเชิงพีชคณิตซึ่งกำหนดโดยLG ( R ) = G ( R (( t )))พร้อมกับGrassmannian เชิงเส้นตรงและวาไรตี้ธงเชิงเส้นตรง ที่เกี่ยวข้อง ^{[ 5 ]}

ให้Gเป็นกลุ่มโทโพโลยี เซตC ( S ¹ , G )ของแผนที่ต่อเนื่องจากวงกลมไปยังG จะกลาย เป็นกลุ่มโทโพโลยีภายใต้การคูณแบบจุดต่อจุดเมื่อติดตั้งด้วย โทโพโล ยีแบบกระชับ-เปิด^{[ 6 ]}เนื่องจากS ¹เป็นแบบกระชับ นี่จึงเหมือนกับโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ^{[ 6 ]}

ในทฤษฎีการโกหก โดยทั่วไปจะพิจารณากลุ่ม

${\displaystyle LG=C^{\infty }(S^{1},G)}$

ของลูปเรียบในกลุ่มลีมิติจำกัดGซึ่งมีโทโพโลยีแบบเรียบ กระชับ และเปิด กล่าวคือ โทโพโลยีเริ่มต้นที่เกิดจากการแมปสัมผัสแบบวนซ้ำ

${\displaystyle C^{\infty }(S^{1},G)\to \prod _{k\geq 0}C(T^{k}S^{1},T^{k}G).}$

ด้วยโทโพโลยีนี้LGจึงเป็นกลุ่ม Lie ที่มีมิติอนันต์^{[ 7 ] [ 2 ]}

พีชคณิตลีของมันคือ

${\displaystyle L{\mathfrak {g}}=C^{\infty }(S^{1},{\mathfrak {g}}),}$

ด้วยวงเล็บแบบจุดต่อจุด เนื่องจากS ¹เป็นเซตกระชับ โทโพโลยีแบบกระชับเปิดเรียบบนคือโทโพโลยีแบบเฟรเชต์ของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอของอนุพันธ์ทั้งหมดบนS ¹หรือเทียบเท่า หลังจากเลือกพิกัดเชิงมุมบนS ¹และนอร์มบน\mathfrak gแล้ว จะถูกกำหนดโดยเซมินอร์ม ${\displaystyle L{\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle p_{n}(X)=\sup _{\theta \in S^{1}}\|X^{(n)}(\theta )\|\qquad (n\geq 0).}$^{[ 8 ]}

สำหรับG ขนาดกะทัดรัด กลุ่มลูปเรียบจะถูกจำลองบนพื้นที่ Fréchetนิวเคลียร์^{[ 9 ]}

กลุ่มลูปอิสระของGคือLGนั่นเองกลุ่มลูปพื้นฐานคือ

${\displaystyle \Omega G=\{\gamma \in LG:\gamma (1)=e\},}$

แกนหลักของแผนที่การประเมิน

${\displaystyle \operatorname {ev} _{1}:LG\to G,\qquad \gamma \mapsto \gamma (1).}$

ดังนั้นΩ Gจึงเป็นกลุ่มย่อยปกติแบบปิดของLGการรวมลูปคงที่ทำให้เกิดการแยกของev ₁ดังนั้นจึงมีลำดับที่แน่นอนแบบแยก

${\displaystyle 1\to \Omega G\to LG\xrightarrow {\operatorname {ev} _{1}} G\to 1,}$

และด้วยเหตุนี้จึงเป็นการสลายตัวของผลิตภัณฑ์แบบกึ่งทางตรง

${\displaystyle LG\cong \Omega G\rtimes G.}$^{[ 1 ]}

ในฐานะปริภูมิเชิงทอพอโลยีΩ GคือปริภูมิวงวนฐานของGผลคูณแบบจุดต่อจุดและการต่อกันตามปกติของวงวนฐานเป็นการดำเนินการที่แตกต่างกัน แต่เหนี่ยวนำให้เกิดการคูณแบบเดียวกันจนถึงโฮโมโทปี นี่คือการแสดงออกของอาร์กิวเมนต์Eckmann–Hilton ^{[ 1 ]}

การแบ่งแผนที่การประเมิน

${\displaystyle \operatorname {ev} _{1}:LG\to G}$

โดยการใช้ลูปคงที่ จะระบุLGกับG × Ω Gในฐานะปริภูมิเชิงทอพอโลยี:

