ในเรขาคณิตยุคลิดจุดเฟอร์มาต์ของสามเหลี่ยมหรือที่เรียกว่าจุดทอร์ริเชลลีหรือจุดเฟอร์มาต์-ทอร์ริเชลลีคือจุดที่ผลรวมของระยะทางสามระยะจากจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยมไปยังจุดนั้นมีค่าน้อยที่สุด^{[ 1 ]}หรือเทียบเท่ากับค่ามัธยฐานทางเรขาคณิตของจุดยอดทั้งสาม จุดนี้ได้รับการตั้งชื่อเช่นนี้เพราะปัญหาดังกล่าวถูกยกขึ้นครั้งแรกโดยเฟอร์มาต์ในจดหมายส่วนตัวถึง เอวาน เจลิสตา ทอร์ริเชลลีซึ่งเธอได้แก้ปัญหานี้

จุดแฟร์มาต์ให้คำตอบสำหรับ ปัญหา ค่ามัธยฐานทางเรขาคณิตและปัญหาต้นไม้สไตเนอร์สำหรับสามจุด

จุดเฟอร์มาต์ของสามเหลี่ยมที่มีมุมใหญ่ที่สุดไม่เกิน 120° คือจุดศูนย์กลางไอโซโกนิกแรกหรือX(13) ^{[ 2 ]}ซึ่ง^{สร้างขึ้น}ดังต่อไปนี้:

1. สร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าบนด้านสองด้านที่เลือกโดยพลการของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดให้
2. ลากเส้นตรงจากจุดยอด ใหม่แต่ละจุด ไปยังจุดยอดตรงข้ามของสามเหลี่ยมเดิม
3. เส้นตรงทั้งสองตัดกันที่จุดแฟร์มาต์

อีกวิธีหนึ่งคือดังต่อไปนี้:

1. สร้างรูป สามเหลี่ยมหน้าจั่วบนด้านสองด้านที่เลือกโดยพลการโดยให้ฐานเป็นด้านนั้น มุมที่ฐานแต่ละมุมเป็น 30 องศา และจุดยอดที่สามของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วแต่ละรูปอยู่นอกรูปสามเหลี่ยมเดิม
2. สำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่วแต่ละรูป ให้วาดวงกลม โดยให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอดใหม่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว และมีรัศมีเท่ากับความยาวด้านทั้งสองของสามเหลี่ยมหน้าจั่วรูปนั้น
3. จุดตัดภายในสามเหลี่ยมเดิมระหว่างวงกลมทั้งสองคือจุดแฟร์มาต์

เมื่อมุมของสามเหลี่ยมมีขนาดใหญ่กว่า 120 องศา จุดแฟร์มาต์จะอยู่ที่จุดยอดมุมป้าน

ต่อไปนี้ "กรณีที่ 1" หมายถึงสามเหลี่ยมที่มีมุมเกิน 120 องศา "กรณีที่ 2" หมายถึงไม่มีมุมใดของสามเหลี่ยมที่มีมุมเกิน 120 องศา

รูปที่ 2 แสดงสามเหลี่ยมด้านเท่า△ ARB , △ AQC , △ CPBที่ติดกับด้านของสามเหลี่ยม△ ABC ใดๆ ต่อไปนี้เป็นการพิสูจน์โดยใช้คุณสมบัติของจุดร่วมวงกลมเพื่อแสดงว่าเส้นตรงทั้งสามเส้นRC, BQ, APในรูปที่ 2 ตัดกันที่จุดFและตัดกันเป็นมุม 60°

รูปสามเหลี่ยม△ RACและ △ BAQเท่ากันทุกประการเนื่องจากรูปที่สองเป็นการหมุนรูปแรก 60° รอบจุดAดังนั้น∠ ARF = ∠ ABFและ∠ AQF = ∠ ACFโดย ใช้ ทฤษฎีบทมุมภายในวงกลมแบบผกผันกับส่วนของเส้นตรงAFจุดARBFจึงอยู่บนวงกลมเดียวกัน (จุดทั้งสองอยู่บนวงกลมเดียวกัน) ในทำนองเดียวกัน จุดAFCQก็อยู่บนวงกลมเดียวกัน ด้วย

∠ ARB = 60°ดังนั้น∠ AFB = 120°โดยใช้ ทฤษฎีมุมแนบในวงกลม ในทำนองเดียวกัน∠ AFC = 120 °

