ในทางคณิตศาสตร์แผนที่เพนทาแกรมเป็นระบบไดนามิกแบบไม่ต่อเนื่องที่กระทำกับรูปหลายเหลี่ยมในระนาบเชิงโปรเจกทีฟโดยจะกำหนดรูปหลายเหลี่ยมใหม่ที่มีจุดยอดเป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม ที่สั้นที่สุด ของรูปหลายเหลี่ยมเริ่มต้น กระบวนการนี้เป็น กระบวนการที่สมมาตร เชิงโปรเจกที ฟ ดังนั้นจึงสามารถแปลงเป็นปริภูมิโมดูลัสของรูปหลายเหลี่ยมและกำหนดระบบไดนามิกอีกระบบหนึ่ง (ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าแผนที่เพนทาแกรม) โดยริชาร์ด ชวาร์ตซ์เป็น ผู้นำเสนอเป็นครั้งแรก ในปี 1992 ^{[ 1 ]}

แผนที่เพนตาแกรมบนพื้นที่โมดูลัสมีชื่อเสียงในด้านความสามารถในการบูรณาการอย่างสมบูรณ์และการเชื่อมโยงกับพีชคณิตคลัสเตอร์^{[ 2 ]}

มันยอมรับการสรุปทั่วไปหลายอย่างในปริภูมิเชิงฉายและบริบทอื่นๆ

ในขั้นต้น แผนที่เพนทาแกรมถูกกำหนดสำหรับรูปหลายเหลี่ยมนูน (ที่มีด้านอย่างน้อยห้าด้าน) บนระนาบยุคลิดเมื่อกำหนดรูปหลายเหลี่ยมดัง กล่าว ที่มีด้านแล้ว เราสามารถลาก " เส้นทแยงมุม ที่สั้นที่สุด " ซึ่งหมายถึงส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายเป็นจุดยอดและจุดยอดข้างเคียงลำดับที่สอง (ดังในรูป) จากนั้นจุดตัดของเส้นทแยงมุมที่สั้นที่สุดจะถูกใช้เป็นจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม ใหม่ รูปหลายเหลี่ยมใหม่นี้เป็นผลลัพธ์ของแผนที่เพนทาแกรม^{[ 3 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle T(P)}$

สามารถสร้างโครงสร้างเดียวกันบนรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนได้แต่มีข้อจำกัดหลายประการ ประการแรก เส้นทแยงมุมสั้นๆ ที่อยู่ติดกันอาจไม่ตัดกัน ดังนั้นจึงต้องขยายส่วนต่างๆ ให้เป็นเส้นตรงประการที่สอง ภาพอาจไม่สามารถเป็นรูปหลายเหลี่ยมใหม่ได้ เนื่องจากจุดยอดที่อยู่ติดกันบางจุดอาจตรงกัน อย่างไรก็ตามโดยทั่วไปแล้วจะไม่เกิดขึ้น^{[ 4 ]}สุดท้าย เป็นไปได้ที่เส้นทแยงมุมสองเส้นจะขนานกันและไม่ตัดกันบนระนาบยุคลิดปัญหานี้แก้ไขได้โดยการขยายระนาบยุคลิดไปยังระนาบเชิงฉายจริงโดยการเพิ่มเส้นตรงที่อนันต์ซึ่ง เป็น จุดตัด (ดูรูปในส่วนถัดไป) ดังนั้น แผนที่เพนตาแกรมจึงถูกกำหนดสำหรับรูปหลายเหลี่ยมทั่วไปในระนาบเชิงฉายจริง^{[ 5 ]}${\displaystyle T(P)}$${\displaystyle n}$

โดยทั่วไปแล้ว การสร้างแผนที่เพนตาแกรมจะถูกกำหนดไว้อย่างดีเมื่อใดก็ตามที่แนวคิดของเส้นและจุดตัดมีความหมาย ซึ่งครอบคลุมโดยแนวคิดของระนาบเชิงโปรเจกที ฟทั่วไป ซึ่งระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริงเป็นตัวอย่างหนึ่ง แต่แผนที่เพนตาแกรมยังสามารถพิจารณาได้เหนือฟิลด์ อื่นๆ เช่นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งให้ระนาบ เชิงโปรเจกที ฟเชิงซ้อน^{[ 6 ]}

เนื่องจากแผนที่รูปห้าเหลี่ยมสร้างขึ้นโดยการลากเส้นและทำเครื่องหมายจุดตัด จึงสามารถสลับที่ได้กับการแปลงใดๆ ที่ส่งเส้นตรงไปยังเส้นตรง แผนที่ดังกล่าวเรียกว่าการแปลงเชิงโปรเจคทีฟซึ่งทำให้สามารถระบุรูปหลายเหลี่ยมได้จนถึงการแปลงเชิงโปรเจคทีฟการระบุนี้ทำให้ได้ปริภูมิผลหาร (ในทางเทคนิคเรียกว่าปริภูมิโมดูลัส ) ของกลุ่มรูปหลายเหลี่ยม

แผนที่เพนทาแกรมบนรูปหลายเหลี่ยมทำให้เกิดระบบไดนามิกอีกระบบหนึ่งบนพื้นที่โมดูลัส^{[ 7 ]}ซึ่งมีพฤติกรรมที่แตกต่างจากระบบเริ่มต้นมาก^{[ a ]} ​​ไดนามิกนั้นเรียบง่ายสำหรับคลาสของรูปห้าเหลี่ยมและรูปเจ็ดเหลี่ยม แต่จะไม่เป็นเช่นนั้นสำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดมากกว่า^{[ b ]}

แผนที่รูปห้าเหลี่ยมสำหรับรูปหลายเหลี่ยมทั่วไปได้รับการแนะนำใน ( Schwartz 1992 ) แต่กรณีที่ง่ายที่สุดคือกรณีของรูปห้าเหลี่ยมดังนั้นจึงเรียกว่า " รูปห้าเหลี่ยม " ^{[ 8 ]}การศึกษาของพวกเขาย้อนกลับไปถึง ( Clebsch 1871 ) ^{[ 9 ]} ( Kasner 1928 ) ^{[ 10 ]}และ ( Motzkin 1945 ) ^{[ 11 ]}

แผนที่เพนตาแกรมมีปฏิสัมพันธ์กับทฤษฎีบทการกำหนดค่าแบบคลาสสิกบางอย่างของเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟโดยให้ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทของปาสคาลและทฤษฎีบทของบริอองชง^{[ 12 ]}การกำหนดค่าเฉพาะบางอย่างทำให้ทฤษฎีบทของเดซาร์กส์และทฤษฎีบทของปอนเซเลต์ปรากฏขึ้น^{[ 13 ] [ c ]}

ให้เป็นจำนวนเต็ม รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้าน หรือ-เหลี่ยม คือ ทูเปิลของจุดยอดที่อยู่ในระนาบเชิงโปรเจกทีฟ บาง ^{ระนาบ[ d ]}โดยที่ดัชนีจะเข้าใจเป็นโมดูลัส มิติของปริภูมิของ-เหลี่ยม คือ[ ^{14 ]}${\displaystyle n\geq 5}$${\displaystyle P}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (v_{1},\dots ,v_{n})}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$

สมมติว่าจุดยอดอยู่ในตำแหน่งทั่วไป ที่เพียงพอ หมายความว่าไม่มีจุดสามจุดที่เรียงติดกันอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน [ ^{15 ]} การหาจุดตัดของ เส้นทแยงมุมที่ "สั้นที่สุด" สองเส้นที่เรียงติดกัน^{[ e ]จะ}กำหนดจุดใหม่ขั้นตอนนี้จะกำหนดรูปหลายเหลี่ยมใหม่^{[ 16 ]}$${\displaystyle w_{k}:={\overline {v_{k-1}v_{k+1}}}\cap {\overline {v_{k}v_{k+2}}}.}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle T(P)=(w_{1},\dots ,w_{n})}$

การติดป้ายกำกับดัชนีของนั้นไม่เป็นไปตามแบบแผนในเอกสารส่วนใหญ่ จะมีการเลือกไว้ในตอนต้นของเอกสาร และสูตรจะถูกปรับแต่งตามนั้น^{[ 17 ]}${\displaystyle T(P)}$

