ในทางเรขาคณิตจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมหรือจุดกึ่งกลางของสามเหลี่ยมคือจุดบนระนาบของสามเหลี่ยมที่อยู่กึ่งกลางของสามเหลี่ยมในแง่ใดแง่หนึ่ง ตัวอย่างเช่นจุดศูนย์กลางมวลจุดศูนย์กลางวงกลมล้อม รอบ จุดศูนย์กลาง วงกลมแนบในและจุดศูนย์กลางมุมฉาก เป็นสิ่งที่ ชาวกรีกโบราณคุ้นเคยและสามารถหาได้จากการสร้าง อย่าง ง่าย

จุดศูนย์กลางแบบคลาสสิกแต่ละจุดเหล่านี้มีคุณสมบัติที่ไม่เปลี่ยนแปลง (หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือมีความสมมาตร ) ภายใต้การแปลงความคล้ายคลึงกันกล่าวคือ สำหรับสามเหลี่ยมใดๆ และการแปลงความคล้ายคลึงกันใดๆ (เช่น การหมุนการสะท้อน การขยายหรือการเลื่อน ) จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมที่แปลงแล้วจะเป็นจุดเดียวกันกับจุดศูนย์กลางที่แปลงแล้วของสามเหลี่ยมเดิม คุณสมบัติที่ไม่เปลี่ยนแปลงนี้เป็นคุณสมบัติที่กำหนดจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม มันตัดจุดอื่นๆ ที่รู้จักกันดี เช่นจุดโบรคาร์ดซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การสะท้อน ดังนั้นจึงไม่เข้าเกณฑ์เป็นจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม

สำหรับสามเหลี่ยมด้านเท่าจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมทุกรูปจะอยู่ที่จุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมนั้น อย่างไรก็ตาม จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมในรูปอื่นๆ โดยทั่วไปจะอยู่ที่ตำแหน่งที่แตกต่างกัน คำจำกัดความและคุณสมบัติของจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมหลายหมื่นรูปได้ถูกรวบรวมไว้ในสารานุกรมจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมแล้ว

แม้ว่าชาวกรีกโบราณจะค้นพบจุดศูนย์กลางคลาสสิกของรูปสามเหลี่ยมแล้ว แต่พวกเขาก็ยังไม่ได้กำหนดนิยามของจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมอย่างเป็นทางการ หลังจากชาวกรีกโบราณ ก็มีการค้นพบจุดพิเศษหลายจุดที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยม เช่นจุดแฟร์ มาต์จุดศูนย์กลางเก้าจุดจุดเลอมัวน์จุดเกอร์กอนน์และจุดเฟือร์บัค

ในช่วงที่ความสนใจในเรขาคณิตสามเหลี่ยมกลับมาเฟื่องฟูอีกครั้งในทศวรรษ 1980 พบว่าจุดพิเศษเหล่านี้มีคุณสมบัติทั่วไปบางประการร่วมกัน ซึ่งปัจจุบันเป็นพื้นฐานสำหรับการกำหนดนิยามอย่างเป็นทางการของจุดศูนย์กลางสามเหลี่ยม^{[ 1 ] [ 2 ]}สารานุกรมจุดศูนย์กลางสามเหลี่ยมของคลาร์ก คิมเบอร์ลิงมีรายการจุดศูนย์กลางสามเหลี่ยมมากกว่า 50,000 รายการพร้อมคำอธิบาย^{[ 3 ]}แต่ละรายการในสารานุกรมจุดศูนย์กลางสามเหลี่ยมจะถูกระบุด้วยหรือโดยที่คือดัชนีตำแหน่งของรายการ ตัวอย่างเช่นจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมเป็นรายการที่สองและถูกระบุด้วย หรือ${\displaystyle X(n)}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X(2)}$${\displaystyle X_{2}}$

ถ้าฟังก์ชันค่าจริงfของตัวแปรจริงสามตัวa, b, cมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• ความเป็นเนื้อเดียวกัน: สำหรับค่าคงที่n บางค่า และสำหรับทุกt > 0${\displaystyle f(ta,tb,tc)=t^{n}f(a,b,c)}$
• ความสมมาตรแบบทวิภาคในตัวแปรที่สองและที่สาม:${\displaystyle f(a,b,c)=f(a,c,b)}$

