รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม (หรือสามเหลี่ยมที่มีมุมแหลม ) คือรูปสามเหลี่ยม ที่มี มุมแหลมสามมุม(มุมน้อยกว่า 90°) ส่วนรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน (หรือสามเหลี่ยมที่มีมุมป้าน ) คือรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมป้าน หนึ่งมุม (มุมมากกว่า 90°) และมุมแหลมสองมุม เนื่องจากในเรขาคณิตแบบยุคลิด มุมของรูปสามเหลี่ยมต้องรวมกันได้ 180° ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมแบบยุคลิดจึงมีมุมป้านได้เพียงมุมเดียวเท่านั้น

รูปสามเหลี่ยมมุมแหลมและรูปสามเหลี่ยมมุมป้านเป็น รูปสามเหลี่ยมเฉียงสองประเภทที่แตกต่างกัน ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม ที่ไม่ใช่รูปสามเหลี่ยมมุมฉากเนื่องจากไม่มีมุมฉาก (90°) เลย

ขวา	ป้าน	เฉียบพลัน
	${\displaystyle \quad \underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}}$
	เฉียง

ในรูปสามเหลี่ยมทุกรูป จุดศูนย์กลาง มวล (centroid)ซึ่งเป็นจุดตัดของเส้นมัธยฐานแต่ละเส้นที่เชื่อมจุดยอดกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม และ จุดศูนย์กลางวงกลมแนบ ใน (incenter ) ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่สัมผัสทั้งสามด้านจากภายใน จะอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม อย่างไรก็ตาม ในขณะที่จุดศูนย์กลางความตั้งฉาก (orthocenter)และจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ (circumcenter) อยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม แต่จะอยู่ภายนอกรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน

จุดออร์โธเซ็นเตอร์คือจุดตัดของ เส้นความสูงทั้งสามของสามเหลี่ยมซึ่งแต่ละเส้นเชื่อมต่อด้านหนึ่งกับจุดยอด ตรงข้ามในแนวตั้ง ฉากในกรณีของสามเหลี่ยมมุมแหลม เส้นความสูงทั้งสามเส้นนี้จะอยู่ภายในสามเหลี่ยมทั้งหมด ดังนั้นจึงตัดกันภายในสามเหลี่ยม แต่สำหรับสามเหลี่ยมมุมป้าน เส้นความสูงจากมุมแหลมทั้งสองจะตัดกับส่วนต่อขยายของด้านตรงข้ามเท่านั้น เส้นความสูงเหล่านี้จะอยู่ภายนอกสามเหลี่ยมทั้งหมด ส่งผลให้จุดตัดระหว่างกัน (และด้วยเหตุนี้จึงตัดกับส่วนต่อขยายของเส้นความสูงจากจุดยอดมุมป้าน) เกิดขึ้นภายนอกสามเหลี่ยม

ในทำนองเดียวกัน จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ซึ่งเป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก ของด้านทั้งสาม และเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ผ่านจุดยอดทั้งสาม จะอยู่ภายในสามเหลี่ยมมุมแหลม แต่จะอยู่ภายนอกสามเหลี่ยมมุมป้าน

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นกรณีกึ่งกลาง กล่าวคือ ทั้งจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบและจุดศูนย์กลางมุมฉากอยู่บนขอบของรูปสามเหลี่ยม

ในสามเหลี่ยมใดๆ มุมสองมุมใดๆAและBที่อยู่ตรงข้ามกับด้านaและbตามลำดับจะมีความสัมพันธ์กันตาม^{[ 1 ] : หน้า 264}

${\displaystyle A>B\quad {\text{ก็ต่อเมื่อ}}\quad a>b.}$

นั่นหมายความว่าด้านที่ยาวที่สุดในสามเหลี่ยมมุมป้านคือด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมป้านของรูปสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมมุมแหลมมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แนบใน สาม รูป โดยแต่ละรูปจะมีด้านหนึ่งตรงกับส่วนหนึ่งของด้านของสามเหลี่ยม และจุดยอดอีกสองจุดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะอยู่บนด้านที่เหลืออีกสองด้านของสามเหลี่ยม (ในสามเหลี่ยมมุมฉาก สี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปนี้จะรวมกันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดียวกัน ดังนั้นจึงมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แนบในที่แตกต่างกันเพียงสองรูป) อย่างไรก็ตาม สามเหลี่ยมมุมป้านจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แนบในเพียงรูปเดียว โดยด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะตรงกับส่วนหนึ่งของด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยม^{[ 2 ] : หน้า 115}

