ในเรขาคณิตแบบยุคลิดสามเหลี่ยมเจ็ดเหลี่ยมคือสามเหลี่ยมมุมป้านด้านไม่เท่าที่มีจุดยอดตรงกับจุดยอดที่หนึ่ง สอง และสี่ของรูปเจ็ด เหลี่ยม ด้านเท่า (จากจุดยอดเริ่มต้นใดๆ) ดังนั้นด้านของสามเหลี่ยมเจ็ดเหลี่ยมจึงตรงกับด้านหนึ่งและเส้นทแยงมุม ที่สั้นกว่าและยาวกว่าที่อยู่ติดกัน ของรูปเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่า สามเหลี่ยมเจ็ดเหลี่ยมทุกรูปมีความคล้ายคลึงกัน (มีรูปร่างเหมือนกัน) ดังนั้นจึงเรียกรวมกันว่าสามเหลี่ยมเจ็ดเหลี่ยม มุมของสามเหลี่ยมเจ็ดเหลี่ยมมีขนาด 1 และ4 และเป็นสามเหลี่ยมเพียงรูปเดียวที่มีอัตราส่วนมุมเป็น 1:2:4 สามเหลี่ยมเจ็ดเหลี่ยมมีคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายประการ ${\displaystyle \pi /7,2\pi /7,}$${\displaystyle 4\pi /7,}$

จุดศูนย์กลางเก้าจุดของสามเหลี่ยมเจ็ดเหลี่ยม ยังเป็น จุดBrocard จุดแรกอีกด้วย^{[ 1 ] : Propos. 12}

จุด Brocard จุดที่สองอยู่บนวงกลมเก้าจุด^{[ 2 ] : หน้า 19}

จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบและจุดเฟอร์มาต์ของสามเหลี่ยมเจ็ดเหลี่ยมก่อให้เกิดสามเหลี่ยมด้านเท่า[ ^{1 ] :ทฤษฎีบท 22}

ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบOและจุดศูนย์กลางออร์โธเซ็นเตอร์H กำหนดโดย^{[ 2 ] : หน้า 19}

${\displaystyle OH=R{\sqrt {2}},}$

โดยที่Rคือรัศมีวงกลมล้อมรอบ ระยะทางกำลังสองจากจุดศูนย์กลางภายในIไปยังจุดศูนย์กลางตั้งฉากคือ^{[ 2 ] : หน้า 19}

${\displaystyle IH^{2}={\frac {R^{2}+4r^{2}}{2}},}$

โดยที่rคือรัศมีวงใน

เส้นสัมผัสทั้งสองจากจุดออร์โธเซ็นเตอร์ไปยัง วงกลม ล้อมรอบตั้งฉากซึ่งกันและกัน^{[ 2 ] : หน้า 19}

ด้านของรูปสามเหลี่ยมเจ็ดเหลี่ยมa < b < cตรงกับด้าน เส้นทแยงมุมที่สั้นกว่า และเส้นทแยงมุมที่ยาวกว่าของรูปเจ็ดเหลี่ยมปกติ ตามลำดับ พวกมันสอดคล้องกับ^{[ 3 ] : บทตั้ง 1}

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=c(cb),\\[5pt]b^{2}&=a(c+a),\\[5pt]c^{2}&=b(a+b),\\[5pt]{\frac {1}{a}}&={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\end{aligned}}}$

(สมการออปติกคือ^{[ 2 ] : หน้า 13} ) และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle ab+ac=bc,}$

และ^{[ 3 ] : Coro. 2}

${\displaystyle b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,}$

${\displaystyle c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,}$

${\displaystyle a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0.}$

ดังนั้น – b / c , c / aและa / bทั้งหมดจึงสอดคล้องกับสมการกำลังสาม

${\displaystyle t^{3}-2t^{2}-t+1=0.}$

อย่างไรก็ตาม ไม่มีนิพจน์พีชคณิตใดที่มีพจน์เป็นจำนวนจริงล้วนๆ สำหรับคำตอบของสมการนี้ เนื่องจากเป็นตัวอย่างของกรณีที่ไม่สามารถลดทอนได้ (casus irreducibilis )