เรียกว่าฟังก์ชันจุดศูนย์กลางสามเหลี่ยมถ้าfคือฟังก์ชันจุดศูนย์กลางสามเหลี่ยม และa, b, cคือความยาวด้านของสามเหลี่ยมอ้างอิง จุดที่มีพิกัดสามมิติเท่ากับจะเรียกว่าจุดศูนย์กลางสามเหลี่ยม $${\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)}$$

คำจำกัดความนี้ทำให้มั่นใจได้ว่าจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันเป็นไปตามเกณฑ์ความไม่แปรเปลี่ยนที่ระบุไว้ข้างต้น ตามธรรมเนียมแล้ว จะมีการอ้างอิงเฉพาะพิกัดสามมิติแรกจากสามพิกัดของจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมเท่านั้น เนื่องจากอีกสองพิกัดได้มาจากการเรียงสับเปลี่ยนแบบวนรอบของa, b, c กระบวนการ นี้เรียกว่าวัฏจักร^{[ 4 ] [ 5 ]}

ฟังก์ชันจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมแต่ละฟังก์ชันจะสอดคล้องกับจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมที่ไม่ ซ้ำกัน แต่ความสัมพันธ์นี้ไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง กล่าวคือ ฟังก์ชันที่แตกต่างกันอาจกำหนดจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมเดียวกันได้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันและต่างก็สอดคล้องกับจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยม ฟังก์ชันจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมสองฟังก์ชันจะกำหนดจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมเดียวกันได้ก็ต่อเมื่ออัตราส่วนของฟังก์ชันทั้งสองเป็นฟังก์ชันสมมาตรในa, b, cเท่านั้น $${\displaystyle f_{1}(a,b,c)={\frac {1}{a}}}$$$${\displaystyle f_{2}(a,b,c)=bc}$$

ถึงแม้ฟังก์ชันจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมจะนิยามได้ดีทุกที่ แต่ก็ไม่สามารถกล่าวได้เสมอไปว่าจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมที่เกี่ยวข้องนั้นนิยามได้ดีเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ให้ และ   ถ้า   และเป็นจำนวนตรรกยะทั้งคู่ และ ถ้า เป็น จำนวนเต็ม แล้วสำหรับสามเหลี่ยมใดๆ ที่มีด้านเป็นจำนวนเต็ม จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมที่เกี่ยวข้องจะมีค่าเป็น 0:0:0 ซึ่งนิยามไม่ได้ ${\displaystyle f(a,b,c)=0}$${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$${\displaystyle f(a,b,c)=1}$

ในบางกรณี ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่ได้ถูกกำหนดไว้บนพื้นที่ทั้งหมดของ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเชิงเส้นสามตัวของX ₃₆₅ซึ่งเป็นรายการที่ 365 ในสารานุกรมศูนย์กลางสามเหลี่ยมมีค่าa, b, cที่ไม่สามารถเป็นลบได้ นอกจากนี้ เพื่อที่จะแทนด้านของสามเหลี่ยม ด้านเหล่านั้นต้องเป็นไปตามอสมการสามเหลี่ยมดังนั้น ในทางปฏิบัติโดเมน ของทุกฟังก์ชัน จึงถูกจำกัดไว้ในบริเวณของ⁠ ⁠ที่ซึ่ง บริเวณ T นี้เป็นโดเมนของสามเหลี่ยมทั้งหมด และเป็นโดเมนเริ่มต้นสำหรับฟังก์ชันที่อิงตามสามเหลี่ยมทั้งหมด ${\displaystyle a^{1/2}:b^{1/2}:c^{1/2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle a\leq b+c,\quad b\leq c+a,\quad c\leq a+b.}$$

มีหลายกรณีที่อาจเป็นที่พึงประสงค์ที่จะจำกัดการวิเคราะห์ให้อยู่ในขอบเขตที่เล็กกว่าTตัวอย่างเช่น:

• จุดศูนย์กลางX ₃ , X ₄ , X ₂₂ , X ₂₄ , X ₄₀อ้างอิงถึงสามเหลี่ยมมุมแหลมโดยเฉพาะ นั่นคือบริเวณของTที่$${\displaystyle a^{2}\leq b^{2}+c^{2},\quad b^{2}\leq c^{2}+a^{2},\quad c^{2}\leq a^{2}+b^{2}.}$$
• เมื่อทำการแยกความแตกต่างระหว่างจุดแฟร์มาต์และX ₁₃ขอบเขตของรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมเกิน 2π/3 นั้นมีความสำคัญ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ รูปสามเหลี่ยมที่เงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง:

$${\displaystyle a^{2}>b^{2}+bc+c^{2};\quad b^{2}>c^{2}+ca+a^{2};\quad c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}.}$$

