รูปเจ็ดเหลี่ยมปกติ
รูปเจ็ดเหลี่ยมปกติ
พิมพ์	รูปหลายเหลี่ยมปกติ
ขอบและจุดยอด	7
สัญลักษณ์ Schläfli	{7}
แผนภาพค็อกซ์เตอร์-ไดน์กิน
กลุ่มสมมาตร	ไดเฮดรัล (D ), อันดับ 2×7
มุมภายใน ( องศา )	≈128.571°
คุณสมบัติ	นูน , วงกลม , สามเหลี่ยมด้านเท่า , มุมฉาก , มุมฉาก
รูปหลายเหลี่ยมคู่	ตัวเอง

ในทางเรขาคณิตรูปเจ็ดเหลี่ยม (heptagon) คือ รูปหลายเหลี่ยมที่มีเจ็ดด้านหรือรูป 7 เหลี่ยม

รูปเจ็ดเหลี่ยมบางครั้งเรียกว่ารูปเจ็ดเหลี่ยม (septagon ) โดยใช้septa- ( ซึ่งเป็นการตัดคำจากseptua- ) ซึ่งเป็นคำนำหน้าตัวเลขที่มาจากภาษาละตินแทนที่จะใช้hepta-ซึ่ง เป็นคำนำหน้าตัวเลขที่มาจาก ภาษากรีก (ทั้งสองคำมีรากศัพท์เดียวกัน) ร่วมกับคำต่อท้าย-gonสำหรับภาษากรีก : γωνἰαซึ่งเขียนเป็นอักษรโรมันว่า  goníaหมายถึง มุม

รูปเจ็ดเหลี่ยมปกติซึ่งด้านทุกด้านและมุมทุกมุมเท่ากัน จะมีมุมภายในเท่ากับ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {5}{7}}\pi }$เรเดียน ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle 128\,{\tfrac {4}{7}}}$องศา ) สัญลักษณ์ Schläfli ของรูปนี้ คือ {7}

พื้นที่ ( A ) ของรูปเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวด้านaคำนวณได้จากสูตร:

${\displaystyle A={\tfrac {7}{4}}a^{2}\cot {\tfrac {1}{7}}\pi \simeq 3.634a^{2}.}$

สามารถเห็นได้จากการแบ่งรูปเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่าหน่วยออกเป็น "ชิ้นสามเหลี่ยม" เจ็ดชิ้น โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุดศูนย์กลางและจุดยอดของรูปเจ็ดเหลี่ยม จากนั้นแบ่งแต่ละสามเหลี่ยมออกเป็นครึ่งหนึ่งโดยใช้ความยาว จากจุดศูนย์กลางไปยังด้านประกอบ มุมฉาก (apothem)เป็นด้านร่วม ความยาวจากจุดศูนย์กลางไปยังด้านประกอบมุมฉากคือครึ่งหนึ่งของค่าโคแทนเจนต์ของและ${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}\pi }$พื้นที่ของสามเหลี่ยมเล็กทั้ง 14 ชิ้นคือหนึ่งในสี่ของความยาวจากจุดศูนย์กลางไปยังด้านประกอบมุมฉาก

พื้นที่ของรูปเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่าที่อยู่ภายในวงกลมที่มีรัศมีR คือในขณะที่พื้นที่ของวงกลมเองคือดังนั้นรูปเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่าจึงกินพื้นที่ประมาณ 0.8710 ของวงกลมที่ล้อมรอบมัน ${\displaystyle {\tfrac {7}{2}}R^{2}\sin {\tfrac {2}{7}}\pi ,}$${\displaystyle \pi R^{2};}$