${\displaystyle LG\cong G\times \Omega G,\qquad \gamma \mapsto {\bigl (}\gamma (1),\,\gamma (1)^{-1}\gamma {\bigr )}.}$

ดังนั้นโทโพโลยีของLGจึงถูกกำหนดโดยโทโพโลยีของ^Gพร้อมกับพื้นที่ลูปพื้นฐานΩ G ^{[ 1} ]

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของLGจะถูกจำแนกตาม

${\displaystyle \pi _{0}(LG)\cong \pi _{0}(G)\times \pi _{0}(\Omega G).}$

ถ้าGเชื่อมต่อแล้วดังนั้น ${\displaystyle \pi _{0}(\Omega G)\cong \pi _{1}(G)}$

${\displaystyle \pi _{0}(LG)\cong \pi _{1}(G)}$

ดังนั้นLGจะเชื่อมต่อเมื่อใดก็ตามที่Gเชื่อมต่อแบบง่าย^{[ 1 ]}

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับแต่ละk ≥ 1

${\displaystyle \pi _{k}(LG)\cong \pi _{k}(G)\oplus \pi _{k}(\Omega G)\cong \pi _{k}(G)\oplus \pi _{k+1}(G)}$

ดังนั้นกลุ่มโฮโมโทปีของกลุ่มลูปจะถูกกำหนดโดยกลุ่มโฮโมโทปีของGที่เลื่อนไปหนึ่งระดับพร้อมกับกลุ่มโฮโมโทปีของGเอง^{[ 1 ]}

การระบุพื้นฐานเหล่านี้เป็นเหตุผลหนึ่งที่ทำให้กลุ่มลูปมีความสำคัญในโทโพโลยีเชิงพีชคณิต ในกรณีเอกภาพ พวกมันมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับความเป็นคาบของบอตต์และแบบจำลองกราสส์มันน์ของเซกัลของปริภูมิเอกพันธุ์LG / G ≅ Ω Gทำให้ความสัมพันธ์นี้ชัดเจน^{[ 2 ]}

นอกจากการคูณแบบจุดต่อจุดแล้ว กลุ่มลูปยังทำหน้าที่ตามธรรมชาติของวงกลมโดยการหมุนพารามิเตอร์:

${\displaystyle (R_{\phi }\gamma )(e^{i\theta })=\gamma (e^{i(\theta +\phi )}).}$

ซึ่งทำให้สามารถสร้างผลิตภัณฑ์กึ่งทางตรงได้

${\displaystyle T_{\mathrm {rot} }\ltimes LG,}$

โดยที่T _rotกระทำต่อLGโดยการหมุน^{[ 2 ]}

การกระทำนี้เป็นจุดเริ่มต้นของทฤษฎีการแสดงพลังงานบวก การแสดงของLGกล่าวได้ว่ามีพลังงานบวกหากมีการกระทำบวกของT _rotทำให้เป็นการแสดงของในสูตรของ Segal การกระทำของเป็นบวกหากกำหนดโดยสำหรับตัวดำเนินการAซึ่งสเปกตรัมมีขอบเขตล่าง^{[ 2 ]}${\displaystyle T_{\mathrm {rot} }\ltimes LG}$${\displaystyle e^{i\phi }\in T_{\mathrm {rot} }}$${\displaystyle e^{iA\phi }}$

สำหรับG ขนาดกะทัดรัด การแสดงพลังงานบวกที่ไม่สามารถลดทอนได้ถือเป็นคลาสที่โดดเด่นของการแสดงเชิงโปรเจกทีฟของกลุ่มลูป พวกมันขยายแบบโฮโลมอร์ฟิกไปยังกลุ่มลูปที่ซับซ้อนและแยกออกเป็นปริภูมิพลังงานมิติจำกัด^{[ 2 ]}ด้วยเหตุนี้ ทฤษฎีการแสดงแทนของกลุ่มลูปของG ขนาดกะทัดรัด จึงมักคล้ายกับทฤษฎีการแสดงแทนของกลุ่มขนาดกะทัดรัด

ถ้าGเป็นกลุ่มลีที่มีมิติจำกัด ปริภูมิของลูปที่เหมาะสมในGจะสืบทอดโครงสร้างแมนิโฟลด์ที่มีมิติอนันต์ สำหรับลูปเรียบLGคือ กลุ่มลี แบบเฟรเชต์และพีชคณิตลีของมันคือพีชคณิตลูป