สามเหลี่ยมทั้งหมดที่เส้นออยเลอร์ขนานกับด้านใดด้านหนึ่งจะเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม^{[ 3 ]}คุณสมบัตินี้ใช้ได้กับด้าน BC ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle (\tan B)(\tan C)=3.}$

ถ้ามุมCเป็นมุมป้านแล้วสำหรับด้านa , bและcเราจะได้^{[ 4 ] : หน้า 1, #74}

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2}}<a^{2}+b^{2}<c^{2},}$

โดยที่อสมการทางซ้ายจะเข้าใกล้ความเท่าเทียมกันในลิมิตก็ต่อเมื่อมุมยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเข้าใกล้ 180° และอสมการทางขวาจะเข้าใกล้ความเท่าเทียมกันก็ต่อเมื่อมุมป้านเข้าใกล้ 90°

ถ้าสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลมแล้ว

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2},\quad b^{2}+c^{2}>a^{2},\quad c^{2}+a^{2}>b^{2}.}$

ถ้า C เป็นมุมที่ใหญ่ที่สุดและh _cเป็นความสูงจากจุดยอดCแล้วสำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลม^{[ 4 ] : หน้า 135, #3109}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}}<{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}},}$

โดยจะมีอสมการตรงกันข้ามหาก C เป็นมุมป้าน

โดยมีด้านที่ยาวที่สุดคือcและเส้นมัธยฐานm _aและm _bจากด้านอื่นๆ^{[ 4 ] : หน้า 136, #3110}

${\displaystyle 4c^{2}+9a^{2}b^{2}>16m_{a}^{2}m_{b}^{2}}$

สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลม เงื่อนไขอสมการจะกลับกัน แต่สำหรับสามเหลี่ยมมุมป้าน เงื่อนไขอสมการจะกลับด้าน

ค่ามัธยฐานm _cจากด้านที่ยาวที่สุดจะมากกว่าหรือน้อยกว่ารัศมีวงกลมล้อมรอบสำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลมหรือมุมป้านตามลำดับ: ^{[ 4 ] : หน้า 136, #3113}

${\displaystyle m_{c}>R}$

สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลมจะเป็นแบบเดียวกัน และสำหรับสามเหลี่ยมมุมป้านจะเป็นแบบตรงกันข้าม

อสมการของโอโนะสำหรับ พื้นที่A

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4A)^{6},}$

ใช้ได้กับสามเหลี่ยมมุมแหลมทุกรูป แต่ใช้ไม่ได้กับสามเหลี่ยมมุมป้านทุกรูป

สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลม เรามีมุมA , BและC ดังนี้ ^{[ 4 ]} : ^{หน้า 26, #954}

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,}$

โดยที่อสมการผกผันใช้ได้กับสามเหลี่ยมมุมป้าน

สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลมที่มีรัศมีวงกลมล้อมรอบR , ^{[ 4 ] : หน้า 141, #3167}

${\displaystyle a\cos ^{3}A+b\cos ^{3}B+c\cos ^{3}C\leq {\frac {abc}{4R^{2}}}}$

และ^{[ 4 ] : หน้า 155, #S25}

${\displaystyle \cos ^{3}A+\cos ^{3}B+\cos ^{3}C+\cos A\cos B\cos C\geq {\frac {1}{2}}.}$

สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลม^{[ 4 ] : หน้า 115, #2874}

${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C>2,}$

โดยใช้ความไม่เท่าเทียมกันแบบกลับกันสำหรับสามเหลี่ยมมุมป้าน

สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลม^{[ 4 ] : หน้า 178, #241.1}

${\displaystyle \sin A\cdot \sin B+\sin B\cdot \sin C+\sin C\cdot \sin A\leq (\cos A+\cos B+\cos C)^{2}.}$

