ในทางคณิตศาสตร์ในทฤษฎีระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้คู่ของแล็กซ์ (Lax pair)คือคู่ของเมทริกซ์หรือตัวดำเนินการ ที่ขึ้นอยู่กับเวลา ซึ่งสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ที่เรียกว่าสมการแล็กซ์ ปีเตอร์ แล็กซ์ (Peter Lax)ได้นำเสนอคู่ของแล็กซ์เพื่อใช้ในการอธิบายโซลิตอนในตัวกลางต่อเนื่องการแปลงผกผันการกระเจิง (Inverse scattering transform)ใช้สมการแล็กซ์ในการแก้ระบบดังกล่าว

คู่ของ Lax คือคู่ของเมทริกซ์หรือตัวดำเนินการที่ขึ้นอยู่กับเวลา กระทำบนปริภูมิฮิลเบิร์ต คงที่ และสอดคล้องกับสมการของ Lax : ${\displaystyle L(t),P(t)}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=[P,L],}$

โดยที่ ตัวสลับตำแหน่ง (commutator ) อยู่ที่ไหนบ่อยครั้ง ดังเช่นในตัวอย่างด้านล่างจะขึ้นอยู่กับในลักษณะที่กำหนดไว้ ดังนั้นนี่จึงเป็นสมการไม่เชิงเส้นสำหรับเป็นฟังก์ชันของ ${\displaystyle [P,L]=PL-LP}$${\displaystyle P}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle t}$

จากนั้นจึงสามารถแสดงได้ว่าค่าลักษณะเฉพาะและโดยทั่วไปแล้วสเปกตรัมของL นั้น ไม่ขึ้นอยู่กับtเมทริกซ์/ตัวดำเนินการLกล่าวได้ว่ามีสเปกตรัมเหมือนกันเมื่อt เปลี่ยนแปลงไป ${\displaystyle t}$

ข้อสังเกตหลักคือ เมทริกซ์ทั้งหมดมีความคล้ายคลึงกันเนื่องจาก... ${\displaystyle L(t)}$

${\displaystyle L(t)=U(t,s)L(s)U(t,s)^{-1},}$

คำตอบของปัญหาโคชี อยู่ ที่ไหน${\displaystyle U(t,s)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}U(t,s)=P(t)U(t,s),\quad U(s,s)=I,}$

โดยที่Iแทนเมทริกซ์เอกลักษณ์ โปรดทราบว่าถ้าP ( t ) เป็น เมทริกซ์ ผกผันแบบเฉียง (skew-adjoint ) U ( t ,  s ) จะเป็นเมทริกซ์เอกภาพ (unitary )

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในการแก้ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะLψ = λψณ เวลาtนั้น สามารถแก้ปัญหาเดียวกันนี้ได้ ณ เวลา 0 ซึ่ง โดยทั่วไปแล้วทราบค่า Lได้ดีกว่า และสามารถถ่ายทอดคำตอบโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

${\displaystyle \lambda (t)=\lambda (0)}$ (ไม่มีการเปลี่ยนแปลงสเปกตรัม)

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=P\psi .}$

ผลลัพธ์ยังสามารถแสดงได้โดยใช้ค่าคงที่สำหรับค่าใดๆเหล่านี้เป็น ไปตามสมการ Lax และเนื่องจากพหุนามลักษณะเฉพาะสามารถเขียนได้ในรูปของร่องรอยเหล่านี้ สเปกตรัมจึงถูกรักษาไว้โดยการไหล^{[ 1 ]}${\displaystyle \operatorname {tr} (L^{n})}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\operatorname {tr} (L^{n})=0}$$

คุณสมบัติข้างต้นเป็นพื้นฐานสำหรับวิธีการกระเจิงผกผัน ในวิธีนี้LและPกระทำบนปริภูมิฟังก์ชัน (ดังนั้นψ = ψ ( t ,  x )) และขึ้นอยู่กับฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าu ( t ,  x ) ซึ่งจะต้องถูกกำหนด โดยทั่วไปจะถือว่าu (0,  x ) เป็นที่ทราบแล้ว และPไม่ขึ้นอยู่กับuในบริเวณการกระเจิง วิธีการนี้จึงมีรูปแบบดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \|x\|\to \infty .}$

1. คำนวณสเปกตรัมของ โดยให้และ${\displaystyle L(0)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \psi (0,x).}$
2. ในบริเวณการกระเจิงที่ทราบค่าแล้ว ให้แพร่กระจายไปตามเวลาโดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้น${\displaystyle P}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(t,x)=P\psi (t,x)}$${\displaystyle \psi (0,x).}$
3. เมื่อทราบในบริเวณการกระเจิงแล้ว ให้คำนวณและ/หรือ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle L(t)}$${\displaystyle u(t,x).}$