${\displaystyle L{\mathfrak {g}}=C^{\infty }(S^{1},{\mathfrak {g}}),}$

ด้วยวงเล็บแบบจุดต่อจุด

${\displaystyle [X,Y](z)=[X(z),Y(z)].}$^{[ 2 ] [ 1 ]}

แผนที่เลขชี้กำลังถูกสร้างขึ้นแบบจุดต่อจุดจากแผนที่เลขชี้กำลังของG :

${\displaystyle \exp _{LG}(X)(z)=\exp _{G}(X(z)).}$

สำหรับG ขนาดกะทัดรัด กลุ่มลูปเป็นหนึ่งในตัวอย่างที่ง่ายที่สุดและได้รับการศึกษามากที่สุดของกลุ่ม Lie มิติอนันต์^{[ 2 ]}

เพื่อพัฒนาเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์บนกลุ่มลูป มักจะใช้การเติมเต็มของSobolev L _s Gโดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มลูปพื้นฐานของกลุ่ม Lie ขนาดกะทัดรัด เชื่อมต่อ เชื่อมต่ออย่างง่าย และเรียบง่าย จะมีโครงสร้างทางเรขาคณิตตามธรรมชาติ รวมถึงเมตริก Kähler ในการตั้งค่า Hilbert-manifold ^{[ 3 ]}

ผลหารLG / Gโดยที่Gฝังตัวเป็นกลุ่มย่อยของลูปคงที่ สามารถระบุได้ด้วยΩ Gมุมมองพื้นที่เอกรูปนี้เป็นศูนย์กลางในเรขาคณิตของกลุ่มลูป^{[ 2 ] [ 3 ]}

ถ้าGเป็นกลุ่มกระชับและG _ℂเป็นกลุ่มเชิงซ้อนของมัน กลุ่มลูปเชิงซ้อนLG _ℂจะยอมรับปรากฏการณ์การแยกตัวประกอบที่คล้ายคลึงกับการแยกตัวประกอบ Birkhoffและการแยกส่วน Bruhatการแยกส่วนเหล่านี้มีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตของกลุ่มลูป ทฤษฎีของตัวดำเนินการ Toeplitzและการสร้างคำตอบสำหรับระบบอินทิกรัล^{[ 1 ] [ 3 ] [ 10 ]}

การแสดงแทนตามธรรมชาติจำนวนมากที่เชื่อมโยงกับกลุ่มลูปไม่ใช่การแสดงแทนที่แท้จริงของLGแต่เป็นการขยายส่วนกลางของLGโดยกลุ่มวงกลมU (1 ) ^{[ 1 ] [ 4 ]}

สำหรับกลุ่ม Lie ขนาดกะทัดรัดGคลาสอินทิกรัลในH ⁴ ( BG ; Z )ก่อให้เกิดการขยายศูนย์กลางของกลุ่มลูปโดยการละเมิด การขยายดังกล่าวมักจะอธิบายโดยระดับ^{[ 4 ]}การแสดงแทนเอกภาพเชิงโปรเจกทีฟที่สอดคล้องกันประกอบด้วย การแสดง แทนน้ำหนักสูงสุดหรือพลังงานบวกที่สามารถอินทิเกรตได้ ซึ่งมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการแสดงแทนของพีชคณิต Kac–Moody เชิงเส้นตรงที่ เกี่ยวข้อง ^{[ 1 ] [ 4 ]}

ทฤษฎีการแทนของกลุ่มลูปยังเชื่อมโยงกับวงแหวน Verlinde และ ทฤษฎี K- equivariant แบบบิดเบี้ยวในงานของ Freed, Hopkins และ Teleman วงแหวน Verlinde ของการแทนพลังงานบวกถูกระบุว่าเป็นกลุ่ม K-equivariant แบบบิดเบี้ยวที่เหมาะสมของG ^{[ 4 ]}

ให้σเป็นออโตมอร์ฟิซึมของGที่มีอันดับจำกัดmกลุ่มลูปบิดที่สอดคล้องกันประกอบด้วยแผนที่เรียบγ: R → Gที่สอดคล้องกับเงื่อนไข