ดังนั้น∠ BFC = 120°ดังนั้น∠ BFC + ∠ BPC = 180°โดยใช้ทฤษฎีมุมภายในวงกลมแสดงว่าจุดBPCFอยู่บนวงกลมเดียวกัน ดังนั้น โดยใช้ทฤษฎีมุมภายในวงกลมกับส่วนของเส้นตรงBPจะ ได้ ∠ BFP = ∠ BCP = 60°เนื่องจาก∠ BFP + ∠ BFA = 180°จุดFจึงอยู่บนส่วนของเส้นตรงAPดังนั้น เส้นตรงRC, BQ, APตัดกัน ที่จุด เดียว (ตัดกันที่จุดเดียว) จบการพิสูจน์

การพิสูจน์นี้ใช้ได้เฉพาะในกรณีที่ 2 เท่านั้น เพราะถ้า∠ BAC > 120°จุดAจะอยู่ภายในวงกลมล้อมรอบของ△ BPCซึ่งจะสลับตำแหน่งสัมพัทธ์ของAและFอย่างไรก็ตาม สามารถปรับเปลี่ยนได้ง่ายเพื่อให้ครอบคลุมกรณีที่ 1 จากนั้น∠ AFB = ∠ AFC = 60°ดังนั้น∠ BFC = ∠ AFB + ∠ AFC = 120°ซึ่งหมายความว่าBPCFอยู่บนวงกลมเดียวกัน ดังนั้น∠ BFP = ∠ BCP = 60° = ∠ BFAดังนั้นAอยู่บนFP

เส้นที่เชื่อมจุดศูนย์กลางของวงกลมในรูปที่ 2 ตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงAP , BQ , CRตัวอย่างเช่น เส้นที่เชื่อมจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ประกอบด้วย△ ARBและจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ประกอบด้วย△ AQCตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงAPดังนั้น เส้นที่เชื่อมจุดศูนย์กลางของวงกลมจึงตัดกันที่มุม 60° ด้วยเหตุนี้ จุดศูนย์กลางของวงกลมจึงประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า นี่คือสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทของนโปเลียน

กำหนดให้สามเหลี่ยมยุคลิด△ ABCและจุดP ใดๆ จุดประสงค์ของส่วนนี้ คือการหาจุดP ₀ที่ทำให้สำหรับทุกถ้ามีจุดดังกล่าวอยู่จริง จุดนั้นจะเป็นจุดแฟร์มาต์ ในส่วนต่อไปนี้Δจะแทนจุดภายในสามเหลี่ยม และจะรวมถึงขอบเขตΩด้วย ${\displaystyle d(P)=|PA|+|PB|+|PC|.}$${\displaystyle d(P_{0})<d(P)}$${\displaystyle P\neq P_{0}.}$

ผลลัพธ์สำคัญที่จะนำมาใช้คือ กฎการหักมุม ซึ่งระบุว่า ถ้าสามเหลี่ยมและรูปหลายเหลี่ยมมีด้านร่วมกันเพียงด้านเดียว และส่วนที่เหลือของสามเหลี่ยมอยู่ภายในรูปหลายเหลี่ยม สามเหลี่ยมจะมีเส้นรอบรูปสั้นกว่ารูปหลายเหลี่ยม

ถ้าABเป็นด้านร่วม ให้ต่อเส้นACออกไปตัดรูปหลายเหลี่ยมที่จุดXแล้วเส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมจะเป็นดังนี้ โดยใช้ความไม่เท่ากันของสามเหลี่ยม :

${\displaystyle {\text{perimeter}}>|AB|+|AX|+|XB|=|AB|+|AC|+|CX|+|XB|\geq |AB|+|AC|+|BC|.}$

ให้Pเป็นจุดใดๆ ที่อยู่นอกΔเชื่อมโยงจุดยอดแต่ละจุดกับโซนระยะไกลของมัน นั่นคือระนาบครึ่งที่อยู่เลยด้านตรงข้าม (ที่ต่อขยายออกไป) โซนทั้ง 3 นี้ครอบคลุมระนาบทั้งหมด ยกเว้นΔเอง และPอยู่ในโซนใดโซนหนึ่งหรือสองโซนอย่างชัดเจน ถ้าPอยู่ในสองโซน (เช่น จุดตัดของโซน BและC ) แล้วการกำหนดให้เป็นไปตามกฎการหักมุม หรือถ้าPอยู่ในโซนเดียว เช่น โซน Aแล้วโดยที่P'คือจุดตัดของAPและBCดังนั้นสำหรับทุกจุดPที่อยู่นอกΔจะมีจุดP'ในΩเช่นนั้น${\displaystyle P'=A}$${\displaystyle d(P')=d(A)<d(P)}$${\displaystyle d(P')<d(P)}$${\displaystyle d(P')<d(P).}$