เนื่องจาก 7 เป็นจำนวนเฉพาะเพียร์พอนต์แต่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะแฟร์มา ต์ รูปเจ็ด เหลี่ยมด้านเท่าจึงไม่สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและไม้บรรทัดแต่สามารถสร้างได้ด้วยไม้บรรทัด ที่มีเครื่องหมาย และวงเวียน มันเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่เล็กที่สุดที่มีคุณสมบัตินี้ การสร้างแบบนี้เรียกว่าการสร้างแบบเนอุซิสนอกจากนี้ยังสามารถสร้างได้ด้วยวงเวียน ไม้บรรทัด และเครื่องมือแบ่งมุมสามส่วน ความเป็นไปไม่ได้ ของ การสร้างด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน ^นั้นมาจากการสังเกตว่าเป็นศูนย์ของพหุนามกำลังสามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้x³ + x² − ^2x − 1ดังนั้น พหุนามนี้จึงเป็น พหุ นามขั้นต่ำของในขณะที่ดีกรีของพหุนามขั้นต่ำสำหรับจำนวนที่สร้างได้จะต้องเป็นกำลังของ 2 ${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2}{7}}\pi \approx 1.247}$${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2}{7}}\pi }$

การสร้างมุมภายในของรูปเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่าด้วยวิธี เน อุ ซิส

ภาพเคลื่อนไหวจากการสร้างเนอุซิสที่มีรัศมีเป็นวงกลมล้อมรอบตามที่แอนดรูว์ เอ็ม. เกลสัน[ 1 ]กล่าวไว้ โดยอิงจากการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนโดยใช้ขวานโทมาฮอว์กการสร้างนี้อาศัยข้อเท็จจริงที่ว่า ${\displaystyle {\overline {OA}}=6}$ ${\displaystyle \cos \left({\tfrac {2\pi }{7}}\right)={\tfrac {1}{6}}\left(2{\sqrt {7}}\cos \left({\tfrac {1}{3}}\arctan 3{\sqrt {3}}~\right)-1\right).}$

การประมาณค่าสำหรับการใช้งานจริงโดยมีข้อผิดพลาดประมาณ 0.2% คือการใช้ครึ่งหนึ่งของด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่อยู่ภายในวงกลมเดียวกันกับความยาวด้านของรูปเจ็ดเหลี่ยมปกติ ไม่ทราบว่าใครเป็นผู้ค้นพบการประมาณค่านี้เป็นคนแรก แต่มีการกล่าวถึงในMetricaของHeron แห่ง Alexandriaในศตวรรษที่ 1 หลังคริสต์ศักราช เป็นที่รู้จักกันดีในหมู่นักคณิตศาสตร์อิสลามในยุคกลาง และสามารถพบได้ในงานของAlbrecht Dürer [ ^{2 ] [ 3 ] ให้} A อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมล้อมรอบ ลากส่วนโค้งBOCจากนั้นจะได้ค่าประมาณสำหรับขอบของรูปเจ็ดเหลี่ยม ${\displaystyle \textstyle {BD={\tfrac {1}{2}}BC}}$

ค่าประมาณนี้ใช้ค่าสำหรับด้านของรูปเจ็ดเหลี่ยมที่อยู่ภายในวงกลมหน่วย ในขณะที่ค่าที่แท้จริงคือ. ${\displaystyle \textstyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\ประมาณ 0.86603}$${\displaystyle \textstyle 2\sin {\tfrac {1}{7}}\pi \approx 0.86777}$

ตัวอย่างเพื่อแสดงให้เห็นถึงข้อผิดพลาด: ที่รัศมีวงกลมล้อมรอบr = 1 เมตรข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของด้านแรกจะมีค่าประมาณ−1.7 มิลลิเมตร

ยังมีการประมาณรูปเจ็ดเหลี่ยมโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดอีกหลายวิธี แต่ต้องใช้เวลานานในการวาด ^{[ 4 ]}

รูปเจ็ดเหลี่ยมปกติอยู่ในกลุ่มจุดD ( สัญกรณ์ Schoenflies ) ลำดับที่ 28 องค์ประกอบสมมาตร ได้แก่ แกนหมุนแบบ 7 เท่า C แกนหมุนแบบ 7 เท่า S ระนาบสะท้อน แนวตั้ง 7 ระนาบ σ แกนหมุนแบบ 2 เท่า 7 ระนาบ C ในระนาบของรูปเจ็ดเหลี่ยม และระนาบสะท้อนแนวนอน σ ซึ่งอยู่ในระนาบของรูปเจ็ดเหลี่ยมเช่นกัน^{[ 6 ]}