• โดเมนที่มีคุณค่าในทางปฏิบัติอย่างมาก เนื่องจากมีความหนาแน่นในTแต่ไม่รวมสามเหลี่ยมที่ไม่สำคัญ (เช่น จุด) และสามเหลี่ยมเสื่อมสภาพ (เช่น เส้นตรง) คือเซตของ สามเหลี่ยม ด้านไม่เท่า ทั้งหมด ได้มาจากการลบระนาบb = c , c = a , a = bออกจากT

ไม่ใช่ทุกเซตย่อยD ⊆ Tจะเป็นโดเมนที่ใช้ได้ ในการสนับสนุนการทดสอบสมมาตรสองด้านDจะต้องสมมาตรเกี่ยวกับระนาบb = c , c = a , a = bและในการสนับสนุนความเป็นวัฏจักร จะต้องไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุน 2π/3 รอบเส้นตรงa = b = cโดเมนที่ง่ายที่สุดคือเส้นตรง( t , t , t )ซึ่งสอดคล้องกับเซตของสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งหมด

จุดที่เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม△ ABCมาบรรจบกันคือจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ พิกัดสามมิติของจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบมีดังนี้

$${\displaystyle a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{2}+b^{2}-c^{2}).}$$

ให้fเป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์ (homogeneous function) และ สมมาตรสองทิศทาง (bisymmetric function) ดังนั้นfจึงเป็นฟังก์ชันจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม เนื่องจากจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกันมีฟังก์ชันเชิงเส้นสามทิศทาง (trilinear function) เดียวกันกับจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ จึงสรุปได้ว่าจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบเป็นจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม ${\displaystyle f\left(a,b,c\right)=a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(ta,tb,tc)&=ta{\Bigl [}(tb)^{2}+(tc)^{2}-(ta)^{2}{\Bigr ]}\\[2pt]&=t^{3}{\Bigl [}a(b^{2}+c^{2}-a^{2}){\Bigr ]}\\[2pt]&=t^{3}f(a,b,c)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(a,c,b)&=a(c^{2}+b^{2}-a^{2})\\[2pt]&=a(b^{2}+c^{2}-a^{2})\\[2pt]&=f(a,b,c)\end{aligned}}}$$

ให้△ A'BCเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีฐานเป็นBCและจุดยอดA'อยู่ด้านลบของBCและให้△ AB'Cและ△ ABC'เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่สร้างขึ้นในทำนองเดียวกันโดยใช้ด้านอีกสองด้านของรูปสามเหลี่ยม△ ABCเป็นฐาน แล้วเส้นตรงAA', BB', CC'ตัดกันที่จุดเดียวกัน และจุดที่เส้นตรงทั้งสองตัดกันนี้เป็นจุดศูนย์กลางของเส้นไอโซโกนัลเส้นแรก พิกัดสามมิติของจุดนี้คือ

${\displaystyle \csc \left(A+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right).}$

เมื่อแสดงพิกัดเหล่านี้ในรูปของa, b, cจะสามารถตรวจสอบได้ว่าพิกัดเหล่านั้นเป็นไปตามคุณสมบัติที่กำหนดของพิกัดของจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม ดังนั้น จุดศูนย์กลางไอโซโกนิกแรกจึงเป็นจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมด้วย

อนุญาต

$${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}1&\quad {\text{if }}a^{2}>b^{2}+bc+c^{2}&\iff {\text{if }}A>2\pi /3\\[8pt]0&\quad \!\!\displaystyle {{{\text{if }}b^{2}>c^{2}+ca+a^{2}} \atop {{\text{ or }}c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}}}&\iff \!\!\displaystyle {{{\text{if }}B>2\pi /3} \atop {{\text{ or }}C>2\pi /3}}\\[8pt]\csc(A+{\frac {\pi }{3}})&\quad {\text{otherwise }}&\iff A,B,C\leq 2\pi /3\end{cases}}}$$

ดังนั้นfจึงเป็นฟังก์ชันสมมาตรสองด้านและเอกพันธุ์ ดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม ยิ่งไปกว่านั้น จุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกันจะตรงกับจุดยอดมุมป้านเมื่อใดก็ตามที่มุมของจุดยอดใดๆ เกินและจะตรงกับจุดศูนย์กลางไอโซโกนิกแรกในกรณีอื่นๆ ดังนั้น จุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมนี้จึงไม่ใช่สิ่งอื่นใดนอกจากจุดแฟร์มาต์ ${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{3}}}$