กรณีที่ 1. สามเหลี่ยมมีมุมตั้งแต่ 120° ขึ้นไป

โดยไม่เสียความเป็นทั่วไปสมมติว่ามุมที่จุดAมีค่า ≥ 120° สร้างสามเหลี่ยมด้านเท่า△ AFBและสำหรับจุดP ใดๆ ในΔ (ยกเว้นAเอง) สร้าง จุด Qเพื่อให้สามเหลี่ยม△ AQPเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าและมีทิศทางดังที่แสดงไว้ จากนั้นสามเหลี่ยม△ ABPคือการหมุน 60° ของสามเหลี่ยม△ AFQรอบจุดAดังนั้นสามเหลี่ยมทั้งสองนี้จึงเท่ากันทุกประการ และเป็นผลให้ซึ่งก็คือความยาวของเส้นทางCPQFนั่นเอง เนื่องจากจุด Pถูกจำกัดให้อยู่ภายใน△ ABCตามกฎการหักมุม ความยาวของเส้นทางนี้จึงเกินดังนั้นสำหรับทุกทีนี้ให้ จุด Pอยู่ภายนอกΔจากข้างต้นมีจุดอยู่จุดหนึ่งที่และเป็นผลให้สำหรับทุกจุดPที่อยู่นอกΔดังนั้นสำหรับทุกซึ่งหมายความว่าAคือจุดแฟร์มาต์ของΔกล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดแฟร์มาต์อยู่ที่จุด ยอด มุมป้าน${\displaystyle d(P)=|CP|+|PQ|+|QF|}$${\displaystyle |AC|+|AF|=d(A).}$${\displaystyle d(A)<d(P)}$${\displaystyle P\in \Delta ,P\neq A.}$${\displaystyle P'\in \Omega }$${\displaystyle d(P')<d(P)}$${\displaystyle d(A)\leq d(P')}$${\displaystyle d(A)<d(P)}$${\displaystyle d(A)<d(P)}$${\displaystyle P\neq A}$

กรณีที่ 2. รูปสามเหลี่ยมนี้ไม่มีมุมใดที่มีขนาด ≥ 120°

สร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า△ BCDโดยให้Pเป็นจุดใดๆ ภายในΔและสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า△ CPQจากนั้น△ CQD คือการหมุน △ CPBเป็นมุม 60° รอบจุดCดังนั้น

${\displaystyle d(P)=|PA|+|PB|+|PC|=|AP|+|PQ|+|QD|}$

ซึ่งแสดงให้เห็นว่าผลรวมของระยะทางที่ต้องการหาคือความยาวของเส้นทางAPQDจาก A ไป D ตามแนวเส้นตรงแบบแบ่งช่วง ต่อไปเราจะแสดงว่าถ้า เลือก Pเป็นจุดศูนย์กลางไอโซโกนิกของ△ ABCเส้นทางAPQDจะอยู่บนเส้นตรง และดังนั้นจึงเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุด ในการทำเช่นนี้ ให้สร้างสามเหลี่ยมด้านเท่า△ ABFให้P ₀เป็นจุดตัดของADและCFจากการสร้าง จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางไอโซโกนิกแรก (ดูด้านบน) ของ△ ABCทำแบบฝึกหัดเดียวกันกับP ₀เหมือนกับที่ทำกับPและหาจุดQ ₀จากข้อจำกัดเชิงมุมP ₀อยู่ภายใน△ ABCเนื่องจากP ₀เป็นจุดศูนย์กลางไอโซโกนิก∠ AP ₀ C = 120°จากการสร้าง∠ CP ₀ Q ₀ = 60°ดังนั้นA , P ₀และQ ₀จึงอยู่บนเส้นตรงเดียวกันจากAไปD (นอกจากนี้△ BCFเป็นการหมุน 60° ของ△ BDAรอบจุดBดังนั้นQ ₀ต้องอยู่บนAD ที่ใดที่หนึ่ง ) เนื่องจาก∠ CDB = 60°จึงสรุปได้ว่าQ ₀อยู่ระหว่างP ₀และDเนื่องจากเส้นทางAP ₀ Q ₀ Dตอนนี้อยู่บนเส้นตรง ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าเช่นนั้นPหรือQจะไม่อยู่บนADซึ่งหมายความว่าตอนนี้ให้Pอยู่ภายนอกΔจากข้างต้นมีจุดหนึ่งอยู่เช่นนั้นและเนื่องจากเป็นเช่นนั้นสำหรับP ทั้งหมด ที่อยู่นอกΔนั่นหมายความว่าP ₀เป็นจุดเฟอร์มาต์ของΔกล่าวอีกนัยหนึ่งจุดเฟอร์มาต์ตรงกับจุดศูนย์กลางไอโซโกนิกแรก ${\displaystyle d(P_{0})=|AD|.}$${\displaystyle P\neq P_{0}}$${\displaystyle d(P_{0})=|AD|<d(P)}$${\displaystyle P'\in \Omega }$${\displaystyle d(P')<d(P)}$${\displaystyle d(P_{0})\leq d(P')}$${\displaystyle d(P_{0})<d(P)}$