ถ้าเมทริกซ์ Lax ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์เชิงซ้อนแบบวิเคราะห์เพิ่มเติม(เช่นในกรณีของไซน์-กอร์ดอน ) และการเปลี่ยนรูปเป็นไอโซสเปกตรัม สมการ จะกำหนดเซตย่อยเชิงวิเคราะห์ของที่มีพิกัดซึ่งภายใต้สมมติฐานที่เหมาะสมจะเป็นเส้นโค้ง มักจะหลังจากกำจัดจุดเอกฐานแล้ว ด้วยคุณสมบัติไอโซสเปกตรัม เส้นโค้งนี้จะถูกรักษาไว้ภายใต้การแปลเวลา สิ่งนี้เรียกว่าเส้นโค้งสเปกตรัมมักจะหลังจากใช้การบีอัดที่เหมาะสม เมื่อการพึ่งพาของLบนzเป็นแบบพีชคณิต มันจะเป็นเส้นโค้งพีชคณิตเส้นโค้งดังกล่าวปรากฏในทฤษฎีของระบบ Hitchin ^{[ 2 ]}${\displaystyle z}$$${\displaystyle \det {\big (}wI-L(z){\big )}=0,}$$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle w,z,}$

สมการ PDE ใดๆ ที่ยอมรับการแสดงคู่ Lax ยังยอมรับการแสดงความโค้งเป็นศูนย์ด้วย^{[ 3 ]}ในความเป็นจริง การแสดงความโค้งเป็นศูนย์มีความทั่วไปมากกว่า และสำหรับสมการ PDE ที่สามารถหาปริพันธ์ได้อื่นๆ เช่น สมการไซน์-กอร์ดอนคู่ Lax หมายถึงเมทริกซ์ที่สอดคล้องกับสมการความโค้งเป็นศูนย์มากกว่าสมการ Lax ยิ่งไปกว่านั้น การแสดงความโค้งเป็นศูนย์ทำให้ความเชื่อมโยงระหว่างระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้กับเรขาคณิตปรากฏชัด ซึ่งนำไปสู่โครงการของWard ในการกำหนดระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้ที่รู้จักกันดีเป็นคำตอบของสมการ Yang–Mills ต่อต้านตัวเองแบบคู่ (ASDYM)

สมการความโค้งเป็นศูนย์นั้นอธิบายได้ด้วยคู่ของฟังก์ชันเมทริกซ์โดยที่ตัวห้อยแสดงถึงดัชนีพิกัด ไม่ใช่ค่าอนุพันธ์ บ่อยครั้งที่ความสัมพันธ์นั้นเกิดขึ้นผ่านฟังก์ชันสเกลาร์เดี่ยว และอนุพันธ์ของมัน สมการความโค้งเป็นศูนย์จึง เป็นดังนี้ เรียกว่าสมการความโค้งเป็นศูนย์ เพราะมันสอดคล้องกับการที่ เทนเซอร์ความโค้งเป็นศูนย์ซึ่งในกรณีนี้คือซึ่งแตกต่างจากนิพจน์ทั่วไปโดยมีเครื่องหมายลบอยู่บ้าง ซึ่งในท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญ ${\displaystyle A_{x}(x,t),A_{t}(x,t),}$${\displaystyle (x,t)}$${\displaystyle \varphi (x,t)}$$${\displaystyle \partial _{t}A_{x}-\partial _{x}A_{t}+[A_{x},A_{t}]=0.}$$${\displaystyle F_{\mu \nu }=[\partial _{\mu }-A_{\mu },\partial _{\nu }-A_{\nu }]=-\partial _{\mu }A_{\nu }+\partial _{\nu }A_{\mu }+[A_{\mu },A_{\nu }]}$

สำหรับผลเฉลยลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ Lax จะได้ว่า หากเราบังคับใช้สิ่งเหล่านี้ร่วมกับการไม่ขึ้นกับเวลาของสมการ Lax จะเกิดขึ้นเป็นสมการความสอดคล้องสำหรับระบบที่มีตัวแปรเกิน ${\displaystyle L}$$${\displaystyle L\psi =\แลมบ์ดา \psi ,\psi _{t}+A\psi =0.}$$${\displaystyle \lambda }$

คู่ Lax สามารถใช้เพื่อกำหนดส่วนประกอบการเชื่อมต่อได้ เมื่อสมการอนุพันธ์ย่อยยอมรับการแสดงแบบความโค้งเป็นศูนย์ แต่ไม่สามารถแสดงแบบสมการ Lax ได้ ส่วนประกอบการเชื่อมต่อจะถูกเรียกว่าคู่ Lax และการเชื่อมต่อจะถูกเรียกว่าการเชื่อมต่อ Lax ${\displaystyle (L,P)}$${\displaystyle (A_{x},A_{t})}$${\displaystyle (A_{x},A_{t})}$