ความสัมพันธ์โดยประมาณของด้านต่างๆ คือ

${\displaystyle b\approx 1.80193\cdot a,\qquad c\approx 2.24698\cdot a.}$

เรายังมี^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{bc}},\quad -{\frac {b^{2}}{ca}},\quad -{\frac {c^{2}}{ab}}}$

สอดคล้องกับสมการกำลังสาม

${\displaystyle t^{3}+4t^{2}+3t-1=0.}$

เรายังมี^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{bc^{2}}},\quad -{\frac {b^{3}}{ca^{2}}},\quad {\frac {c^{3}}{ab^{2}}}}$

สอดคล้องกับสมการกำลังสาม

${\displaystyle t^{3}-t^{2}-9t+1=0.}$

เรายังมี^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{b^{2}c}},\quad {\frac {b^{3}}{c^{2}a}},\quad -{\frac {c^{3}}{a^{2}b}}}$

สอดคล้องกับสมการกำลังสาม

${\displaystyle t^{3}+5t^{2}-8t+1=0.}$

เรายังมี^{[ 2 ] : หน้า 14 ด้วย}

${\displaystyle b^{2}-a^{2}=ac,}$

${\displaystyle c^{2}-b^{2}=ab,}$

${\displaystyle a^{2}-c^{2}=-bc,}$

และ^{[ 2 ] : หน้า 15}

${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}}}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}=5.}$

เรายังมี^{[ 4 ]}

${\displaystyle ab-bc+ca=0,}$

${\displaystyle a^{3}bb^{3}c+c^{3}a=0,}$

${\displaystyle a^{4}b+b^{4}cc^{4}a=0,}$

${\displaystyle a^{11}b^{3}-b^{11}c^{3}+c^{11}a^{3}=0.}$

ระดับความสูงh _a , h _bและh _cเป็นไปตามเงื่อนไข

${\displaystyle h_{a}=h_{b}+h_{c}}$^{[ 2 ] : หน้า 13}

และ

${\displaystyle h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}.}$^{[ 2 ] : หน้า 14}

ความสูงจากด้านb (ตรงข้ามมุมB ) คือครึ่งหนึ่งของเส้นแบ่งครึ่งมุมภายในของA : ^{[ 2 ] : หน้า 19} ${\displaystyle w_{A}}$

${\displaystyle 2h_{b}=w_{A}.}$

ในที่นี้ มุมAเป็นมุมที่เล็กที่สุด และมุม Bเป็นมุมที่เล็กเป็นอันดับสอง

เรามีคุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งมุมภายใน และมุมA, BและCตามลำดับดังนี้: ^{[ 2 ] : หน้า 16} ${\displaystyle w_{A},w_{B},}$${\displaystyle w_{C}}$

${\displaystyle w_{A}=b+c,}$

${\displaystyle w_{B}=ca,}$

${\displaystyle w_{C}=ba.}$

พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ^{[ 6 ]}

${\displaystyle A={\frac {\sqrt {7}}{4}}R^{2},}$

โดยที่Rคือรัศมี วงกลม ล้อม รอบสามเหลี่ยม

เรามี^{[ 2 ] : หน้า 12}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=7R^{2}.}$

เรายังมี^{[ 7 ]}

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}=21R^{4}.}$

${\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}=70R^{6}.}$

อัตราส่วนr / Rของรัศมีวงในต่อรัศมีวงนอกเป็นคำตอบเชิงบวกของสมการลูกบาศก์^{[ 6 ]}

${\displaystyle 8x^{3}+28x^{2}+14x-7=0.}$

นอกจากนี้^{[ 2 ] : หน้า 15}

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}={\frac {2}{R^{2}}}.}$

เรายังมี^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{a^{4}}}+{\frac {1}{b^{4}}}+{\frac {1}{c^{4}}}={\frac {2}{R^{4}}}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{a^{6}}}+{\frac {1}{b^{6}}}+{\frac {1}{c^{6}}}={\frac {17}{7R^{6}}}.}$