ให้O, A, B, C, Xเป็นจุดห้าจุดใดๆ บนระนาบ แทนเวกเตอร์ด้วยa , b , c , x ตาม ลำดับ และให้i , j , kเป็นเวกเตอร์หน่วยจากOไปตามa , b , c${\displaystyle {\overrightarrow {OA}},\ {\overrightarrow {OB}},\ {\overrightarrow {OC}},\ {\overrightarrow {OX}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {a} |&=\mathbf {a\cdot i} =(\mathbf {a} -\mathbf {x} )\mathbf {\,\cdot \,i} +\mathbf {x\cdot i} \leq |\mathbf {a} -\mathbf {x} |+\mathbf {x\cdot i} ,\\|\mathbf {b} |&=\mathbf {b\cdot j} =(\mathbf {b} -\mathbf {x} )\mathbf {\,\cdot \,j} +\mathbf {x\cdot j} \leq |\mathbf {b} -\mathbf {x} |+\mathbf {x\cdot เจ} ,\\|\คณิตศาสตร์ {c} |&=\mathbf {c\cdot k} =(\mathbf {c} -\mathbf {x} )\mathbf {\,\cdot \,k} +\mathbf {x\cdot k} \leq |\mathbf {c} -\mathbf {x} |+\mathbf {x\cdot k} .\end{aligned}}}$

การบวกa , bและcจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle |\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |\leq |\mathbf {a} -\mathbf {x} |+|\mathbf {b} -\mathbf {x} |+|\mathbf {c} -\mathbf {x} |+\mathbf {x} \cdot (\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} )}$

ถ้าa , b , cมาบรรจบกันที่Oด้วยมุม 120° แล้วi + j + k = 0ดังนั้น

${\displaystyle |\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |\leq |\mathbf {a} -\mathbf {x} |+|\mathbf {b} -\mathbf {x} |+|\mathbf {c} -\mathbf {x} |}$

สำหรับทุกค่าxกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ

${\displaystyle |OA|+|OB|+|OC|\leq |XA|+|XB|+|XC|}$

ดังนั้นOจึงเป็นจุดแฟร์มาต์ของ △ ABC

ข้อโต้แย้งนี้ใช้ไม่ได้ผลเมื่อมุมของสามเหลี่ยมมีค่า∠ C > 120°เพราะไม่มีจุดOใดที่เวก เตอร์ a , b , cตัดกันที่มุม 120° อย่างไรก็ตาม ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ง่ายโดยการกำหนดk ใหม่ เป็น − ( i + j )และวางO ไว้ ที่Cเพื่อให้c = 0โปรดสังเกตว่า| k | ≤ 1เนื่องจากมุมระหว่างเวกเตอร์หน่วยi , jคือ∠ Cซึ่งมีค่ามากกว่า 120°

${\displaystyle |\mathbf {0} |\leq |\mathbf {0} -\mathbf {x} |+\mathbf {x\cdot k} ,}$