พิกัดสามมิติของจุด Brocard จุดแรกคือ: พิกัดเหล่านี้สอดคล้องกับคุณสมบัติของความเป็นเอกรูปและความเป็นวัฏจักร แต่ไม่สอดคล้องกับสมมาตรสองด้าน ดังนั้นจุด Brocard จุดแรกจึงไม่ใช่จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม (โดยทั่วไป) จุด Brocard จุดที่สองมีพิกัดสามมิติ: และข้อสังเกตที่คล้ายกันก็ใช้ได้เช่นกัน $${\displaystyle {\frac {c}{b}}\ :\ {\frac {a}{c}}\ :\ {\frac {b}{a}}}$$$${\displaystyle {\frac {b}{c}}\ :\ {\frac {c}{a}}\ :\ {\frac {a}{b}}}$$

จุด Brocard จุดแรกและจุดที่สองเป็นหนึ่งในคู่จุดสองจุดศูนย์กลางหลายคู่^{[ 6 ]}ซึ่งเป็นคู่จุดที่กำหนดจากสามเหลี่ยมที่มีคุณสมบัติว่าคู่จุด (แต่ไม่ใช่จุดแต่ละจุด) จะถูกรักษาไว้ภายใต้ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม การดำเนินการไบนารีหลายอย่าง เช่น จุดกึ่งกลางและผลคูณเชิงเส้นสาม เมื่อนำไปใช้กับจุด Brocard สองจุด รวมถึงคู่จุดสองจุดศูนย์กลางอื่นๆ จะสร้างจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม

รหัสอ้างอิง ETC; ชื่อ; สัญลักษณ์			พิกัดสามมิติ	คำอธิบาย
X 1	อินเซ็นเตอร์	ฉัน	${\displaystyle 1:1:1}$	จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุมจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในสามเหลี่ยม
คูณ2	จุดศูนย์กลาง	จี	${\displaystyle bc:ca:ab}$	จุดตัดของเส้น มัธยฐานจุดศูนย์กลางมวลของแผ่น สามเหลี่ยม เนื้อ เดียวกัน
คูณ3	จุดศูนย์กลาง	โอ	${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C}$	จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ง ตั้งฉาก ของด้านทั้งสาม จุดศูนย์กลางของ วงกลม ล้อม รอบ สามเหลี่ยม
คูณ4	ศูนย์ออร์โธ	ชม	${\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C}$	จุดตัดของเส้น ระดับ ความ สูง
คูณ5	ศูนย์กลางเก้าจุด	เอ็น	${\displaystyle \cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B)}$	จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ผ่านจุดกึ่งกลางของแต่ละด้าน จุดปลายของเส้นความสูงแต่ละเส้น และจุดกึ่งกลางระหว่างจุดศูนย์กลางความตั้งฉากกับจุดยอดแต่ละจุด
X 6	จุดซิมมีเดียน	เค	${\displaystyle a:b:c}$	จุดตัดของเส้นมัธยฐาน – การสะท้อนของเส้นมัธยฐานแต่ละเส้นรอบเส้นแบ่งครึ่งมุมที่สอดคล้องกัน
X 7	จุดชมวิวเกอร์กอนน์	จีอี	${\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}}$	จุดตัดของเส้นที่เชื่อมจุดยอดแต่ละจุดกับจุดที่วงกลมแนบในสัมผัสกับด้านตรงข้าม
X 8	จุดนาเกล	นา​	${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}}$	จุดตัดของเส้นที่เชื่อมจุดยอดแต่ละจุดกับจุดที่วงกลมภายนอกสัมผัสกับด้านตรงข้าม
X 9	มิตเทนพังค์	เอ็ม	${\displaystyle (b+c-a):(c+a-b):(a+b-c)}$	จุด กึ่งกลางสมมาตรของสามเหลี่ยมนอกศูนย์กลาง (และคำจำกัดความที่เทียบเท่ากันต่างๆ)
คูณ10	ศูนย์สปีกเกอร์	สส	${\displaystyle bc(b+c):ca(c+a):ab(a+b)}$	จุดศูนย์กลางมวลของโครงลวดสามเหลี่ยมสม่ำเสมอ
X 11	จุดเฟือร์บัค	เอฟ	${\displaystyle 1-\cos(B-C):1-\cos(C-A):1-\cos(A-B)}$	จุดที่วงกลมเก้าจุดสัมผัสกับวงกลมแนบใน
คูณ13	จุดเฟอร์มาต์	X	${\displaystyle \csc(A+{\tfrac {\pi }{3}}):\csc(B+{\tfrac {\pi }{3}}):\csc(C+{\tfrac {\pi }{3}}).}$[ก]	จุดที่มีผลรวมของระยะห่างจากจุดยอดน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้
x 15 x 16	จุดไอโซไดนามิก	เอสเอส ′	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(A+{\tfrac {\pi }{3}}):\sin(B+{\tfrac {\pi }{3}}):\sin(C+{\tfrac {\pi }{3}})\\\sin(A-{\tfrac {\pi }{3}}):\sin(B-{\tfrac {\pi }{3}}):\sin(C-{\tfrac {\pi }{3}})\end{aligned}}}$	จุดศูนย์กลางการผกผันที่เปลี่ยนรูปสามเหลี่ยมให้กลายเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
x 17 x 18	นโปเลียนชี้	เอ็นเอ็น ′	${\displaystyle {\begin{aligned}\sec(A-{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(B-{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(C-{\tfrac {\pi }{3}})\\\sec(A+{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(B+{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(C+{\tfrac {\pi }{3}})\end{aligned}}}$	จุดตัดของเส้นที่เชื่อมจุดยอดแต่ละจุดกับจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ชี้ออกด้านนอก (จุดนโปเลียนแรก) หรือชี้เข้าด้านใน (จุดนโปเลียนที่สอง) ซึ่งติดตั้งอยู่บนด้านตรงข้าม
เอ็กซ์99	จุดสไตเนอร์	เอส	${\displaystyle {\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}}$	คำจำกัดความที่เทียบเท่ากันหลายแบบ

ในตารางแสดงจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมรุ่นใหม่ต่อไปนี้ ไม่มีการระบุสัญลักษณ์เฉพาะสำหรับจุดต่างๆ นอกจากนี้ สำหรับแต่ละจุดศูนย์กลาง จะระบุเพียงพิกัดสามมิติแรก f(a,b,c) เท่านั้น พิกัดอื่นๆ สามารถหาได้ง่ายๆ โดยใช้คุณสมบัติวัฏจักรของพิกัดสามมิติ

อ้างอิง ETC; ชื่อ		ฟังก์ชันศูนย์กลาง${\displaystyle f(a,b,c)}$	ปีที่กล่าวถึง
X 21	จุดชิฟเฟลอร์	${\displaystyle {\frac {1}{\cos B+\cos C}}}$	พ.ศ. 2528
X 22	เอ็กซิเตอร์พอยต์	${\displaystyle a(b^{4}+c^{4}-a^{4})}$	พ.ศ. 2529
เอ็กซ์111	จุดป้องกัน	${\displaystyle {\frac {a}{2a^{2}-b^{2}-c^{2}}}}$	ต้นทศวรรษ 1990
เอ็กซ์173	จุดไอโซเซลไลเซอร์ที่สอดคล้องกัน	${\displaystyle \tan {\tfrac {A}{2}}+\sec {\tfrac {A}{2}}}$	1989
X 174	จุดศูนย์กลางความสอดคล้อง Yff	${\displaystyle \sec {\tfrac {A}{2}}}$	พ.ศ. 2530
X 175	จุดไอโซเพอริเมตริก	${\displaystyle \sec {\tfrac {A}{2}}\cos {\tfrac {B}{2}}\cos {\tfrac {C}{2}}-1}$	พ.ศ. 2528
X 179	จุดแรกของ Ajima-Malfatti	${\displaystyle \sec ^{4}{\tfrac {A}{4}}}$
เอ็กซ์181	จุดอพอลโลนิอุส	${\displaystyle {\frac {a(b+c)^{2}}{b+c-a}}}$	พ.ศ. 2530
เอ็กซ์192	เส้นขนานที่เท่ากันชี้จุด	${\displaystyle bc(ca+ab-bc)}$	1961
เอ็กซ์356	ศูนย์มอร์ลีย์	${\displaystyle \cos {\tfrac {A}{3}}+2\cos {\tfrac {B}{3}}\cos {\tfrac {C}{3}}}$	พ.ศ. 2521 [ 7 ]
เอ็กซ์360	จุดศูนย์ของฮอฟสตัดเตอร์	${\displaystyle {\frac {A}{a}}}$	1992