${\displaystyle \gamma (\theta +2\pi )=\sigma (\gamma (\theta )).}$

ในทำนองเดียวกัน หลังจากผ่านไปยังวงกลมแล้ว อาจพิจารณาวงบิดเป็นส่วนของมัดเหนือS ¹ที่มีโมโนโดรมีσ ^{[ 5 ]}

กลุ่มลูปบิดเกิดขึ้นตามธรรมชาติในทฤษฎีของไดอะแกรมไดน์กินแบบแอฟฟินในทฤษฎีการแทน และในทฤษฎีของวาไรตี้ธงแบบแอฟฟิน ซึ่งรวมถึงประเภท Kac–Moody แบบแอฟฟินบิดเป็นคู่เทียบพีชคณิต Lie ^{[ 5 ]}

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและเรขาคณิตเชิงเลขคณิต เราจะแทนที่ลูปเรียบด้วยอนุกรมลอเรนต์ ถ้าGเป็นกลุ่มพีชคณิตเหนือฟิลด์kกลุ่มลูปพีชคณิตของมันคือฟังก์ชัน

${\displaystyle LG(R)=G(R((t)))}$

บนk -algebras Rกลุ่มลูปบวกที่เกี่ยวข้องคือ

${\displaystyle L^{+}G(R)=G(R[[t]]).}$^{[ 5 ]}

วัตถุเหล่านี้เป็นพื้นฐานของทฤษฎีของกราสส์มันเนียนเชิงเส้นตรง

${\displaystyle \operatorname {Gr} _{G}=LG/L^{+}G}$

และวาไรตี้ธงแอฟฟิน ซึ่งเป็นศูนย์กลางในทฤษฎีการแสดงแทนทางเรขาคณิต^{โปรแกรม} Langlands ทางเรขาคณิตและทฤษฎีแบบจำลองท้องถิ่นของวาไรตี้ Shimura [ ^{5 ]}

ถ้าGเป็นกลุ่ม Lie กระชับที่มีการสร้างความซับซ้อนG _Cแล้ว กลุ่มลูปเรียบLGจะมีการสร้างความซับซ้อน

${\displaystyle LG_{\mathbf {C} }=C^{\infty }(S^{1},G_{\mathbf {C} }).}$

นี่เป็นหนึ่งในคุณสมบัติพิเศษของกลุ่มลูปในกลุ่ม Lie มิติอนันต์^{[ 2 ]}

กลุ่มย่อยของลูปที่ขยายออกไปในเชิงโฮโลมอร์ฟิกข้ามดิสก์หนึ่งที่ถูกจำกัดโดยS ¹ มีบทบาทที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด การเขียนDแทนดิสก์หน่วยและD ^*แทนส่วนภายนอกของดิสก์นั้น จะทำให้สามารถกำหนดกลุ่มย่อยL ⁺ G _CและL ^- G _Cซึ่งประกอบด้วยค่าขอบเขตของแผนที่โฮโลมอร์ฟิกD → G _{\mathbf C}และD ^* → G _Cตามลำดับ^{[ 1 ] [ 2 ]}

กลุ่มย่อยโฮโลมอร์ฟิกเหล่านี้ปรากฏในทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบของเบิร์คฮอฟฟ์ซึ่งระบุว่าลูปในG _{\mathbf C}สามารถเขียนในรูปแบบ บนชั้นที่เหมาะสมได้

${\displaystyle \gamma =\gamma _{-}\,\lambda \,\gamma _{+},}$

โดยที่γ ₋ \in L ⁻ G _C , γ ₊ \in L ⁺ G _Cและλ: S ¹ → Tเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมไปยังทอรัสสูงสุด^{[ 2 ]}การแยกตัวประกอบนี้เป็นอนาล็อกมิติอนันต์ของการแยกตัวประกอบของ Bruhatและเป็นพื้นฐานของเรขาคณิตส่วนใหญ่ของปริภูมิเอกพันธุ์ของกลุ่มลูป^{[ 1 ]}

วิธีการโฮโลมอร์ฟิกยังเข้าสู่ทฤษฎีการแทนด้วย ในภาพ Borel–Weil ของ Segal การแทนพลังงานบวกเกิดขึ้นเป็นพื้นที่ของส่วนโฮโลมอร์ฟิกของบันเดิลเส้นเหนือพื้นที่เอกพันธุ์ที่ติดอยู่กับกลุ่มลูป และการแทนพลังงานบวกที่ไม่สามารถลดทอนได้ทุกแบบจะขยายไปสู่การแทนโฮโลมอร์ฟิกของกลุ่มลูปที่ซับซ้อน^{[ 2 ]}