สมการคอร์เทเว็ก-เดอไวรีส์

${\displaystyle u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx}}$

สามารถเขียนใหม่ได้เป็นสมการของ Lax

${\displaystyle L_{t}=[P,L]}$

กับ

${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u}$( ตัวดำเนินการสตูร์ม-ลิอูวิลล์ )

${\displaystyle P=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x},}$

โดยที่อนุพันธ์ทั้งหมดกระทำกับวัตถุทั้งหมดทางด้านขวา นี่คือสาเหตุที่ทำให้สมการ KdV มีปริพันธ์อันดับแรก เป็นจำนวนอนันต์

ตัวอย่างก่อนหน้านี้ใช้ปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติอนันต์ ตัวอย่างอื่นๆ ก็สามารถทำได้ด้วยปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติจำกัด ซึ่งรวมถึงKovalevskaya topและการวางนัยทั่วไปเพื่อรวมสนามไฟฟ้าด้วย^{[ 4 ​​]}${\displaystyle {\vec {h}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\begin{pmatrix}g_{1}+h_{2}&g_{2}+h_{1}&g_{3}&h_{3}\\g_{2}+h_{1}&-g_{1}+h_{2}&h_{3}&-g_{3}\\g_{3}&h_{3}&-g_{1}-h_{2}&g_{2}-h_{1}\\h_{3}&-g_{3}&g_{2}-h_{1}&g_{1}+h_{2}\\\end{pmatrix}}\lambda ^{-1}\\&+{\begin{pmatrix}0&0&-l_{2}&-l_{1}\\0&0&l_{1}&-l_{2}\\l_{2}&-l_{1}&-2\lambda &-2l_{3}\\l_{1}&l_{2}&2l_{3}&2\lambda \\\end{pmatrix}},\\P&={\frac {-1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-2l_{3}&l_{2}&l_{1}\\2l_{3}&0&-l_{1}&l_{2}\\-l_{2}&l_{1}&2\lambda &2l_{3}+\gamma \\-l_{1}&-l_{2}&-2l_{3}&-2\lambda \\\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

ในภาพจำลองของไฮเซนเบิร์กในกลศาสตร์ควอนตัม ปริมาณที่สังเกตได้A ซึ่งไม่มี การพึ่งพา เวลาt อย่างชัดเจน จะสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไป นี้

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)],}$

โดยที่Hคือแฮมิลโทเนียนและħ คือ ค่าคงที่ของพลังค์แบบลดทอนนอกเหนือจากตัวประกอบแล้ว ตัวแปรที่สังเกตได้ (โดยไม่มีการพึ่งพาเวลาอย่างชัดเจน) ในภาพนี้จึงสามารถมองได้ว่าก่อตัวเป็นคู่แล็กซ์ร่วมกับแฮมิลโทเนียน จากนั้น ภาพของชโรดิงเกอร์จึงถูกตีความว่าเป็นการแสดงออกทางเลือกในแง่ของการวิวัฒนาการไอโซสเปกตรัมของตัวแปรที่สังเกตได้เหล่านี้

ตัวอย่างเพิ่มเติมของระบบสมการที่สามารถกำหนดเป็นคู่ Lax ได้ ได้แก่:

• สมการเบนจามิน-โอโน
• สมการชโรดิงเกอร์แบบไม่เชิงเส้นลูกบาศก์มิติเดียว
• ระบบเดวี-สจ๊วตสัน
• ระบบอินทิกรัลที่มีคู่ Lax สัมผัส^{[ 5 ]}
• สมการ Kadomtsev–Petviashvili
• สมการ Korteweg–de Vries
• ลำดับชั้น KdV
• สมการมาร์เชนโก
• ดัดแปลงสมการคอร์เทเว็ก-เดอไวรีส์
• สมการไซน์-กอร์ดอน
• โครงตาข่ายโทดา
• ลากรองจ์ ออยเลอร์ และโควาเลฟสกายา ติดอันดับสูงสุด
• การแปลงเบลินสกี้–ซาคารอฟในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

ประเด็นสุดท้ายนั้นน่าทึ่งมาก เพราะมันบ่งชี้ว่าทั้งเมตริก Schwarzschildและเมตริก Kerrสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นโซลิตอน

แนวคิดของคู่ Lax สามารถกำหนดได้สำหรับระบบไดนามิกที่มีเวลาไม่ต่อเนื่องเช่นแผนที่เพนทาแกรม^{[ 6 ]}