ด้านa ของรูปเจ็ดเหลี่ยมปกติ เส้นทแยงมุม ที่สั้นกว่าbและเส้นทแยงมุมที่ยาวกว่าcโดยที่a < b < cเป็นไปตาม^{[ 7 ] : บทพิสูจน์ 1}

${\displaystyle a^{2}=c(c-b),}$

${\displaystyle b^{2}=a(c+a),}$

${\displaystyle c^{2}=b(a+b),}$

${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}$ ( สมการเชิงแสง )

และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle ab+ac=bc,}$

และ^{[ 7 ] : Coro. 2}

${\displaystyle b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,}$

${\displaystyle c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,}$

${\displaystyle a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0,}$

ดังนั้น – b / c , c / aและa / bทั้งหมดจึงสอดคล้องกับสมการกำลังสาม อย่างไรก็ตาม ไม่มีนิพจน์พีชคณิต ใด ที่มีพจน์เป็นจำนวนจริงล้วนๆ สำหรับคำตอบของสมการนี้ เนื่องจากเป็นตัวอย่างของcasus irreducibilis (กรณีที่ลดทอนไม่ได้ ) ${\displaystyle t^{3}-2t^{2}-t+1=0.}$

ความยาวโดยประมาณของเส้นทแยงมุมในแง่ของด้านของรูปเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่า กำหนดโดย

${\displaystyle b\approx 1.80193\cdot a,\qquad c\approx 2.24698\cdot a.}$

เรายังมี^{[ 8 ]}

${\displaystyle b^{2}-a^{2}=ac,}$

${\displaystyle c^{2}-b^{2}=ab,}$

${\displaystyle a^{2}-c^{2}=-bc,}$

และ

${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}}}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}=5.}$

สามเหลี่ยมเจ็ดเหลี่ยมมีจุดยอดที่ตรงกับจุดยอดแรก จุดยอดที่สอง และจุดยอดที่สี่ของรูปเจ็ดเหลี่ยมปกติ (จากจุดยอดเริ่มต้นใดๆ) และมีมุม⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}\pi }$ , ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {2}{7}}\pi }$ , และ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {4}{7}}\pi }$ดังนั้นด้านของสามเหลี่ยมเจ็ดเหลี่ยมจึงตรงกับด้านหนึ่งและเส้นทแยงมุม สองเส้น ของรูปเจ็ดเหลี่ยมปกติ^{[ 7 ]}

นอกจากปริซึมเจ็ดเหลี่ยมและแอนติปริซึมเจ็ดเหลี่ยมแล้วไม่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนใดที่สร้างขึ้นจากรูปหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมดที่มีรูปเจ็ดเหลี่ยมเป็นหน้าตัด

สามารถสร้างรูปเจ็ดเหลี่ยมดาวสองชนิด ( เฮปตาแกรม ) จากรูปเจ็ดเหลี่ยมปกติได้ โดยใช้ สัญลักษณ์ Schläfliคือ {7/2} และ {7/3} โดยที่ตัวหารคือช่วงของการเชื่อมต่อ

รูปเจ็ดเหลี่ยมดาวสีน้ำเงิน {7/2} และสีเขียว {7/3} อยู่ภายในรูปเจ็ดเหลี่ยมสีแดง

จุดยอดรูปสามเหลี่ยม รูปเจ็ดเหลี่ยม และรูป 42 เหลี่ยม

การปูพื้นรูปเจ็ดเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิก

รูปสามเหลี่ยมปกติ รูปเจ็ดเหลี่ยม และรูป 42 เหลี่ยม สามารถเติมเต็มจุดยอดของระนาบ ได้อย่างสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม ไม่มีการปูระนาบด้วยรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้เพียงอย่างเดียว เนื่องจากไม่มีวิธีใดที่จะวางรูปใดรูปหนึ่งลงบนด้านที่สามของรูปสามเหลี่ยมโดยไม่เหลือช่องว่างหรือเกิดการทับซ้อนกัน ในระนาบไฮเปอร์โบลิกการปูระนาบด้วยรูปเจ็ดเหลี่ยมปกติเป็นไปได้ นอกจากนี้ ยังมีการปูระนาบด้วยรูปเจ็ดเหลี่ยมเว้าในระนาบยุคลิดอีกด้วย^{[ 9 ]}

