ในทางเรขาคณิตวงกลมล้อมรอบหรือวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยมคือวงกลมที่ผ่านจุดยอดทั้งสามจุดจุดศูนย์กลางของวงกลมนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยม และรัศมีของจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบเรียกว่า รัศมี วงกลมล้อมรอบ จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบอยู่ห่างจากจุดยอดทั้งสามจุดเท่ากัน และสามารถสร้างขึ้นได้จากจุดตัด ระหว่าง เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากสองเส้นใดๆของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบนี้คือจุดศูนย์กลางของ สามเหลี่ยม

โดยทั่วไปแล้วรูปหลายเหลี่ยมnด้านที่มีจุดยอดทุกจุดอยู่บนวงกลมเดียวกัน หรือเรียกว่าวงกลมล้อมรอบ เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมวงกลมหรือในกรณีพิเศษที่n = 4 เรียกว่า รูปสี่เหลี่ยม วงกลม รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วรูปว่าวตั้งฉากและรูปหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมด เป็นรูป หลายเหลี่ยมวงกลม แต่ไม่ใช่ทุกรูปหลายเหลี่ยมที่จะเป็นรูปหลายเหลี่ยม วงกลม

สามารถสร้างวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมได้โดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียน โดยเริ่มจากการลากเส้น แบ่งครึ่ง ตั้งฉาก สองเส้นจากสาม เส้น ของด้านทั้งสามด้าน จุดตัดของเส้นตัดเหล่านี้เรียกว่าจุดศูนย์กลาง วงกลมล้อมรอบ จากนั้นสามารถวาด วงกลมล้อมรอบได้ทันที โดยลากเส้นตรงที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดนั้นและผ่านจุดยอดจุดใดจุดหนึ่งของสามเหลี่ยม รัศมีของวงกลมล้อมรอบเรียกว่ารัศมีวงกลมล้อมรอบ

จุดใดๆ บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของด้านใดด้านหนึ่ง จะอยู่ห่างจากจุดยอดที่อยู่ติดกันทั้งสองจุดของสามเหลี่ยมเป็นระยะเท่ากัน ดังนั้น จุดใดๆ ที่อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากสองเส้นพร้อมกัน จะต้องอยู่ห่างจากจุดยอดทั้งสามจุดเป็นระยะเท่ากันด้วย

อีกวิธีหนึ่งในการหาจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบคือ การลากเส้นตรงสองเส้น โดยแต่ละเส้นออกจากจุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง ทำมุมกับด้านร่วม โดยมุมร่วมที่ออกจากจุดยอดทั้งสองนั้น มีค่าเท่ากับ 90° ลบด้วยมุมของจุดยอดตรงข้าม (ในกรณีที่มุมตรงข้ามเป็นมุมป้าน การลากเส้นตรงทำมุมลบ หมายถึงการลากเส้นออกนอกสามเหลี่ยม)

ในการเดินเรือชายฝั่งบางครั้งจะใช้เส้นล้อมรอบของรูปสามเหลี่ยมเป็นวิธีในการหาเส้นบอกตำแหน่งโดยใช้เซ็กซ์แทนท์เมื่อไม่มีเข็มทิศมุมแนวนอนระหว่างจุดสังเกตสองจุดจะเป็นตัวกำหนดเส้นล้อมรอบซึ่งผู้สังเกตการณ์อยู่

ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมขึ้นอยู่กับประเภทของสามเหลี่ยม:

• สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลม (มุมทุกมุมเล็กกว่ามุมฉาก) จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบจะอยู่ภายในสามเหลี่ยมเสมอ
• สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบจะอยู่ตรงจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก เสมอ นี่เป็นรูปแบบหนึ่งของทฤษฎีบทของทาเลส
• สำหรับสามเหลี่ยมมุมป้าน (สามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งใหญ่กว่ามุมฉาก) จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบจะอยู่ด้านนอกของสามเหลี่ยมเสมอ

จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยมมุมแหลมอยู่ภายในสามเหลี่ยม

จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยมมุมฉากอยู่ที่จุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก

จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมมุมป้านจะอยู่ด้านนอกของสามเหลี่ยม

คุณลักษณะเชิงตำแหน่งเหล่านี้สามารถมองเห็นได้โดยพิจารณาจากพิกัดสามมิติหรือพิกัดศูนย์กลางมวลที่ระบุไว้ข้างต้นสำหรับจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ: พิกัดทั้งสามจะเป็นบวกสำหรับจุดภายในใดๆ อย่างน้อยหนึ่งพิกัดจะเป็นลบสำหรับจุดภายนอกใดๆ และหนึ่งพิกัดจะเป็นศูนย์และสองพิกัดจะเป็นบวกสำหรับจุดที่ไม่ใช่จุดยอดบนด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม

มุมที่วงกลมล้อมรอบทำกับด้านของสามเหลี่ยมจะตรงกับมุมที่ด้านต่างๆ มาบรรจบกัน ด้านตรงข้ามมุมαตัดกับวงกลมสองครั้ง: ครั้งหนึ่งที่ปลายแต่ละด้าน ในแต่ละครั้งจะตัดกับมุมα (เช่นเดียวกันสำหรับมุมอีกสองมุม) นี่เป็นผลมาจากทฤษฎีส่วนของเส้นตรงสลับซึ่งกล่าวว่า มุมระหว่างเส้นสัมผัสและคอร์ดเท่ากับมุมในส่วนของเส้นตรงสลับ

ในระนาบยุคลิด เราสามารถเขียนสมการของวงกลมล้อมรอบได้อย่างชัดเจนโดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียนของจุดยอดของสามเหลี่ยมที่แนบในวงกลมนั้น สมมติว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{x},A_{y})\\\mathbf {B} &=(B_{x},B_{y})\\\mathbf {C} &=(C_{x},C_{y})\end{aligned}}}$

คือพิกัดของจุดA, B, Cวงกลมล้อมรอบคือตำแหน่งของจุดในระนาบพิกัดคาร์ทีเซียนที่สอดคล้องกับสมการต่อไปนี้ ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\end{aligned}}}$

รับประกันว่าจุดA , B , C , vทั้งหมดอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางร่วมของวงกลม เป็นระยะทาง r เท่ากัน โดยใช้ เอกลักษณ์การโพลาไรเซชันสมการเหล่านี้จะลดลงเหลือเงื่อนไขที่ว่าเมทริกซ์${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{bmatrix}}}$

มีเคอร์เนล ที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นวงกลมล้อมรอบอาจอธิบายได้อีกแบบหนึ่งว่าเป็นตำแหน่งของค่าศูนย์ของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\|\mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}}=0.}$

โดยใช้การขยายโคแฟกเตอร์ให้

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]S_{y}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]a&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]b&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

จากนั้นเราจะได้ว่าและ – โดยสมมติว่าจุดทั้งสามไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (มิฉะนั้นวงกลมล้อมรอบจะเป็นเส้นตรงนั้น ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นวงกลมทั่วไปที่มีSอยู่ที่อนันต์) – ซึ่งจะให้จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบและรัศมีวงกลมล้อมรอบ วิธีการที่คล้ายกันนี้ช่วยให้เราสามารถอนุมานสมการของ ทรงกลม ล้อมรอบของ ทรง สี่เหลี่ยม ด้านเท่า ได้ ${\displaystyle a|\mathbf {v} |^{2}-2\mathbf {Sv} -b=0}$${\displaystyle \mathbf {S} =(S_{x},S_{y}),}$${\displaystyle \left|\mathbf {v} -{\tfrac {\mathbf {S} }{a}}\right|^{2}={\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}},}$${\displaystyle {\tfrac {\mathbf {S} }{a}}}$${\displaystyle {\sqrt {{\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}}}}.}$

เวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับระนาบที่บรรจุวงกลมนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle {\widehat {n}}={\frac {(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})}{|(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})|}}.}$

