ในเรขาคณิตระนาบสามเหลี่ยมเพดัลได้มาจากการฉาย จุด ลงบนด้านของสามเหลี่ยม

กล่าวโดยละเอียด ลองพิจารณาสามเหลี่ยม△ ABCและจุดPที่ไม่ใช่จุดยอดA, B, C ลากเส้น ตั้งฉากจากPไปยังด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม (อาจต้องต่อเส้นให้ยาวออกไป ) กำหนดให้L, M, N เป็น จุดตัดของเส้นจากPกับด้านBC, AC, ABสามเหลี่ยมเพดัลนี้จะมีรูป เป็น △ LMN

ถ้า△ ABCไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมป้านและPเป็นจุดตั้งฉาก มุมของ△ LMNจะเป็น180° − 2 A , 180° − 2 ^Bและ 180 ° − 2 C ^{[ 1} ]

รูปสี่เหลี่ยมPMAN, PLBN, PLCMเป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลม

ตำแหน่งของจุดP ที่เลือก เมื่อเทียบกับสามเหลี่ยม△ ABC ที่เลือกนั้น ก่อให้เกิดกรณีพิเศษบางประการ:

• ถ้าPเป็นจุดตั้งฉาก (orthocenter)แล้ว△ LMNคือสามเหลี่ยมตั้งฉาก (orthy triangle )
• ถ้าPเป็นจุดศูนย์กลางภายในแล้ว△ LMNคือสามเหลี่ยมสัมผัสภายใน
• ถ้าPเป็นจุดศูนย์กลางวงกลมล้อม รอบสามเหลี่ยมด้านเท่า △ LMNจะเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
• ถ้าจุด Pอยู่บนวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยม△ LMNจะยุบตัวลงเป็นเส้นตรง ( เส้นเพดัลหรือเส้นซิมสัน )

จุดยอดของสามเหลี่ยมเพดัลของจุดภายในPดังแสดงในแผนภาพด้านบน จะแบ่งด้านของสามเหลี่ยมเดิมในลักษณะที่สอดคล้องกับทฤษฎีบทของคาร์โนต์ : ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle |AN|^{2}+|BL|^{2}+|CM|^{2}=|NB|^{2}+|LC|^{2}+|MA|^{2}.}$$

ถ้าPมีพิกัดสามมิติp  : q  : rแล้ว จุดยอดL, M, Nของสามเหลี่ยมเพดัลของPจะกำหนดโดย $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}L&=&0&:&q+p\cos C&:&r+p\cos B\\[2pt]M&=&p+q\cos C&:&0&:&r+q\cos A\\[2pt]N&=&p+r\cos B&:&q+r\cos A&:&0\end{array}}}$$

จุดยอดL'ของสามเหลี่ยมแอนติเพดัลของPคือจุดตัดของเส้นตั้งฉากกับBPที่ผ่านBและเส้นตั้งฉากกับCPที่ผ่านCจุดยอดอื่นๆM'และN'สร้างขึ้นในทำนองเดียวกัน พิกัดสามมิติกำหนดโดย $${\displaystyle {\begin{array}{ccrcrcr}L'&=&-(q+p\cos C)(r+p\cos B)&:&(r+p\cos B)(p+q\cos C)&:&(q+p\cos C)(p+r\cos B)\\[2pt]M'&=&(r+q\cos A)(q+p\cos C)&:&-(r+q\cos A)(p+q\cos C)&:&(p+q\cos C)(q+r\cos A)\\[2pt]N'&=&(q+r\cos A)(r+p\cos B)&:&(p+r\cos B)(r+q\cos A)&:&-(p+r\cos B)(q+r\cos A)\end{array}}}$$

ตัวอย่างเช่นสามเหลี่ยมนอกจุดศูนย์กลางคือสามเหลี่ยมตรงข้ามจุดศูนย์กลางของจุดศูนย์กลาง

สมมติว่าPไม่อยู่บนด้านต่อขยายใดๆBC, CA, ABและให้P ⁻¹แทนรูปสามเหลี่ยมคู่สมมาตรของPรูปสามเหลี่ยมเพดัลของPเป็นรูปสามเหลี่ยมโฮโมเทติกกับรูปสามเหลี่ยมแอนติเพดัลของP ⁻¹จุดศูนย์กลางโฮโมเทติก (ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมก็ต่อเมื่อPเป็นจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม) คือจุดที่กำหนดในพิกัดสามมิติโดย

$${\displaystyle ap(p+q\cos C)(p+r\cos B)\ :\ bq(q+r\cos A)(q+p\cos C)\ :\ cr(r+p\cos B)(r+q\cos A)}$$

ผล คูณ ของพื้นที่ของสามเหลี่ยมเพดัลของPและสามเหลี่ยมแอนติเพดัลของP ⁻¹เท่ากับกำลังสองของพื้นที่ของ△ ABC

วงกลมเพดัลถูกกำหนดให้เป็นวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยมเพดัล โปรดทราบว่าวงกลมเพดัลไม่ได้ถูกกำหนดสำหรับจุดที่อยู่บนวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยม

สำหรับจุดP ใดๆ ที่ไม่ได้อยู่บนวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยม เป็นที่ทราบกันว่าPและจุดคู่สมมาตรP* ของ P มีวงกลมเพดัลร่วมกัน ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกึ่งกลางของจุดทั้งสองนี้^{[ 3 ]}

• Mathworld: สามเหลี่ยมเหยียบ
• ซิมสัน ไลน์
• สามเหลี่ยมเพดัลและการผันแปรไอโซโกนัล
• ภาพประกอบ เชิงโต้ตอบ รูปสามเหลี่ยมและวงกลมของแป้นเหยียบ - ภาพประกอบแบบโต้ตอบ
• ทฤษฎีบทความตั้งฉากของคาร์โนต์ (หรือของบอตเตมา) และข้อสรุปทั่วไปบางประการ - ภาพร่างแบบโต้ตอบและไดนามิก