แผนที่เพนตาแกรมบนรูปหลายเหลี่ยมเป็นแผนที่ไบราชันนัล⇢ อันที่จริง พิกัด แต่ละพิกัดของถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันราชันนัลของพิกัดของเนื่องจากถูกกำหนดให้เป็นจุดตัดของเส้นที่ผ่านพิกัดเหล่านั้น ยิ่งไปกว่านั้นแผนที่ผกผันถูกกำหนดโดยการใช้จุดตัดซึ่งเป็นราชันนัลด้วยเหตุผลเดียวกัน^{[ 18 ]}${\displaystyle T:(\mathbb {P} ^{2})^{n}}$${\displaystyle (\mathbb {P} ^{2})^{n}}$${\displaystyle w_{k}}$${\displaystyle v_{k-1},\dots ,v_{k+2}}$${\displaystyle {\overline {w_{k-2}w_{k-1}}}\cap {\overline {w_{k}w_{k+1}}}}$

แผนที่เพนตาแกรมถูกกำหนดโดยการใช้เส้นและจุดตัดของเส้นเหล่านั้นกลุ่ม ที่ใหญ่ที่สุด ที่แมปเส้นไปยังเส้นคือกลุ่มของการแปลงเชิงโปรเจก ทีฟ การแปลงดังกล่าวจะกระทำกับรูปหลายเหลี่ยมโดยการส่งไปยังแผนที่เพนตาแกรมจะสลับตำแหน่ง กับการกระทำนี้ และด้วย ^เหตุนี้จึงเหนี่ยวนำให้เกิดระบบไดนามิก อีกระบบหนึ่ง บนปริภูมิโมดูลั ส ของชั้นสมมูล เชิงโปรเจกทีฟของรูปหลายเหลี่ยม มิติของมันคือ[ ^{7 ]}${\displaystyle \mathbb {P} \mathrm {GL} _{3}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle P}$${\displaystyle M\cdot P:=(Mv_{1},\dots ,Mv_{n})}$${\displaystyle 2n-8}$

แผนที่รูปห้าเหลี่ยมสามารถขยายไปสู่พื้นที่ขนาดใหญ่ของรูปหลายเหลี่ยมบิดเบี้ยวได้อย่างเป็นธรรมชาติ (ดูตัวอย่างรูปเจ็ดเหลี่ยมในรูป) สำหรับจำนวนเต็มใดๆ รูปหลาย เหลี่ยมบิดเบี้ยวจะมีข้อมูลดังนี้: ${\displaystyle n\geq 5}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P}$

• ลำดับอนันต์สองด้านของจุดในระนาบเชิงโปรเจกทีฟ (เรียกว่าจุดยอด)${\displaystyle (v_{k})_{k\in \mathbb {Z} }}$
• การแปลงเชิงโปรเจคทีฟ (เรียกว่าโมโนโดรมี )${\displaystyle M\in \mathbb {P} \mathrm {GL} _{3}}$

โดยที่สำหรับใดๆคุณสมบัติจะเป็นไปตามนั้น มิติของพื้นที่ของ^รูปหลายเหลี่ยมบิดเบี้ยวคือ^[ 19 ^]${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle v_{k+n}=Mv_{k}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n+8}$

เมื่อสิ่งนี้จะคืนค่าคำจำกัดความเริ่มต้นของรูปหลายเหลี่ยม (ซึ่งกล่าวกันว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปิด) พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปิดจะมีมิติเท่ากับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมบิดเบี้ยว^{[ 20 ]}${\displaystyle M=\mathrm {Id} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle 8}$

การกระทำของการแปลงเชิงโปรเจกทีฟเหนือพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปิดจะขยายไปสู่พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมบิด (โมโนโดรมีจะเปลี่ยนไปโดยการผัน ) ซึ่งจะให้พื้นที่โมดูลัสอีกครั้งที่มีมิติ^{[ 21 ]}${\displaystyle 2n}$

ให้เป็นรูปหลายเหลี่ยมปิดนูนอย่างเคร่งครัดที่อยู่บนระนาบจริง ผลลัพธ์แรกๆ ที่ริชาร์ด ชวาร์ตซ์พิสูจน์ได้คือ รูปหลายเหลี่ยมที่ทำซ้ำภายใต้แผนที่เพนทาแกรมจะหดตัวอย่างรวดเร็วแบบเลขชี้กำลังไปยังจุดหนึ่ง ดังแสดงในรูปที่ 5 ซึ่งเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงสองประการ ${\displaystyle P}$

1. ภาพของรูปหลายเหลี่ยมนูนอย่างเคร่งครัดจะอยู่ภายในและเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนอย่างเคร่งครัดเช่นกัน^{[ 22 ]}
2. มีค่าคงที่อยู่ค่าหนึ่งซึ่งขึ้นอยู่กับค่าหนึ่ง โดยที่สำหรับค่าใดๆเส้นผ่านศูนย์กลางของค่าที่วนซ้ำจะตรวจสอบความไม่เท่าเทียมกัน^{[ 23 ]}${\displaystyle 0<\eta _{P}<1}$${\displaystyle P}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\textstyle \operatorname {diam} (T^{N}(P))\leq \eta _{P}^{N}\operatorname {diam} (P).}$

ดังนั้น ตามทฤษฎีบทการตัดกันของแคนเตอร์ลำดับของรูปหลายเหลี่ยมจะยุบตัวลงสู่จุดหนึ่ง^{[ 24 ]}

พฤติกรรมบนพื้นที่โมดูลัสแตกต่างกันมาก เนื่องจากไดนามิกเป็นแบบวนซ้ำ [ ^{25 ] ยิ่ง}กว่านั้นยังเป็นการเคลื่อนที่แบบกึ่งคาบ [ ^{26 ] ดัง}ที่ได้กล่าวไว้ในส่วนเกี่ยวกับความสามารถในการบูรณาการ

พิกัดจุดลิมิตพบได้ใน ( Glick 2020 ) พิกัดเหล่านี้สอดคล้องกับ สมการพหุนามดีกรี 3 บางสมการซึ่งสัมประสิทธิ์เป็นฟังก์ชันตรรกยะในพิกัดของจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเริ่มต้น การพิสูจน์อาศัยข้อเท็จจริงที่ว่าจุดลิมิตจะต้องเป็นเส้นลักษณะเฉพาะ ของตัว ^{ดำเนิน}การเชิงเส้นบางอย่างของ^{[ 27} ]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ตัวดำเนินการนี้ได้รับการตีความใหม่ใน ( Aboud & Izosimov 2022 ) ให้เป็นโมโนโดรมีอนันต์ของรูปหลายเหลี่ยม สมมาตรการปรับขนาดถูกใช้เพื่อเปลี่ยนรูปหลายเหลี่ยมปิด ให้กลาย เป็นตระกูลของรูปหลาย เหลี่ยมบิดเบี้ยว ที่มีโมโนโดรมี โมโนโดรมีอนันต์ถูกกำหนดให้เป็น: ^{[ 28 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle (P_{z})_{z\in \mathbb {C} ^{*}}}$${\displaystyle M_{z}}$$${\displaystyle \left.{\frac {dM_{z}}{dz}}\right|_{z=1}.}$$

การยุบตัวของรูปหลายเหลี่ยมอาจเกิดขึ้นได้ในการสรุปทั่วไปของแผนที่เพนทาแกรมเมื่อพิจารณาการกำหนดค่าเฉพาะบางอย่างของรูปหลายเหลี่ยมในระนาบจริง พิกัดของจุดยุบตัวจะได้รับจากสูตรที่คล้ายกับสูตรสำหรับแผนที่เพนทาแกรมดั้งเดิม^{[ 29 ]}

สำหรับการจัดเรียงรูปหลายเหลี่ยมปิดบางแบบ การวนซ้ำของแผนที่เพนทาแกรมจะส่ง ไปยังรูปหลายเหลี่ยมที่เทียบเท่าเชิงโปรเจคที ฟ (โดยมีการเลื่อนดัชนีบางส่วน) ซึ่งหมายความว่า บนปริภูมิโมดูลัส วงโคจรของกลุ่มนั้นเป็นคาบ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

ข้อเท็จจริงสองข้อต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์โดยการตรวจสอบ ความเท่าเทียม กันของอัตราส่วนไขว้ดังนั้นจึงเป็นจริงสำหรับรูปหลายเหลี่ยมในระนาบเชิงฉาย ใดๆ (ไม่ใช่แค่ระนาบจริง ) ^{[ 30 ]}