ดังนั้น เมื่อกำหนดรัศมีrจุดศูนย์กลางP _cจุดบนวงกลมP ₀ และเวกเตอร์หน่วยตั้ง ฉาก${\displaystyle {\widehat {n}},}$กับระนาบที่บรรจุวงกลมสมการพาราเมตริกหนึ่งของวงกลมที่เริ่มต้นจากจุดP ₀และดำเนินไปในทิศทางบวก (เช่นมือขวา ) เกี่ยวกับr จะ${\displaystyle {\widehat {n}}}$เป็นดังนี้:

${\displaystyle \mathrm {R} (s)=\mathrm {P_{c}} +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)(P_{0}-P_{c})+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\left[{\widehat {n}}\times (P_{0}-P_{c})\right].}$

สมการสำหรับวงกลมล้อมรอบในพิกัดสามมิติx  : y  : zคือ^{[ 1 ]} สมการสำหรับวงกลมล้อมรอบในพิกัดศูนย์กลางมวลx  : y  : zคือ${\displaystyle {\tfrac {a}{x}}+{\tfrac {b}{y}}+{\tfrac {c}{z}}=0.}$${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{y}}+{\tfrac {c^{2}}{z}}=0.}$

เส้นไอโซโกนัลคอนจูเกตของวงกลมล้อมรอบคือเส้นที่ระยะอนันต์ซึ่งกำหนดในพิกัดสามมิติโดยและในพิกัดแบรีเซนทริกโดย${\displaystyle ax+by+cz=0}$${\displaystyle x+y+z=0.}$

นอกจากนี้ วงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมที่ฝังอยู่ในสามมิติสามารถหาได้โดยใช้วิธีทั่วไป ให้A , B , Cเป็นจุดสามมิติซึ่งเป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม เราเริ่มต้นด้วยการสลับตำแหน่งระบบเพื่อให้Cอยู่ที่จุดกำเนิด:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}}$

รัศมีวงกลมล้อมรอบrคือ

${\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|}}={\frac {\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\sin \theta }}={\frac {\left\|\mathbf {A} -\mathbf {B} \right\|}{2\sin \theta }},}$

โดยที่θคือมุมภายในระหว่างaและbจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบp ₀กำหนดโดย

${\displaystyle p_{0}={\frac {(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}}}+\mathbf {C} .}$

สูตรนี้ใช้ได้เฉพาะในสามมิติเท่านั้น เนื่องจากผลคูณเชิงเวกเตอร์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในมิติอื่น แต่สามารถขยายให้ครอบคลุมมิติอื่นได้โดยการแทนที่ผลคูณเชิงเวกเตอร์ด้วยเอกลักษณ์ต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} ,\\\left\|\mathbf {u} \times \mathbf {v} \right\|^{2}&=\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}.\end{aligned}}}$

ซึ่งทำให้เราได้สมการต่อไปนี้สำหรับรัศมีวงกลมล้อมรอบr :

${\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2{\sqrt {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}}}}}$

และสมการต่อไปนี้สำหรับจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบp ₀ :

${\displaystyle p_{0}={\frac {((\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} -((\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} }{2(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2})}}+\mathbf {C} }$

ซึ่งสามารถสรุปให้ง่ายขึ้นได้ดังนี้:

${\displaystyle p_{0}={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}(\mathbf {a} +\mathbf {b} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} +\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )}{2(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2})}}+\mathbf {C} }$

พิกัดคาร์ทีเซียนของจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบคือ ${\displaystyle U=\left(U_{x},U_{y}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{x}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y})\right]\\[5pt]U_{y}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x})\right]\end{aligned}}}$

กับ

${\displaystyle D=2\left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})\right].\,}$

โดยไม่เสียความเป็นทั่วไปสามารถแสดงในรูปแบบที่ง่ายขึ้นได้หลังจากย้ายจุดยอดAไปยังจุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน กล่าวคือ เมื่อในกรณีนี้ พิกัดของจุดยอดและแทนเวกเตอร์จากจุดยอดA'ไปยังจุดยอดเหล่านี้ สังเกตว่าการย้ายแบบง่ายๆ นี้เป็นไปได้สำหรับสามเหลี่ยมทุกรูป และพิกัดของจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยม△ A'B'C'จะได้ดังนี้ ${\displaystyle A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).}$${\displaystyle B'=B-A}$${\displaystyle C'=C-A}$${\displaystyle U'=(U'_{x},U'_{y})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U'_{x}&={\frac {1}{D'}}\left[C'_{y}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})-B'_{y}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})\right],\\[5pt]U'_{y}&={\frac {1}{D'}}\left[B'_{x}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})-C'_{x}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})\right]\end{aligned}}}$