สำหรับรูปสามเหลี่ยมใดๆเอกลักษณ์แทนเจนต์สามตัว กล่าวว่า ผลรวมของ แทนเจนต์ของมุมต่างๆเท่ากับผลคูณของแทนเจนต์เหล่านั้น เนื่องจากมุมแหลมมีค่าแทนเจนต์เป็นบวก ในขณะที่มุมป้านมีค่าแทนเจนต์เป็นลบ ดังนั้นนิพจน์สำหรับผลคูณของแทนเจนต์จึงแสดงให้เห็นว่า

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C>0}$

สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลม ทิศทางของความไม่เท่ากันจะเป็นไปในทิศทางตรงกันข้าม ในขณะที่สำหรับสามเหลี่ยมมุมป้าน

เรามี^{[ 4 ] : หน้า 26, #958}

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C\geq 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)}$

สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลมจะเป็นแบบเดียวกัน และสำหรับสามเหลี่ยมมุมป้านจะเป็นแบบตรงกันข้าม

สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลมทั้งหมด^{[ 4 ] : หน้า 40, #1210}

${\displaystyle (\tan A+\tan B+\tan C)^{2}\geq (\sec A+1)^{2}+(\sec B+1)^{2}+(\sec C+1)^{2}.}$

สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลมทั้งหมดที่มีรัศมีวงในrและรัศมีวงนอกR , ^{[ 4 ] : หน้า 53, #1424}

${\displaystyle a\tan A+b\tan B+c\tan C\geq 10R-2r.}$

สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลมที่มีพื้นที่K [ ^{4 ] : หน้า 103 , #2662}

${\displaystyle ({\sqrt {\cot A}}+{\sqrt {\cot B}}+{\sqrt {\cot C}})^{2}\leq {\frac {K}{r^{2}}}.}$

ในสามเหลี่ยมมุมแหลม ผลรวมของรัศมีวงกลมล้อมรอบRและรัศมีวงกลมแนบในrจะน้อยกว่าครึ่งหนึ่งของผลรวมของด้านที่สั้นที่สุดaและb : ^{[ 4 ] : หน้า 105, #2690}

${\displaystyle R+r<{\frac {a+b}{2}},}$

ในขณะที่อสมการตรงกันข้ามจะเกิดขึ้นกับสามเหลี่ยมมุมป้าน

สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลมที่มีเส้นมัธยฐานm _a , m _bและm _cและรัศมีวงกลมล้อมรอบRเรามี^{[ 4 ] : หน้า 26, #954}

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}}$

ในขณะที่อสมการตรงกันข้ามจะเกิดขึ้นกับสามเหลี่ยมมุมป้าน

นอกจากนี้ สามเหลี่ยมมุมแหลมยังสอดคล้องกับ^{[ 4 ] : หน้า 26, #954}

${\displaystyle r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}<8R^{2},}$

โดยพิจารณาจากรัศมีของวงกลมภายนอกr _a , r _bและ r _cอีกครั้ง โดยที่อสมการแบบกลับด้านยังคงใช้ได้กับสามเหลี่ยมมุมป้าน

สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลมที่มีครึ่งเส้นรอบรูปs ^{[ 4 ]} : ^{หน้า 115, #2874}

${\displaystyle sr>2R,}$

และอสมการผกผันก็ใช้ได้กับสามเหลี่ยมมุมป้านด้วย

สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลมที่มีพื้นที่K [ ^{4 ] : หน้า 185 , #291.6}

${\displaystyle ab+bc+ca\geq 2R(R+r)+{\frac {8K}{\sqrt {3}}}.}$

สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลม ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบOและจุดศูนย์กลางมุมฉากHเป็นไปตาม^{[ 4 ] : หน้า 26, #954}

${\displaystyle OH<R,}$

โดยที่อสมการตรงข้ามจะใช้กับสามเหลี่ยมมุมป้าน

สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลม ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในIและจุดศูนย์กลางเชิงมุมHเป็นไปตาม^{[ 4 ] : หน้า 26, #954}

${\displaystyle IH<r{\sqrt {2}},}$

โดยที่rคือรัศมีวงในและมีอสมการแบบกลับกันสำหรับสามเหลี่ยมมุมป้าน

ถ้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมมุมแหลมอันหนึ่งมีความยาวด้านx _aและอีกอันหนึ่งมีความยาวด้านx _bโดยที่x _a < x _bแล้ว^{[ 2 ] : หน้า 115}