ตัวอย่างที่ไม่ธรรมดาที่ง่ายที่สุดคือG = S ¹ในกรณีนี้ วงวนเรียบจะถูกจำแนกตามส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันโดยจำนวนรอบ ของมัน โดยทั่วไปแล้ว ถ้าTเป็นทอรัสที่มีพีชคณิตลี𝔱และแลตทิซโคคาริเออร์

${\displaystyle \Pi =\exp ^{-1}(1)/(2\pi )\subset {\mathfrak {t}},}$

ดังนั้นกลุ่มลูปจึงมีการแยกส่วนแบบแคนอนิก

${\displaystyle LT\cong T\times \Pi \times U,}$

ที่ไหน

${\displaystyle U=\exp(V),\qquad V=\left\{\beta :S^{1}\to {\mathfrak {t}}\;|\;\int _{S^{1}}\beta (s)\,ds=0\right\}.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของLTจะถูกจัดทำดัชนีโดยสำหรับT = S ¹จะได้ว่า ${\displaystyle \Pi \cong \pi _{1}(T)}$

${\displaystyle LS^{1}\cong S^{1}\times \mathbf {Z} \times U,}$

ดังนั้นส่วนประกอบของLS ¹จึงถูกจัดทำดัชนีด้วยจำนวนเต็ม^{[ 11 ]}

กลุ่มลูปเข้าสู่ทฤษฎีดัชนีในหลายวิธีที่เกี่ยวข้อง วิธีแรกๆ วิธีหนึ่งคือผ่านบันเดิลเส้นดีเทอร์ มิแนนต์ บนกราสมานเนียนมิติอนันต์ที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มลูป ในแบบจำลองกราสมานเนียนที่ใช้โดยเพรสลีย์ เซกัล และคนอื่นๆ บันเดิลเส้นนี้เชื่อมโยงกับส่วนขยายกลางพื้นฐานของกลุ่มลูปและการรับรู้ทางเรขาคณิตของการแสดงแทน^{[ 2 ] [ 12 ]}

ทฤษฎีดัชนีเชิงวิเคราะห์ยังปรากฏผ่านตระกูลตัวดำเนินการ Toeplitzและผ่านการไหลของสเปกตรัมในกรณีของทอรัส Freed, Hopkins และ Teleman อธิบายตระกูลตัวดำเนินการ Dirac ซึ่งการไหลของสเปกตรัมให้คลาสโทโพโลยีพื้นฐานที่จำเป็นสำหรับการสร้างคลาสทฤษฎี K แบบบิดเบี้ยวที่เกี่ยวข้องกับการแสดงกลุ่มลูป^{[ 4 ]}

ความเชื่อมโยงที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นมาจากตระกูล Dirac ที่เกี่ยวข้องกับการแสดงพลังงานบวกของกลุ่มลูป ในงานของ Freed, Hopkins และ Teleman ตระกูลตัวดำเนินการ Fredholm ดังกล่าวสร้างคลาสในทฤษฎี K-equivariant แบบบิดเบี้ยว และการสร้างนี้เป็นหนึ่งในส่วนประกอบในการ ^ระบุวงแหวน Verlinde กับทฤษฎี K-equivariant แบบบิดเบี้ยวของG ^{[ 4} ]

โครงสร้างเชิงทฤษฎีดัชนีเหล่านี้เชื่อมโยงทฤษฎีการแสดงแทนกลุ่มลูปกับการหาปริมาณเชิงเรขาคณิต ส่วนขยายส่วนกลาง และโทโพโลยีของกลุ่มGเอง^{[ 4 ]}

กลุ่มลูปเกิดขึ้นในหลายสาขาของคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์

• ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตกลุ่มลูปฐานΩ Gเป็นตัวอย่างพื้นฐานของH-space และมีความเกี่ยวข้อง ^{อย่าง}ใกล้ชิดกับประเภทโฮโมโทปีของG ^{[ 1} ]
• ในทฤษฎีการแทนกลุ่มลูปและส่วนขยายกลางนำไปสู่พีชคณิต Kac–Moody แบบแอฟฟินและการแทนพลังงานบวก^{[ 1 ] [ 4 ]}
• ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตกลุ่มลูปเชิงพีชคณิตก่อให้เกิดกราสแมนเนียนเชิงแอฟฟินและวาไรตี้ธงเชิงแอฟฟิน^{[ 5 ]}
• ในฟิสิกส์คณิตศาสตร์กลุ่มลูปเกิดขึ้นในทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอล ทฤษฎีเชอร์น-ไซมอนส์ และทฤษฎี K-สมมูลบิดเบี้ยว^{[ 4 ]}

กลุ่มลูปมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีสมัยใหม่ของระบบที่สามารถหาคำตอบได้ สมการวิวัฒนาการแบบไม่เชิงเส้นจำนวนมากสามารถเขียนได้ใน รูป แบบคู่ Laxหรือ [[ สมการ Korteweg–De Vries#การแสดงความโค้งเป็นศูนย์|ความโค้งเป็นศูนย์]] โดยมีพารามิเตอร์สเปกตรัม เชิงซ้อน λเมื่อสัมประสิทธิ์ขึ้นอยู่กับλ อย่างมีเหตุผลหรือ พหุนาม Laurentและมีค่าในพีชคณิต Lie 𝔤พวกมันอาจถูกมองว่าเป็นองค์ประกอบของพีชคณิตลูปL 𝔤การแบ่งพีชคณิตลูปออกเป็นส่วนบวกและส่วนลบ พร้อมกับการแยกตัวประกอบในกลุ่มลูปที่สอดคล้องกัน จะสร้างลำดับชั้นของการไหลและขั้นตอนการสร้างคำตอบที่สลับกันได้^{[ 13 ]}

ตัวอย่างพื้นฐานคือลำดับชั้น KdVในการศึกษาสมการประเภท KdV ของพวกเขา Segal และ Wilson แสดงให้เห็นว่าสามารถสร้างโซลูชันจำนวนมากจากจุดของ Grassmannian มิติอนันต์ที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มลูปได้ ในภาพนี้ การไหลที่สลับกันจะถูกเหนี่ยวนำโดยการกระทำของกลุ่มย่อยลูปบวก และโซลูชันที่สอดคล้องกันจะถูกอธิบายในแง่ของฟังก์ชัน Bakerและฟังก์ชัน tau ^{[ 12 ]}

การแยกตัวประกอบกลุ่มลูปยังเป็นพื้นฐานของการแปลงการแต่งกายและการแปลง Bäcklund Terng และ Uhlenbeck ได้กำหนดกฎการอนุรักษ์ ทฤษฎีการกระเจิง ลำดับชั้น และการแปลง Bäcklund ภายในกรอบการทำงานทั่วไปของการกระทำกลุ่มลูป โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับลำดับชั้น ZS–AKNS ซึ่งรวมถึงสมการ Schrödinger แบบไม่เชิงเส้น KdV ที่แก้ไขแล้ว และ สมการ n -wave ^{[ 14 ]}

วิธีการเดียวกันนี้เกิดขึ้นในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ การสร้างกลุ่มลูปใช้สำหรับแผนที่ฮาร์มอนิกไปยังกลุ่มลีและปริภูมิสมมาตรแบบจำลองไครัลและระบบอินทิกรัลทางเรขาคณิตหลายประเภท เช่น พื้นผิวที่มีความโค้งเฉลี่ยคงที่และพื้นผิวไอโซเทอร์มิก^{[ 13 ] [ 15 ]}ในกรณีที่กะทัดรัด การแยกส่วนแบบ Birkhoff และ Iwasawa ทั่วโลกจะเสริมความแข็งแกร่งให้กับวิธีการตกแต่งและนำไปสู่การแสดงแทนแบบ Weierstrass ทั่วโลกสำหรับระบบอินทิกรัลทางเรขาคณิตบางระบบ^{[ 16 ]}

กลุ่มลูปยังปรากฏในปฏิสัมพันธ์ที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นกับทฤษฎี Hodgeในงานของ Jeremy Daniel โครงสร้าง Hodge แบบลูปถูกกำหนดให้เป็นอะนาล็อกมิติอนันต์ของโครงสร้าง Hodge ที่รวมคุณสมบัติของเรขาคณิตกลุ่มลูป และแสดงให้เห็นว่าโครงสร้าง Hodge แบบลูปที่แตกต่างกันนั้นเทียบเท่ากับมัดฮาร์มอนิก^{[ 17 ]}