กับ

${\displaystyle D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).\,}$

เนื่องจากการเลื่อนจุดยอดAไปยังจุดกำเนิด รัศมีวงกลมล้อมรอบrสามารถคำนวณได้ดังนี้

${\displaystyle r=\|U'\|={\sqrt {{U'_{x}}^{2}+{U'_{y}}^{2}}}}$

และจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมABCที่ แท้จริง มีดังนี้

${\displaystyle U=U'+A}$

จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบมีพิกัดสามมิติ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \cos \alpha :\cos \beta :\cos \gamma }$

โดยที่α, β, γคือมุมของรูปสามเหลี่ยม

ในแง่ของความยาวด้านa, b, cเส้นตรงสามเส้นคือ^{[ 3 ]}

${\displaystyle a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):b\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):c\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right).}$

จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบมีพิกัดแบบแบรีเซนทริก^{[ 4 ]}

${\displaystyle a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):\;b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):\;c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right),\,}$

โดยที่a, b, cคือความยาวด้านBC , CA , ABตามลำดับ ของรูปสามเหลี่ยม

ในแง่ของมุมสามเหลี่ยมα, β, γพิกัดแบรีเซนทริกของจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบคือ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \sin 2\alpha :\sin 2\beta :\sin 2\gamma .}$

เนื่องจากพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดใดๆ เป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดยอด โดยน้ำหนักคือพิกัดแบรีเซนทริกของจุดนั้นที่ถูกทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้ผลรวมเท่ากับหนึ่ง ดังนั้นเวกเตอร์จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle U={\frac {a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)A+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)B+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)C}{a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}}.}$

ในที่นี้Uคือเวกเตอร์ของจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ และA , B, C คือเวกเตอร์ ของจุดยอด ตัวหารในที่นี้เท่ากับ16S²โดยที่^Sคือพื้นที่ของสามเหลี่ยม

ในปริภูมิยูคลิดมีวงกลมเพียงวงเดียวที่ผ่านจุดสามจุดใดๆ ที่ไม่เรียงตัวกันP1 _, P2 , P3โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียนแทนจุดเหล่านี้เป็น_เวกเตอร์ในปริภูมิเราสามารถใช้ผลคูณดอทและผลคูณไขว้ ในการ _{คำนวณ}รัศมีและจุดศูนย์กลางของวงกลมได้ ให้

${\displaystyle \mathrm {P_{1}} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{2}} ={\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{3}} ={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{bmatrix}}}$

ดังนั้นรัศมีของวงกลมจึงกำหนดโดย

${\displaystyle \mathrm {r} ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|\left|P_{2}-P_{3}\right|\left|P_{3}-P_{1}\right|}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|}}}$

จุดศูนย์กลางของวงกลมหาได้จากผลรวมเชิงเส้น

${\displaystyle \mathrm {P_{c}} =\alpha \,P_{1}+\beta \,P_{2}+\gamma \,P_{3}}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha ={\frac {\left|P_{2}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{1}-P_{2}\right)\cdot \left(P_{1}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\beta ={\frac {\left|P_{1}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{2}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{2}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\gamma ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|^{2}\left(P_{3}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{3}-P_{2}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\end{aligned}}}$

ในส่วนนี้ มุมยอดจะถูกกำหนดชื่อเป็นA, B, Cและพิกัดทั้งหมดเป็นพิกัดสามมิติ :

• จุดสไตเนอร์ : จุดตัดที่ไม่ใช่จุดยอดระหว่างวงกลมล้อมรอบกับวงรีสไตเนอร์

${\displaystyle {\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}}$

( วงรีสไตเนอร์ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดศูนย์กลางมวล ( ABC ) คือวงรีที่มีพื้นที่น้อยที่สุดที่ผ่านจุดA, B, Cสมการของวงรีนี้คือ.)${\displaystyle {\tfrac {1}{ax}}+{\tfrac {1}{by}}+{\tfrac {1}{cz}}=0}$