แผนที่เพนทาแกรมเป็นเอกลักษณ์บนพื้นที่โมดูลัสของรูปห้าเหลี่ยม^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}การทำซ้ำครั้งที่สองเป็นเอกลักษณ์บนพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยม ที่มี ป้ายกำกับ โดยมีการเปลี่ยนแปลงป้ายกำกับเล็กน้อย (ดูรูป) ^{[ 34 ]}ปรากฏการณ์นี้ไม่สามารถขยายไปสู่รูปหลายเหลี่ยมทั่วไปที่มีด้านอย่างน้อยเจ็ดด้าน ซึ่งการเคลื่อนที่นั้นเป็นแบบกึ่งคาบ^{[ 35 ]}${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{2}}$

ผลลัพธ์เกี่ยวกับรูปห้าเหลี่ยมและหกเหลี่ยมสามารถขยายไปสู่แผนที่เพนทาแกรมระดับสูง บางแผนที่ ในสำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านหรือด้าน การพิสูจน์ใช้การขยายทั่วไปของการแปลงเกล^{[ 36 ]}${\displaystyle \mathbb {P} ^{k}}$${\displaystyle k+3}$${\displaystyle 2k+2}$

รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมปองเซเลต์^{[ f ]}ถ้ามันถูกจารึกไว้ในรูปกรวยและล้อมรอบรูปกรวยอีกรูปหนึ่ง^{[ 37 ] [ g ]}สำหรับรูปหลายเหลี่ยมปองเซเลต์นูนที่อยู่บนระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริงรูปหลายเหลี่ยมนั้นเทียบเท่าเชิงโปรเจกทีฟกับ[ ^{38 ] ใน}ความเป็นจริง เมื่อเป็นจำนวนคี่ ข้อความกลับก็เป็นจริงเช่นกัน^{[ 39 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle P}$${\displaystyle T^{2}(P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle n}$

อย่างไรก็ตาม ข้อความกลับกันนี้จะไม่เป็นจริงอีกต่อไปเมื่อพิจารณารูปหลายเหลี่ยมบนระนาบเชิงซ้อน^{[ 40 ]}

พื้นที่โมดูลัสสามารถอธิบายได้ด้วยระบบพิกัด ที่แตกต่างกัน ระบบ ต่อไปนี้เป็นระบบที่ใช้งานได้จริงเพื่อแสดงพลวัต ดังที่นำเสนอในส่วนถัดไป

กำหนดให้อัตราส่วนไขว้ของจุดสี่ จุด ที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันคือ

${\displaystyle [a,b,c,d]={\frac {(a-b)(c-d)}{(a-c)(b-d)}}.}$

ตัวแปรคงที่ของมุมเป็นระบบพิกัดบนพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมบิดเบี้ยวที่สร้างขึ้นโดยการใช้จุดตัดดังในรูป^{[ 41 ]}ตัวแปรคงที่ด้านซ้ายและด้านขวาถูกกำหนดตามลำดับ^{[ h ]}เป็นอัตราส่วนไขว้ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle x_{k}:=[v_{k-2},v_{k-1},{\overline {v_{k-2}v_{k-1}}}\cap {\overline {v_{k}v_{k+1}}},{\overline {v_{k-2}v_{k-1}}}\cap {\overline {v_{k+1}v_{k+2}}}],}$

${\displaystyle y_{k}:=[{\overline {v_{k+1}v_{k+2}}}\cap {\overline {v_{k-2}v_{k-1}}},{\overline {v_{k+1}v_{k+2}}}\cap {\overline {v_{k-1}v_{k}}},v_{k+1},v_{k+2}].}$

เนื่องจากอัตราส่วนไขว้เป็นค่าคงที่เชิงการฉายภาพ ลำดับและที่เกี่ยวข้องกับรูปหลายเหลี่ยมบิดเบี้ยวจึงเป็นคาบ^{[ 42 ]}${\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {Z} }}$${\displaystyle (y_{k})_{k\in \mathbb {Z} }}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ตัวแปรมุมคงที่คือองค์ประกอบของและทำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมของความหลากหลายระหว่างปริภูมิโมดูลัสของ^รูป หลายเหลี่ยมบิดเบี้ยว และ^{[ 43} ]${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\smallsetminus \{0,1,\infty \}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (\mathbb {P} ^{1}\smallsetminus \{0,1,\infty \})^{2n}}$

มีชุดพิกัดที่สองสำหรับปริภูมิโมดูลัสของรูปหลายเหลี่ยมบิดเบี้ยวที่กำหนดไว้เหนือฟิลด์ที่สอดคล้อง กับ ^{[ 44 ]}และไม่สามารถหารลงตัวด้วย^{[ 45 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(F)\cong \mathbb {P} \mathrm {GL} _{3}(F)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 3}$

จุดยอดในระนาบเชิงโปรเจกทีฟสามารถยกขึ้นเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิแอฟฟินได้โดยที่เวกเตอร์สามตัวที่ต่อเนื่องกันแต่ละชุดจะครอบคลุมทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับซึ่งนำไปสู่ความสัมพันธ์^{[ 46 ]}${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(F)}$${\displaystyle V_{k}}$${\displaystyle F^{3}}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle V_{k+3}=a_{k}V_{k+2}+b_{k}V_{k+1}+V_{k}.}$

สิ่งนี้ทำให้เกิดความคล้ายคลึงกันระหว่างรูปหลายเหลี่ยมบิดเบี้ยวและผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิง เส้นอันดับสาม ซึ่งได้รับการปรับมาตรฐานให้มีWronskian หนึ่งหน่วย ^{[ 47 ]}

พิกัดมุมจะเชื่อมโยงกันโดย: ^{[ 48 ]}

${\displaystyle x_{k}={\frac {a_{k-2}}{b_{k-2}b_{k-1}}},}$

${\displaystyle y_{k}=-{\frac {b_{k-1}}{a_{k-2}a_{k-1}}}.}$

แผนที่เพนทาแกรมเป็นแผนที่ไบราชันนัลบนพื้นที่โมดูลัส เนื่องจากสามารถแยกส่วนได้เป็นการประกอบกัน ของ อินโวลูชันไบราชันนัล สองรายการ^{[ 49 ]}ตัวแปรคงที่ของมุมจะเปลี่ยนแปลงในลักษณะต่อไปนี้: ^{[ 50 ]}

${\displaystyle x_{k}'=x_{k}{\frac {1-x_{k-1}y_{k-1}}{1-x_{k+1}y_{k+1}}},}$

${\displaystyle y_{k}'=y_{k+1}{\frac {1-x_{k+2}y_{k+2}}{1-x_{k}y_{k}}}.}$

กลุ่มการคูณกระทำต่อปริภูมิโมดูลัสในลักษณะดังต่อไปนี้: ${\displaystyle F\smallsetminus \{0\}}$

${\displaystyle R_{s}\cdot (x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n})=(sx_{1},\dots ,sx_{n},s^{-1}y_{1},\dots ,s^{-1}y_{n}),}$

โดยเรียกว่าการกระทำการปรับขนาด และคือพารามิเตอร์การปรับขนาด การกระทำนี้สลับกับการแมปเพนทาแกรมบนพื้นที่โมดูลัส (ดังที่นำเสนอในสูตรก่อนหน้านี้) คุณสมบัตินี้เรียกว่าสมมาตรการปรับขนาด และเป็นเครื่องมือสำคัญในการพิสูจน์ความสามารถในการบูรณาการอย่างสมบูรณ์ของไดนามิก^{[ 51 ]}${\displaystyle R}$${\displaystyle s}$

ตัวแปรโมโนโดรมีที่แนะนำใน ( Schwartz 2008 ) คือชุดของฟังก์ชันบนปริภูมิโมดูลัสที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้แผนที่เพนทาแกรม^{[ 52 ]}ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของฟังก์ชันเหล่านี้คือ

${\displaystyle O_{n}=x_{1}x_{2}\cdots x_{n},\quad E_{n}=y_{1}y_{2}\cdots y_{n}.}$

ตัวแปรโมโนโดรมีอื่นๆ สามารถเรียกคืนได้จากมุมมองที่แตกต่างกัน: ผ่านสมมาตรการปรับขนาดในฐานะ วัตถุ เชิงคอม บินาทอริก หรือในฐานะดีเทอร์มิแนนต์บาง อย่าง ^{[ 53 ]}ในส่วนนี้จะนำเสนอวิธีที่เกี่ยวข้องกับสมมาตรการปรับขนาด