อสมการที่สามยังคงเป็นจริง อสมการอีกสองข้อไม่เปลี่ยนแปลง การพิสูจน์จึงดำเนินต่อไปเช่นเดียวกับข้างต้น (โดยการบวกอสมการทั้งสามและใช้i + j + k = 0 ) เพื่อให้ได้ข้อสรุปเดียวกันว่าO (หรือในกรณีนี้C ) ต้องเป็นจุดแฟร์มาต์ของ △ ABC

อีกแนวทางหนึ่งในการหาจุดภายในสามเหลี่ยมที่ผลรวมของระยะทางไปยังจุดยอดของสามเหลี่ยมมีค่าน้อยที่สุด คือการใช้ วิธี การหาค่าเหมาะสมที่สุดทางคณิตศาสตร์ วิธีใดวิธีหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วิธีตัวคูณลากรางจ์และกฎของโคไซน์

เราลากเส้นตรงจากจุดภายในสามเหลี่ยมไปยังจุดยอดของสามเหลี่ยม และเรียกเส้นตรงเหล่านั้นว่าX , Y , Zโดยให้ความยาวของเส้นตรงเหล่านี้เป็นx, y, zตามลำดับ ให้มุมระหว่างXและYเป็นαและ มุมระหว่าง YและZเป็นβดังนั้นมุมระหว่างXและZคือπ − α − βโดยใช้วิธีตัวคูณลากรางจ์ เราต้องหาค่าต่ำสุดของลากรางจ์Lซึ่งแสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle L=x+y+z+\lambda _{1}(x^{2}+y^{2}-2xy\cos(\alpha )-a^{2})+\lambda _{2}(y^{2}+z^{2}-2yz\cos(\beta )-b^{2})+\lambda _{3}(z^{2}+x^{2}-2zx\cos(\alpha +\beta )-c^{2})}$

โดยที่a, b, cคือความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยม

เมื่อกำหนดให้ค่าอนุพันธ์ย่อยทั้งห้าเท่ากับศูนย์และกำจัดλ ₁ , λ ₂ , λ ₃ในที่สุดจะได้sin α = sin βและsin( α + β ) = − sin βดังนั้นα = β = 120°อย่างไรก็ตาม การกำจัดนั้นเป็นกระบวนการที่ยาวและยุ่งยาก และผลลัพธ์สุดท้ายครอบคลุมเฉพาะกรณีที่ 2 เท่านั้น ${\displaystyle {\tfrac {\partial L}{\partial x}},{\tfrac {\partial L}{\partial y}},{\tfrac {\partial L}{\partial z}},{\tfrac {\partial L}{\partial \alpha }},{\tfrac {\partial L}{\partial \beta }}}$

• เมื่อมุมที่ใหญ่ที่สุดของสามเหลี่ยมไม่เกิน 120° X (13) จะเป็นจุดเฟอร์มาต์
• มุมที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมรองรับที่X (13) ทั้งหมดเท่ากับ 120° (กรณีที่ 2) หรือ 60°, 60°, 120° (กรณีที่ 1)
• วงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งสามที่สร้างขึ้นมานั้นมาบรรจบกันที่จุดX (13)
• พิกัดสามมิติ สำหรับ ศูนย์กลางไอโซโกนิกแรก X ( 13 ): ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\csc \left(A+{\tfrac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B+{\tfrac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C+{\tfrac {\pi }{3}}\right)\\&=\sec \left(A-{\tfrac {\pi }{6}}\right):\sec \left(B-{\tfrac {\pi }{6}}\right):\sec \left(C-{\tfrac {\pi }{6}}\right).\end{aligned}}}$

• พิกัดสามมิติสำหรับศูนย์กลางไอโซโกนิกที่สองX (14): ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\csc \left(A-{\tfrac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B-{\tfrac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C-{\tfrac {\pi }{3}}\right)\\&=\sec \left(A+{\tfrac {\pi }{6}}\right):\sec \left(B+{\tfrac {\pi }{6}}\right):\sec \left(C+{\tfrac {\pi }{6}}\right).\end{aligned}}}$

• พิกัดสามมิติสำหรับจุดแฟร์มาต์:

${\displaystyle 1-u+uvw\sec \left(A-{\tfrac {\pi }{6}}\right):1-v+uvw\sec \left(B-{\tfrac {\pi }{6}}\right):1-w+uvw\sec \left(C-{\tfrac {\pi }{6}}\right)}$