• จุดทาร์รี : จุดตรงข้ามของจุดสไตเนอร์

${\displaystyle \sec(A+\omega ):\sec(B+\omega ):\sec(C+\omega )}$

• จุดโฟกัสของพาราโบลาคีเพิร์ต :

${\displaystyle \csc(B-C):\csc(C-A):\csc(A-B).}$

เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบ ซึ่งเรียกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบและมีค่าเท่ากับสองเท่าของรัศมีวงกลมล้อมรอบสามารถคำนวณได้จากความยาวของด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมหารด้วยค่าไซน์ของมุม ตรงข้าม :

${\displaystyle {\text{diameter}}={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.}$

ตามกฎของไซน์ไม่ว่าเราจะเลือกด้านใดและมุมตรงข้ามใด ผลลัพธ์ก็จะเหมือนกัน

เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบสามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{diameter}}&{}={\frac {abc}{2\cdot {\text{area}}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\[5pt]&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[5pt]&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}}$

โดยที่a, b, cคือความยาวด้านของสามเหลี่ยม และคือครึ่งเส้นรอบรูปนิพจน์ข้างต้นคือพื้นที่ของสามเหลี่ยม ตามสูตรของเฮรอน [ ^{5 ]}นิพจน์ตรีโกณมิติสำหรับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบ^{ได้แก่[ 6 ]}${\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

${\displaystyle {\text{diameter}}={\sqrt {\frac {2\cdot {\text{area}}}{\sin A\sin B\sin C}}}.}$

วงกลมเก้าแฉกของสามเหลี่ยมมีเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบ

ในสามเหลี่ยมใดๆ จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันกับจุดศูนย์กลางมวลและจุดศูนย์กลางเชิงมุม เสมอ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดทั้งสามนี้เรียกว่าเส้นออยเลอร์

จุดสมมาตรเชิงมุมของจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบคือจุดศูนย์กลาง เชิงมุมตั้งฉาก

วงกลมล้อมรอบจุด สามจุด ที่มีประโยชน์ และมีขนาดเล็กที่สุด นั้น กำหนดโดยวงกลมล้อมรอบ (โดยที่จุดสามจุดอยู่บนวงกลมล้อมรอบที่มีขนาดเล็กที่สุด) หรือโดยจุดสองจุดของด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยม (โดยที่จุดสองจุดนั้นกำหนดเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม) เป็นเรื่องปกติที่จะสับสนระหว่างวงกลมล้อมรอบที่มีขนาดเล็กที่สุดกับวงกลมล้อมรอบ

วงกลมล้อมรอบจุดสามจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน คือเส้นตรงที่จุดทั้งสามนั้นอยู่ ซึ่งมักเรียกว่าวงกลมที่มีรัศมีอนันต์จุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันเกือบจะตรงกัน มักนำไปสู่ความไม่เสถียรทางตัวเลขในการคำนวณวงกลมล้อมรอบ

วงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการสร้างสามเหลี่ยมแบบเดอลานีย์ของกลุ่มจุด

ตามทฤษฎีบทของออยเลอร์ในเรขาคณิตระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบOและจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน Iคือ

${\displaystyle {\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}},}$

โดยที่rคือรัศมีวงกลมแนบใน และRคือรัศมีวงกลมแนบนอก ดังนั้นรัศมีวงกลมแนบนอกจึงต้องเป็นอย่างน้อยสองเท่าของรัศมีวงกลมแนบใน ( อสมการสามเหลี่ยมออยเลอร์ ) โดยจะเท่ากันเฉพาะในกรณีสามเหลี่ยมด้านเท่า เท่านั้น ^{[ 7 ] [ 8 ]}

ระยะห่างระหว่างOและจุดออร์โธเซ็นเตอร์Hคือ^{[ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle {\overline {OH}}={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}}={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.}$