ให้เป็นการยกขึ้นของโมโนโดรมีของรูปหลายเหลี่ยมบิดเบี้ยวปริมาณต่างๆ ${\displaystyle M\in \mathrm {GL} _{3}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Omega _{1}={\frac {\operatorname {trace} ^{3}(M)}{\det(M)}},\quad \Omega _{2}={\frac {\operatorname {trace} ^{3}(M^{-1})}{\det(M^{-1})}},}$

เป็นอิสระจากการเลือกยกและไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การผันแปรดังนั้นจึงมีการกำหนดไว้อย่างดีสำหรับคลาสเชิงโปรเจกทีฟของรูปหลายเหลี่ยม พวกมันไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้แผนที่เพนทาแกรม เนื่องจากเมทริกซ์โมโนโดรมีไม่เปลี่ยนแปลง^{[ 54 ]}ตอนนี้ ปริมาณ

${\displaystyle {\tilde {\Omega }}_{1}=O_{n}^{2}E_{n}\Omega _{1},\quad {\tilde {\Omega }}_{2}=O_{n}E_{n}^{2}\Omega _{2},}$

มีคุณสมบัติเหมือนกัน แต่กลับกลายเป็นพหุนามในตัวแปรคงที่ของมุม^{[ i ]}สามารถเขียนได้ดังนี้^{[ 54 ]}

${\displaystyle {\tilde {\Omega }}_{1}={\biggl (}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }O_{k}{\biggr )}^{3},\quad {\tilde {\Omega }}_{2}={\biggl (}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }E_{k}{\biggr )}^{3},}$

โดยที่แต่ละและเป็นพหุนามเอกพันธุ์ที่มีน้ำหนักและตาม ลำดับ ^{[ 55 ]}หมายความว่าพวกมันเปลี่ยนแปลงภายใต้การดำเนินการปรับขนาดใหม่บนตัวแปรโดย^{[ 54 ]}${\displaystyle O_{k}}$${\displaystyle E_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle -k}$

${\displaystyle R_{s}(O_{k})=s^{k}O_{k},\quad R_{s}(E_{k})=s^{-k}E_{k}.}$

ปริมาณเหล่านี้ไม่เปลี่ยนแปลงโดยพลวัต และเรียกว่าค่าคงที่โมโนโดรมี ยิ่งไปกว่านั้น ยังเป็นอิสระทางพีชคณิตอีก ด้วย ^{[ 52 ]}${\displaystyle O_{1},\dots ,O_{\lfloor n/2\rfloor },O_{n},E_{1},\dots ,E_{\lfloor n/2\rfloor },E_{n},}$

เมื่อใดก็ตามที่ถูกจารึกบนภาคตัดกรวยจะมีสำหรับทุก[ ^{56 ] ยิ่ง}ไปกว่านั้น หากถูกล้อมรอบรอบภาคตัดกรวยอื่น^{[ j ]}แล้วค่าคงที่โมโนโดรมีของมันจะถูกกำหนดลักษณะโดยคู่ของภาคตัดกรวย^{[ 57 ]}สำหรับรูปหลายเหลี่ยมคี่ดังกล่าว การแปลบนวาไรตี้จาโคเบียน^{[ k ]}จะถูกจำกัดไว้ที่วาไรตี้พรีม (ซึ่งเป็นทอรัสครึ่งมิติในจาโคเบียน) ^{[ 58 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle O_{k}(P)=E_{k}(P)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle P}$

วงเล็บปัวซงที่ไม่เปลี่ยนแปลงบนพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมบิดเบี้ยวถูกค้นพบใน ( Ovsienko, Schwartz & Tabachnikov 2010 ) ตัวแปรโมโนโดรมีจะสลับตำแหน่งกันโดยสัมพันธ์กับวงเล็บนี้: สำหรับทุก^{[ 59 ]}$${\displaystyle \{O_{i},O_{j}\}=\{O_{i},E_{j}\}=\{E_{i},E_{j}\}=0}$$${\displaystyle i,j}$

วงเล็บปัวซงถูกกำหนดในแง่ของพิกัดมุมโดย: สำหรับสิ่งอื่นทั้งหมด^{[ 60 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\{x_{i},x_{i\pm 1}\}&=\mp x_{i}x_{i+1},\\\{y_{i},y_{i\pm 1}\}&=\mp y_{i}y_{i+1},\\\{x_{i},x_{j}\}&=\{y_{i},y_{j}\}=\{x_{i},y_{j}\}=0\end{aligned}}}$$${\displaystyle i,j.}$

ให้เป็นสมาชิกของกลุ่มการคูณและเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ได้จากการใช้การกระทำปรับขนาดบนเมทริกซ์ Laxคือการยกขึ้นของโมโนโดรมีของ ที่สอดคล้องกับสมการความโค้งเป็นศูนย์ [ ^{61 ] จาก}นั้น ฟังก์ชันสเปกตรัมคือพหุนามลักษณะเฉพาะแบบสองตัวแปรหรือการปรับค่าใหม่บางอย่างของมันเส้นโค้งสเปกตรัมคือการเติมเต็มเชิงโปรเจกทีฟของเส้นโค้งแอฟฟินที่กำหนดโดยสมการ[ ^{62 ] มัน}ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้แผนที่เพนทาแกรม และค่าคงที่ของโมโนโดรมีปรากฏเป็น^{สัมประสิทธิ์ของ [} 63 ] จีนัส^{ทางเรขาคณิต}ของมันคือถ้าเป็นเลขคี่ และถ้าเป็นเลขคู่^{[ 64 ]}${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle P_{\zeta }}$${\displaystyle R_{\zeta }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\hat {T}}(\zeta )\in \mathrm {GL} _{3}}$${\displaystyle P_{\zeta }}$$${\displaystyle Q(\lambda ,\zeta ):=\det(\lambda \operatorname {Id} -{\hat {T}}(\zeta )),}$$${\displaystyle Q(\lambda ,\zeta )=0}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n-2}$${\displaystyle n}$

ได้รับการแนะนำครั้งแรกใน ( Soloviev 2013 ) สำหรับการพิสูจน์ความสามารถใน การบูร ณาการเชิงพีชคณิตเรขาคณิต ของเขา ^{[ 65 ]}

แผนที่เพนทาแกรมบนปริภูมิโมดูลัสได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นระบบไดนามิกแบบไม่ต่อเนื่องที่สามารถบูรณาการได้อย่างสมบูรณ์ ทั้งในความหมายของArnold-Liouville ^{[ l ]}และ ความหมายเชิง พีชคณิตเรขาคณิต^{[ m ]}ไม่ว่าในกรณีใด นี่หมายความว่าปริภูมิโมดูลัสเกือบ จะ ถูกแบ่งย่อยด้วยทอรัสแบน (หรือในบริบททางพีชคณิตวาไรตี้อาเบเลียน ) ทุกที่ โดยที่การเคลื่อนที่คือการเลื่อนซึ่งโดยทั่วไปจะเหนี่ยวนำให้เกิดการเคลื่อนที่แบบกึ่งคาบในทอรัสที่สอดคล้องกัน^{[ 26 ]}

การพิสูจน์ความสามารถในการบูรณาการของแผนที่เพนทาแกรมบนรูปหลายเหลี่ยมบิดจริงสำเร็จได้ใน ( Ovsienko, Schwartz & Tabachnikov 2010 ) โดยสังเกตว่าตัวแปรโมโนโดรมีและเป็นตัวแปรแคสิเมียร์สำหรับวงเล็บ ซึ่งหมายความว่า (ในบริบทนี้) สำหรับ ฟังก์ชันทั้งหมด^{[ 59 ]}เมื่อเป็นเลขคู่ สิ่งนี้ก็เป็นจริงสำหรับตัวแปรโมโนโดรมีและด้วย^{[ 59 ]}${\displaystyle O_{n}}$${\displaystyle E_{n}}$$${\displaystyle \{O_{n},f\}=\{E_{n},f\}=0}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle O_{\lfloor n/2\rfloor }}$${\displaystyle E_{\lfloor n/2\rfloor }}$

สิ่งนี้ทำให้สามารถพิจารณาเซตระดับ Casimir ซึ่ง Casimir แต่ละตัวมีค่าที่กำหนดไว้ เนื่องจากทฤษฎีบทของ Sardเซตระดับทั่วไปใดๆ ก็เป็นแมนิโฟลด์เรียบ^{[ 66 ]}พวกมันสร้างการแบ่งส่วนในใบซิมเพล็กติกซึ่งวงเล็บ Poisson ก่อให้เกิดรูปแบบซิมเพล็กติก^{[ 67 ]}