จากมุมมองนี้ ทฤษฎี Hodge ที่ไม่ใช่แบบอาเบเลียนสามารถแสดงได้ในรูปของแผนที่คาบที่มีค่าในโดเมนคาบมิติอนันต์ที่เกี่ยวข้องกับการสร้างกลุ่มลูป^{[ 17 ]}

กลุ่มกระแสไฟฟ้าเป็นการขยายความของกลุ่มวงวน โดยแทนที่วงกลมด้วยแมนิโฟลด์เรียบMดังนั้น กลุ่มกระแสไฟฟ้าจึงเป็นกลุ่มของการแมปเรียบจากMไปยังGโดยการคูณถูกกำหนดแบบจุดต่อจุด:

${\displaystyle C^{\infty }(M,G)=\{f:M\to G\mid f{\text{ is smooth}}\},\qquad (f_{1}f_{2})(x)=f_{1}(x)f_{2}(x).}$

โดยทั่วไป Segal อธิบายกลุ่มการแมปสำหรับแมนิโฟลด์ขนาดกะทัดรัดXว่าเป็นอนาล็อกมิติสูงกว่าของกลุ่มลูป โดยสังเกตว่าในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ กลุ่มเหล่านี้ปรากฏในรูปของกลุ่มกระแสและกลุ่มเกจ^{[ 18 ]}${\displaystyle \operatorname {Map} (X,G)}$

ถ้าGเป็นกลุ่มโทโพโลยี พื้นที่การแมปต่อเนื่องC ( M , G )จะกลายเป็นกลุ่มโทโพโลยีที่มีโทโพโลยีแบบกระชับเปิดสำหรับการแมปแบบเรียบ มักจะใช้โทโพโลยีแบบกระชับเปิดเรียบ^{[ 19 ]}ภายใต้สมมติฐานที่เหมาะสมเกี่ยวกับMและGสิ่งนี้ทำให้C ^∞ ( M , G )มีโครงสร้างกลุ่ม Lie มิติอนันต์ตามธรรมชาติ พีชคณิต Lie ของมันคือพีชคณิตกระแสที่สอดคล้องกัน

${\displaystyle C^{\infty }(M,{\mathfrak {g}}),}$

ด้วยวงเล็บ Lie แบบจุดต่อจุด^{[ 20 ]}

สำหรับแมนิโฟลด์ที่ไม่กระชับ มักจะศึกษากลุ่มกระแสที่รองรับอย่างกระชับC ^∞ _c ( M , G )หรือโดยทั่วไปแล้วกลุ่มส่วนΓ _c ( M ,𝒢)ของบันเดิลของกลุ่ม Lie เหนือMกลุ่มเกจของบันเดิลหลักมีรูปแบบดังนี้: ถ้าΞ→ Mเป็น บันเดิล G หลัก กลุ่มเกจของมันจะสมมูลกับกลุ่มส่วนΓ( M ,Ad(Ξ))และกลุ่มเกจที่รองรับอย่างกระชับจะสมมูลกับΓ _c ( M ,Ad(Ξ) ) ^{[ 21 ]}

กลุ่มกระแสเกิดขึ้นตามธรรมชาติในทฤษฎีสนามควอนตัมและทฤษฎีเกจ อย่างไรก็ตาม เมื่อเปรียบเทียบกับกลุ่มลูป ทฤษฎีการแสดงแทนทั่วไปของกลุ่มกระแสยังไม่ได้รับการพัฒนาอย่างเต็มที่ งานวิจัยล่าสุดส่วนใหญ่มุ่งเน้นไปที่ส่วนขยายส่วนกลางและคลาสการแสดงแทนพิเศษ เช่น การแสดงแทนพลังงานแบบจำกัดหรือแบบบวกของกลุ่มเกจ^{[ 18 ] [ 21 ]}

• อัฟฟีน กราสส์มันเนียน
• พีชคณิตแอฟฟิน Kac–Moody
• พีชคณิตลูป
• พื้นที่วนซ้ำ
• กลุ่มทอพอโลยี
• กลุ่มวิราโซโร