โดยทั่วไปสำหรับจำนวนเต็มn ทุก ตัว

${\displaystyle a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}=g(n)(2R)^{2n}}$

ที่ไหน

${\displaystyle g(-1)=8,\quad g(0)=3,\quad g(1)=7}$

และ

${\displaystyle g(n)=7g(n-1)-14g(n-2)+7g(n-3).}$

เรายังมี^{[ 7 ]}

${\displaystyle 2b^{2}-a^{2}={\sqrt {7}}bR,\quad 2c^{2}-b^{2}={\sqrt {7}}cR,\quad 2a^{2}-c^{2}=-{\sqrt {7}}aR.}$

เรายังมี^{[ 4 ]}

${\displaystyle a^{3}c+b^{3}a-c^{3}b=-7R^{4},}$

${\displaystyle a^{4}c-b^{4}a+c^{4}b=7{\sqrt {7}}R^{5},}$

${\displaystyle a^{11}c^{3}+b^{11}a^{3}-c^{11}b^{3}=-7^{3}17R^{14}.}$

รัศมีภายนอกr _aที่สอดคล้องกับด้านaเท่ากับรัศมีของวงกลมเก้าจุดของสามเหลี่ยมเจ็ดเหลี่ยม^{[ 2 ] : หน้า 15}

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมเจ็ดเหลี่ยม ซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ฐานของเส้นความสูงจะคล้ายกับรูปสามเหลี่ยมเจ็ดเหลี่ยม โดยมีอัตราส่วนความคล้ายคลึง 1:2 รูปสามเหลี่ยมเจ็ดเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้านเพียงรูปเดียวที่คล้ายกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากของมัน ( รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมเพียงรูปเดียว) ^{[ 2 ] : หน้า 12–13}

ไฮเปอร์โบลาสี่เหลี่ยมผืนผ้า ที่ลาก ผ่านเส้นนี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle A,B,C,G=X(2),H=X(4)}$

• จุดสนใจแรก${\displaystyle F_{1}=X(5)}$
• จุดศูนย์กลางอยู่บนวงกลมออยเลอร์ (คุณสมบัติทั่วไป) และบนวงกลม${\displaystyle U}$${\displaystyle (O,F_{1})}$
• จุดสนใจที่สองคือวงกลมล้อมรอบ${\displaystyle F_{2}}$

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติต่างๆที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมเจ็ดเหลี่ยม ได้แก่: ^{[ 2 ] : หน้า 13–14 [ 6 ] [ 7 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {\pi }{7}}\\[6pt]\cos A&={\frac {b}{2a}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}B&={\frac {2\pi }{7}}\\[6pt]\cos B&={\frac {c}{2b}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}C&={\frac {4\pi }{7}}\\[6pt]\cos C&=-{\frac {a}{2c}}\end{aligned}}}$$^{[ 4 ] : ข้อเสนอ 10}