ใบซิมเพล็กติกแต่ละใบเหล่านี้มีการแบ่งชั้น ไอโซโมโนโดร มี กล่าวคือ การแยกส่วนเป็นเซตระดับทั่วไปของฟังก์ชันโมโนโดรมีที่เหลืออยู่ โดยใช้ทฤษฎีบทของ Sard อีกครั้ง พวกมันเป็นแมนิโฟลด์ลากรางจ์ทั่วไป^{[ 68 ]}ยิ่งไปกว่านั้น พวกมันยังกระชับอีกด้วย^{[ 69 ]}เนื่องจากตัวแปรโมโนโดรมีสลับกันได้แบบปัวซง และมีจำนวนมากพอ จึง สามารถใช้ ทฤษฎีบท Liouville–Arnold แบบ ไม่ต่อเนื่อง เพื่อพิสูจน์ว่าเซตระดับเป็นทอรัสแบนราบซึ่งไดนามิกเป็นการเลื่อน^{[ 70 ]}

ใน ( Soloviev 2013 ) แสดงให้เห็นว่าแผนที่เพนทาแกรมยอมรับการแสดงแทนแบบ Laxด้วยพารามิเตอร์สเปกตรัม ซึ่งช่วยให้สามารถพิสูจน์ความสามารถในการบูรณาการเชิงพีชคณิตเรขาคณิตได้ นั่นหมายความว่าพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม (ทั้งแบบบิดหรือแบบปิด) ถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยข้อมูลสเปกตรัม ซึ่งประกอบด้วยเส้นโค้งสเปกตรัมพร้อมจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ และตัวหารที่กำหนดโดย สมการ Floquet – Blochสิ่งนี้ทำให้เกิดการฝังตัวในวาไรตี้ Jacobianผ่านแผนที่ Abel–Jacobiโดยที่การเคลื่อนที่แสดงออกมาในแง่ของการแปล^{[ 71 ]}วงเล็บ Poisson ที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ก็ถูกเรียกคืนเช่นกัน^{[ 72 ]}

ความสามารถในการบูรณาการนี้ได้รับการขยายความใน ( Weinreich 2022 ) จากฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนไปยังฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต ใดๆ ที่มีลักษณะเฉพาะแตกต่างจาก 2 การแปลบนทอรัสถูกแทนที่ด้วยการแปลบนวาไรตี้อาเบเลียน (อันที่จริงคือวาไรตี้จาโคเบียนอีกครั้ง) ^{[ 73 ]}

สำหรับรูปหลาย เหลี่ยมบิดเบี้ยว มิติของทอรัสที่ไม่เปลี่ยนแปลง (หรือวาไรตี้จาโคเบียน) คือ^{[ 74 ]}${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{cases}n-1&{\text{when }}n{\text{ is odd,}}\\n-2&{\text{when }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}}$

ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อเป็นเลขคู่ จะมี Jacobian สองตัวที่เป็นไอโซมอร์ฟิกกันซึ่งการทำซ้ำของแผนที่เพนทาแกรมจะสลับกัน แต่ในแต่ละอัน การทำซ้ำครั้งที่สองจะเป็นการแปล^{[ 73 ]}${\displaystyle n}$

ไม่มีโครงสร้างปัวซงในพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปิด^{[ 75 ]}อย่างไรก็ตาม โครงสร้างจากรูปหลายเหลี่ยมบิดเบี้ยวสามารถใช้เพื่อพิสูจน์ความสามารถในการบูรณาการได้^{[ 76 ]}

การอินทิเกรตเชิงพีชคณิตเรขาคณิตใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมปิดในลักษณะเดียวกับรูปหลายเหลี่ยมบิด^{[ 77 ]}อย่างไรก็ตาม การอินทิเกรตแบบ Arnold-Liouville ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับรูปหลายเหลี่ยมปิดจริงเฉพาะเมื่อเป็นรูปนูนเท่านั้น ซึ่งทำได้โดยการจำกัดฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียนของฟังก์ชันโมโนโดรมีให้อยู่ในทอรัสที่มีมิติเล็กกว่า และแสดงให้เห็นว่ายังมีจำนวนเพียงพอที่ยังคงเป็นอิสระ^{[ 78 ]}

ในทั้งสองสถานการณ์ มิติของแมนิโฟลด์ไม่แปรเปลี่ยนจะลดลงสำหรับรูปหลายเหลี่ยมปิด(เมื่อเทียบกับกรณีบิดเบี้ยว) และเท่ากับ^{[ 77 ] [ 79 ]}${\displaystyle 3}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{cases}n-4&{\text{when }}n{\text{ is odd,}}\\n-5&{\text{when }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}}$

ขีดจำกัดต่อเนื่องของรูปหลายเหลี่ยมนูนคือเส้นโค้งนูนแบบพาราเมตริกในระนาบ เมื่อเลือกพารามิเตอร์เวลาอย่างเหมาะสมขีดจำกัดต่อเนื่องของแผนที่เพนทาแกรมคือสมการ Boussinesq แบบคลาสสิก สมการนี้เป็นตัวอย่างคลาส สิกของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่สามารถหาปริพันธ์ได้^{[ 80 ]}

ต่อไปนี้เป็นคำอธิบายของการกระทำทางเรขาคณิตของสมการ Boussinesq กำหนดให้เส้นโค้งนูนเฉพาะที่และจำนวนจริงและพิจารณาคอร์ดที่เชื่อมต่อกับซองของคอร์ดทั้งหมดเหล่านี้คือเส้นโค้งใหม่เมื่อมีขนาดเล็กมาก เส้นโค้งนี้เป็นแบบจำลองที่ดีสำหรับการวิวัฒนาการตามเวลาของเส้นโค้งดั้งเดิมภายใต้สมการ Boussinesq การสร้างนี้ยังคล้ายกับแผนที่เพนทาแกรม ยิ่งไปกว่านั้น วงเล็บไม่แปรเปลี่ยนเพนทาแกรมเป็นการแบ่งส่วนของวงเล็บปัวซงไม่แปรเปลี่ยนที่รู้จักกันดีซึ่งเกี่ยวข้องกับสมการ Boussinesq ^{[ 81 ]}${\displaystyle C:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle C(x-t)}$${\displaystyle C(x+t)}$${\displaystyle C_{t}(x)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle C_{t}(x)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle C_{0}(x)}$

แผนที่เพนทาแกรม^{[ 82 ]}และการวางนัยทั่วไปบางส่วน^{[ 83 ] [ 84 ]}ถูกระบุว่าเป็นกรณีพิเศษของระบบไดนามิกแบบไม่ต่อเนื่องที่ขับเคลื่อนด้วยพีชคณิตคลัสเตอร์ซึ่งเชื่อมโยงกับกลุ่ม Poisson–Lieโมเดลไดเมอร์และระบบที่เรียกว่าคลัสเตอร์อินทิกรัลได้อื่นๆ^{[ 85 ]}วิธีการเหล่านี้ช่วยให้สามารถเรียกคืนวงเล็บ Poisson และแฮมิลโทเนียนที่ใช้ในการพิสูจน์ความสามารถในการอินทิกรัลอย่างสมบูรณ์^{[ 86 ]}และให้การแสดงแทน Lax ^{[ 87 ]}

แผนที่เพนทาแกรมแสดงคุณสมบัติที่เรียกว่าการจำกัดความเป็นเอกลักษณ์ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของระบบอินทิกรัล [ ^{88 ] ระบุ}ว่าหากรูปหลายเหลี่ยมมีความเป็น เอกลักษณ์สำหรับ แผนที่เพนทาแกรมจะมีจำนวนเต็มอยู่จำนวนหนึ่งซึ่งไม่เป็นเอกลักษณ์สำหรับแผนที่แบบวนซ้ำ^{[ 89 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle T}$${\displaystyle m}$${\displaystyle P}$${\displaystyle T^{m}}$