รูปเจ็ดเหลี่ยมปกติมี การจัดเรียง แบบแลตติซคู่ของระนาบยุคลิดที่มีความหนาแน่นในการจัดเรียงประมาณ 0.89269 ซึ่งคาดการณ์ว่าเป็นความหนาแน่นต่ำสุดที่เป็นไปได้สำหรับความหนาแน่นในการจัดเรียงแบบแลตติซคู่ที่เหมาะสมที่สุดของเซตแบบนูนใดๆ และโดยทั่วไปแล้วสำหรับความหนาแน่นในการจัดเรียงที่เหมาะสมที่สุดของเซตแบบนูนใดๆ^{[ 10 ]}

รูปเจ็ดเหลี่ยมที่แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม แผ่นดินเหนียวจากเมืองซูซาสหัสวรรษที่ 2 ก่อนคริสตกาล

โดมเจ็ดเหลี่ยมของสุสานเจ้าชายเอิร์นส์

เหรียญ1,000 ควาชา บางส่วนจาก แซมเบียถูกผลิตออกมาในรูปทรงเจ็ดเหลี่ยม

หลายรัฐใช้รูปทรงเจ็ดเหลี่ยมแบบเรอโล (Reuleaux heptagon)ซึ่งเป็นเส้นโค้งที่มีความกว้างคงที่สำหรับเหรียญบางประเภท โดยด้านข้างจะโค้งออกด้านนอกเพื่อให้เหรียญกลิ้งได้อย่างราบรื่นเมื่อใส่เข้าไปในเครื่องจำหน่ายสินค้าอัตโนมัติตัวอย่างเช่น:

เหรียญ 25 เซนต์ ของบราซิลมีรูปเจ็ดเหลี่ยมสลักอยู่บนวงกลมของเหรียญตราแผ่นดินของจอร์เจีย ในเวอร์ชั่นเก่าบางแบบ รวมถึงในสมัยโซเวียตใช้รูปเจ็ดเหลี่ยมเป็นองค์ประกอบ {7/2}

เหรียญจำนวนหนึ่ง รวมถึงเหรียญ 20 เซนต์ยูโรมีสมมาตรแบบเจ็ดเหลี่ยมในรูปทรงที่เรียกว่าดอกไม้สเปน

ในด้านสถาปัตยกรรม ตัวอย่างของอาคารเจ็ดเหลี่ยม ได้แก่สุสานของเจ้าชายเอิร์นสต์ในเมืองสตัดธาเกนประเทศเยอรมนีศูนย์ศิลปะการแสดงมอลทซ์ (เดิมคือวัดทิเฟเรธ-อิสราเอล ) ในคลีฟแลนด์ [ ^{11 ] และ}โบสถ์เพรสไบทีเรียนวอลเลซในคอลเลจพาร์ค รัฐแมริแลนด์^{[ 12 ]}

• เฮปตาแกรม
• รูปหลายเหลี่ยม

ลองค้นหาคำว่า "heptagon"ในวิกิพีเดีย ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

• คำจำกัดความและคุณสมบัติของรูปเจ็ดเหลี่ยมพร้อมภาพเคลื่อนไหวแบบโต้ตอบ
• รูปเจ็ดเหลี่ยมตามแบบจอห์นสัน
• วิธีการสร้างโดยประมาณอีกวิธีหนึ่ง
• รูปหลายเหลี่ยม – รูปเจ็ดเหลี่ยม
• วิธีการประมาณค่าที่มีความแม่นยำสูงที่เพิ่งค้นพบใหม่สำหรับการสร้างรูปเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่า
• รูปเจ็ดเหลี่ยม ซึ่งเป็นโครงสร้างโดยประมาณในรูปแบบแอนิเมชัน
• รูปเจ็ดเหลี่ยมที่มีด้านที่กำหนด การสร้างโดยประมาณในรูปแบบแอนิเมชัน