$${\displaystyle {\begin{array}{rcccccl}\sin A\!&\!\times \!&\!\sin B\!&\!\times \!&\!\sin C\!&\!=\!&\!{\frac {\sqrt {7}}{8}}\\[2pt]\sin A\!&\!-\!&\!\sin B\!&\!-\!&\!\sin C\!&\!=\!&\!-{\frac {\sqrt {7}}{2}}\\[2pt]\cos A\!&\!\times \!&\!\cos B\!&\!\times \!&\!\cos C\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{8}}\\[2pt]\tan A\!&\!\times \!&\!\tan B\!&\!\times \!&\!\tan C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\tan A\!&\!+\!&\!\tan B\!&\!+\!&\!\tan C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\cot A\!&\!+\!&\!\cot B\!&\!+\!&\!\cot C\!&\!=\!&\!{\sqrt {7}}\\[8pt]\sin ^{2}\!A\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {7}{64}}\\[2pt]\sin ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\sin ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\sin ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {7}{4}}\\[2pt]\cos ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\cos ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\cos ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {5}{4}}\\[2pt]\tan ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\tan ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\tan ^{2}\!C\!&\!=\!&\!21\\[2pt]\sec ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\sec ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\sec ^{2}\!C\!&\!=\!&\!24\\[2pt]\csc ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\csc ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\csc ^{2}\!C\!&\!=\!&\!8\\[2pt]\cot ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\cot ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\cot ^{2}\!C\!&\!=\!&\!5\\[8pt]\sin ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\sin ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\sin ^{4}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {21}{16}}\\[2pt]\cos ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\cos ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\cos ^{4}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {13}{16}}\\[2pt]\sec ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\sec ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\sec ^{4}\!C\!&\!=\!&\!416\\[2pt]\csc ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\csc ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\csc ^{4}\!C\!&\!=\!&\!32\\[8pt]\end{array}}}$$

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccl}\tan A\!&\!-\!&\!4\sin B\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\tan B\!&\!-\!&\!4\sin C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\tan C\!&\!+\!&\!4\sin A\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\end{array}}}$$^{[ 7 ] [ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cot ^{2}\!A&=1-{\frac {2\tan C}{\sqrt {7}}}\\[2pt]\cot ^{2}\!B&=1-{\frac {2\tan A}{\sqrt {7}}}\\[2pt]\cot ^{2}\!C&=1-{\frac {2\tan B}{\sqrt {7}}}\end{aligned}}}$$^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{array}{rcccccl}\cos A\!&\!=\!&\!{\frac {-1}{2}}\!&\!+\!&\!{\frac {4}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!C\\[2pt]\sec A\!&\!=\!&\!2\!&\!+\!&\!4\!&\!\times \!&\!\cos C\\[4pt]\sec A\!&\!=\!&\!6\!&\!-\!&\!8\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\\[4pt]\sec A\!&\!=\!&\!4\!&\!-\!&\!{\frac {16}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!B\\[2pt]\cot A\!&\!=\!&\!{\sqrt {7}}\!&\!+\!&\!{\frac {8}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\\[2pt]\cot A\!&\!=\!&\!{\frac {3}{\sqrt {7}}}\!&\!+\!&\!{\frac {4}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\sin ^{2}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {1}{2}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{2}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\cos ^{2}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {3}{4}}\!&\!+\!&\!{\frac {2}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!A\\[2pt]\cot ^{2}\!A\!&\!=\!&\!3\!&\!+\!&\!{\frac {8}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin A\\[2pt]\sin ^{3}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {-{\sqrt {7}}}{8}}\!&\!+\!&\!{\frac {\sqrt {7}}{4}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\csc ^{3}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {-6}{\sqrt {7}}}\!&\!+\!&\!{\frac {2}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\tan ^{2}\!C\end{array}}}$$^{[ 4 ]}

$${\displaystyle \sin A\sin B-\sin B\sin C+\sin C\sin A=0}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{3}\!B\sin C-\sin ^{3}\!C\sin A-\sin ^{3}\!A\sin B&=0\\[3pt]\sin B\sin ^{3}\!C-\sin C\sin ^{3}\!A-\sin A\sin ^{3}\!B&={\frac {7}{2^{4}\!}}\\[2pt]\sin ^{4}\!B\sin C-\sin ^{4}\!C\sin A+\sin ^{4}\!A\sin B&=0\\[2pt]\sin B\sin ^{4}\!C+\sin C\sin ^{4}\!A-\sin A\sin ^{4}\!B&={\frac {7{\sqrt {7}}}{2^{5}}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{11}\!B\sin ^{3}\!C-\sin ^{11}\!C\sin ^{3}\!A-\sin ^{11}\!A\sin ^{3}\!B&=0\\[2pt]\sin ^{3}\!B\sin ^{11}\!C-\sin ^{3}\!C\sin ^{11}\!A-\sin ^{3}\!A\sin ^{11}\!B&={\frac {7^{3}\cdot 17}{2^{14}}}\end{aligned}}}$$^{[ 9 ]}