ยิ่งไปกว่านั้น แผนที่เพนทาแกรม (รวมถึงการวางนัยทั่วไปบางส่วนและระบบไดนามิกแบบไม่ต่อเนื่องอื่นๆ) แสดงคุณสมบัติของเดฟรอน^{[ n ]}ซึ่งหมายความว่าหากรูปหลายเหลี่ยมมีความเป็นเอกลักษณ์สำหรับการทำซ้ำบางอย่างของแผนที่เพนทาแกรมแล้ว รูปหลายเหลี่ยมนั้นก็จะมีความเป็นเอกลักษณ์สำหรับการทำซ้ำบางอย่างของแผนที่ผกผันด้วย^{[ 91 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle T^{m}}$${\displaystyle T^{-m'}}$

นิยามของรูปหลายเหลี่ยมบิดเบี้ยวยังคงมีความหมายในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ ใดๆ ภายใต้การกระทำของกลุ่มเชิงโปรเจกทีฟแผนที่เพนตาแกรมสามารถวางนัยทั่วไปได้หลายวิธี และบางส่วนได้ถูกนำเสนอไว้ที่นี่ ไม่ใช่ทั้งหมดที่สามารถหาปริพันธ์ได้^{[ 92 ]}บางส่วนเป็นการแบ่งส่วนของPDEจากลำดับชั้น KdVซึ่งถือเป็นเวอร์ชันมิติสูงกว่าของสมการBoussinesqหรือKP ^{[ 93 ] [ 94 ]}การอธิบายแผนที่เพนตาแกรมแบบทั่วไปทั้งหมดในแง่ของพีชคณิตคลัสเตอร์ยังคงเป็นคำถามที่เปิดอยู่^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {P} \mathrm {GL} _{d+1}}$

ให้และเป็นรูปหลายเหลี่ยมบิดเบี้ยวของ ที่อยู่ในตำแหน่งทั่วไป ${\displaystyle d\geq 2}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}}$

ระนาบทแยงมุมสั้นลำดับที่i ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยการผ่านจุดยอดโดยทั่วไปแล้วจุดตัดของระนาบที่อยู่ติดกันจะกำหนดจุดใหม่ได้อย่างไม่ซ้ำกัน ${\displaystyle k}$${\displaystyle H_{k}^{sh}}$${\displaystyle v_{k},v_{k+2},\dots ,v_{k+2d-2}}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle T_{sh}v_{k}:=H_{k}^{sh}\cap H_{k+1}^{sh}\cap \dots \cap H_{k+d-1}^{sh}.}$

การทำเช่นนี้กับทุกจุดยอดจะกำหนดรูปหลายเหลี่ยมบิดเบี้ยวใหม่ แผนที่นี้ซึ่งแสดงด้วยยังคงเป็นแบบสมมาตรเชิงโปรเจกทีฟอีกครั้ง^{[ 95 ]}${\displaystyle T_{sh}}$

ขั้นตอนก่อนหน้านี้สามารถขยายความได้ ให้ และเป็นเซตของจำนวนเต็มสองเซต ซึ่งเรียกว่าทูเปิลการกระโดดและทูเปิลการตัดกันตามลำดับ กำหนดให้ไฮเปอร์เพลนที่ -th ผ่านจุดยอดจุดใหม่จะกำหนดโดยจุดตัด ${\displaystyle I=(i_{1},\dots ,i_{d-1}),~J=(j_{1},\dots ,j_{d-1})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle H_{k}^{I}}$${\displaystyle v_{k},v_{k+i_{1}},\dots ,v_{k+i_{1}+\dots +i_{d-1}}}$

${\displaystyle T_{I,J}v_{k}:=H_{k}^{I}\cap H_{k+j_{1}}^{I}\cap \dots \cap H_{k+j_{1}+\dots +j_{d-1}}^{I}.}$

แผนที่นี้เรียกว่าแผนที่เพนทาแกรมทั่วไป^{[ 96 ]}แผนที่เพนทาแกรมดั้งเดิมจะถูกกู้คืนโดยพิจารณาจาก ${\displaystyle T_{I,J}}$${\displaystyle d=2,~I=(2),~J=(1)}$

ความสามารถในการหาปริพันธ์สามารถทดสอบได้ทางตัวเลขโดยการเลือกรูปหลายเหลี่ยมแบบสุ่มที่มีพิกัดเชิงตรรกะและศึกษาอัตราการเติบโตของความสูงของการทำซ้ำ วิธีนี้เรียกว่า การทดสอบ ความสามารถในการหาปริพันธ์แบบไดโอแฟนไทน์และแผนที่เพนทาแกรมทั่วไปบางแผนที่ดูเหมือนจะไม่ผ่านการทดสอบนี้^{[ 97 ]}อย่างไรก็ตาม มีการคาดการณ์ว่าแผนที่เหล่านี้สามารถหาปริพันธ์ได้สำหรับค่าใดๆ^{[ 98 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle T_{I,I}}$${\displaystyle I}$

แผนที่บางส่วนเหล่านี้เป็นการแบ่งย่อยของสมการ Boussinesq ที่มีมิติสูงกว่า ในลำดับชั้น KdV ^{[ 99 ] [ 100 ]}

กำหนดจำนวนเต็มพิจารณาทูเปิลการกระโดดโดยที่อยู่ที่ตำแหน่งที่ และทูเปิลการตัดกันแผนที่เพนทาแกรมแบบมีรอยบุ๋มคือพิสูจน์แล้วว่าสามารถอินทิเกรตได้^{[ 101 ]}${\displaystyle m\in \{1,\dots ,d-1\}}$${\displaystyle I_{m}:=(1,\dots ,1,2,1,\dots ,1)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle m}$${\displaystyle J:=(1,\dots ,1)}$${\displaystyle T_{m}:=T_{I_{m},J}}$

สำหรับจำนวนเต็มแผนที่เพนตาแกรมที่มีรอยบุ๋มลึก (ที่มีความลึก) จะเป็นแผนที่เดียวกันกับก่อนหน้านี้ แต่ตัวเลขในคำจำกัดความของจะถูกแทนที่ด้วยแผนที่เพนตาแกรมประเภทนี้สามารถหาปริพันธ์ได้อีกครั้ง^{[ 102 ]}${\displaystyle p\geq 2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle T_{m}^{p}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle I_{m}}$${\displaystyle p}$

รูปหลายเหลี่ยมบิดเบี้ยวที่อยู่ในระนาบจะเรียกว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมลูกคลื่น ถ้าสำหรับค่าใดๆ จุดยอดของรูป หลายเหลี่ยมเหล่านั้นทอดลงบนระนาบสองมิติเชิงโปรเจกทีฟ รูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวไม่ได้อยู่ในตำแหน่งทั่วไปจุดใหม่ถูกกำหนดโดย ${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle v_{k},v_{k+1},v_{k+d},v_{k+d+1}}$

${\displaystyle T_{\text{cor}}v_{k}:={\overline {v_{k}v_{k+d}}}\cap {\overline {v_{k+1}v_{k+d+1}}}.}$

แผนที่นี้สร้างรูปหลายเหลี่ยมลูกคลื่นใหม่ พวกมันสามารถอินทิเกรตแบบ Liouville ได้อย่างสมบูรณ์^{[ 103 ]}${\displaystyle T_{\text{cor}}}$

ในความเป็นจริง พวกมันสามารถเรียกคืนได้เป็นแผนที่รูปดาวห้าแฉกบุบที่ใช้กับรูปหลายเหลี่ยมที่เป็นลอน^{[ 104 ]}

ให้เป็นจำนวนเต็ม แผนที่เพนทาแกรมยังสามารถขยายไปสู่ปริภูมิกราสส์มันน์ซึ่งประกอบด้วยปริภูมิย่อยเชิงเส้นมิติของปริภูมิเวกเตอร์มิติเมื่อปริภูมิย่อยเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรงซึ่งได้นิยามของปริภูมิเชิงฉาย กลับคืน มา^{[ 105 ]}${\displaystyle d\geq 3,m\geq 1}$${\displaystyle \mathrm {Gr} (m,md)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle md}$${\displaystyle m=1}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}}$

จุดหนึ่งถูกแทนด้วยเมทริกซ์ที่คอลัมน์ของเมทริกซ์นั้นประกอบเป็นฐานของพิจารณาการกระทำของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปโดยการคูณทางด้านซ้ายของสิ่งนี้กำหนดการกระทำบนกราสส์มันเนียน แม้ว่าจะไม่ซื่อสัตย์ก็ตาม^{[ o ]}ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยมของและปริภูมิโมดูลัสของพวกมันจึงถูกกำหนดไว้เช่นเดิม หลังจากการเปลี่ยนแปลงของกลุ่มพื้นฐาน^{[ 105 ]}${\displaystyle v\in \operatorname {Gr} (m,md)}$${\displaystyle md\times m}$${\displaystyle X_{v}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathrm {GL} _{md}}$${\displaystyle X_{v}}$${\displaystyle \mathrm {Gr} (m,md)}$

ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันของเราสามารถกำหนดปริภูมิย่อยเชิงเส้นที่ครอบคลุมโดยบางส่วนได้โดยที่การหาจุดตัดของปริภูมิย่อยเหล่านั้นโดยทั่วไปจะกำหนดจุดใหม่[ ^{106 ] การ}วางนัยทั่วไปของแผนที่เพนทาแกรมนี้สามารถหาปริพันธ์ได้ในความหมายที่ไม่สลับที่กัน^{[ 107 ]}${\displaystyle d}$${\displaystyle X_{v_{k}}}$${\displaystyle v\in \mathrm {Gr} (m,md)}$

แผนที่เพนตาแกรมยอมรับการวางนัยทั่วไปโดยพิจารณาระนาบเชิงโปรเจกทีฟเหนือวงแหวนจำกัดที่เสถียรแทนที่จะเป็นฟิลด์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้จะดึงแผนที่เพนตาแกรมเหนือกราสส์มันเนียนกลับมา อีกครั้ง มันยอมรับการแสดงแทนแบบแล็กซ์^{[ 108 ]}

• Aboud, Quinton; Izosimov, Anton (2022-03-23). ​​"จุดลิมิตของแผนที่เพนทาแกรมและโมโนโดรมีอนันต์" . International Mathematics Research Notices . 2022 (7): 5383– 5397. doi : 10.1093/imrn/rnaa258 . ISSN  1073-7928 .
• Affolter, Niklas Christoph; George, Terrence; Ramassamy, Sanjay (2025-06-03). "พลวัตที่สามารถหาปริพันธ์ได้ในเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟผ่านไดเมอร์และแผนที่ไดอะแกรมจุดตัดสามจุดบนทรงกระบอก" สมมาตร ความสามารถในการหาปริพันธ์ และเรขาคณิต: วิธีการและการประยุกต์ใช้ doi : 10.3842 / sigma.2025.040 ISSN  1815-0659
• เบอร์เกอร์, มาร์เซล (2005) " Dynamiser la géométrie élémentaire: บทนำ à des travaux de Richard Schwartz" Rendiconti di Matematica e delle sue Applicazioni (ภาษาฝรั่งเศส) 25 (ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว): 127– 153.
• Bolsinov, Alexey; Matveev, Vladimir S.; Miranda, Eva; Tabachnikov, Serge (2018-10-28). "ปัญหาเปิด คำถาม และความท้าทายในระบบอินทิกรัลมิติจำกัด" . Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 376 (2131) 20170430. arXiv : 1804.03737 . Bibcode : 2018RSPTA.37670430B . doi : 10.1098/rsta.2017.0430 . ISSN  1364-503X . PMC  6158379 . PMID  30224421 .
• เคล็บช์, เอ. (1871-09-01) "อูเบอร์ ดาส เอเบเน ฟุนเฟค" Mathematische Annalen (ภาษาเยอรมัน) 4 (3): 476– 489. ดอย : 10.1007/BF01455078 . ISSN  1432-1807​
• Dirdak, Abigayle (2024), "การแปลง Gale และแผนที่เพนทาแกรม" วิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกมหาวิทยาลัยแอริโซนา
• เฟลิเป้, ราอุล; มารี-เบฟฟา กลอเรีย (03-06-2019) "แผนที่รูปดาวห้าแฉกบน Grassmannians " แอนนาเลส เดอ ลินสติตู ฟูริเยร์69 (1): 421– 456. ดอย : 10.5802/aif.3248 . ISSN  1777-5310​
• Fock, Vladimir V.; Marshakov, Andrey (2016), "กลุ่มลูป, คลัสเตอร์, ไดเมอร์ และระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้" , หลักสูตรคณิตศาสตร์ขั้นสูง - CRM Barcelona , Cham: Springer International Publishing, หน้า  1–65 , doi : 10.1007/978-3-319-33578-0_1 , ISBN 978-3-319-33577-3สืบค้นเมื่อ 2025-12-02{{citation}}: CS1 maint: work parameter with ISBN (link)
• Gekhtman, Michael; Izosimov, Anton (2025-01-01). "ระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้และพีชคณิตคลัสเตอร์"สารานุกรมฟิสิกส์คณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 2): 294–308 . doi : 10.1016/B978-0-323-95703-8.00029-X . ISBN 978-0-323-95706-9.
• Gekhtman, Michael; Shapiro, Michael; Tabachnikov, Serge; Vainshtein, Alek (2012). "แผนที่เพนทาแกรมระดับสูง เครือข่ายทิศทางแบบถ่วงน้ำหนัก และพลวัตของกลุ่ม"ประกาศการวิจัยทางอิเล็กทรอนิกส์ในสาขาวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ 19 : 1– 17. doi : 10.3934 /era.2012.19.1 . ISSN  1935-9179 .
• Glick, Max (2011). "แผนที่เพนทาแกรมและรูปแบบ Y" . Advances in Mathematics . 227 (2): 1019– 1045. doi : 10.1016/j.aim.2011.02.018 . ISSN  0001-8708 .
• Glick, Max (2012-12-19). "เกี่ยวกับการจำกัดภาวะเอกฐานสำหรับแผนที่เพนทาแกรม" . วารสารพีชคณิตเชิงการจัดเรียง . 38 (3): 597– 635. doi : 10.1007/s10801-012-0417-6 . ISSN  0925-9899 .
• Glick, Max (2015). "คุณสมบัติของ Devron" . Journal of Geometry and Physics . 87 : 161– 189. arXiv : 1312.6881 . Bibcode : 2015JGP....87..161G . doi : 10.1016/j.geomphys.2014.07.029 . ISSN  0393-0440 .
• Glick, Max (2020-05-07). "จุดลิมิตของแผนที่เพนทาแกรม" . International Mathematics Research Notices . 2020 (9): 2818– 2831. doi : 10.1093/imrn/rny110 . ISSN  1073-7928 .
• Glick, Max; Pylyavskyy, Pavlo (2016-03-07). " Y -meshes และแผนที่เพนทาแกรมทั่วไป" . Proceedings of the London Mathematical Society . 112 (4): 753– 797. doi : 10.1112/plms/pdw007 . ISSN  0024-6115 .
• Grammaticos, Basile; Ramani, Alfred; Papageorgiou, Vassilios (30 กันยายน 1991). "การแมปที่สามารถหาปริพันธ์ได้มีคุณสมบัติ Painlevé หรือไม่?" Physical Review Letters . 67 (14): 1825– 1828. Bibcode : 1991PhRvL..67.1825G . doi : 10.1103/physrevlett.67.1825 . ISSN  0031-9007 . PMID  10044260 .
• Hand, Leaha; Izosimov, Anton (2025). " แผนที่เพนทาแกรมเหนือวงแหวน, กราสส์มันเนียน และสเกอเวอร์ส"วารสารของสมาคมคณิตศาสตร์ยุโรป arXiv : 2405.06122 . doi : 10.4171/JEMS/1751 .
• Izosimov, Anton (2016). "รูปห้าเหลี่ยม รูปหลายเหลี่ยมที่จารึก และวาไรตี้พรีม" ประกาศการวิจัยทางอิเล็กทรอนิกส์ในสาขาวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ 23 : 25– 40. doi : 10.3934 /era.2016.23.004 . ISSN  1935-9179 .
• Izosimov, Anton (2022a). "แผนที่เพนทาแกรม รูปหลายเหลี่ยม Poncelet และตัวดำเนินการผลต่างที่สลับกันได้" Compositio Mathematica . 158 (5): 1084– 1124. doi : 10.1112/S0010437X22007345 . ISSN  0010-437X .
• Izosimov, Anton (2022b). "แผนที่เพนตาแกรมและการปรับโครงสร้างใหม่ในกลุ่มปัวซง-ลี". Advances in Mathematics . 404 108476. doi : 10.1016/j.aim.2022.108476 . ISSN  0001-8708 .