เพื่อเป็นเกียรติแก่คลาร์ก คิมเบอร์ลิง ผู้สร้างสารานุกรมออนไลน์ที่มีศูนย์สามเหลี่ยมมากกว่า 32,000 แห่ง ศูนย์สามเหลี่ยมที่ระบุไว้ในสารานุกรมนี้จึงเรียกรวมกันว่าศูนย์คิมเบอร์ลิง^{[ 8 ]}

จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม Pเรียกว่าจุดศูนย์กลางสามเหลี่ยมพหุนามถ้าพิกัดสามมิติของ Pสามารถแสดงได้ในรูปพหุนามในตัวแปรa, b, c

จุดศูนย์กลาง Pของสามเหลี่ยม เรียกว่าจุดสามเหลี่ยมปกติถ้าพิกัดสามมิติของ Pสามารถแสดงได้ในรูปพหุนามของ△, a , b , cโดยที่△คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม

กล่าวกันว่าจุดศูนย์กลางสามเหลี่ยมP เป็น จุดศูนย์กลางสามเหลี่ยมหลักหากพิกัดสามมิติของ P สามารถแสดงในรูปแบบที่⁠ ⁠เป็นฟังก์ชันของมุมXเพียงอย่างเดียวและไม่ขึ้นอยู่กับมุมอื่นหรือความยาวด้าน^{[ 9 ]}${\displaystyle f(A):f(B):f(C)}$${\displaystyle f(X)}$

จุดศูนย์กลางสามเหลี่ยม Pเรียกว่าจุดศูนย์กลางสามเหลี่ยมอดิศัยถ้า Pไม่มีตัวแทนเชิงเส้นสามมิติโดยใช้เพียงฟังก์ชันพีชคณิตของa, b, cเท่านั้น

ให้fเป็นฟังก์ชันจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม ถ้าด้านสองด้านของสามเหลี่ยมเท่ากัน (เช่นa = b ) แล้ว ส่วนประกอบสองส่วนของจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมที่เกี่ยวข้องจะเท่ากันเสมอ ดังนั้น จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมหน้าจั่วทั้งหมดจะต้องอยู่บนเส้นสมมาตร ของสามเหลี่ยมนั้น สำหรับสามเหลี่ยมด้านเท่า ส่วนประกอบทั้งสามส่วนจะเท่ากัน ดังนั้น จุดศูนย์กลางทั้งหมดจึงตรงกับจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยม ดังนั้น เช่นเดียวกับวงกลม สามเหลี่ยมด้านเท่าจึงมีจุดศูนย์กลางเพียงจุดเดียว $${\displaystyle {\begin{aligned}f(a,b,c)&=f(b,a,c)&({\text{since }}a=b)\\&=f(b,c,a)&{\text{(by bisymmetry)}}\end{aligned}}}$$

อนุญาต $${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}-1&\quad {\text{if }}a\geq b{\text{ and }}a\geq c,\\\;\;\;1&\quad {\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

เห็นได้ชัดว่านี่คือฟังก์ชันจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม และ (หากสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า) จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกันคือจุดนอกสุดที่อยู่ตรงข้ามกับมุมยอดที่ใหญ่ที่สุด จุดนอกสุดอีกสองจุดสามารถเลือกได้จากฟังก์ชันที่คล้ายกัน อย่างไรก็ตาม ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น มีเพียงจุดนอกสุดจุดเดียวของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่านั้น และไม่มีจุดนอกสุดใดของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่จะเป็นจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมได้

ฟังก์ชันfเป็น ฟังก์ชัน ไบแอนติสมมาตรถ้า ถ้าฟังก์ชันดังกล่าวไม่เป็นศูนย์และเป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์ด้วย จะเห็นได้ง่ายว่าการแมปนั้น เป็นฟังก์ชันจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกันคือ ด้วยเหตุนี้ บางครั้งนิยามของฟังก์ชันจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมจึงรวมถึงฟังก์ชันเอกพันธุ์ไบแอนติสมมาตรที่ไม่เป็นศูนย์ด้วย $${\displaystyle f(a,b,c)=-f(a,c,b)\quad {\text{for all}}\quad a,b,c.}$$$${\displaystyle (a,b,c)\to f(a,b,c)^{2}\,f(b,c,a)\,f(c,a,b)}$$$${\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b).}$$