สำหรับจุดศูนย์กลางมวลGและจุดศูนย์กลางเก้าจุดNเรามี

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {IG}}&<{\overline {IO}},\\2{\overline {IN}}&<{\overline {IO}},\\{\overline {OI}}^{2}&=2R\cdot {\overline {IN}}.\end{aligned}}}$

ผลคูณของรัศมีวงกลมแนบในและรัศมีวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยมที่มีด้านa, b, cคือ^{[ 11 ]}

${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$

ด้วยรัศมีวงกลมล้อม รอบ Rด้านa, b, cและเส้นมัธยฐานm _a , m _b , m _cเราจะได้^{[ 12 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}3{\sqrt {3}}R&\geq a+b+c\\[5pt]9R^{2}&\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\\[5pt]{\frac {27}{4}}R^{2}&\geq m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.\end{aligned}}}$

ถ้าค่ามัธยฐานmความสูงhและเส้นแบ่งครึ่งภายในtล้วนมาจากจุดยอดเดียวกันของสามเหลี่ยมที่มีรัศมีวงกลมล้อมรอบRแล้ว^{[ 13 ]}

${\displaystyle 4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).}$

ทฤษฎีบทของคาร์โนต์กล่าวว่า ผลรวมของระยะทางจากจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบไปยังด้านทั้งสามเท่ากับผลรวมของรัศมีวงกลมล้อมรอบและรัศมีวงกลมแนบใน^{[ 14 ]}ในที่นี้ ความยาวของส่วนจะถือว่ามีค่าเป็นลบก็ต่อเมื่อส่วนนั้นอยู่ภายนอกสามเหลี่ยมทั้งหมด

ถ้าสามเหลี่ยมมีวงกลมสองวงที่เฉพาะเจาะจงเป็นวงกลมล้อมรอบและวงกลมแนบใน จะมีสามเหลี่ยมอื่น ๆ จำนวนอนันต์ที่มีวงกลมล้อมรอบและวงกลมแนบในเดียวกัน โดยมีจุดใด ๆ บนวงกลมล้อมรอบเป็นจุดยอด (นี่คือ กรณี n = 3ของทฤษฎีบทของ Poncelet ) เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของสามเหลี่ยมดังกล่าวคือความเท่าเทียมกันข้างต้น^{[ 15 ]}${\displaystyle {\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}}.}$

กลุ่มจุดที่อยู่บนวงกลมเดียวกันเรียกว่าจุดร่วมวงกลมและรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมวงกลมเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมวงกลม สามเหลี่ยมทุกรูปเป็นรูปหลายเหลี่ยมร่วมวงกลม แต่รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านมากกว่าสามด้านโดยทั่วไปจะไม่เป็นรูปหลายเหลี่ยมร่วมวงกลม

รูปหลายเหลี่ยมวงกลม โดยเฉพาะรูปสี่เหลี่ยมวงกลมมีคุณสมบัติพิเศษหลายประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมจะเป็นมุมเสริมกัน (รวมกันได้ 180° หรือ π เรเดียน)

• จุดศูนย์กลางมวล
• ทรงกลมล้อมรอบ
• สามเหลี่ยมเซอร์คัมเซเวียน
• วงกลมที่จารึกไว้
• ทฤษฎีบทโคสนิตา
• ทฤษฎีบทของเลสเตอร์
• ปัญหาของอพอลโลนิอุส

• ที่มาของสูตรหาค่ารัศมีของวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมที่ Mathalino.com
• รูปเหลี่ยมมุมกึ่งปกติและรูปเหลี่ยมด้านข้าง: รูปแบบทั่วไปของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตามลำดับในDynamic Geometry Sketchesโปรแกรมร่างเรขาคณิตแบบไดนามิกเชิงโต้ตอบ
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "วงกลมล้อมรอบ" , "รูปหลายเหลี่ยมวงกลม" . MathWorld .
• วงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมและจุดศูนย์กลาง วงกลมล้อมรอบ พร้อมแอนิเมชันแอนิเมชั่น
• แอปเพล็ต Java แบบโต้ตอบสำหรับหาจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