• Kasner, Edward (1928). "ทฤษฎีบทเชิงฉายบนรูปห้าเหลี่ยมระนาบ" The American Mathematical Monthly . 35 (7): 352– 356. doi : 10.1080/00029890.1928.11986851 . ISSN  0002-9890 .
• Khesin, Boris; Soloviev, Fedor (2013). "ความสามารถในการหาปริพันธ์ของแผนที่เพนทาแกรมระดับสูง" . Mathematische Annalen . 357 (3): 1005– 1047. arXiv : 1204.0756 . doi : 10.1007/s00208-013-0922-5 . ISSN  0025-5831 .
• Khesin, Boris; Soloviev, Fedor (2015a). "ความไม่สามารถหาปริพันธ์ได้เทียบกับความสามารถในการหาปริพันธ์ได้ในแผนที่เพนทาแกรม"วารสารเรขาคณิตและฟิสิกส์87 : 275– 285. arXiv : 1404.6221 . Bibcode : 2015JGP....87..275K . doi : 10.1016/j.geomphys.2014.07.027 .
• Khesin, Boris; Soloviev, Fedor (2015b). "เรขาคณิตของแผนที่เพนทาแกรมบุ๋ม"วารสารของสมาคมคณิตศาสตร์ยุโรป 18 (1): 147– 179. doi : 10.4171/jems/586 . ISSN  1435-9855 .
• Marí-Beffa, Gloria (2012-12-13). "เกี่ยวกับการวางนัยทั่วไปของแผนที่เพนทาแกรม: การแบ่งส่วนของการไหลของ AGD" วารสารวิทยาศาสตร์ไม่เชิงเส้น 23 ( 2): 303– 334. doi : 10.1007/s00332-012-9152-3 . ISSN  0938-8974 .
• Marí-Beffa, Gloria (2014-03-24). "เกี่ยวกับการสรุปทั่วไปที่สามารถหาปริพันธ์ได้ของแผนที่เพนทาแกรม" . International Mathematics Research Notices . doi : 10.1093/imrn/rnu044 . ISSN  1073-7928 .
• Motzkin, Theodor (1945). "รูปห้าเหลี่ยมในระนาบเชิงฉาย พร้อมคำอธิบายเกี่ยวกับกฎของเนเปียร์"วารสารของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน 51 ( 12): 985– 989. doi : 10.1090/S0002-9904-1945-08488-2 . ISSN  0002-9904 .
• Ovenhouse, Nicholas (2020). "ความสามารถในการหาปริพันธ์แบบไม่สลับที่ของแผนที่เพนทาแกรมกราสส์มันน์" . Advances in Mathematics . 373 107309. doi : 10.1016/j.aim.2020.107309 .
• Ovsienko, Valentin; Schwartz, Richard Evan; Tabachnikov , Serge (2009). "การเคลื่อนที่แบบกึ่งคาบสำหรับแผนที่เพนทาแกรม" (pdf)ประกาศการวิจัยทางอิเล็กทรอนิกส์ในสาขาวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์16 : 1– 8. arXiv : 0901.1585 . Bibcode : 2009arXiv0901.1585O . doi : 10.3934/era.2009.16.1 . S2CID  10821671 .
• Ovsienko, Valentin; Schwartz, Richard; Tabachnikov , Serge (2010-10-01). "แผนที่เพนทาแกรม: ระบบอินทิกรัลแบบไม่ต่อเนื่อง". การสื่อสารในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ 299 (2): 409– 446. Bibcode : 2010CMaPh.299..409O . doi : 10.1007/s00220-010-1075-y . ISSN 1432-0916 . 
• Ovsienko, Valentin; Schwartz, Richard Evan; Tabachnikov, Serge (2013-09-15). "ความสามารถในการหาปริพันธ์แบบ Liouville–Arnold ของแผนที่เพนทาแกรมบนรูปหลายเหลี่ยมปิด" . Duke Mathematical Journal . 162 (12). arXiv : 1107.3633 . doi : 10.1215/00127094-2348219 . ISSN  0012-7094 .
• Schwartz, Richard Evan (1992-01-01). "แผนที่เพนทาแกรม"คณิตศาสตร์เชิงทดลอง 1 ( 1): 71– 81. doi : 10.1080/10586458.1992.10504248 (ไม่ใช้งาน 29 มกราคม 2026) . ISSN  1058-6458{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of January 2026 (link)
• Schwartz, Richard Evan (2001). "แผนที่เพนทาแกรมเป็นแบบวนซ้ำ" คณิตศาสตร์เชิงทดลอง 10 ( 4): 519– 528. doi : 10.1080/10586458.2001.10504671 . ISSN  1058-6458 .
• Schwartz, Richard Evan (2008-09-01). "โมโนโดรมีแบบไม่ต่อเนื่อง เพนทาแกรม และวิธีการควบแน่น" วารสารทฤษฎีจุดตรึงและการประยุกต์ใช้ 3 ( 2): 379– 409. doi : 10.1007/s11784-008-0079-0 . ISSN  1661-7746 .
• Schwartz, Richard Evan (2013-10-02). "เกลียวเพนทาแกรม". คณิตศาสตร์เชิงทดลอง . 22 (4): 384– 405. doi : 10.1080/10586458.2013.830582 . ISSN  1058-6458 .
• Schwartz, Richard Evan (2015). "ปริพันธ์เพนทาแกรมสำหรับตระกูล Poncelet" . Journal of Geometry and Physics . 87 : 432– 449. Bibcode : 2015JGP....87..432S . doi : 10.1016/j.geomphys.2014.07.024 .
• Schwartz, Richard Evan (2017). แผนที่ความร้อนเชิงฉาย . การสำรวจและเอกสารทางคณิตศาสตร์. พรอวิเดนซ์ รัฐโรดไอส์แลนด์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. ISBN 978-1-4704-3514-1.
• Schwartz, Richard (2026-02-14). "นกกระพือปีกในสวนสัตว์เพนทาแกรม" . Arnold Mathematical Journal . 011 (004): 10. doi : 10.56994/ARMJ.011.004.002 . ISSN  2199-6792 .
• Schwartz, Richard Evan; Tabachnikov, Serge (2010). "ความประหลาดใจเบื้องต้นในเรขาคณิตเชิงฉาย" The Mathematical Intelligencer . 32 (3): 31– 34. doi : 10.1007/s00283-010-9137-8 . hdl : 21.11116/0000-0004-24EE-8 . ISSN  0343-6993 .
• Schwartz, Richard Evan; Tabachnikov, Serge (2011-09-02). "ปริพันธ์เพนทาแกรมบนรูปหลายเหลี่ยมที่จารึก"วารสารอิเล็กทรอนิกส์ของ Combinatorics 18 (1) P171. doi : 10.37236 /658 . ISSN  1077-8926 .
• Soloviev, Fedor (1 ธันวาคม 2013), "ความสามารถในการหาปริพันธ์ของแผนที่เพนทาแกรม" , Duke Mathematical Journal , 162 (15): 2815– 2853, arXiv : 1106.3950 , doi : 10.1215/00127094-2382228
• Tabachnikov, Serge (2019-05-07). "Kasner Meets Poncelet" . The Mathematical Intelligencer . 41 (4): 56– 59. arXiv : 1707.09267 . doi : 10.1007/s00283-019-09897-5 . ISSN  0343-6993 .
• Tupan, Alexandru (2022-07-03). "การกำหนดค่าเพนตาแกรมสำหรับรูปห้าเหลี่ยมและรูปหกเหลี่ยม" The American Mathematical Monthly . 129 (6): 554– 565. doi : 10.1080/00029890.2022.2060695 . ISSN  0002-9890 .
• Wang, Bao (2023). "แผนที่แบบเพนตาแกรมและสมการ KP แบบไม่ต่อเนื่อง" . วารสารวิทยาศาสตร์ไม่เชิงเส้น . 33 (6) 101. Bibcode : 2023JNS....33..101W . doi : 10.1007/s00332-023-09961-7 . ISSN  0938-8974 .
• Weinreich, Max H. (25 พฤศจิกายน 2022). "พลวัตเชิงพีชคณิตของแผนที่เพนทาแกรม" ทฤษฎีเออร์โกดิกและระบบพลวัต 43 ( 10): 3460– 3505. doi : 10.1017/etds.2022.82 . ISSN  0143-3857 .

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับแผนที่รูปดาวห้าแฉก

Wikiversity มีแหล่งข้อมูลการเรียนรู้เกี่ยวกับแผนผัง WikiJournal Preprints/Pentagram