โดยที่u, v, w แทน ตัวแปรบูลีน( A < 120°), ( B < 120°), ( C < 120°)ตามลำดับ

• คอนจูเกตไอโซโกนัลของX (13) คือจุดไอโซไดนามิกแรกX (15) : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \sin \left(A+{\tfrac {\pi }{3}}\right):\sin \left(B+{\tfrac {\pi }{3}}\right):\sin \left(C+{\tfrac {\pi }{3}}\right).}$

• จุด ไอโซโกนัลคอนจูเกตของX (14) คือจุดไอโซไดนามิกที่สองX (16) : ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \sin \left(A-{\tfrac {\pi }{3}}\right):\sin \left(B-{\tfrac {\pi }{3}}\right):\sin \left(C-{\tfrac {\pi }{3}}\right).}$

• รูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า:
  • สามเหลี่ยมแอนติเพดัลของX (13)
  • สามเหลี่ยมแอนติเพดัลของX (14)
  • สามเหลี่ยมแป้นเหยียบของX (15)
  • สามเหลี่ยมแป้นเหยียบของX (16)
  • สามเหลี่ยมวงรอบของX (15)
  • สามเหลี่ยมวงรอบของX (16)
• เส้นX (13) X (15) และX (14) X (16) ขนานกับเส้นออยเลอร์เส้นทั้งสามเส้นมาบรรจบกันที่จุดอนันต์ออยเลอร์X (30)
• จุดX (13), X (14), จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบและจุดศูนย์กลางเก้าจุดอยู่บนวงกลมเลสเตอร์
• เส้นX (13) X (14) ตัดกับเส้นออยเลอร์ที่จุดกึ่งกลางของX (2) และX (4) ^{[ 7 ]}
• จุดเฟอร์มาต์อยู่ในดิสก์ออร์โธเซนทรอย ดัลแบบเปิด ที่เจาะตรงกลางของตัวเอง และอาจเป็นจุดใดก็ได้ในนั้น^{[ 8 ]}

จุดไอโซโกนิกX (13) และX (14) เรียกอีกอย่างว่าจุดเฟอร์มาต์แรกและจุดเฟอร์มาต์ที่สองตามลำดับ ทางเลือกอื่นคือจุดเฟอร์มาต์บวกและจุดเฟอร์มาต์ลบอย่างไรก็ตาม ชื่อที่แตกต่างกันเหล่านี้อาจทำให้สับสนและควรหลีกเลี่ยง ปัญหาคือเอกสารจำนวนมากทำให้ความแตกต่างระหว่างจุดเฟอร์มาต์และจุดเฟอร์มาต์แรก ไม่ชัดเจน ในขณะที่ในกรณีที่ 2 ข้างต้นเท่านั้นที่ทั้งสองจุดเหมือนกัน

คำถามนี้ถูกเสนอโดยแฟร์มาต์ เพื่อเป็นการท้าทาย อีวาน เจลิสตา ตอร์ริเชลลีเขาแก้ปัญหาในลักษณะเดียวกับแฟร์มาต์ แม้ว่าจะใช้การตัดกันของวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งสามแทนก็ตาม ลูกศิษย์ของเขา วิเวียนี ได้ตีพิมพ์วิธีแก้ปัญหาในปี พ.ศ. 2392 ^{[ 9 ]}

• จุด มัธยฐานทางเรขาคณิตหรือจุดแฟร์มาต์-เวเบอร์ คือจุดที่ทำให้ผลรวมของระยะทางไปยังจุดที่กำหนดมากกว่าสามจุดมีค่าน้อยที่สุด
• ทฤษฎีบทของเลสเตอร์
• จุดศูนย์กลางสามเหลี่ยม
• นโปเลียนชี้
• ปัญหาของเวเบอร์

• "ปัญหาแฟร์มาต์-ทอร์ริเชลลี" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• จุดแฟร์มาต์โดย คริส บูเชอร์ จากโครงการสาธิตของวูล์ฟแรม
• จุดแฟร์มาต์-ทอร์ริเชลลีของรูปสามเหลี่ยมและปัญหาเรื่องสนามบินในDynamic Geometry Sketchesกิจกรรมการเรียนรู้เชิงสืบสวนสองกิจกรรมที่เกี่ยวข้องกันพร้อมการพิสูจน์แบบมีคำแนะนำ
• ตัวอย่างเชิงปฏิบัติของจุดแฟร์มาต์