สมการลูกบาศก์ มีคำตอบ^{[ 2 ] : หน้า 14} ${\displaystyle 64y^{3}-112y^{2}+56y-7=0}$${\displaystyle \sin ^{2}\!A,\ \sin ^{2}\!B,\ \sin ^{2}\!C.}$

ผลบวกของสมการกำลังสามเท่ากับ^{[ 10 ] : หน้า 186–187} ${\displaystyle x^{3}+x^{2}-2x-1=0}$${\displaystyle 2\cos B.}$

รากของสมการลูกบาศก์คือ^{[ 4 ]}${\displaystyle x^{3}-{\tfrac {\sqrt {7}}{2}}x^{2}+{\tfrac {\sqrt {7}}{8}}=0}$${\displaystyle \sin 2A,\ \sin 2B,\ \sin 2C.}$

รากของสมการกำลังสามคือ${\displaystyle x^{3}-{\tfrac {\sqrt {7}}{2}}x^{2}+{\tfrac {\sqrt {7}}{8}}=0}$${\displaystyle -\sin A,\ \sin B,\ \sin C.}$

รากของสมการกำลังสามคือ${\displaystyle x^{3}+{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{8}}=0}$${\displaystyle -\cos A,\ \cos B,\ \cos C.}$

รากของสมการกำลังสามคือ${\displaystyle x^{3}+{\sqrt {7}}x^{2}-7x+{\sqrt {7}}=0}$${\displaystyle \tan A,\ \tan B,\ \tan C.}$

รากของสมการกำลังสามคือ${\displaystyle x^{3}-21x^{2}+35x-7=0}$${\displaystyle \tan ^{2}\!A,\ \tan ^{2}\!B,\ \tan ^{2}\!C.}$

สำหรับจำนวนเต็มnให้กำหนด $${\displaystyle {\begin{aligned}S(n)&=(-\sin A)^{n}+\sin ^{n}\!B+\sin ^{n}\!C\\[4pt]C(n)&=(-\cos A)^{n}+\cos ^{n}\!B+\cos ^{n}\!C\\[4pt]T(n)&=\tan ^{n}\!A+\tan ^{n}\!B+\tan ^{n}\!C\end{aligned}}}$$