ฟังก์ชันจุดศูนย์กลางสามเหลี่ยมใดๆfสามารถทำให้เป็นฟังก์ชันมาตรฐานได้โดยการคูณด้วยฟังก์ชันสมมาตรของa, b, cโดยที่n = 0ฟังก์ชันจุดศูนย์กลางสามเหลี่ยมมาตรฐานจะมีจุดศูนย์กลางสามเหลี่ยมเดียวกันกับฟังก์ชันเดิม และยังมีคุณสมบัติที่แข็งแกร่งกว่านั้นคือ เมื่อรวมกับฟังก์ชันศูนย์ ฟังก์ชันจุดศูนย์กลางสามเหลี่ยมมาตรฐานจะสร้างพีชคณิตภายใต้การบวก การลบ และการคูณ ซึ่งทำให้สร้างจุดศูนย์กลางสามเหลี่ยมใหม่ได้ง่าย อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันจุดศูนย์กลางสามเหลี่ยมมาตรฐานที่แตกต่างกันมักจะกำหนดจุดศูนย์กลางสามเหลี่ยมเดียวกัน ตัวอย่างเช่นfและ$${\displaystyle f(ta,tb,tc)=f(a,b,c)\quad {\text{for all}}\quad t>0,\ (a,b,c).}$$${\displaystyle (abc)^{-1}(a+b+c)^{3}f.}$

สมมติให้a, b, cเป็นตัวแปรจริง และให้α, β, γเป็นค่าคงที่จริงสามค่าใดๆ ให้

$${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}\alpha &\quad {\text{if }}a<b{\text{ and }}a<c&(a{\text{ is least}}),\\[2pt]\gamma &\quad {\text{if }}a>b{\text{ and }}a>c&(a{\text{ is greatest}}),\\[2pt]\beta &\quad {\text{otherwise}}&(a{\text{ is in the middle}}).\end{cases}}}$$

ดังนั้นfคือฟังก์ชันจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม และα  : β  : γคือจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกัน เมื่อใดก็ตามที่ด้านของสามเหลี่ยมอ้างอิงถูกกำหนดชื่อโดยที่a < b < cดังนั้นทุกจุดจึงมีศักยภาพที่จะเป็นจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมได้ อย่างไรก็ตาม จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมส่วนใหญ่ไม่ค่อยมีความสำคัญนัก เช่นเดียวกับฟังก์ชันต่อเนื่องส่วนใหญ่ที่ไม่ค่อยมีความสำคัญเช่นกัน

ถ้าfเป็นฟังก์ชันจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมแล้วaf ก็เป็นฟังก์ชันจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมเช่นกัน และจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกันคือ เนื่องจากพิกัดเหล่านี้เป็นพิกัดแบรีเซนทริกของจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกับf อย่างแม่นยำ จึงสรุปได้ว่าจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมสามารถกำหนดได้ในรูปของแบรีเซนทริกแทนที่จะเป็นไตรลิเนียร์ได้เช่นกัน ในทางปฏิบัติ การเปลี่ยนจาก ระบบพิกัด หนึ่ง ไปยังอีก ระบบ หนึ่งนั้นไม่ใช่เรื่องยาก$${\displaystyle a\,f(a,b,c):b\,f(b,c,a):c\,f(c,a,b).}$$

นอกจากจุดแฟร์มาต์และจุดศูนย์กลางไอโซโกนิกแรกแล้ว ยังมีคู่จุดศูนย์กลางอื่นๆ อีก ระบบอีกระบบหนึ่งเกิดจากX ₃และจุดศูนย์กลางภายในของสามเหลี่ยมสัมผัสพิจารณาฟังก์ชันจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมที่กำหนดโดย:

$${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}\cos A&{\text{if }}\triangle {\text{ is acute}},\\[2pt]\cos A+\sec B\sec C&{\text{if }}\measuredangle A{\text{ is obtuse}},\\[2pt]\cos A-\sec A&{\text{if either}}\measuredangle B{\text{ or }}\measuredangle C{\text{ is obtuse}}.\end{cases}}}$$

สำหรับจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกันนั้น มีความเป็นไปได้ที่แตกต่างกันสี่แบบ: โปรดสังเกตว่าแบบแรกนั้นเป็นจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบวัตถุด้วย $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{if reference }}\triangle {\text{ is acute:}}\quad \cos A\ :\,\cos B\ :\,\cos C\\[6pt]&{\begin{array}{rcccc}{\text{if }}\measuredangle A{\text{ is obtuse:}}&\cos A+\sec B\sec C&:&\cos B-\sec B&:&\cos C-\sec C\\[4pt]{\text{if }}\measuredangle B{\text{ is obtuse:}}&\cos A-\sec A&:&\cos B+\sec C\sec A&:&\cos C-\sec C\\[4pt]{\text{if }}\measuredangle C{\text{ is obtuse:}}&\cos A-\sec A&:&\cos B-\sec B&:&\cos C+\sec A\sec B\end{array}}\end{aligned}}}$$