${\displaystyle 1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.94.}$

ถ้าสามเหลี่ยมมุมป้านสองรูปมีด้าน ( a, b, c ) และ ( p, q, r ) โดยที่cและrเป็นด้านที่ยาวที่สุดตามลำดับ แล้ว^{[ 4 ] : หน้า 29, #1030}

${\displaystyle ap+bq<cr.}$

สามเหลี่ยมคาลาบีเป็นสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าเพียงรูปเดียวที่สามารถวางสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใหญ่ที่สุดที่พอดีกับด้านในได้ในสามวิธีที่แตกต่างกัน โดยสามเหลี่ยมคาลาบีเป็นสามเหลี่ยมมุมป้านและสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีมุมฐาน 39.1320261...° และมุมที่สาม 101.7359477...°

สามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีมุมทั้งสามมุม 60° เรียกว่าสามเหลี่ยมมุมแหลม

รูปสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ซึ่งเกิดจากรูปสามเหลี่ยมใดๆ โดยการตัดกันของเส้นแบ่งสามส่วนเท่าๆ กันของมุมที่อยู่ติดกัน เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า และดังนั้นจึงเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม

สามเหลี่ยมทองคำเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีอัตราส่วนของด้านที่ซ้ำกันต่อด้านฐานเท่ากับอัตราส่วนทองคำเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลมที่มีมุม 36°, 72° และ 72° ทำให้เป็นสามเหลี่ยมเพียงรูปเดียวที่มีมุมในสัดส่วน 1:2:2 ^{[ 5 ]}

สามเหลี่ยมเจ็ดเหลี่ยมซึ่งมีด้านที่ทับซ้อนกับด้าน เส้นทแยงมุมที่สั้นกว่า และเส้นทแยงมุมที่ยาวกว่าของรูปเจ็ดเหลี่ยม ปกติ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน โดยมีมุมและ${\displaystyle \pi /7,2\pi /7,}$${\displaystyle 4\pi /7.}$

รูปสามเหลี่ยมเพียงรูปเดียวที่มีความสูงและด้านเป็นจำนวนเต็มที่เรียงกันคือรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ซึ่งมีด้านเป็น (13, 14, 15) และความสูงจากด้านที่ 14 เท่ากับ 12

รูปสามเหลี่ยมที่มีเส้นรอบรูปน้อยที่สุดและมีด้านเป็นจำนวนเต็มเรียงลำดับเลขคณิต และรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเป็นจำนวนเต็มและมีเส้นรอบรูปน้อยที่สุดและมีด้านที่แตกต่างกัน คือ รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน กล่าวคือ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเป็นจำนวนเต็ม (2, 3, 4)

รูปสามเหลี่ยมเพียงรูปเดียวที่มีมุมหนึ่งเป็นสองเท่าของอีกมุมหนึ่งและมีด้านเป็นจำนวนเต็มในลำดับเลขคณิตคือรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ได้แก่ รูปสามเหลี่ยม (4,5,6) และรูปสามเหลี่ยมทวีคูณของมัน^{[ 6 ]}

ไม่มีสามเหลี่ยมมุมแหลมที่มีด้านเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งมีพื้นที่เท่ากับเส้นรอบรูปแต่มีสามเหลี่ยมมุมป้านสามรูปที่มีด้าน^{[ 7 ]} (6,25,29), (7,15,20) และ (9,10,17)

สามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจำนวนเต็มที่เล็กที่สุดที่มีเส้น มัธยฐานเป็นจำนวนตรรกยะสามเส้น คือสามเหลี่ยมมุมแหลม โดยมีด้าน^{[ 8 ]} (68, 85, 87)

รูปสามเหลี่ยมเฮรอนมีด้านและพื้นที่เป็นจำนวนเต็ม รูปสามเหลี่ยมเฮรอนเฉียงที่มีเส้นรอบรูปน้อยที่สุดคือรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม โดยมีด้านยาว (6, 5, 5) รูปสามเหลี่ยมเฮรอนเฉียงสองรูปที่มีพื้นที่น้อยที่สุดร่วมกันคือรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมที่มีด้านยาว (6, 5, 5) และรูปสามเหลี่ยมมุมป้านที่มีด้านยาว (8, 5, 5) โดยแต่ละรูปมีพื้นที่เท่ากับ 12

• สามเหลี่ยมเงิน