ค่าของ  n :	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
${\displaystyle S(n)}$	${\displaystyle \ 3\ }$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {7}}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7}{2^{2}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {7}}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7\cdot 3}{2^{4}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7{\sqrt {7}}}{2^{4}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7\cdot 5}{2^{5}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{2}{\sqrt {7}}}{2^{7}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{2}\cdot 5}{2^{8}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7\cdot 25{\sqrt {7}}}{2^{9}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{2}\cdot 9}{2^{9}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{2}\cdot 13{\sqrt {7}}}{2^{11}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{2}\cdot 33}{2^{11}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{2}\cdot 3{\sqrt {7}}}{2^{9}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{4}\cdot 5}{2^{14}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{2}\cdot 179{\sqrt {7}}}{2^{15}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{3}\cdot 131}{2^{16}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{3}\cdot 3{\sqrt {7}}}{2^{12}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{3}\cdot 493}{2^{18}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{3}\cdot 181{\sqrt {7}}}{2^{18}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{5}\cdot 19}{2^{19}}}}$
${\displaystyle S(-n)}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2^{3}}$	${\displaystyle -{\tfrac {2^{3}\cdot 3{\sqrt {7}}}{7}}}$	${\displaystyle 2^{5}}$	${\displaystyle -{\tfrac {2^{5}\cdot 5{\sqrt {7}}}{7}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2^{6}\cdot 17}{7}}}$	${\displaystyle -2^{7}{\sqrt {7}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2^{9}\cdot 11}{7}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {2^{10}\cdot 33{\sqrt {7}}}{7^{2}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2^{10}\cdot 29}{7}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {2^{14}\cdot 11{\sqrt {7}}}{7^{2}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2^{12}\cdot 269}{7^{2}}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {2^{13}\cdot 117{\sqrt {7}}}{7^{2}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2^{14}\cdot 51}{7}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {2^{21}\cdot 17{\sqrt {7}}}{7^{3}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2^{17}\cdot 237}{7^{2}}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {2^{17}\cdot 1445{\sqrt {7}}}{7^{3}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2^{19}\cdot 2203}{7^{3}}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {2^{19}\cdot 1919{\sqrt {7}}}{7^{3}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2^{20}\cdot 5851}{7^{3}}}}$
${\displaystyle C(n)}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {5}{4}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {13}{16}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {19}{32}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {57}{128}}}$	${\displaystyle {\tfrac {117}{256}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {193}{512}}}$	${\displaystyle {\tfrac {185}{512}}}$
${\displaystyle C(-n)}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -4}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle -88}$	${\displaystyle 416}$	${\displaystyle -1824}$	${\displaystyle 8256}$	${\displaystyle -36992}$	${\displaystyle 166400}$	${\displaystyle -747520}$	${\displaystyle 3359744}$
${\displaystyle T(n)}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -{\sqrt {7}}}$	${\displaystyle 7\cdot 3}$	${\displaystyle -31{\sqrt {7}}}$	${\displaystyle 7\cdot 53}$	${\displaystyle -7\cdot 87{\sqrt {7}}}$	${\displaystyle 7\cdot 1011}$	${\displaystyle -7^{2}\cdot 239{\sqrt {7}}}$	${\displaystyle 7^{2}\cdot 2771}$	${\displaystyle -7\cdot 32119{\sqrt {7}}}$	${\displaystyle 7^{2}\cdot 53189}$
${\displaystyle T(-n)}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle {\sqrt {7}}}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle {\tfrac {25{\sqrt {7}}}{7}}}$	${\displaystyle 19}$	${\displaystyle {\tfrac {103{\sqrt {7}}}{7}}}$	${\displaystyle {\tfrac {563}{7}}}$	${\displaystyle 7\cdot 9{\sqrt {7}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2421}{7}}}$	${\displaystyle {\tfrac {13297{\sqrt {7}}}{7^{2}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {10435}{7}}}$

เรายังมีเอกลักษณ์ประเภท Ramanujan อีกด้วย^{[ 7 ] [ 11 ]}

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\times {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\times {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{18}]{49}}\times {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\\[6pt]{\sqrt[{3}]{2\cos 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\cos 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\cos 2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\\[8pt]{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{11+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}\\[6pt]{\sqrt[{3}]{\tan 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\times {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{18}]{49}}\times {\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\end{array}}}$$

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\times {\sqrt[{3}]{6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\times {\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\\[6pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{12+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\times {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\times {\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\end{array}}}$$

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2A}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2B}{\cos 2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2C}{\cos 2A}}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{3}]{7}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2B}{\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2C}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2A}{\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2B}{\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2C}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2A}{\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {\sqrt[{3}]{49}}{2}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2A}{\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2B}{\cos ^{2}2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2C}{\cos ^{2}2A}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2B}{\cos ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2C}{\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2A}{\cos ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!-3\times {\frac {\sqrt[{3}]{7}}{2}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2A}{\cos ^{5}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2B}{\cos ^{5}2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2C}{\cos ^{5}2A}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2B}{\cos ^{5}2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2C}{\cos ^{5}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2A}{\cos ^{5}2C}}}\!&\!=\!&\!-61\times {\frac {\sqrt[{3}]{7}}{8}}.\end{array}}}$$^{[ 9 ]}

$${\displaystyle }$$