จากการคำนวณตามปกติพบว่า ในทุกกรณี เส้นสามเหลี่ยมเหล่านี้แสดงถึงจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในของสามเหลี่ยมสัมผัส ดังนั้น จุดนี้จึงเป็นจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมซึ่งอยู่ใกล้กับจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ

การสะท้อนรูปสามเหลี่ยมจะสลับลำดับด้านของรูปสามเหลี่ยม ในภาพ พิกัดหมายถึง รูปสามเหลี่ยม ( c , b , a )และ (โดยใช้ "|" เป็นตัวคั่น) การสะท้อนของจุดใดๆ คือถ้าfเป็นฟังก์ชันจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม การสะท้อนของจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมนั้นคือซึ่งโดยสมมาตรสองด้าน จะเหมือนกับ เนื่องจากนี่คือจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกับfเมื่อเทียบกับรูป สามเหลี่ยม ( c , b , a )สมมาตรสองด้านจึงรับประกันว่าจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การสะท้อน เนื่องจากการหมุนและการเลื่อนสามารถถือได้ว่าเป็นการสะท้อนสองครั้ง ดังนั้นจึงต้องรักษาจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมไว้ด้วย คุณสมบัติการไม่เปลี่ยนแปลงเหล่านี้เป็นเหตุผลสนับสนุนสำหรับคำจำกัดความนี้ ${\displaystyle \gamma :\beta :\alpha }$${\displaystyle \gamma \ |\ \beta \ |\ \alpha .}$${\displaystyle f(c,a,b)\ |\ f(b,c,a)\ |\ f(a,b,c),}$${\displaystyle f(c,b,a)\ |\ f(b,a,c)\ |\ f(a,c,b).}$

ชื่ออื่นๆ ของการขยายขนาด ได้แก่การปรับขนาดแบบสม่ำเสมอการปรับขนาดแบบไอโซโทรปิกโฮโมเทตีและโฮโมเทซี

การศึกษาจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมตามประเพณีนั้นเกี่ยวข้องกับเรขาคณิตแบบยุคลิดแต่จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมยังสามารถศึกษาได้ในเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด [ ^{10 ] จุดศูนย์กลาง} ของสามเหลี่ยมที่มีรูปแบบเดียวกันสำหรับทั้งเรขาคณิตแบบยุคลิดและแบบไฮเปอร์โบลิกสามารถแสดงได้โดยใช้ไจโรตรีโกณมิติ [ ^{11 ] [ 12 ] [ 13 ] ใน}เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด สมมติฐานที่ว่ามุมภายในของสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180 องศาจะต้องถูกละทิ้ง

ศูนย์กลางของเตตระเฮดราหรือซิมเพล็กซ์ มิติสูงกว่า สามารถกำหนดได้โดยการเปรียบเทียบกับสามเหลี่ยม 2 มิติ^{[ 13 ]}

ศูนย์กลางบางแห่งสามารถขยายไปยังรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านมากกว่าสามด้านได้ ตัวอย่างเช่น จุดศูนย์กลางสามารถพบได้สำหรับรูปหลายเหลี่ยมใดๆ งานวิจัยบางชิ้นได้ดำเนินการเกี่ยวกับศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านมากกว่าสามด้าน^{[ 14 ] [ 15 ]}

• แมนเฟรด เอเวอร์ส, ว่าด้วยจุดศูนย์กลางและเส้นศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมในระนาบวงรี
• แมนเฟรด เอเวอร์ส, ว่าด้วยเรขาคณิตของรูปสามเหลี่ยมในระนาบวงรีและระนาบไฮเปอร์โบลิกแบบขยาย
• คลาร์ก คิมเบอร์ลิงจากศูนย์ไทรแองเกิลมหาวิทยาลัยอีแวนส์วิลล์
• เอ็ด เพ็กก์, จุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมใน 2 มิติ, 3 มิติ, ทรงกลม และไฮเปอร์โบลิกจากWolfram Research
• พอล ยิว, การสำรวจเรขาคณิตรูปสามเหลี่ยมจากมหาวิทยาลัยฟลอริดาแอตแลนติก